View
149
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
课前冲浪. 1. 如图,四边形 ABCD 是等腰梯形, AD ∥ BC 。已知 ∠ B=60° , AD=15 , AB=45 ,则 BC= 。. 2. ( 2010· 大理中考)如图,在梯形 ABCD 中, AD∥BC,AC 交 BD 于点 O ,要使它成为等 腰梯形需要添加的条件是( ) ( A ) OA=OC ( B ) AC=BD ( C ) AC⊥BD ( D ) AD=BC - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1. 如图,四边形 ABCD 是等腰梯形, AD∥
BC 。已知∠ B=60° , AD=15 , AB=45 ,
则 BC= 。
课前冲浪
2. ( 2010· 大理中考)如图,在梯形 ABCD
中, AD∥BC,AC 交 BD 于点 O ,要使它成为等
腰梯形需要添加的条件是( )
( A ) OA=OC ( B ) AC=BD
( C ) AC⊥BD ( D ) AD=BC
【解析】选 B.因为四边形 ABCD 是梯形, AD∥BC, 所以需要
添加的条件为 AB=CD 或 AC=BD 或∠ ABC=∠DCB 等,所以选 B.
3. ( 2010· 达州中考 ) 如图,在一块形
状为直角梯形的草坪中,修建了一条
由 A→M→N→C 的小路( M 、 N 分别是 AB 、
CD 中点) . 极少数同学为了走“捷径”,
沿线段 AC 行走,破坏了草坪,实际上他们仅少走了 ( )
(A)7 m (B)6 m (C)5 m (D)4 m
【解析】选 B.如图,由勾股定理得
作 DE⊥BC 于 E,
则 CE=16-11=5 ( m) ,
DE=AB=12 ( m) ,
∴ 又 MN 为梯形 ABCD 的中位线,
∴MN= AM=6 ( m),
CN=6.5 m,A→M→N→C 的小路的长度为 6+13.5+6.5=26(m),
∴26-20=6 ( m) .
2 2AC AB BC 20 m , ( )
2 2CD DE CE 13 m , ( )
11 1613.5 m
2
( ),
4 。如图,在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90°, ∠B =60° , BC=2 .点 0 是 AC 的中
点,过点 0 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始,绕点 0 作逆时针旋转,交 AB 边
于点 D. 过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于点 E ,设直线 l 的旋转角为 α.
(1)① 当 α=____ 度时,四边形 EDBC 是等腰梯形,
此时 AD 的长为 _____ ;
② 当 α=____ 度时,四边形 EDBC 是直角梯形,
此时 AD 的长为 ______ ;
(2) 当 α=90° 时 , 判断四边形 EDBC 是否为菱形,
并说明理由.
5. ( 2011· 宿迁中考)如图,在梯形 ABCD
中, AB∥DC ,∠ ADC 的平分线与∠ BCD 的平
分线的交点 E 恰在 AB 上 . 若 AD=7 cm , BC=8 cm ,则 AB
的长度是 _________cm.
【解析】因为 AB∥DC ,所以∠ AED=∠EDC, 又 DE 是∠ ADC 的
平
分线,所以∠ ADE=∠EDC ,所以∠ AED=∠ADE ,所以 AE=AD=
7 cm ;同理 EB=BC=8 cm ,所以 AB=AE+EB=7+8=15(cm).
答案 :15
6. ( 2011· 呼和浩特中考)如图所示,在
梯形 ABCD 中, AD∥BC , CE 是∠ BCD 的平分
线,且 CE⊥AB , E 为垂足, BE=2AE ,若四
边形 AECD 的面积为 1 ,则梯形 ABCD 的面积
为 ___________.
【解析】如图,延长 BA, CD 相交于点 F,因
为 CE 是∠ BCD 的平分线,且 CE⊥AB ,所以
CF=CB ,因为 BE=2AE ,所以 AF=AE ,因为
AD∥BC ,所以△ FAD∽△FBC,S△FAD∶
S△FBC=1∶16 ,所以 S 四边形 ADCE∶S 四边形 ADCB=7∶15. 因为四边形
AECD 的面积为 1,所以四边形 ABCD 的面积为
答案 :
15.
715
7
【例 1 】 (2010· 鸡西中考)综合实践活动课上 , 老师让同学
们
在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形 , 即“梯形
ABCD , AD∥BC , AD=2 分米, 梯形
的高是 2 分米”.请你计算裁得的梯形 ABCD 中 BC 边的长度.
【思路点拨】作梯形的高,分情况讨论即可 .
AB 5 CD 2 2 分米, 分米,
梯形的有关计算
【自主解答】如图 ,AE 和 DF 为梯形 ABCD 的高,可知
EF=AD=2 分米
应分以下三种情况 :
①如图 1,利用勾股定理可求出 BE=1 分米, CF=2 分米,
∴BC=BE+EF+FC=5 分米
②如图 2,利用勾股定理可求出 BE=1 分米, CF=2 分米,
∴BC=EF-BE+FC=3 分米 .
③如图 3,利用勾股定理可求出 BE=1 分米, CF=2 分米,可
得到 C与 E重合 .
∴BC=1 分米 .
1. ( 2011· 湖州中考)如图,已知梯形 ABCD ,
AD∥BC, 对角线 AC , BD 相交于点 O ,△ AOD 与
△BOC 的面积之比为 1∶9 ,若 AD=1 ,则 BC 的
长是 _______.
【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方 .由于它们
的面积之比是 1∶9,所以 AD∶BC=1∶3 ,从而可求出 BC=3.
答案 :3
练习:
2. ( 2011· 陕西中考)如图,在梯形 ABCD 中,
AD∥BC ,对角线 AC⊥BD ,若 AD=3 , BC=7 ,则
梯形 ABCD 面积的最大值为 _______.
【解析】设 AC、 BD 的交点为 F, 过 D作 DE∥AC 交 BC 的延长
线于 E, DH⊥BC 于 H,
∵DE∥AC , AD∥BC ,
∴四边形 ADEC 是平行四边形,
∴AC=DE , AD=CE=3 ,∠ BFC=∠BDE=90°,△ADC≌△ECD,
∴S△ADC=S△DCE.
∵S△ABD=S△ADC,∴S△ABD=S△DCE.
即梯形 ABCD 的面积与△ BDE 的面积相等 .
在 Rt△BDE 中,∵ BE=BC+AD=10 ,
∴当 Rt△BDE 为等腰直角三角形时, BE边上的高最大,面积
也
最大,即当 BD=DE 时,梯形 ABCD 的面积最大 .
∴
∴梯形的面积的最大值是
答案 :25
1 1BH EH 3 7 5,DH BE 5.
2 2
1 1(AD BC) DH 10 5 25.2 2
g
【例 2 】 (2011· 芜湖中考)如图 , 在梯形
ABCD 中 ,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ ABC,
∠A=60°. 过点 D 作 DE⊥AB, 过点 C 作
CF⊥BD, 垂足分别为 E 、 F ,连结 EF ,
求证:△ DEF 为等边三角形 .
【思路点拨】
等腰梯形的性质
【自主解答】因为 DC∥AB , AD=BC ,∠ A=60°, 所以∠ ABC=
∠A=60°, 又因为 BD 平分∠ ABC ,所以
∠ABD=∠CBD=
因为 DC∥AB, 所以∠ BDC=∠ABD=30°,
所以∠ CBD=∠CDB, 所以 CB=CD.
因为 CF⊥BD ,所以 F为 BD 的中点 ,
又因为 DE⊥AB ,所以 DF=BF=EF.
由∠ ABD=30° ,得∠ BDE=60° ,
所以△ DEF 为等边三角形 .
1ABC 30 .
2
3. ( 2011· 邵阳中考)如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,
AB∥CD , AD=BC , AC⊥BC ,∠ B=60° , BC=2 cm ,
则上底 DC 的长是 _________cm.
【解析】∵ AC⊥BC ,∠ B=60° ,∴∠ BAC=30° ,
∵AB∥CD ,∴∠ DCA=∠BAC=30° ,∵ AD=BC ,
∴∠DAB=∠B=60° ,∴∠ DAC=30° ,
∴∠DAC=∠DCA ,∴ DC=AD=BC=2 cm.
答案 :2
4. ( 2011· 温州中考)如图,在等腰梯
形 ABCD 中, AB∥CD ,点 M 是 AB 的中点 .
求证:△ ADM≌△BCM.
【证明】在等腰梯形 ABCD 中, AB∥CD ,
∴AD=BC ,∠ A=∠B.∵点 M是 AB 的中点,
∴MA=MB.∴△ADM≌△BCM.
【例 3 】 (2010· 南充中考)如图,梯形 ABCD
中, AD∥BC ,点 M 是 BC 的中点,且 MA = MD .
求证:四边形 ABCD 是等腰梯形.
【思路点拨】
等腰梯形的判定
【自主解答】∵ MA= MD ,
∴△MAD 是等腰三角形,∴∠ DAM =∠ ADM .
∵AD∥BC ,∴∠ AMB =∠ DAM ,∠ DMC =∠ ADM .
∴∠AMB =∠ DMC .
又∵点 M是 BC 的中点,∴ BM = CM .
在△ AMB 和△ DMC 中,
∴△AMB≌△DMC.
∴AB= DC ,∴四边形 ABCD 是等腰梯形.
AM DM
AMB DMC,
BM CM
5. ( 2011· 盐城中考)将两个形状相同的三角板放置在一
张矩形纸片上,按图示画线得到四边形 ABCD ,则四边形 AB
CD 的形状是 ___________.
【解析】由图可知 AD∥BC , AB 与 CD 不平行,则四边形 ABCD
为梯形,而∠ ABC=∠DCB ,所以四边形 ABCD 为等腰梯形 .
答案 :等腰梯形
【例】( 2009· 济南中考)如图,在梯形
ABCD 中, AD∥BC,AD=3,DC=5,
∠B=45°. 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每
秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动;动点 N 同时从 C 点出发
沿
线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动 . 设运动的
时
间为 t 秒 .
(1) 求 BC 的长; (2) 当 MN∥AB 时,求 t 的值;
(3) 试探究: t 为何值时,△ MNC 为等腰三角形 .
AB 4 2,
【自主解答】 (1) 如图 1,过 A、 D分别作 AK⊥BC 于 K,DH⊥
BC 于 H,则四边形 ADHK 是矩形,
∴KH=AD=3,
在 Rt△ABK 中,
AK=AB·sin45°=
BK=AB·cos45°
24 2 4,
2
24 2 4,
2
在 Rt△CDH中,
由勾股定理得
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2) 如图 2,过 D作 DG∥AB 交 BC 于点 G,
则四边形 ADGB 是平行四边形,
∵MN∥AB,∴MN∥DG,
∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,
2 2HC 5 4 3,
由题意知,当 M、 N运动 t秒时, CN=t,CM=10-2t,
∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC, 又∠ C=∠C,
∴△MNC∽△GDC,∴
即
(3) 分三种情况讨论:
①当 NC=MC 时,如图 3,
此时 t=10-2t,∴
CN CM,
CD CG
t 10 2t 50, t .
5 7 17
解得
10t .
3
②当 MN=NC 时,如图 4,过 N作 NE⊥MC 于 E,过 D作 DH⊥B
C 于 H
方法一:由等腰三角形三线合一性质得
在 Rt△CEN 中,
又在 Rt△DHC 中,
1 1EC MC 10 2t 5 t
2 2 ,
EC 5 tcosC
NC t
,
CH 3cosC .
CD 5
5 t 3 25, t .
t 5 8
解得
方法二:∵∠ C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC,∴
即
③当 MN=MC 时,如图 5, 过 M作 MF⊥CN 于 F点,过 D作 DH⊥
BC 于 H点
方法一:(方法同②中方法一)
NC EC,
DC HC
t 5 t 25, t .
5 3 8
1 1FC NC t.
2 2
1tFC 3 602cosC , t .
MC 10 2t 5 17
解得
方法二:∵∠ C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC,∴
即
综上所述,当 时,△ MNC为等腰三角形 .
FC MC,
HC DC
1t 10 2t 602 , t ,3 5 17
10 25 60t , t t
3 8 17 或
(2010· 昆明中考 ) 已知:如图,在梯形 ABCD
中, AD∥BC ,∠ DCB= 90° , E 是 AD 的中点,点 P 是
BC 边上的动点(不与点 B 重合), EP 与 BD 相交于点 O.
( 1 )当 P 点在 BC 边上运动时,求证:△ BOP∽△DOE ;
( 2 )设( 1 )中的相似比为 k,若 AD︰ BC = 2︰ 3 ,请
探究:当 k为下列三种情况时,四边形 ABPE 是什么四边形?
①当 k=1 时,是 _________ ;②当 k=2 时,是 _________ ;
③当 k=3 时,是 _________. 并证明 k=2 时的结论 .
【解析】 (1)∵AD∥BC,
∴∠OBP=∠ODE.
在△ BOP 和△ DOE 中 ,
∠OBP=∠ODE,
∠BOP=∠DOE,
∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两个三角形相似) .
( 2)①平行四边形
②直角梯形
③等腰梯形
证明:∵ k=2 时, ,
∴BP=2DE=AD,
又∵ AD∶BC=2∶3,即
ED∥PC ,∴四边形 PCDE 是平行四边形 .
3BC AD,
2
3 1PC BC BP AD AD AD ED,
2 2
BP2
DE
∵∠DCB=90°,
∴四边形 PCDE 是矩形 ,
∴∠EPB=90°,
又∵在直角梯形 ABCD 中 ,
AD∥BC , AB 与 DC 不平行 ,
∴AE∥BP , AB 与 EP 不平行 ,
∴四边形 ABPE 是直角梯形 .
Recommended