1. Ajuste de los Modelos 1materias.fi.uba.ar/7609/material/Clase 03/03 b Ajuste de... · 2009. 5....

03 b Ajuste de Modelos Identificacion.doc 1

1. Ajuste de los Modelos 1. Ajuste de los Modelos ____________________________________________ 1

1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Obtención Experimental del Modelo _____________________________________________________________________________________ 2

1.2.1. Modelado en Lazo Abierto _______________________________________________________________________________________________________ 3 1.3. Otros Métodos ______________________________________________________________________________________________________ 12 1.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo ______________________________________________________________________ 13

1.4.1. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados ____________________________________________________________________________________ 14 1.4.2. Forma Recursiva: _____________________________________________________________________________________________________________ 20 1.4.3. Inclusión del Factor de Olvido. ___________________________________________________________________________________________________ 24 1.4.4. Características Estadísticas de la Estimación _______________________________________________________________________________________ 26

1.5. Referencias ________________________________________________________________________________________________________ 42

1.1. Introducción Métodos usuales: - basado en las leyes físicas - experimental - estadístico

1.2. Obtención Experimental del Modelo Muchos sistemas en la práctica pueden describirse aproximadamente con un mode-lo muy simple, de primer o segundo orden. A menudo estos modelos simples son suficientes para realizar un primer diseño de control. Estos modelos simples pueden obtenerse mediante ensayos experimentales sobre el sistema. La idea es proponer la estructura apropiada, por ejemplo un primer orden con retardo

sTKeG ssτ

, [1.1]

y luego inferir los valores de los parámetros K, T y τ de la respuesta del sistema a lazo abierto del sistema. Es común emplear la respuesta al escalón u otra señal simple de excitación. escalón – rampa – senoide - aleatoria

Puede aplicarse en lazo abierto o cerrado (automático o manual) Es más conveniente en lazo abierto para evitar la complicación de la realimentación Muchas veces no se puede. Plantas inestables o críticas.

1.2.1. Modelado en Lazo Abierto

Sistema de Primer Orden

u u−

, 63 0ˆ T Tτ = − [1.2]

( )ˆˆ

ˆ 1KG ssτ

, [1.3]

Sistema de Primer Orden con Retardo

Tδ 63T 0

u u−

, 63ˆ T Tδτ = − , 0d̂T T Tδ= − [1.4]

( )ˆˆˆ

dsTKeG ssτ

, [1.5]

Sistema Oscilante de Segundo Orden

u u−

2ˆ1ˆ2n

TT ω ξ

= , 1ˆ ˆnnT

ω = [1.6]

( ) 2 2

ˆˆˆˆ ˆ2 1n n

KG sT s T sξ

, [1.7]

Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

73T0T T ′

y′ valor de la salida en el tiempo 73 00 2,6

T TT T −′ = +

calcular:

u u−

y yyy y′ −

73 01 2ˆ ˆ ˆ

1,3totalT Tτ τ τ −

= + = , 1̂ ˆ ˆr totalτ τ τ= , 2 1ˆ ˆ ˆtotalτ τ τ= − [1.9]

( ) ( )( )1 2

ˆˆˆ ˆ1 1

KG ss sτ τ

, [1.10]

Relación entre constantes de tiempo

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

si 0,26 0,39fry> > , la respuesta es de un sistema subamortiguado o de mayor orden.

0 1 2 3 4 5 6 70

1Step Response

Time (sec)

1totalτ = 1 0,01 0,2 0,5τ = − −

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1Step Response

Time (sec)

Efecto del factor de amortiguamiento - 0ξ < inestable

- 1ξ < subamortiguado

- 1ξ = amortiguamiento crítico

- 1ξ > sobreamortiguado

g=tf(1,[.3^2 2*.3*xi 1])

0 1 2 3 4 5 60

Plantas con Integradores

( ) ( )0

u u T T−

=− −

[1.11]

( )ˆˆ KG ss

= , [1.12]

1.3. Otros Métodos Modelado Físico Identificación estadística Existen técnicas más avanzadas de estimación de modelo mediante ensayos expe-rimentales, conocidas como técnicas de identificación de sistemas. Para un tratamiento actualizado de identificación de sistemas ver por ejemplo

- Lennart Ljung, System Identification, 2nd edn. Prentice Hall, 1999. y el toolbox de identificación de MATLAB.

1.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo ajuste automático de parámetros = Identificación de Sistemas

Excitación

Planta

Modelo

Salida de la Planta

Salida del Modelo

Error de Estimación

1.4.1. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados 1.4.2. Ejemplo

Supongamos la siguiente planta real: 1k k k ky ay bu ε+ = + +

kε perturbación o incertidumbre.

modelo:

1ˆˆ ˆk k k ky ay bu ε+ = + +

Para cada instante k habrá un error o diferencia entre ambas salidas: 1 1 1ˆk k ke y y+ + += − [1-13]

tomando todas las muestra,

1 1 0 01 0 0

ˆˆ ˆ ˆˆ

k k k k k k k

y ay bu y y ue aE Y

by y ue y ay bu

θ+ + +

− − = = = − = −Φ − −

[1-14]

, ˆˆˆa

[1-15]

Se puede minimizar el error respecto a θ̂ . J T

k k kE E= [1-16]

ˆˆJ 2 2 0T TYθ θθ∇ = Φ − Φ Φ = [1-17]

el valor de θ̂ que hace mínimo J es:

1*ˆ T Tk k k k kYθ

− = Φ Φ Φ [1-18]

1.4.3. Forma General Se considera, a los efectos del análisis, la siguiente planta real:

i i k kk i k kk k-ii=1 i=

= + u y ya b xε εθ−+ + + = +∑ ∑ [1-19]

kε perturbación o incertidumbre.

modelo:

ˆ ˆˆ ˆn m

Ti k-i kk k-i ki

i=1 i=

= + = y ya u xb θ+ +∑ ∑ [1-20]

1 1 1 11 1

ˆˆˆ

nn k-nk kk

m k-mmN n m N n mN n m

yaa = = = xb ub

θ θ+

× = + + × = + +× = + +

[1-21]

Para cada instante k habrá un error o diferencia entre ambas salidas: 1 1 1ˆk k ke y y+ + += − [1-22]

tomando todas las muestra, 1

eE = - Y

[1-23]

Tk k k-mk k-n

kT0 -m-n

y yx u u = =

y yx u uφ

… …

… … [1-24]

Se puede minimizar el error respecto a θ̂ . J T

k k kE E= [1-25]

ˆˆJ 0T T = 2 Y - 2 = |θ θ φθφ φ∇ [1-26]

el valor de θ̂ que hace mínimo J es:

1*ˆ T Tk k k k kYθ φ φ φ

− = [1-27]

1.4.4. Forma Recursiva: Analicemos una forma más cómoda de expresar la ecuación [1-27]. Primero defina-mos la matriz P como sigue:

[ ]Tk-N k-N

T T T-1 -1k k-1k-N 0 i i k kk

x = + x x x x x xP P

φφ = = =

∑… [1-28]

Del mismo modo el vector b será:

[ ]k-N k-N

Tkk k-N 0 i k-1 kk i k

y = = = + y yb x x x b xY

∑… [1-29]

Entonces [1-27] se expresará

ˆ k kk = bPθ [1-30]

La inversa de la matriz P en un instante k puede expresarse en función de su valor anterior más otra matriz

T-1 -1k k-1 k k = + x xP P [1-31]

Si la premultiplicamos por kP

-1 T-1k-1 k kk k kkP P I = P + P x xP= [1-32]

y luego, posmultiplicando por 1kP − resulta: T

k-1 k k k-1k k = + x xP P P P [1-33]

o lo que es lo mismo T

k-1 k k k-1k k - = x xP P P P [1-34]

Posmultipliquemos [1-33] por kx T T

k-1 k k k-1 k k-1k k k k k k k k = + = 1 + x x x x x x x xP P P P P P [1-35]

y agrupemos. -1T

k-1 k-1 kk k k k 1 + = x x x xP P P [1-36]

Ahora, reemplazando [1-36] en [1-34] T

k-1 k-1k kk-1 k T

k-1k k

x xP P - = P P 1 + x xP [1-37]

o su equivalente T

k-1 k-1k kk k-1 T

k-1k k

x xP P = - P P 1 + x xP [1-38]

Haremos lo mismo con el vector θ . Por la ecuación [1-36] tenemos

[ ]ˆT

k k-1k kk-1 k-1 k kk T

k-1k k

x xP P - + yb xP 1 + x xPθ

[1-39]

[ ]ˆ ˆT

k-1 k-1k kk-1k-1 k kk kk k-1 T

k-1k k

x xP P - + + y yb x xP1 + x xPθ θ= [1-40]

por [1-36] sabemos que: k-1 k

k k Tk-1k k

xP = xP 1 + x xP [1-41]

reemplazando en la anterior ˆ ˆ T T

k k-1 k k-1 k-1k k k-1 k k k kk kk k-1= - - + y yx x b x x x xP P P P Pθ θ [1-42]

ˆ ˆ ˆT Tk k-1 k k-1k k k k k kk k-1 k-1 - - yx x x x xP P P Pθ θ θ= + [1-43]

de [1-34] resulta T

k k-1 k k-1k k = - x xP P P P [1-44]

quedando ˆ ˆ ˆT

k k k kk k-1 k-1= - - yx xPθ θ θ [1-45]

en resumen el algoritmo está formado por las dos ecuaciones siguientes:

[ ]ˆ ˆ ˆk k k kk k-1

Tk-1 k-1k k

k k-1 Tk-1k k

- - y yxP x xP P = - P P 1 + x xP

θ θ =

[1-46]

Otra forma equivalente que se suele utilizar en la bibliografía es

ˆ ˆ ˆ

k kk T

k k kT

k k k k k

Tk k kk k-1 k-1

P xKx P x

P K x PP K y xθ θ θ

= + = − = + −

[1-47]

1.4.5. Inclusión del Factor de Olvido. En el algoritmo anterior pesamos de igual manera las medidas muy viejas y las nue-vas. J T

k k = Q e e⋅ ⋅ [1-48]

donde 1 0 0

[1-49]

La matriz Q pondera las muestras dándole más o menos importancia a la historia con respecto al último valor según el parámetro α el cual se llama factor de olvido. Igual que antes derivamos J para obtener el mínimo.

ˆˆ2 2 0T TJ QY Qθ θ

φ φ φθ∇ = − = [1-50]

resultando 1*ˆ T T

k k k k kk kYQ Qθ φ φ φ−

= [1-51]

Algoritmo recursivo con factor de olvido:

[ ]1 1

ˆ ˆ ˆ

k k k kk k-1

Tk k k k

k k Tk k k

- - y yxP

P x x PP Px P x

α α− −

−−

= − +

[1-52]

o lo que es lo mismo

ˆ ˆ ˆ

k kk T

Tk k k k k

Tk k kk k-1 k-1

P xKx P x

P K x PP

θ θ θ

= + = − = + −

[1-53]

1.4.6. Características Estadísticas de la Estimación 0

k k-mk k-nT k-n -nk k

k-m -m

y y u uy y

u u y y u u

φ φ+

… ………

… …

[1-54]

autocovarianza o covarianza cruzada

( )2 2 20

k i yki

[1,1] = y y = y rφ φ=

+ + =∑ [1-55]

La matriz total se llama matriz de covarianza del algoritmo y será: y y uy uy

uy uyTk k

uy uy u u

(o) (n - 1) (n - m - 1) (n - 1)r r r r

(n - 1) (n - m - 1)r r (n - m - 1) (n - 1) (0) (m)r r r r

(n - 1) (n - m - 1) (m) (0)r r r r

… …

…… …

… …

[1-56]

media de θ̂ .

ˆ ˆlim lim

lim lim

-1T Tkk kk k kk k

-1T Tkk k k kk

-1T Tkk k kk k

E E EY

θ θφ φ φ

θφ φ φ φ

θ φ φ φ

→∞ →∞

→∞

→∞ →∞

[1-57]

[ ]ˆ lim lim-1T T

kk k k kk kE E E eθ θ φ φ φ

→∞ →∞

= + [1-58]

Por lo tanto la media de la estimación coincidirá con el valor real de θ si el error e es incorrelado con

-1T T φφ φ . En cualquier otro caso existirá un sesgo en la estimación.

También debemos notar que para que exista solución la matriz T φφ 1debe ser inverti-ble o sea det T 0φφ ≠ [1-59]

Observando la ecuación 0 podemos inferir que esto se puede lograr si el sistema está persistentemente excitado.

Ejemplo 1.1. Sistema de Primer Orden. Sea un sistema de primer orden cuya ecuación en diferencias es:

k-1k k-1 = a + b y y u [1-60]

con 0,5a = y 1b =

k ky ku

0 0 1 1 1b = 1 2 ( )1 1,5b a+ = 1

3 ( )21 1,75b a a+ + = 1

4 ( )2 31 1,875b a a a+ + + = 1

El vector φ será, para tres muestras, 1,75 11,5 11 1

1 1 11,75 1,5 1

T = φ

[1-61]

el vector de medidas de la salida, 1,8751,751,5

[1-62]

la matriz de covarianza y P:, 6,3125 4,25

4.25 3T = φφ

3.4286 -4.8571-4.8571 7.2143

-1T =φφ

[1-63]

7,4063

5,125T Y =φ

[1-64]

Estimación de los dos parámetros del sistema: 0,5ˆ1

-1T T Yθ φφ φ = =

[1-65]

Ejemplo 1.2. Medición de una Resistencia Se mide Tensión y Corriente sobre una resistencia

mk k uk

mk k ik

u u ei i e

= += +

(1.66)

la medición de la resistencia es

ur i= [1.67]

por mínimos cuadrados

J ( ) ( )TTk k = U rI U rIE E = − − (1.68)

J 2 ( ) 0r

T = I U rI∂− − =

∂ (1.69)

I Ur =I I

(1.70)

Cálculo de r n=1000; vi=1; vu=1; i=1+vi*(rand(n,1)-.5); u=1+vu*(rand(n,1)-.5); r=zeros(n,1); for k=1:n r(k)=u(1:k)'*i(1:k)/(i(1:k)'*i(1:k)); end plot(r);grid axis([0 n -.5 1.5]) cov(i);

0 200 400 600 800 1000-0.5

plot(u./i);grid; axis([0 n -.5 1.5])

0 200 400 600 800 1000-0.5

[mean(r) mean(u./i) cov(r) cov(u./i)]

ans = 0.9011 1.0616 0.0021 0.2293

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) 1

T Tm m r i r u

mc T Tm m r i r i

Tir i r i

I U I e U eE r = E = EI I I e I e

I U r= EI e I e

+ + + +

= + + +

(1.71)

Método de mínimos cuadrados es 1ˆ T TYθ φ φ φ−

= (1.72)

{ }1ˆ( ) ( )T TE = E eθ φ φ φ φθ−

+ (1.73)

el error está en la salida. No hay error en la entrada

Variables instrumentales rvi=zeros(n,1); L=2; ivi=i; ivi(1:length(i)-L)=i(L+1:length(i)); for k=1:n rvi(k)=u(1:k)'*ivi(1:k)/(i(1:k)'*ivi(1:k)); end

0 200 400 600 800 10000.5

Ejemplo 1.3. Generador Diesel Se mide velocidad del Motor/generador Primer Ensayo: Código y=w(1:20:length(w))'-w(1); u=ones(size(y)); u(1)=0; model = pem([y u],[0 1 0 0 2 3]) yh = idsim(u,model); figure(2); plot([y yh])

La gráfica muestra la diferencia entre salida real y estimada

0 50 100 150 200 250-50

Los datos del modelo son: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = 0.737 q^-3 F(q) = 1 - 1.917 q^-1 + 0.9204 q^-2 Estimated using PEM Loss function 227.695 and FPE 233.46 Sampling interval: 1 Su fórmula es

0,7371 1,917 0,9204k k

qy uq q

− −=− +

3 2 11,917 0,9204 0,737k k k ky y y u+ + += − +

Segundo Ensayo

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-160

Modelo: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = -0.6807 q^-20 F(q) = 1 - 1.839 q^-1 + 0.8461 q^-2 Estimated using PEM Loss function 226.097 and FPE 234.683 Sampling interval: 1

1.5. Referencias i. Ljung, Lennart : System Identification: Theory for the User, 2nd Edition, Prentice

Hall, Englewood Cliffs, N.J.,1999. p 313 ii. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall –

1984. p 52 iii. Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall – 1989. p 69 iv. Landau, Ioan Doré. System Identification and Control Design – Prentice Hall

–1990 v. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag – 1981. p 380 vi. Stephanopoulos, G: Chemical Process Control. Prentice-Hall – 1984. Caps. 10

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