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INTRODUCCIN
La presente investigacin es realizada, utilizando los trminos: anualidad vencida
cuando tratemos con rentas post pagables y anticipadas cuando tratemos con
rentas prepagables.
Las anualidades que estudiaremos a continuacin nos permiten determinar el
valor actual o futuro a travs de modelos matemticos que varan en progresin
geomtrica creciente o decreciente. Tratase de anualidades constantes o
uniformes post pagables o prepagables.
Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades)
anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o
post pagables multiplicndolas por (1 + i), reiteramos, el VA o VF de las
anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un perodo las post
pagables.
El prontuario de frmulas se puede ver en el captulo cuatro, seguido del captulo
cinco donde se desarrollan diez casos prcticos de anualidades.
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ndice
INTRODUCCIN .............................................................................................................................. ii
I. CAPITULO I .............................................................................................................................. 6
A) OBJETIVOS ...................................................................................................................... 6
Caractersticas de la matemtica................................................................................... 6
B) QU SIGNIFICA LA PALABRA MATEMTICA........................................................ 7
C) QU ES LA MATEMTICA ........................................................................................... 7
D) ALGUNOS PROBLEMAS MATEMTICOS ............................................................... 8
E) CMO SE DA LA INNOVACIN EN LA MATEMTICA......................................... 9
F) LA NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS................................................................. 9
G) PAUTAS Y RELACIONES ........................................................................................... 10
H) MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA ........................................................... 12I) LA INVESTIGACIN MATEMTICA ............................................................................. 13
Abstraccin y representacin simblica...................................................................... 13
Manipulacin de los enunciados matemticos .......................................................... 14
Aplicacin ......................................................................................................................... 15
J) DEFINICIN DE MATEMTICA FINANCIERA ........................................................... 17
K) CONCEPTOS BSICOS .............................................................................................. 17
Factibilidad Econmica .................................................................................................. 17
. Factibilidad Financiera ................................................................................................. 18
Factibilidad Econmica versus Factibilidad Financiera............................................ 18
Valor Econmico Agregado .......................................................................................... 19
Proyecto de Inversin .................................................................................................... 19
Relaciones de la matemtica financiera con otras disciplinas................................ 19
II. CAPITULO II ........................................................................................................................... 23
A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 23
B) DEFINICIN DE ANUALIDADES ............................................................................... 23C) OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES ................................................................. 25
Intervalo o Perodo de Pago ......................................................................................... 25
Plazo de la Anualidad .................................................................................................... 26
Renta ................................................................................................................................ 26
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D) PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES................................... 26
E) POCAS DE VALUACIN DE LAS ANUALIDADES............................................. 26
F) OBJETO DE CLCULO DE LAS ANUALIDADES ..................................................... 27
G) ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES...................................... 28
III. CAPITULO III ...................................................................................................................... 29
A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 29
B) ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO .......................................................... 29
C) EN FUNCIN DE LA POCA DE PAGO DE CADA RENTA ................................ 29
Vencidas u ordinarias .................................................................................................... 29
Anticipadas o inmediatas .............................................................................................. 29
Diferidas ........................................................................................................................... 30
Diferidas vencidas .......................................................................................................... 30 Diferidas anticipadas ...................................................................................................... 30
Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones deinters ....................................................................................................................................... 31
D) ATENDIENDO LA VARIABILIDAD DE LOS PAGOS DE RENTA....................... 31
Constantes ....................................................................................................................... 31
Variables .......................................................................................................................... 31
E) ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO................................................................... 32
Rentas perpetuas ........................................................................................................... 32
Costo capitalizado .......................................................................................................... 32
Costos equivalentes ....................................................................................................... 32
Lmite de gastos para alargar la vida til de un activo.............................................. 32
F) ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES................................................. 33
Rentas vitalicias .............................................................................................................. 33
Dote pura ......................................................................................................................... 33
Seguros de vida .............................................................................................................. 34
IV. CAPITULO IV ..................................................................................................................... 35
A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 35
B) ANUALIDADES .............................................................................................................. 35
Monto ................................................................................................................................ 36
Valor actual ...................................................................................................................... 36
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Renta en funcin del monto .......................................................................................... 36
Renta en funcin del valor actual................................................................................. 36
Tiempo en funcin del monto ....................................................................................... 37
Tiempo en funcin del valor actual .............................................................................. 37
C) ANUALIDADES PAGADERAS CADA K AOS.................................................. 37
Monto ................................................................................................................................ 38
Valor actual ...................................................................................................................... 38
Renta en funcin del monto .......................................................................................... 38
Renta en funcin del valor actual................................................................................. 39
Tiempo en funcin del valor actual .............................................................................. 39
V. CAPITULO V ........................................................................................................................... 40
A) ANUALIDADES PAGADERAS EN PERIODOS MENORES O IGUALES A UNAO 40
PROBLEMA NO. 1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.............................. 40
Problema no. 2 monto de una anualidad anticipada. ............................................... 41
Anualidades en funcin del valor actual anticipado.................................................. 41
Anualidades en funcin del valor actual diferido....................................................... 42
Renta En Funcin del Valor Actual .............................................................................. 43
Renta en Funcin del Monto ......................................................................................... 43
Tiempo en funcin del Monto: ...................................................................................... 45
Tiempo en funcin del Valor Actual ............................................................................. 46
B) PROBLEMA DE ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO PAGADEROSEN PERODOS MAYORES DE UN AO .............................................................................. 47
Valor actual anticipado diferido .................................................................................... 47
Tiempo en funcin del valor actual anticipado........................................................... 48
CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 50
RECOMENDACIONES ................................................................................................................. 51
BIBLIOGRAFA .............................................................................................................................. 52
CUESTIONARIO ............................................................................................................................ 53
ANALISIS ............................................................................................................................................ 54
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I. CAPITULO I
GENERALIDADES DE LAS MATEMTICAS
Debido a su abstraccin, las matemticas son universales en un sentido en que
no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones tiles en
los negocios, la industria, la msica, la historia, la poltica, los deportes, la
medicina, la agricultura, la ingeniera y las ciencias naturales y sociales.
A) OBJETIVOS
Dar a conocer la definicin de matemtica, con nfasis a la matemtica
financiera.
Establecer los conceptos relacionados a la matemtica financiera.
Establecer la relacin que tienen la matemtica financiera con otras
disciplinas.
Caractersticas de la matemtica
La Matemtica posee varias caractersticas que la hacen diferir de otras
disciplinas.
1. La primera es que es muy difcil de describir o definir su materia de
estudio. Es claro cuales la materia de estudio de la Astronoma y de la,
Biologa, pero no de la Teora Algebraica. Esto se debe
fundamentalmente a que los objetos de estudio son conceptosabstractos definidos que a menudo van encadenados a otros conceptos
previamente definidos. Su descripcin se reduce a definiciones formales
que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto
tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemtica o
entrenamiento matemtico le permite al ser humano asimilar una buena
cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su
sobrinita preguntona qu es la adicin, o de qu se trata la GeometraAnaltica, o qu es un anillo. Requerir, despus de muchas
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explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y tiempo,
mucho tiempo.
2. La segunda caracterstica es que posee una lgica perfecta. LaMatemtica de Euclides es tan vlida hoy como en la poca de Euclides.
Esto contrasta con otras teoras, como la de la tierra plana, la del flogisto
o la del ter.
3. La tercera es lo conclusivo de la Matemtica, esto es, las diferentes
disciplinas toman conclusiones con base en las manipulacionesmatemticas.
4. La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos
a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lpiz y
papel, o ni siquiera esto. Arqumedes dibujaba sobre la arena. Leray
escribi su matemtica siendo prisionero de guerra. Apesar de los
regmenes polticos de toda ndole, la Matemtica contina
evolucionando. Es interesante observar que sus bibliotecas son menosgrandes que las de otras disciplinas.
B) QU SIGNIFICA LA PALABRA MATEMTICA
Segn Arrigo Coen, Mathema significa erudicin, manthnein es el infinitivo de
aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo
relativo al aprendizaje. As que en sentido implcito, Matemtica significa: lo
digno de ser aprendido.
C) QU ES LA MATEMTICA
No existe una definicin de lo que es la Matemtica. Sin embargo, se dice que
es una coleccin de ideas y tcnicas para resolver problemas que provienen de
cualquier disciplina, incluyendo a la Matemtica misma.
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D) ALGUNOS PROBLEMAS MATEMTICOS
Recuerden el famoso ltimo teorema de Fermat (el cual sucede al de la
ecuacin pitagrica x2 + y2 = z2) que dice que la ecuacin xn + yn = zn nuncatiene soluciones enteras positivas para cualquier entero positivo n mayor que 2.
Excepto para n = 2, estas ecuaciones no tienen una interpretacin geomtrica.
Aparentemente este problema no pareciera tener mucha importancia,
sin embargo ha tenido una influencia enorme en el desarrollo de la
Matemtica. Fermat dijo que tena una demostracin pero que no tena espacio
para escribirla. Por ms de 300 aos, este problema, aparentemente sencillo,
ha sido el motivo de grandes esfuerzos de muchos matemticos y esprecisamente de estos esfuerzos que se han creado nuevas tcnicas y
conceptos, los cuales tienen influencia en muchas reas de la Matemtica.
El problema de los cuatro colores afirma que solamente se requieren 4 colores
para iluminar o colorear cualquier mapa del globo terrestre con la condicin de
que dos pases adyacentes deban tener colores diferentes. La solucin
positiva, ms de cien aos despus, fue obtenida mediante el uso de la
computadora, teniendo un impacto muy pequeo en la Matemtica. Fue el
primer problema no trivial solucionado por la computadora.
En la Matemtica, si un problema se resuelve mediante mtodos estndar, el
problema pierde mucho de su inters. Si no se resuelve mediante los mtodos
conocidos por mucho tiempo, se convierte en un problema clsico. Un buen
problema es aquel que da lugar a nuevas tcnicas con gran aplicabilidad aotras reas.
Las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solucin de algn
problema constituyen el progreso de la Matemtica. Los matemticos sabemos
apreciar las tcnicas ingeniosas.
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E) CMO SE DA LA INNOVACIN EN LA MATEMTICA
A diferencia de otras disciplinas cientficas, en la Matemtica la creacin de
nuevos mtodos o tcnicas constituye la innovacin, la cual es vital para elprogreso de la Matemtica.
No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del
trabajo experimental o de la introduccin de nueva tecnologa. La innovacin se
da, entre otras cosas, por la creacin de nuevas tcnicas. Por ejemplo, cuando
Galois se dio cuenta al trabajar en el problema de la insolubilidad de laecuacin polinomial general de grado al menos 5 que la clave estaba en las
simetras de las cinco soluciones de la ecuacin, provey los fundamentos de
la teora general de la simetra, la cual es una de las ramas ms profundas y de
amplio espectro de toda la Matemtica, llamada Teora de Grupos.
Tambin hay innovacin interna al tratar de dar cohesin a una teora
matemtica, al realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha
intuicin y compenetracin. Tambin puede venir de problemas de otras
disciplinas.
Se puede decir que hay progreso matemtico cuando existe una aplicacin
continua de mtodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos
conceptos y problemas.
F) LA NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS
Las matemticas dependen tanto de la lgica como de la creatividad, y estn
regidas por diversos propsitos prcticos y por su inters intrnseco. Para
algunas personas, y no slo para los matemticos profesionales, la esencia deesta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros,
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incluidos muchos cientficos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma
en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemticas juegan ese
papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensin
bsica de ellas en la formacin cientfica. Para lograr esto, debe percatarse
de que las matemticas forman parte del quehacer cientfico, comprender la
naturaleza del pensamiento matemtico y familiarizarse con las ideas y
habilidades de esta disciplina.
G) PAUTAS Y RELACIONES
Las matemticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina
terica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si
stas tienen homlogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser
cualquier cosa, desde secuencias de nmeros hasta figuras geomtricas o
series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "forma una pauta el
intervalo entre nmeros primos?" como pregunta terica, los matemticos se
interesarn slo en encontrar la pauta o probar que sta no existe, pero no en
buscar la utilidad que podra tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por
ejemplo, una expresin para el cambio en el rea de cualquier cuerpo regular
cuando su volumen se aproxima a cero, los matemticos no manifiestan inters
en la concordancia entre los cuerpos geomtricos y los objetos fsicos del
mundo real.
Una lnea fundamental de investigacin en las matemticas tericas es
identificar en cada campo de estudio un pequeo conjunto de ideas y reglas
bsicas a partir de las cuales puedan deducirse, por lgica, todas las dems
ideas y reglas de inters en ese campo. Los matemticos, como otros
cientficos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin
relacin previa pueden ser derivables entre s o a partir de una teora ms
general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en
esta ciencia no radica en hallar la ms grande perfeccin o complejidad, sino al
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contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representacin y la
comprobacin. A medida que las matemticas avanzan, se han encontrado
ms y ms relaciones entre partes que se haban desarrollado por separado
por ejemplo, entre las representaciones simblicas del lgebra y las
representaciones espaciales de la geometra. Estas interconexiones hacen
posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes
de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial
de toda la estructura.
Las matemticas son tambin una ciencia aplicada. Muchos matemticos
dedican sus energas a resolver problemas que se originan en el mundo de la
experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso
utilizan tcnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente
terica. La diferencia es en gran medida de propsito. En contraste con las
matemticas tericas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podran
estudiar la pauta del intervalo de los nmeros primos para desarrollar un nuevo
sistema para codificar informacin numrica, ms que como un problemaabstracto. Tambin podran abordar el problema sobre el rea/volumen como
un paso en la concepcin de un modelo para el estudio del comportamiento del
cristal.
Los resultados de las matemticas tericas y aplicadas con frecuencia influyen
entre s. A menudo los descubrimientos de los matemticos tericos tienen un
valor prctico no previsto algunas veces dcadas despus. Por ejemplo, el
estudio de las propiedades matemticas de acontecimientos que ocurren al
azar condujo al conocimiento que ms tarde hizo posible mejorar el diseo de
los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar
de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios del telfono de larga
distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las
matemticas de redes complejas. Las matemticas tericas, a diferencia de
otras ciencias, no estn restringidas por el mundo real, pero a la larga
contribuyen a entenderlo mejor.
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H) MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA
Debido a su abstraccin, las matemticas son universales en un sentido en que
no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones tiles en
los negocios, la industria, la msica, la historia, la poltica, los deportes, la
medicina, la agricultura, la ingeniera y las ciencias naturales y sociales. Es
muy amplia la relacin entre las matemticas y los otros campos de la ciencia
bsica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes:
La relacin entre la ciencia y las matemticas tiene una larga historia,que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemticas
problemas interesantes para investigar, y stas le brindan a aqulla
herramientas poderosas para el anlisis de datos. Con frecuencia, los
modelos abstractos que han sido estudiados por los matemticos, por el
puro inters que despiertan han resultado ser muy tiles para la ciencia
tiempo despus. La ciencia y las matemticas estn tratando de
descubrir pautas y relaciones
Las matemticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje
simblico matemtico ha resultado ser en extremo valioso para expresar
las ideas cientficas sin ambigedad. La declaracin a = F/m no es slo
una manera abreviada de decir que la aceleracin de un objeto depende
de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado
preciso de la relacin cuantitativa entre esas variables. Ms importante
an, las matemticas proporcionan la gramtica de la ciencia las reglaspara el anlisis riguroso de ideas cientficas y datos.
Las matemticas y la ciencia tienen muchas caractersticas en comn.
Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interaccin de
imaginacin y lgica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la
importancia decisiva de la crtica de los compaeros; el valor atribuido a
ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el mbito
internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras
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electrnicas, ser capaz de utilizar la tecnologa para abrir nuevos
campos de investigacin.
Las matemticas y la tecnologa tambin han desarrollado una relacinproductiva mutua. Las matemticas de las relaciones y cadenas lgicas,
por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseo del hardware
computacional y a las tcnicas de programacin. Las matemticas
tambin ayudan de manera importante a la ingeniera, como en la
descripcin de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser
simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las
caractersticas del diseo y las condiciones de operacin como un mediopara encontrar diseos ptimos. Por su parte, la tecnologa
computacional ha abierto reas totalmente nuevas en las matemticas,
aun en la misma naturaleza de la comprobacin, y tambin contina
ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes.
I) LA INVESTIGACIN MATEMTICA
El uso de las matemticas para expresar ideas o resolver problemas
comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta
algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas
de lgica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas
relaciones indican algo til sobre las cosas originales.
Abstraccin y representacin simblica
El pensamiento matemtico comienza con frecuencia con el proceso de
abstraccin esto es, observar una similitud entre dos o ms acontecimientos u
objetos. Los aspectos que tienen en comn, ya sea concretos o hipotticos, se
pueden representar por smbolos como los nmeros, letras, otros signos,
diagramas, construcciones geomtricas o incluso palabras. Todos los nmeros
son abstracciones que representan el tamao de conjuntos de cosas y
sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El crculo como concepto esuna abstraccin derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeas
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que se expanden; la letra A puede ser una abstraccin para el rea de objetos
de cualquier forma, para la aceleracin de todos los objetos mviles o para
aquellos que tienen una propiedad especfica; el smbolo + representa un
proceso de adicin, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o
naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen slo a partir
de objetos o procesos concretos; tambin pueden realizarse con base en otras
abstracciones, como las clases de nmeros (los nmeros pares, por ejemplo).
Tal abstraccin permite a los matemticos concentrarse en ciertas
caractersticas de los objetos, adems de que les evita la necesidad de guardar
continuamente otras en su mente. En lo que a las matemticas se refiere, no
importa si un tringulo representa el rea de un velero o la convergencia de dos
lneas visuales sobre una estrella; los matemticos pueden trabajar con ambos
conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy til
siempre y cuando al hacer la abstraccin se ponga cuidado en no soslayar las
caractersticas que juegan un papel importante en la determinacin de los
resultados de los sucesos que se estn estudiando.
Manipulacin de los enunciados matemticos
Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las
representaciones simblicas de ellas, los smbolos se pueden combinar y
recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con
exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo;
en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que
sucede. A veces, una manipulacin apropiada se puede identificar fcilmente a
partir del significado intuitivo de las palabras y smbolos de que se compone; en
otras ocasiones, una serie til de manipulaciones se tiene que resolver por
tanteo.
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Es comn que el conjunto de smbolos se combine en enunciados que
expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el smbolo A para el rea de
cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud
del lado del cuadrado, para formar la expresin A = s2. Esta ecuacin
especfica de qu manera se relaciona el rea con el lado y tambin implica
que no depende de nada ms. Las reglas del lgebra comn se pueden utilizar,
entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un
cuadrado, el rea de ste se cuadruplica. En s, este conocimiento hace posible
que se descubra lo que le sucede al rea de un cuadrado sin importar cunto
vare la longitud de sus lados y, por el contrario, cmo cualquier cambio en el
rea afecta a los lados.
El discernimiento matemtico en las relaciones abstractas ha aumentado a lo
largo de miles de aos y todava sigue amplindose y en ocasiones se revisa.
Aunque las matemticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y
medir, han evolucionado a travs de muchas etapas de abstraccin y ahora
dependen mucho ms de la lgica interna que de la demostracin mecnica.Entonces, en cierto sentido, la manipulacin de las abstracciones es casi un
juego: comenzar con algunas reglas bsicas, despus hacer
cualquier
Movimiento que las cumpla el cual incluye la invencin de reglas adicionales y
encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar lasideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lgicamente
con las dems.
Aplicacin
Los procesos matemticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a
partir de los cuales se obtendran profundizaciones de la cosa misma.
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Cualquier relacin matemtica que se obtenga por medio de la manipulacin de
enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que
se est modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres,
y la operacin matemtica abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la
respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de
azcar se aaden tres tazas de t caliente y se realiza la misma operacin,
cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado slo un
poco ms de cuatro tazas de t muy dulce. La simple suma de volmenes es
apropiada para la primera situacin, pero no para la segunda lo que podra
haberse predicho slo conociendo algo sobre las diferencias fsicas en los dos
casos. As, para utilizar e interpretar bien las matemticas, es necesario estar
interesado en algo ms que la validez matemtica de las operaciones
abstractas, as como tomar en consideracin qu tan bien se corresponden con
las propiedades de las cosas que representan.
Algunas veces, el sentido comn es suficiente para decidir si los resultados de
las matemticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de unajoven cuando tenga 20 aos si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa
de 2.54 cm por ao, el sentido comn sugiere rechazar la respuesta simple de
"tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algn
otro modelo matemtico, como las curvas que aproximan valores restrictivos.
Sin embargo, en ocasiones, puede ser difcil saber qu tan correctos son los
resultados matemticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la
bolsa de valores, o los terremotos.
Con frecuencia, sucede que una sesin de razonamiento matemtico no
produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la
manera en que se hizo la representacin o en las mismas operaciones. De
hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrs y no hay reglas
que determinen cmo se debe proceder. El proceso avanza tpicamente a
empujones, con muchas vueltas errneas y callejones sin salida. Este proceso
contina hasta que los resultados son suficientemente buenos.
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Pero, qu grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la
forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y elposible costo de modelar y estimar una respuesta ms precisa. Por ejemplo, un
error de 1% al calcular la cantidad de azcar en una receta para pastel podra
ser insignificante, pero un grado de error similar en el clculo de la trayectoria
de una sonda espacial podra resultar desastroso. Sin embargo, la importancia
de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemticos
para estimar qu tan lejos podran llegar los resultados y cunto clculo se
requerira para obtener el grado de precisin deseado.
J) DEFINICIN DE MATEMTICA FINANCIERA
La Matemtica Financiera es una derivacin de la matemtica aplicada que
estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el
tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de
evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. Llamada tambinanlisis de inversiones, administracin de inversiones o ingeniera econmica.
En este texto debe comprenderse las Matemticas financieras como: Conjunto
de herramientas matemticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la
viabilidad o factibilidad econmica y financiera de los proyectos de inversin.
K) CONCEPTOS BSICOS
Factibilidad Econmica
La factibilidad econmica de un proyecto de inversin tiene que ver con la
bondad de invertir recursos econmicos en una alternativa de inversin, sin
importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluacin, se analizala decisin de inversin independiente del dueo del proyecto, se enfatiza
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nicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el
origen de estos.
. Factibilidad Financiera
En la factibilidad financiera del proyecto de inversin se evala el retorno para
los dueos. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la
inversin efectuada exclusivamente por el dueo, obtiene la rentabilidad
esperada por l.
Factibilidad Econmica versus Factibilidad Financiera
En el mbito de la evaluacin de proyecto es de vital importancia comprender
que a cada decisin de inversin, corresponde una decisin de financiacin.
Con la condicin fundamental de que la rentabilidad de la inversin, debe
satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisin de
inversin, como ya se mencion, tiene que ver con la estructura operativa de laempresa y con una de las funciones de la Administracin financiera que es
definir donde invertir. Para poder tomar la decisin de invertir hay necesidad de
definir los indicadores de gestin financiera que permitan establecer si la
empresa cumple con su objetivo financiero bsico y si los proyectos de
inversin que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisin de
financiacin, otra de las decisiones fundamentales de la administracin, tienen
que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructurase refiere a los dueos de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene
un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar
la estructura financiera del proyecto, interesa disear indicadores financieros
que permitan identificar si los inversionistas o dueos de la empresa estn
alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan nimo de lucro,
es ganar ms dinero ahora y en el futuro.
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Valor Econmico Agregado
Solamente, cuando la rentabilidad de la inversin supere el costo de capital
promedio ponderado, se generara valor econmico para los propietarios de laempresa. nicamente en este evento los inversionistas estn satisfaciendo sus
expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.
Proyecto de Inversin
Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de
obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo.
Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de
inversin, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de
efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperacin de las
inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y adems obtener una
rentabilidad deseada por los dueos del proyecto, de acuerdo a los niveles del
riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un
resultado esperado no se produzca. Cuanto ms alto sea el nivel de riesgo,tanto mayor ser la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se
desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.
Relaciones de la matemtica financiera con otras disciplinas
La matemtica financiera, Es una rama de la matemtica aplicada que estudia
el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital,
tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o inters, al brindarle herramientas
y mtodos que permitan tomar la decisin ms correcta a la hora de una
inversin.
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Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y
comunica la informacin econmica de una organizacin o empresa, con el fin
de que las personas interesadas puedan evaluar la situacin de la entidad.
Relacin: Suministra en momentos precisos o determinados, informacin
razonada, en base a registros tcnicos, de las operaciones realizadas por un
ente privado pblico, que permitan tomar la decisin ms acertada en el
momento de realizar una inversin.
Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que estn
sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee
diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las
matemticas financieras.
Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a lastransacciones realizadas en los negocios.
Relacin: En sus leyes se encuentran artculos que regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y martimos, seguros, corretaje,
garantas y embarque de mercancas; que representan instrumentos esenciales
en las finanzas.
Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a laproteccin y defensa de la persona y de los fines que son propios de sta.
Relacin: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden
adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas,
prstamos a inters; que representa el campo de estudio de las matemticas
financieras, es decir, todas las transacciones econmicas que estudia esta
disciplinas.
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Economa: Es una ciencia social que estudia los procesos de produccin,
distribucin, comercializacin y consumo de bienes y servicios; es decir,
estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas.
Relacin: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en
los cuales, un negocio o empresa, podra obtener mayores beneficios
econmicos.
Ciencia poltica: es una disciplina que estudia el estudio sistemtico del
gobierno en su sentido ms amplio. Abarca el origen de los regmenes
polticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los
gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconmicos y las
interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento,
mantenimiento y cambio de los gobiernos.
Relacin: Las ciencias polticas estudian y resuelven problemas econmicos
que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e
instituciones en manos de los gobiernos. Las matemticas financieras auxiliana esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones,
presupuestos, ajuste econmico y negociaciones que beneficien a toda la
poblacin.
Ingeniera: Es l termino que se aplica a la profesin en la que el conocimiento
de las matemticas y la fsica, alcanzado con estudio, experiencia y prctica, se
aplica a la utilizacin eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.
Relacin: Esta disciplina controla costos de produccin en el proceso fabril, en
el cual influye de una manera directa la determinacin del costo y depreciacin
de los equipos industriales de produccin.
Informtica: es el campo de la ingeniera y de la fsica aplicada relativo al
diseo y aplicacin de dispositivos, por lo general circuitos electrnicos, cuyo
funcionamiento depende del flujo de electrones para la generacin,
transmisin, recepcin y almacenamiento de informacin.
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Relacin: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos
manuales que estn relacionados con movimientos econmicos, inversiones y
negociaciones.
Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales
cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una
determinada cantidad monetaria.
Relacin: esta disciplina trabaja con activos financieros o ttulos valores e
incluyen bonos, acciones y prstamos otorgados por instituciones financieras,
que forman parte de los elementos fundamentales de las matemticas
financieras.
Sociologa: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la funcin de
la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las
instituciones y los problemas de ndole social influyen en la sociedad.
Relacin: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una
buena administracin de los recursos tanto humano como material. La
matemtica financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociologalas herramientas necesarias para que esas empresas produzcan ms y
mejores beneficios econmicos que permitan una mejor calidad de vida de la
sociedad
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II. CAPITULO II
GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES
En el presente captulo se muestran algunas de las generalidades ms
importantes de las anualidades.
A) OBJETIVOS
Dar a conocer la definicin de anualidad.
Establecer los conceptos relacionados en el desarrollo de las anualidades,
su aplicacin, las pocas de valuacin de las anualidades y el objeto de
clculo de stas.
B) DEFINICIN DE ANUALIDADES
Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y peridicos.Tambin se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos
cuyo fin es proporcionar la base para el pago de una cantidad.
La palabra anualidad da la idea de perodos anuales; sin embargo son
anualidades siempre y cuando sean perodos regulares, no importando que
sean anuales o no (Perodos menores o mayores a un ao). Por ejemplo:
Una anualidad cuyos pagos peridicos se realizan al final de cada
ao y de Q. 500.00 cada uno.
- 1 ao - - 1 ao - - 1 ao - - 1 ao -
500 500 500 500
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Una anualidad cuyos pagos peridicos de Q. 150.00 se realizan al final de
cada 6 meses.
Una anualidad cuyos pagos peridicos de Q. 2,500.00 se realizan al final
de cada 2 aos.
En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades,
pagos de igual valor por perodos regulares, no necesariamente de un ao, enlos ltimos dos casos.
En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar ms de una
anualidad en una serie de pagos por ejemplo:
Dos anualidades en las que los pagos se estn haciendo al final de cada
1.5 aos, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una
anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q.
5,800.00
- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -
150 150 150 150
- 2 aos - - 2 aos - - 2 aos - - 2 aos -
2,500 2,500 2,500 2,500
- 1.5 aos - - 1.5 aos - - 1.5 aos - - 1.5 aos -
800 800 2,800 2,800
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Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno,
pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada ao.
C) OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES
Intervalo o Perodo de Pago
Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen
anualidades con perodos de pago iguales a un ao, menores de un ao y con
perodos de pago mayores a un ao.
- 6 meses - - 6 meses - - 1 ao - - 1 ao -
800 800
- 6 meses -
800 800 800
1 2
1 2
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Plazo de la Anualidad
Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer perodo de pago y el final
del ltimo perodo de pago de la anualidad.
Renta
Es el pago peridico de la anualidad.
D) PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES
Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por
ejemplo: los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos
de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos,
las amortizaciones de crditos otorgados, las compras al crdito de vehculos
mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.
E) POCAS DE VALUACIN DE LAS ANUALIDADES
Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se vala al inicio o al
final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuacinal inicio del plazo.
Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuacin debe realizarse al final de
la serie de pagos. Tambin puede evaluarse en perodos intermedios y
determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o
valores actuales si se desea conocer lo que est pendiente de amortizar a esa
fecha. Por ejemplo:
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Cuando la valuacin se realiza al inicio y al final de la anualidad.
Cuando la valuacin se realiza en perodos intermedios. Si se quiere
conocer lo acumulado a la fecha de valuacin se determina el monto delos pagos efectuados.
Cuando la valuacin se realiza en perodos intermedios. Si se quiere
conocer lo que est pendiente de amortizar a la fecha de valuacin, sedetermina el valor actual de los pagos que an no se han hecho.
F) OBJETO DE CLCULO DE LAS ANUALIDADES
Bsicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulacin de los
pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos peridicos por valores
iguales o cuotas niveladas.
A S
Valor Actual Monto
Inicio Final
S
Fecha de Valuacin
Inicio Acumulacin Parcial
A
Valor Actual
Saldo pendiente deamortizar
Final
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G) ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES
ELEMENTO SMBOLO
Monto S
Valor Actual A
Renta R
Tiempo N
No. de pagos en el ao P
Tasa efectiva de inters I
Tasa nominal de inters J
No. de capitalizaciones en el ao M
Perodo de diferimiento Y
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III. CAPITULO III
CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADES
A continuacin se la clasificacin de las anualidades:
A) OBJETIVOS
Conocer las diferentes anualidades que pueden desarrollarse.
Establecer las principales diferencias entre las anualidades.
Aprender a identificar los tipos de anualidades que se presentan.
B) ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO
Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los
pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.
C) EN FUNCIN DE LA POCA DE PAGO DE CADA RENTA
Vencidas u ordinarias
Cuando la renta se efecta al final de cada perodo de pago. Por ejemplo los
pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de ao, los pagos al final de
cada semestre, etc.
Anticipadas o inmediatas
Cuando la renta se efecta al inicio de cada perodo de pago. Por ejemplo los
pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada ao, al inicio de cadasemestre, etc.
R R R R
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Diferidas
Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un
perodo sin que se efecte amortizacin alguna. Estas anualidades diferidas
pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.
Diferidas vencidas
Diferidas anticipadas
R R RR
R R
En estos perodos no se hacen pagos.
Perodo de diferimiento
RR
En estos perodos no se hacen pagos.
Perodo de diferimiento
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El perodo de diferimiento deber aplicarse nicamente a las frmulas del valor
actual o sus derivadas y no as para las del monto.
Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las
capitalizaciones de inters
Un pago de renta en el ao y tasa de inters efectiva
Un pago de renta en el ao y tasa de inters nominal
Varios pagos en el ao y tasa de inters efectiva.
Varios pagos en el ao y tasa de inters nominal.
Pagos por perodos mayores de un ao y tasa de inters efectiva.
Pagos por perodos mayores de un ao y tasa de inters nominal.
D) ATENDIENDO LA VARIABILIDAD DE LOS PAGOS DE RENTA
Constantes
Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo.
Variables
Cuando el valor de la renta vara atendiendo leyes matemticas, por lo que
pueden ser en progresin aritmtica y en progresin geomtrica, en amboscasos pueden presentarse de forma creciente o decreciente.
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E) ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO
Rentas perpetuas
Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es
infinito, por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los
pagos de renta se toman de los intereses generados en un determinado
tiempo. En este tipo de anualidades no se puede determinar el monto por
desconocerse el tiempo de finalizacin de la serie de pagos.
Costo capitalizado
Se le denomina as a la inversin necesaria para adquirir un activo y al mismo
tiempo estar en condicin de reemplazarlo cada determinado perodo de aos
en forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo ms el valor
actual de infinito nmero de renovaciones. Para interpretar los resultados de
dos alternativas a elegir se deber considerar la que presente el menor costocapitalizado.
Costos equivalentes
Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que
debe ser reemplazado cada perodo de aos de manera que dicho desembolso
en perodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la
misma utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.
Lmite de gastos para alargar la vida til de un activo
Constituye un indicador financiero que determina el lmite de gastos que puede
adicionarse para prolongar la vida til de un activo en comparacin con el costo
de preposicin de un activo similar cuya vida til est relacionada con el
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nmero de aos que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogacin
que justificadamente se puede hacer para prolongar la vida til de un activo sin
alterar su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cundo
conviene prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.
F) ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES
Son aquellas cuyo inicio o finalizacin depende de un suceso cuya realizacin
no puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de
una persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.
Rentas vitalicias
Serie de pagos que me efectan durante el tiempo que la persona beneficiaria
se encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la
obligacin de pagar las rentas.
Dote pura
Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagar al cabo de n aos a
una persona de edad actual x a condicin, de que est entonces con vida.
Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque est
condicionado a que la persona de edad x cumpla x +n aos para recibirlo,
por tanto el precio justo est dado por la esperanza matemtica o depsito que
el individuo en cuestin debe efectuar hoy para recibirlo slo si se encuentra
con vida a la edad x + n.
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Seguros de vida
Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con
vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la sumaasegurada.
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IV. CAPITULO IV
PRONTUARIO DE FORMULAS DE ANUALIDADES
En el presente captulo se dan a conocer las diferentes frmulas a utilizar para
resolver las anualidades.
A) OBJETIVOS
Conocer las diferentes frmulas para el desarrollo de las anualidades.
Establecer la frmula necesaria para resolver cada tipo de anualidad que se
presente.
B) ANUALIDADES
Simbologa
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = R
Tiempo = n
No. de pagos en el ao = P
Tasa efectiva de inters = i
Tasa nominal de inters = j
No. de capitalizaciones en el ao = m
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Perodo de diferimiento = y
Monto
Valor actual
Renta en funcin del monto
Renta en funcin del valor actual
mn
(1 + j/m) - 1
S = R
FACTOR DE ANTICIPACIN
m/p
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
R =
FACTOR DE ANTICIPACIN
- m/p
m/p
A { (1 + j/m) - 1 }
R =
FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
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Tiempo en funcin del monto
Tiempo en funcin del valor actual
C) ANUALIDADES PAGADERAS CADA K AOS
Simbologa
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = W
Tiempo = n
No. de aos para cada pago = k
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
R *
=
* FACTOR DE ANTICIPACIN
m/p
1
m/p
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
* *
* * FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
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Tasa nominal de inters = j
No. de capitalizaciones en el ao = m
Perodo de diferimiento = y
Monto
Valor actual
Renta en funcin del monto
mn
(1 + j/m) - 1
S = W
FACTOR DE ANTICIPACIN
mk
- mn
1 - (1 + j/m)
A = W
FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
mk
(1 + j/m) - 1
W = S
FACTOR DE ANTICIPACIN
- mk
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Renta en funcin del valor actual
Tiempo en funcin del monto
Tiempo en funcin del valor actual
mk
(1 + j/m) - 1
W = A
FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
mk
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
W *
* FACTOR DE ANTICIPACIN
mk
1
mk
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
W * *
n =
* * FACTORES DE
ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO
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V. CAPITULO V
CASOS PRCTICOS DE ANUALIDADES
En el presente captulo se dan a conocer ejemplos de algunas anualidades que
se utilizan frecuentemente.
OBJETIVOS
1. Aplicar las frmulas establecidas en el captulo anterior.
2. Desarrollar de manera correcta los diferentes tipos de anualidades.
A) ANUALIDADES PAGADERAS EN PERIODOS MENORES O
IGUALES A UN AO
PROBLEMA NO. 1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.
Una empresa descuenta a sus empleados el 5% quincenal de sus sueldos,cantidad que deposita en una cuenta de depsitos monetarios de un banco del
sistema, con el propsito que al retirarse tengan una suma de dinero adicional
a la de sus prestaciones. Los depsitos son bimensuales por valor de Q.3,
000.00 cada uno, devengando el 10% anual de inters capitalizable cada
trimestre. Qu cantidad se ha acumulado hoy que han transcurrido 5 aos y 6
meses?
Resolucin:
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Problema no. 2 monto de una anualidad anticipada.
Un ganadero depositar Q. 12,000.00 al principio de cada semestre en su
cuenta bancaria, la que le abona el 6% de inters anual capitalizable cadacuatrimestre. Lo acumulado lo retirar cuando hayan transcurrido 5 aos. Qu
cantidad tendr acumulada al final del plazo?
Anualidades en funcin del valor actual anticipado
Le presentan el siguiente plan para la compra de su vehculo, tendr que
dar un enganche de Q.13, 250.00 y 11 pagos mensuales anticipados de
Q.1, 200.00, si la tasa cobrada es del 36% anual capitalizable
mensualmente Cul es el precio de contado del vehculo?
Anticipacin
Datos:
R=1200
J=0.36
M=12
n=11/12
p=12
A = R 1- (1+ j/m)-mn (1+ j/m)m/p -1
A = 1,200 1- (1+ 0.36/12)-12*11/12 (1+ 0.36/12)12/12 -1
A = 11,103.15 por factor de anticipacin
A = 11,436.24
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Enganche de Q.13, 250.00
Enganche: Q.13, 250.00
Valor Actual Q.11, 436.24
Total Q.24, 686.24
Anualidades en funcin del valor actual diferido
Se ofrece Mobiliario con las siguientes condiciones de pago: 20%
enganche y 5 pagos bimestrales vencidos de Q1, 100.00 cada uno, con el
18% anual de inters capitalizable cada 15 das, si el primer pago debe
hacerse al final del cuarto mes de la compra Cul es el precio de
contado?
diferimiento
Datos:
R=1,100
J=0.18
m =24
n = 10/12
p =6
y =2/12
A = R 1- (1+ j/m)-mn *(1+ j/m)-my (1+ j/m)m/p -1
A=1100 1-(1+0.18/24)-24*10/12*(1+ 0.18/24)-24 *2/12 (1+ 0.18/24)24/6 -1
A = 4,884.61
Enganche de Q.1, 221.15 20%
Valor actual Q.4, 884.61
Total Q.6, 105.76
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Renta En Funcin del Valor Actual
Determinar cul es el saldo pendiente de cancelacin al inicio de pago numero4 por un prstamo por valor de Q90, 000.00 por el cual se realizan 4 pagos
trimestrales en forma anticipada, si se sabe que la tasa de inters es del 22%
anual capitalizable 12 veces en el ao elaborar el cuadro correspondiente
Datos:
A= 90,000 R = A [(1+ j/m)m/p -1] * (1+ j/m)-m/pP= 4 1 -(1+ j/m) -mn
n= 1j= 0.22m= 12R=? R = 90,000 [(1+ 0.22/12)12/4 -1] *(1+ 0.22/12)-12/4
1 -(1+ 0.22/12) -12*1
R= 5041.30458332
0.1958807078
R= 25,736.61
#Abonos Pago Inters
Abono aK
CapitalPendiente
90,000.001 25,736.61 5,041.30 20,695.31 69,304.692 25,736.61 3,882.07 21,854.54 47,450.153 25,736.61 2,657.90 23,078.71 24,371.444 25,736.61 1,365.15 24,371.46 ----------- --------
Renta en Funcin del Monto
Se est formando un fondo para redimir a su vencimiento el capital de una
emisin de bonos por Q2,580,000.00 hace cuatro aos se reiniciaron depsitos
mensuales anticipados en una institucin que reconoce el 15% anual de inters
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capitalizable mensualmente. Si el plazo para el pago de las obligaciones vence
dentro de ocho aos determine cuanto se tendr reunido al vencimiento del
octavo ao de iniciados los depsitos
Datos:
S= 2,580,000.00 R = S [(1+ j/m)m/p -1] * (1+ j/m)-m/p
P= 12 (1+ j/m)mn -1
j= 15%
m= 12
n= 2 R = 2, 580,000[(1+ 0.15/12)12/12 -1]*(1+ 0.15/12)-
12/12
(1+ 0.15/12)12*2 -1
R= 2, 580,000[(1.0125)1 -1]*(1.0125)-1
(1.0125)14-1
R= 2, 580,000 * 0.002508767662 * 0.987654
R= 6,392.71
Datos:
R= 6,392.71 S = R [(1+ j/m)mn -1] * (1+ j/m)m/p
n= 8 (1+ j/m)m/p -1
j= 15%
m= 12
S= ? S = 6,392.71 [(1+ 0.15/12)12*8 -1] * (1+ 0.15/12)(1+ 0.15/12)12/12 -1
S = 6,392.71 [( 1.0125)96 -1] * ( 1.0125)
(1.0125) -1
S= 1,188,631.73
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Tiempo en funcin del Monto:
El Seor Diego Gramajo, desea contar con Q.200, 000.00 para construir su
casa. Para el efecto depositar Q 10,000.00 al inicio de cada ao, en un bancoque le reconocer el 18% anual de inters capitalizable trimestralmente. Qu
tiempo ser necesario para acumular la suma indicada?
Datos
n= ?
S= 200,000j= 0.18m= 4p= 1R= 10,000
(S[(1+j/m)m/p-1]Log {--------------------------------------- + 1}
R(1+j/m)m/p
n= --------------------------------------------------------------------m Log (1+j/m)
Log( 38,503.720125 + 1)11,925.186006
n= -------------------------------------------------------4 Log (1+0.18/4)
n= 0.6262143860590.076465161788
n= 8.18953849
R// El tiempo necesario para acumular la suma indicada ser de 8 aosy 69 das.
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Tiempo en funcin del Valor Actual
Una industria textil, obtuvo financiamiento por valor de Q1, 200,000.00 para lacompra de maquinaria. Las amortizaciones sern de Q. 186,000.00 cada tresmeses anticipadas. El primer abono lo har al inicio del primer trimestre deltercer ao de recibido el prstamo. La tasa que reconocer es del 26% anualcapitalizable semestralmente. Cul es el plazo en el que cancelar elprstamo?
Datos
A= 1,200,000R= 186,000y= 2j= 0.26m= 2p= 4n=?
1 .
1,200,000 [(1+0.26/2)2/4-1]Log {1[---------------------------------------------------------------------}
186,000 *(1+0.26/2)2/4 *(1+0.26/2)-2*2
n= --------------------------------------------------------------------2 Log (1+0.26/2)
1 .
Log { 1-[ 75617.497528157 ] }
121265.81559137n= ---------------------------------------------------------------------
0.1061568869
n= 3.99= 4 aos
R// El plazo en que cancelar el prstamo ser de 4 aos.
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B) PROBLEMA DE ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO
PAGADEROS EN PERODOS MAYORES DE UN AO
Valor actual anticipado diferido
Una empresa de importacin obtuvo un prstamo que tendr que pagar en 20
aos, mediante pagos de Q.42, 511.63 al final de cada 2 aos. La Institucin
financiera le cobra una tasa de inters del 18% anual capitalizable 4 veces en
el |ao. Cul fue el importe del prstamo?
Datos Frmula
A travs del monto
DATOS FRMULA
1-(0.18/4) .-4*20
A=42,511.63 (0.18/4) 4*2-1
A=42,511.63 0.97044052
0.422100612
A= 42,511.63*2.299073449
A= 97,737.38
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Tiempo en funcin del valor actual anticipado
Una persona recibo en prestamo del Banco Oro Q. 30,000. 00, ls que
cancelara por mdio de abonos de Q. 8,000.00 cada uno, al principio de cada
18 meses. Reconocer el 12% anual de inters con capitalizacin semestral
Durante cuanto tiempo deber hacer los pagos?
Datos
A = 30,0000.00
R = 8,000.00
J = 0.12
m = 2
k = 1.5n = ?
1_______
Log 1- A [( 1+ j/m)mk-1]
n = W*( 1+ j/m)mk __
m Log ( 1+j/m)
___________1______________Log 1- 30,000.00 [( 1+ 0.12/2)2x1.5-1]
(1+0.18/4) 4*20
A=42,511.63 (1+0.18/4) 4*2-1
32.83009643
A=42,511.63 0.422100612
S= 42511.63*77.77789383
S= 3,306,465.02
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n = 8,000*[( 1+ 0.12/2)2x1.5
2 Log ( 1+0.12/2)
___________1______________
Log 1- 30,000.00 [( 1.191016) -1]
n = 8,000* ( 1.191016) ______
2 Log ( 1.06)
___________1______________
Log 1- 30,000.00 (0.191016)
n = 9,528.128_______________
2 ( 0.02530586526)
___________1______________
Log 1- 5,730.48__
n = 9,528.128____________
0.05061173053
___________1______________
n = Log 1- 0.6014276886__________
0.05061173053
___________1______________
n = Log 0.3985723114_____________
0.05061173053
n = Log __2.508955016 __ n = 0.399928748_
0.05061173053 0.05061173053
n = 7.893286212 = 7 aos con 326 dias. R.
n = 0.893286212 x 365 = 326 dias
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CONCLUSIONES
Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulacin de los
pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos peridicos por valores
iguales o cuotas niveladas.
Al realizar un anlisis al mercado local, se puede visualizar una serie deproductos que estas entidades ofertan a potenciales compradores.
Existen muchas opciones para aplicar anualidades, dgase, por ejemplo
recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta ser
beneficiosa, financieramente hablando.
Como podemos ver las anualidades, siempre estarn relacionadas con
los prstamos, a pesar de que pueden surgir como obligaciones que no
necesariamente lo sean, pero tambin pueden ser aplicadas por los
mismos.
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RECOMENDACIONES
La aplicacin de herramientas financieras son la base para tomar
decisiones acertadas, para esto se necesita de un plan de accin en las
instituciones, ayudando a las empresas a tener un plan estructurado de
sus activos, pasivos, ingresos y gastos financieros.
Siempre ser importante ahondar dentro del tema, ya que en nuestra
investigacin se hace referencia a los elementos ms importantes y
bsicos de las anualidades, pero hay mucho ms que se puede
aprender al ahondar en el tema.
Al existir mucha oferta, el mercado carece de reglamentaciones, que
hagan que estos productos y servicios sean confiables. Para fiarse de
estos instrumentos financieros se necesita de herramientas matemticas
que dan el aval en la toma de decisiones.
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BIBLIOGRAFA
- www.project2061.org/esp/publications/bsl/online/ch2/ch2.htm
- http://home.galileo.edu/~tutor03540/Matem%E1ticas%20financieras%20
PUBLICACION.doc
- http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Leccion
es/Cap%201/Conceptos%20basicos.htm
- http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml
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CUESTIONARIO
1. Qu es una anualidad? R// a una serie de pagos iguales y peridicos.
2. Qu es intervalo o periodo de pago? R/ Es el tiempo que transcurre entre
un pago y otro de la anualidad.
3. Qu es el plazo de la anualidad? R// es el tiempo que transcurre desde el
inicio del primer periodo de pago y el final del ltimo periodo.
4. Qu es la renta? R// es el pago peridico de la anualidad.
5. Principales aplicaciones de las anualidades? R// Las anualidades son
utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo los pagos
mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y
salarios, las amortizaciones de crditos otorgados entre otros.
6. pocas de evaluacin de las anualidades? R// se evalan al inicio o al final
del plazo.
7. Anualidades en funcin de la poca de pago? R// se dividen en vencidas,
anticipadas, diferidas.
8. Atendiendo a la variabilidad de los pagos de la renta se dividen en? R//
Constantes y variables
9. Anualidades a plazo indefinido se dividen en? R// Rentas perpetuas, costo
capitalizado, costo equivalente.
10. Las anualidades contingentes o eventuales se dividen en? R// Rentas
vitalicias, dote pura y seguros de vida.
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ANALISIS
En las matemticas financieras es posible manejar cualquier operacin, evaluar
diversas alternativas de inversin con seis frmulas. Como una unidad, estas
seis frmulas, reciben el nombre de factores financieros. Estos seis factores
financieros derivan de la frmula general del inters compuesto.
Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son
fundamentales para el fortalecimiento de la institucin, razn por la cual deben
ser evaluados constantemente con el objeto de determinar el impacto que
producen en el entorno empresarial, realizar proyecciones financieras yestudios de nuevos proyectos.
Para este cometido, los factores financieros son de mucha utilidad y aplicacin.
Sirven para solucionar mltiples problemas financieros referidos al monto
compuesto, anualidades vencidas y anualidades adelantadas.
Por lo que llegamos a la conclusin que una anualidad es un flujo de caja con
montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los
movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares.
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