1. 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD∥

BC 。已知∠ B=60° ， AD=15 ， AB=45 ，

则 BC= 。

课前冲浪

2. （ 2010· 大理中考）如图，在梯形 ABCD

中， AD∥BC,AC 交 BD 于点 O ，要使它成为等

腰梯形需要添加的条件是（ ）

（ A ） OA=OC （ B ） AC=BD

（ C ） AC⊥BD （ D ） AD=BC

【解析】选 B.因为四边形 ABCD 是梯形， AD∥BC, 所以需要

添加的条件为 AB=CD 或 AC=BD 或∠ ABC=∠DCB 等，所以选 B.

3. （ 2010· 达州中考 ) 如图，在一块形

状为直角梯形的草坪中，修建了一条

由 A→M→N→C 的小路（ M 、 N 分别是 AB 、

CD 中点） . 极少数同学为了走“捷径”，

沿线段 AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了 ( )

(A)7 m (B)6 m (C)5 m (D)4 m

【解析】选 B.如图，由勾股定理得

作 DE⊥BC 于 E，

则 CE=16-11=5 （ m） ,

DE=AB=12 （ m） ,

∴ 又 MN 为梯形 ABCD 的中位线，

∴MN= AM=6 （ m），

CN=6.5 m,A→M→N→C 的小路的长度为 6+13.5+6.5=26(m),

∴26-20=6 （ m） .

2 2AC AB BC 20 m , （ ）

2 2CD DE CE 13 m , （ ）

11 1613.5 m

2

（ ），

4 。如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°, ∠B =60° ， BC=2 ．点 0 是 AC 的中

点，过点 0 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 0 作逆时针旋转，交 AB 边

于点 D. 过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于点 E ，设直线 l 的旋转角为 α.

(1)① 当 α=____ 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，

此时 AD 的长为 _____ ；

② 当 α=____ 度时，四边形 EDBC 是直角梯形，

此时 AD 的长为 ______ ；

(2) 当 α=90° 时 , 判断四边形 EDBC 是否为菱形，

并说明理由．

5. （ 2011· 宿迁中考）如图，在梯形 ABCD

中， AB∥DC ，∠ ADC 的平分线与∠ BCD 的平

分线的交点 E 恰在 AB 上 . 若 AD=7 cm ， BC=8 cm ，则 AB

的长度是 _________cm.

【解析】因为 AB∥DC ，所以∠ AED=∠EDC, 又 DE 是∠ ADC 的

平

分线，所以∠ ADE=∠EDC ，所以∠ AED=∠ADE ，所以 AE=AD=

7 cm ；同理 EB=BC=8 cm ，所以 AB=AE+EB=7+8=15(cm).

答案 :15

6. （ 2011· 呼和浩特中考）如图所示，在

梯形 ABCD 中， AD∥BC ， CE 是∠ BCD 的平分

线，且 CE⊥AB ， E 为垂足， BE=2AE ，若四

边形 AECD 的面积为 1 ，则梯形 ABCD 的面积

为 ___________.

【解析】如图，延长 BA， CD 相交于点 F，因

为 CE 是∠ BCD 的平分线，且 CE⊥AB ，所以

CF=CB ，因为 BE=2AE ，所以 AF=AE ，因为

AD∥BC ，所以△ FAD∽△FBC,S△FAD∶

S△FBC=1∶16 ，所以 S 四边形 ADCE∶S 四边形 ADCB=7∶15. 因为四边形

AECD 的面积为 1，所以四边形 ABCD 的面积为

答案 :

15.

715

7

【例 1 】 (2010· 鸡西中考）综合实践活动课上 , 老师让同学

们

在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形 , 即“梯形

ABCD ， AD∥BC ， AD=2 分米， 梯形

的高是 2 分米”．请你计算裁得的梯形 ABCD 中 BC 边的长度．

【思路点拨】作梯形的高，分情况讨论即可 .

AB 5 CD 2 2 分米， 分米，

梯形的有关计算

【自主解答】如图 ,AE 和 DF 为梯形 ABCD 的高，可知

EF=AD=2 分米

应分以下三种情况 :

①如图 1，利用勾股定理可求出 BE=1 分米， CF=2 分米，

∴BC=BE+EF+FC=5 分米

②如图 2，利用勾股定理可求出 BE=1 分米， CF=2 分米，

∴BC=EF-BE+FC=3 分米 .

③如图 3，利用勾股定理可求出 BE=1 分米， CF=2 分米，可

得到 C与 E重合 .

∴BC=1 分米 .

1. （ 2011· 湖州中考）如图，已知梯形 ABCD ，

AD∥BC, 对角线 AC ， BD 相交于点 O ，△ AOD 与

△BOC 的面积之比为 1∶9 ，若 AD=1 ，则 BC 的

长是 _______.

【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方 .由于它们

的面积之比是 1∶9，所以 AD∶BC=1∶3 ，从而可求出 BC=3.

答案 :3

练习：

2. （ 2011· 陕西中考）如图，在梯形 ABCD 中，

AD∥BC ，对角线 AC⊥BD ，若 AD=3 ， BC=7 ，则

梯形 ABCD 面积的最大值为 _______.

【解析】设 AC、 BD 的交点为 F, 过 D作 DE∥AC 交 BC 的延长

线于 E， DH⊥BC 于 H，

∵DE∥AC ， AD∥BC ，

∴四边形 ADEC 是平行四边形，

∴AC=DE ， AD=CE=3 ，∠ BFC=∠BDE=90°,△ADC≌△ECD,

∴S△ADC=S△DCE.

∵S△ABD=S△ADC,∴S△ABD=S△DCE.

即梯形 ABCD 的面积与△ BDE 的面积相等 .

在 Rt△BDE 中，∵ BE=BC+AD=10 ，

∴当 Rt△BDE 为等腰直角三角形时， BE边上的高最大，面积

也

最大，即当 BD=DE 时，梯形 ABCD 的面积最大 .

∴

∴梯形的面积的最大值是

答案 :25

1 1BH EH 3 7 5,DH BE 5.

2 2

1 1(AD BC) DH 10 5 25.2 2

g

【例 2 】 (2011· 芜湖中考）如图 , 在梯形

ABCD 中 ,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ ABC,

∠A=60°. 过点 D 作 DE⊥AB, 过点 C 作

CF⊥BD, 垂足分别为 E 、 F ，连结 EF ，

求证：△ DEF 为等边三角形 .

【思路点拨】

等腰梯形的性质

【自主解答】因为 DC∥AB ， AD=BC ，∠ A=60°, 所以∠ ABC=

∠A=60°, 又因为 BD 平分∠ ABC ，所以

∠ABD=∠CBD=

因为 DC∥AB, 所以∠ BDC=∠ABD=30°,

所以∠ CBD=∠CDB, 所以 CB=CD.

因为 CF⊥BD ，所以 F为 BD 的中点 ,

又因为 DE⊥AB ，所以 DF=BF=EF.

由∠ ABD=30° ，得∠ BDE=60° ，

所以△ DEF 为等边三角形 .

1ABC 30 .

2

3. （ 2011· 邵阳中考）如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，

AB∥CD ， AD=BC ， AC⊥BC ，∠ B=60° ， BC=2 cm ，

则上底 DC 的长是 _________cm.

【解析】∵ AC⊥BC ，∠ B=60° ，∴∠ BAC=30° ，

∵AB∥CD ，∴∠ DCA=∠BAC=30° ，∵ AD=BC ，

∴∠DAB=∠B=60° ，∴∠ DAC=30° ，

∴∠DAC=∠DCA ，∴ DC=AD=BC=2 cm.

答案 :2

4. （ 2011· 温州中考）如图，在等腰梯

形 ABCD 中， AB∥CD ，点 M 是 AB 的中点 .

求证：△ ADM≌△BCM.

【证明】在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD ，

∴AD=BC ，∠ A=∠B.∵点 M是 AB 的中点，

∴MA=MB.∴△ADM≌△BCM.

【例 3 】 (2010· 南充中考）如图，梯形 ABCD

中， AD∥BC ，点 M 是 BC 的中点，且 MA ＝ MD ．

求证：四边形 ABCD 是等腰梯形．

【思路点拨】

等腰梯形的判定

【自主解答】∵ MA＝ MD ，

∴△MAD 是等腰三角形，∴∠ DAM ＝∠ ADM ．

∵AD∥BC ，∴∠ AMB ＝∠ DAM ，∠ DMC ＝∠ ADM ．

∴∠AMB ＝∠ DMC ．

又∵点 M是 BC 的中点，∴ BM ＝ CM ．

在△ AMB 和△ DMC 中，

∴△AMB≌△DMC．

∴AB＝ DC ，∴四边形 ABCD 是等腰梯形．

AM DM

AMB DMC,

BM CM

5. （ 2011· 盐城中考）将两个形状相同的三角板放置在一

张矩形纸片上，按图示画线得到四边形 ABCD ，则四边形 AB

CD 的形状是 ___________.

【解析】由图可知 AD∥BC ， AB 与 CD 不平行，则四边形 ABCD

为梯形，而∠ ABC=∠DCB ，所以四边形 ABCD 为等腰梯形 .

答案 :等腰梯形

【例】（ 2009· 济南中考）如图，在梯形

ABCD 中， AD∥BC,AD=3,DC=5,

∠B=45°. 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每

秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发

沿

线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动 . 设运动的

时

间为 t 秒 .

(1) 求 BC 的长； (2) 当 MN∥AB 时，求 t 的值；

(3) 试探究： t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形 .

AB 4 2,

【自主解答】 (1) 如图 1，过 A、 D分别作 AK⊥BC 于 K,DH⊥

BC 于 H，则四边形 ADHK 是矩形，

∴KH=AD=3,

在 Rt△ABK 中，

AK=AB·sin45°=

BK=AB·cos45°

24 2 4,

2

24 2 4,

2

在 Rt△CDH中，

由勾股定理得

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.

(2) 如图 2，过 D作 DG∥AB 交 BC 于点 G，

则四边形 ADGB 是平行四边形，

∵MN∥AB,∴MN∥DG,

∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,

2 2HC 5 4 3,

由题意知，当 M、 N运动 t秒时， CN=t,CM=10-2t,

∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC, 又∠ C=∠C,

∴△MNC∽△GDC,∴

即

(3) 分三种情况讨论：

①当 NC=MC 时，如图 3，

此时 t=10-2t,∴

CN CM,

CD CG

t 10 2t 50, t .

5 7 17

解得

10t .

3

②当 MN=NC 时，如图 4，过 N作 NE⊥MC 于 E，过 D作 DH⊥B

C 于 H

方法一：由等腰三角形三线合一性质得

在 Rt△CEN 中，

又在 Rt△DHC 中，

1 1EC MC 10 2t 5 t

2 2 ，

EC 5 tcosC

NC t

，

CH 3cosC .

CD 5

5 t 3 25, t .

t 5 8

解得

方法二：∵∠ C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,

∴△NEC∽△DHC,∴

即

③当 MN=MC 时，如图 5, 过 M作 MF⊥CN 于 F点，过 D作 DH⊥

BC 于 H点

方法一：（方法同②中方法一）

NC EC,

DC HC

t 5 t 25, t .

5 3 8

1 1FC NC t.

2 2

1tFC 3 602cosC , t .

MC 10 2t 5 17

解得

方法二：∵∠ C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,

∴△MFC∽△DHC,∴

即

综上所述，当 时，△ MNC为等腰三角形 .

FC MC,

HC DC

1t 10 2t 602 , t ,3 5 17

10 25 60t , t t

3 8 17 或

(2010· 昆明中考 ) 已知：如图，在梯形 ABCD

中， AD∥BC ，∠ DCB= 90° ， E 是 AD 的中点，点 P 是

BC 边上的动点（不与点 B 重合）， EP 与 BD 相交于点 O.

（ 1 ）当 P 点在 BC 边上运动时，求证：△ BOP∽△DOE ；

（ 2 ）设（ 1 ）中的相似比为 k，若 AD︰ BC = 2︰ 3 ，请

探究：当 k为下列三种情况时，四边形 ABPE 是什么四边形？

①当 k=1 时，是 _________ ；②当 k=2 时，是 _________ ；

③当 k=3 时，是 _________. 并证明 k=2 时的结论 .

【解析】 (1)∵AD∥BC,

∴∠OBP=∠ODE.

在△ BOP 和△ DOE 中 ,

∠OBP=∠ODE,

∠BOP=∠DOE,

∴△BOP∽△DOE （有两个角对应相等的两个三角形相似） .

（ 2）①平行四边形

②直角梯形

③等腰梯形

证明：∵ k=2 时， ,

∴BP=2DE=AD,

又∵ AD∶BC=2∶3,即

ED∥PC ，∴四边形 PCDE 是平行四边形 .

3BC AD,

2

3 1PC BC BP AD AD AD ED,

2 2

BP2

DE

∵∠DCB=90°,

∴四边形 PCDE 是矩形 ,

∴∠EPB=90°,

又∵在直角梯形 ABCD 中 ,

AD∥BC ， AB 与 DC 不平行 ,

∴AE∥BP ， AB 与 EP 不平行 ,

∴四边形 ABPE 是直角梯形 .