1 Introduzione alla Ricorsione Corso di Informatica A Vito Perrone

1

Introduzione alla Ricorsione

Introduzione alla Ricorsione

Corso di Informatica A

Vito Perrone

2Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

IndiceIndice

•La formulazione in termini ricorsivi di problemi e algoritmi

•La ricorsione come strumento di programmazione

•L’esecuzione dei sottoprogrammi ricorsivi

•Ulteriori esempi

3Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

La formulazione in termini ricorsivi

di problemi e algoritmi

•La ricorsione: che cos’è?–Un sottoprogramma P chiama -durante la sua

esecuzione- un altro sottoprogramma Q

–Q a sua volta chiama un terzo R, …

–R chiama nuovamente P: (ricorsione indiretta)

–Oppure P chiama se stesso durante la propria esecuzione (ricorsione diretta)

4Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Un esempio classicoUn esempio classico

• Individuare, in un gruppo di palline l’unica pallina di peso maggiore delle altre facendo uso di una bilancia “a basculla” (Per semplicità: il numero di palline sia una potenza di 3)

• Algoritmo Pesate:− Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina,

allora essa è banalmente la pallina cercata, altrimenti procedi come segue.

− Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre sottogruppi.

− Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi, altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di peso minore.

− Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente.

5Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Esempi matematici (1)Esempi matematici (1)

x + 0 = x;x + y = x + Successore(y–1) = Successore (x + (y–1)):

1+3 =Successore (1+2) = Successore(Successore(1+1)) = Successore(Successore(Successore(1+0))) =Successore(Successore(Successore(1))) =Successore(Successore(2)) = Successore(3) = 4

6Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Esempi matematici (2)Esempi matematici (2)

• I numeri di Fibonacci, F = {f0, ..., fn}:

f0 = 0

f1 = 1

Per n > 1, fn = f n–1 + fn–2

• Esempio:

f0 = 0

f1 = 1

f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1

f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2

f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3

7Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Esempi matematici (3)Esempi matematici (3)

• La sommatoria di una sequenza di numeri

00

1

i

ia

n

iin

n

ii aaa

11

1

1

Es. {2,5,7,9} n=4

8Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Esempi matematici (4)Esempi matematici (4)

• La lista inversa L–1 di una lista di elementi L = {a1, ..., an}:se n = 1, L–1 = L;altrimenti, L–1 = {an, (Ln–1)–1}

Dove Ln–1 indica la lista ottenuta da L cancellando l’ultimo elemento an.

• Esempio:

2,7,5,4–1 = 4, 2,7,5–1

= 4,5, 2,7–1

= 4,5,7, 2–1

= 4,5,7,2

9Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

La ricorsione come strumentodi programmazione

La ricorsione come strumentodi programmazione

• Programma Fibonacci:

int fibonacci (int n) {

int ris;

if (n == 0) ris = 0;else if (n == 1) ris = 1;else ris = fibonacci(n–1) +

fibonacci(n–2);return ris;

}

10Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Esempio Fattoriale

• 5! = 5*4*3*2*1

• n! = n*(n-1)!

• 0! = 0 <- convenzione

11Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (1)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (1)

• Calcolo del fattoriale di 3 (secondo lo schema conosciuto):− Il valore del parametro attuale, 3, viene copiato nel parametro

formale, n

− Ha inizio l’esecuzione di FattRic. Essa giunge a n*FattRic(2), il cui risultato dovrebbe essere assegnato alla cella FattRic per poi essere passato al chiamante.

− A questo punto avviene la nuova chiamata di FattRic.

− Il nuovo valore del parametro attuale, 2, viene copiato nella cella n, cancellando il precedente valore 3

12Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

record di attivazione

Seconda attivazione

2

Terza attivazione1

Quarta attivazione

0

1*1 = 1

2*1 = 2

Prima attivazione

n FattRic

3 3*2 = 6

1

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (2)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (2)

13Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

• Passaggio parametri -anche- per indirizzo:

void incrementa(int *n, int m){

if (m != 0){

*n = *n + 1; incrementa(n, m–1);

}}

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (3)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (3)

14Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (4)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (4)

y

3

Area dati della funzione chiamante

x

2

Prima attivazione

n m

3

3

Seconda attivazione

2

4

Terza attivazione1

5

Quarta attivazione

0

5

15Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (5):

la gestione a pila della memoria (a)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (5):

la gestione a pila della memoria (a)

Variabili globali

main

record di attivazione del main

P1

record di attivazione di P1

P2’

record di attivazione di P2’

P3

record di attivazione di P3

P2”record di attivazione di P2"

16Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

P1 P2’ P3 P2”main

Variabili globali

record di attivazione del main

record di attivazione di P1

record di attivazione di P2’

record di attivazione di P3

record di attivazione di P2"

P3P2’

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (6):

la gestione a pila della memoria (b)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (6):

la gestione a pila della memoria (b)

17Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Variabili globali

record di attivazione del main

record di attivazione di P1

record di attivazione di P2’

P3P2’

main P1 P2’ P3 P2”

P4

record di attivazione di P4

P2’P1main

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (7):

la gestione a pila della memoria (c)

L’esecuzione di sottoprogrammi ricorsivi (7):

la gestione a pila della memoria (c)

18Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Ulteriori esempi (1)Ulteriori esempi (1)/* Programma RicPalindr*/

#include <stdio.h>#include <string.h> typedef enum {false, true} boolean; void main (){

#define LunghMaxStringa 100 

char Stringa1[LunghMaxStringa];boolean OK;unsigned LunghStringa;

 boolean Palindrome (char *PC, char *UC);

/* L’istruzione seguente assume che i caratteri componenti la stringa non siano spazi */

scanf ("%s", Stringa1);LunghStringa = strlung (Stringa1);if (LunghStringa == 0)

printf ("La stringa è palindroma");else…

19Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

Ulteriori esempi (2)Ulteriori esempi (2)

/* Programma RicPalindr*/…else{

/* Viene chiamata la funzione Palindrome passando per indirizzo il primo e l'ultimo carattere della stringa da analizzare */

OK = Palindrome (&Stringa1[0], &Stringa1[LunghStringa–1];if (OK == true)

printf ("La stringa è palindroma”);else

printf ("La stringa non è palindroma");}

} boolean Palindrome (char, *PC, char *UC)…

20Ricorsione

Informatica A – V. PerroneCopyright © 2004 - The McGraw-Hill Companies, srl

/* Programma RicPalindr*/… 

boolean Palindrome (char, *PC, char *UC){

if (PC >= UC)/* Se la stringa è vuota o è costituita da un solo carattere */

return true;else if (*PC != *UC)

/* Se il primo e l'ultimo carattere sono diversi */return false;

else/* Chiama se stessa ricorsivamente escludendo il primo e l'ultimo carattere */

return Palindrome (PC+1, UC–1);}

Ulteriori esempi (3)Ulteriori esempi (3)