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Capítulo 3
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal 3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal
Ludwing Boltzmann
(1844-1906)
2
3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal Dum ponto de vista macroscópico, a representação matemática do modelo do gás ideal é a lei do gás ideal:
nRTPV As propriedades macroscópicas podem ser compreendidas com base no que está acontecendo na escala atómica
Examinaremos também a lei do gás ideal em termos do comportamento das moléculas individuais que formam o gás
Modelo estrutural de um gás mantido num recipiente
• O número de moléculas no gás é muito grande e a separação média entre as moléculas é grande quando comparada com suas dimensões
• As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas como um todo movem-se aleatoriamente
• As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante colisões elásticas
• As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente
• O gás é puro, o que significa que todas as suas partículas são idênticas
3
xivdt 2
xixixixi mvmvmvp 2)(
dmv
vdmv
tmvF xi
xi
xixii
2
/222
dmv
dmvFF xixi
i
22
parede a sobre i,
xip momento linear final – momento linear inicial
Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal
A componente pxi do momento da molécula é mvxi antes da colisão, a variação no momento da molécula na direcção x é
O intervalo de tempo entre duas colisões com a mesma parede
Pelo Teorema impulso – momento: xixi mvptF 2i
Uma das moléculas de um gás ideal, de massa m move -se numa caixa cúbica de lado d, com uma velocidade vxi na direcção do eixo x (i refere-se a partícula i)
Onde Fi é a força da parede sobre a molécula
Pela terceira lei de Newton a componente da força que a molécula exerce sobre a parede é
4
N
ixi
N
i
xi vdm
dmv
F1
2
1
2
Considerando as N moléculas do gás ideal no recipiente de volume V
A força média total F exercida sobre a parede do recipiente pelo gás
A força constante, F, sobre a parede devido às colisões moleculares tem o valor
N
ixivd
mF1
2
N
vv
N
ixi
x
1
2
2 2xvNd
mF Pelo teorema de Pitágoras:
2222ziyixii vvvv
22 3 xvv
A força total sobre a parede é
dvmNvN
dmF
22
33
Obtemos a pressão exercida sobre a parede, dividindo F pela área da parede (A=d2). Nota: V=Ad=d3
2
31 vmVNP
A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume e à
energia cinética translacional média das moléculas 2
21 vm
e
5
Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal
TNkPV B
RTNNnRTPV
A
2310022.6 ANonde Número de Avogadro
J/K 1038.1 23
AB
NRk Constante de Boltzmann
TNkVvmVN
B2
21
32
2
31 vmVNP Substituindo obtemos
2
B 21
32 vmk
T
A temperatura de um gás é uma medida directa da energia cinética translacional média das moléculas
6
Rescrevendo a equação anterior de outra forma Tkvm B2
23
21
é a energia translacional média por molécula TkB23
22
31 vvx como Tkvm x B
2
21
21
Teorema de equipartição de energia
A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre todos os graus de liberdade
“Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma molécula pode ter energia.
No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam na direcção dos eixos x,y e z
TNvmNK B2
totalnaltranslacio 23
21
A energia cinética translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a energia translacional média por molécula = Energia interna de um gás monoatómico
UnRTK 23
totalnaltranslacio
7
3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás IdealA quantidade de gás ideal é medida pelo número de moles n, em vez da massa m
if TTT
O gás é submetido a diversos processos
fi 'fi ''fi
com a mesma variação de temperatura
Umesmo
Pelo primeiro princípio da termodinâmica
WUQ
W para cada trajectória é diferente Q diferente para cada trajectória
Logo a energia necessária para produzir cada variação de temperatura não tem um valor único
(área sob a curva diferente)
8
Essa dificuldade é resolvida definindo-se as capacidades caloríficas para dois processos que ocorrem com mais frequência: o processo isocórico e o processo isobárico
tmcQ Escrevemos em moles
tnCQ VVolume constante
tnCQ PPressão constante
fi Processo isocórico
Processo isobárico 'fi
CV é a capacidade calorífica molar a volume constante
CP é a capacidade calorífica molar a pressão constante
Modificamos a equação
9
No processo isocórico V = constante 0PdVW
TnRUQ 23
Do primeiro princípio da termodinâmica
nRnCV 23
KJ/mol 5.1223
RCV para todos os gases monoatómicos
TnCU V
• válida para qualquer processo no qual há variação de temperatura , não apenas para um processo isocórico
• verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos
dTdU
nCV
1Para variações infinitesimais
10
No processo isobárico P = constante VPTnCWQU P
TnRVP TnCU V
TnRTnCTnC PV
RCC PV esta expressão se aplica a qualquer gás ideal
KJ/mol 8.2025
RCP
V
P
CC
35
2325
RR
CC
V
P grandeza sem dimensão
para um gás monoatómico 67.1
11
3.3 Processos Adiabáticos para um Gás IdealEm três processos, uma variável de estado é mantida constante
P = constante para um processo isobárico
V = constante para um processo isocórico
T = constante para um processo isotérmico
Um quarto processo especial é o processo adiabático
Há algo constante nesse processo?
constantePV
ffii VPVP
1TV = constante
11 ffii VTVT
A combinação de algumas variáveis permanece constante
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