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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOÁngulo de dos rectas
Es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales
cos (
r , s) = cos
(ur ,
us ) cos (
r , s) = – cos
(ur ,
us )
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOExpresión analítica del ángulo de dos rectas
Sean r: c
zz
b
yy
a
xx 111 y s: ''' c
zz
b
yy
a
xx 222 . Entonces:
cos ( r , s) = |aa' + bb' + cc'|
a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOVector normal a un plano
Observamos que:AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A y B tenemos que:
• ax1 + by1 + cz1 + d = 0• ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [
AB] = 0
El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es decir
está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano.
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOÁngulo de dos planos
El ángulo de dos planos secantes y es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.
cos (
, ) = cos
(n ,
n) cos (
, ) = – cos
(n ,
n)
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOÁngulo de dos planos dados en forma general
Si Ax + By + Cz + D = 0 y A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:
cos (
, ) = |AA' + BB' + CC'|
A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOÁngulo de recta y plano
El ángulo de una recta r y un plano es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre
sen (
r , ) = cos
(ur ,
n) sen (
r , ) = cos
(–ur ,
n) = | cos
(ur ,
n) |
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOExpresión analítica del ángulo de recta y plano.
Sean r: x – x1
a = y – y1
b = z – z1
c y : Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:
cos (
r , ) = |aA + bB + cC|
a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATODistancia entre dos puntos
b
• B(x2, y2, z2)
a
•
A(x1, y1, z1)
d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)
2
AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)
a +
AB =
b
AB =
b –
a
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
= 0
P n = AQ n + QP n
Distancia punto - plano
Dado P (un punto) y un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.
Según la definición anterior: d(P, ) = d(P, Q)
AP =
AQ + QP
|
AP n|
|n|
=|Ax1 + By1 + Cz1 + D|
A2 + B2 + C2
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATODistancia entre dos planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.
d(, ) = d(P, ) = d(P, )
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
d (P, r) = d(P, Q) = |QP| =
|
ArP x ur |
|ur |
=
= 0
rP x ur =
ArQ x
ur +
QP x
ur
|(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)||(a, b, c)|
Distancia punto - recta
Dado P (un punto) y runa recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de
Q sobre la recta.
ArP =
ArQ +
QP
(a, b, c)
(xo , y
o , zo )
(x1, y1, z1)
Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATODistancia entre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.
d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)
s
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
Como el vector AB (2, –7, 3) es normal al plano mediador 2x – 7y + 3z + D = 0
M es el punto medio del segmento AB: por tanto M(2, –3/2, 9/2) Como ha de pasar por M: 4 + 21/2 + 27/2 + D = 0 D = – 28 Por tanto 2x – 7y + 3z = 28 es el plano buscado
Plano mediador
Se define el plano mediador de un segmento como el plano perpendicular en su punto medio.
Ecuación del plano mediador como lugar geométrico
P d(P, A) = d(P, B)
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z - 3)2 = (x – 3)2 + (y + 5)2 + (z – 6)2
Eliminando radicales obtenemos la ecuación del plano buscado:
2x – 7y + 3z = 28(1, 2, 3) (3, –5, 6)
• P (x, y, z)
Ecuación del plano mediador algebraicamente
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOPlanos bisectores de un ángulo diedro
Los planos bisectores se pueden definir como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos que forman el diedro
Por tanto: P(x, y, z) plano bisector d(P ± d(P
Al eliminar radicales de estas dos ecuaciones obtenemos las ecuaciones de los dos planos bisectores.
• P(x, y, z)
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATODistancia entre dos rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa
por s y el plano paralelo a s que pasa por r.
• d(r, s) = d(As, )
d (P, ) = |
AP n|
|n|
• Como sabemos que
Tomamos A = Ar ; P = As ; n =
ur x
us•
Partiendo de la figura
Y nos quedará:
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOPerpendicular común
La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.
r
s
us
ur
• Ar
• As
ur x us
p
• La recta p, perpendicular común, queda determinada por el corte de los planos y
• Se observa quer, ur, ur x us)
s, us, ur x us)
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOÁreas de paralelogramos y triángulos
S(ABCD) = | AB x AC |
S(ABC) = |AB x AC|
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Paralelogramos
Triángulos
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6 Propiedades métricas Matemáticas II
2.º BACHILLERATOVolumen de paralelepípedos y tetraedros
Paralelepípedo
Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) . base . altura
Altura = h = |AD| cos(AD, h)
Por tanto:
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Base = S(ABC) = |AB x AC|
V = | det (AB, AC, AD) |
V= |AD . (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|1
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