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1º Bachillerato CT – Educación a distancia
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TEMA 9 – NÚMEROS COMPLEJOS - 1ª PARTE
Sesiones 1 y 2 .
1. INTRODUCCIÓN
Utilidad de los números complejos:
Fórmula de Euler: ei + 1 = 0
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis,
así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable
compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en
aerodinámica, mecánica cuántica, hidrodinámica y electromagnetismo
entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se
utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería,
especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad
para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la
métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo
como una variable imaginaria.
Los números imaginarios también desempeñan una función importante en
los fractales: escribe en un navegador fractales complejos y disfruta de las
imágenes.
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2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
2.1. Necesidad de una ampliación del campo numérico
Teoría: Lee detenidamente la página 148 del libro y, posteriormente,
consulta los ejemplos que encontrarás en el margen izquierdo con el fin de
comprender la teoría.
Practica: nº 1 y 2 de la página 148.
2.2. Resolución ecuación de 2º grado
Teoría: consulta el primer punto de la página 149 del libro de texto y ten
en cuenta la siguiente conclusión: cualquier ecuación de segundo grado
con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones
imaginarias que son números complejos conjugados.
2.3. Representación gráfica
Teoría: lee el segundo punto de la página 149 del texto y realiza el
ejercicio resuelto de dicha página donde practicarás cómo representar las
dos soluciones imaginarias de una ecuación de segundo grado.
Practica:
- Nº 3, 4b, 4c, 5a, 5d, 5e, 5f y 5h de la página 149.
- Trabaja la potencia de i en el ejercicio 6 de la página 149.
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Sesión 3 .
3. OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA
Teoría: antes de leer la teoría del recuadro amarillo de la página 150 del
libro de texto, realiza los ejemplos previos y llega a las siguientes
conclusiones:
- Suma y resta (en el margen izquierdo puedes encontrar la
representación gráfica similar a lo estudiado en vectores): “sumamos
(restamos) la parte real del primer nº complejo con la parte real del
segundo nº complejo y, de forma análoga, sumamos (restamos) la
parte imaginaria del primero con la parte imaginaria del segundo”.
- Multiplicación: se realiza siguiendo las reglas de las operaciones de
los números reales y teniendo en cuenta que i2 = - 1.
- Multiplicando un número por su conjugado se obtiene un número real
(suma por diferencia): z ∙ 𝑧 ̅= a2 + b2.
- División: se multiplica y se divide por el conjugado del denominador
y se opera.
Teoría: consulta la página 151 del libro de texto y llega a la siguiente
conclusión: en la práctica, las propiedades de las operaciones con números
complejos permiten operar, con los complejos, de la misma forma que con
los reales.
Practica: nº 2 y 5 de la página 151.
Sesión 4 .
4. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR (Radianes)
4.1. Módulo y argumento
Teoría: los números complejos, además de expresarse en forma binómica,
se pueden expresar en forma polar. Esto nos facilitará algunas operaciones
como la multiplicación y división que veremos más adelante.
Lee detenidamente los conceptos básicos de módulo y argumento, en el
primer punto de la página 152, para expresar cualquier número complejo
en forma polar y, ten en cuenta, las observaciones que se recogen después
del primer recuadro amarillo.
4.2. Paso de forma binómica a forma polar
Teoría: consulta el segundo punto de teoría de la página 152 del libro de
texto y realiza el ejercicio resuelto.
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No olvides tener en cuenta en qué cuadrante está el número complejo al
pasar a polar.
4.3. Paso de forma polar a forma binómica
Teoría: si nos dan el número complejo en forma polar, también podemos
expresarlo en forma binómica según se explica en la teoría de la página
153 del libro de texto. No olvides realizar el ejercicio resuelto de dicha
página.
Practica:
Verdadero o falso: nº 1 de la página 153.
Paso de una forma a otra: nº 2, 3 y 5 de la página 153.
Sesión 5 .
5. OPERACIONES EN FORMA POLAR
Teoría: cuando dos números complejos están en forma polar, existen unas
relaciones muy sencillas y útiles entre su forma polar y la de su producto o
su cociente que facilita dichas operaciones. Consulta los tres puntos de
teoría que encontrarás en la página 154 del libro de texto, obviando la
demostración, y realiza el ejercicio resuelto nº 1 de la página 155.
La suma y la resta de dos números complejos las realizaremos en su forma
binómica.
Teoría: toma nota de la Fórmula de Moivre, que encontrarás en la página
155, y realiza el ejercicio resuelto nº 2 de dicha página.
Practica:
Verdadero o falso: nº 1 de la página 154.
Nº 2, 3 y 4 de la página 155.
Sesión 6 .
6. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Teoría: consulta los ejercicios resueltos 1 y 2 del libro de texto con el fin
de comprender la teoría de la página 157 que queda resumida de la
siguiente manera: cualquier número complejo, salvo el 0, tiene n raíces n-
ésimas.
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Para n > 2, los afijos de estas n raíces son los vértices de un n-ágono
regular con centro en el origen
Practica: nº 4, 5 y 8 de la página 157, y el ejercicio resuelto nº 4 de la
página 160.
Sesión 7 .
Autoevaluación – entregar el 28 de mayo: nº 4 (todos los apartados menos el
c, d), 5, 10a, 10d, 10e, 10g, 11 (1ª fila), 12a, 12d, 12f y 13 de la página 162.
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