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Faculdade de Ciências eFaculdade de Ciências e Tecnologia da UniversidadeTecnologia da Universidade
de Coimbrade Coimbra
TeoriaTeoria dasdas eleiçõeseleiçõesMATEMÁTICAMATEMÁTICA
Fundamentos e Ensino da ÁlgebFundamentos e Ensino da Álgebrara2004/20052004/2005
Trabalho realizado por:Trabalho realizado por: Ana Sofia Conceição Castanheira Catarina Soares Dias Cláudia Maria Ferreira Sebastião José Alberto Almeida Serra dos Santos
ÍNDICE
Teoria das Eleições
INTODUÇÃO ………………………………………………………………………… 3
CAPÍTULO I – MÉTODOS DE VOTAÇÃO …………………………………….... 5
1.1 Condições de Arrow ………………………………………………………….. 5
1.2 Métodos de votação …………………………………………………………… 6
1.2.1 O Método da Pluralidade ……………………………………………..... 12
1.2.2 O Método de Contagem de Borda ………………………………………18
1.2.3 O Método de Copeland ………………………………………………..... 32
1.2.4 O Método da Pluralidade com Eliminação …………………………… 35
1.2.5 O Método da Comparação Par a Par …………………………………. 52
1.2.6 Rankings ………………………………………………………………… 64
CAPÍTULO II – MÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESO ……………………… 77
2.1 Terminologia e Notação ……………………………………………………… 77
2.2 O Índice de Poder de Banzhaf ……………………………………………….. 81
2.2.1 Aplicações do Índice de Poder de Banzhaf ……………………………. 87
2.3 O Índice de Poder de Shapley-Shubik ………………………………………. 91
2.3.1 Aplicações do Índice de Poder de Shapley-Shubik …………………... 96
2.3.2 Eleições Europeias: comparação dos índices de poder apresentados .. 99
CAPÍTULO III – ELEIÇÕES EM PORTUGAL ………………………………… 104
CAPÍTULO IV – TEORIA DAS ELEIÇÕES NA ESCOLA ……………………. 110
CONCLUSÃO ………………………………………………………………………. 122
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ……………………………………………. 124
INTRODUÇÃO
Fundamentos e Ensino da Álgebra 2
Teoria das Eleições
No mundo actual é frequente encontrar, em revistas e jornais, artigos relacionados
com vários tipos de eleições: eleições Presidenciais, eleições Legislativas, referendos,
eleições em clubes desportivos para a escolha do seu presidente, eleição do vencedor do
festival da canção, eleições que decidem o país onde se realizam os jogos Olímpicos ou
o mundial de futebol. Numa Universidade, vota-se para a eleição do seu Reitor, para a
eleição dos corpos dirigentes das associações académicas; nas escolas, vota-se para
eleger o delegado de turma e nas famílias para eleger o destino das próximas férias.
Daqui concluímos que na sociedade democrática em que estamos inseridos, somos
constantemente solicitados para tomar decisões e é neste facto que reside a pertinência
do tema do nosso trabalho.
Podemos dizer que uma eleição é um processo pelo qual as sociedades ou grupos
democráticos, tentam resolver os muitos conflitos de opinião entre os seus membros
através de uma única escolha do grupo, escolha essa feita através do voto. É a partir do
voto que cada elemento de um grupo manifesta a sua posição sobre determinado assunto.
Numa democracia, todos os cidadãos têm o direito e o dever de expressarem a sua
opinião numa eleição, qualquer que seja a natureza da discussão em causa.
O processo eleitoral divide-se em dois momentos, a votação e a contagem dos
votos. Mas votar é a parte mais simples de um processo eleitoral e também a parte com a
qual toda a sociedade está mais familiarizada. O cerne do processo democrático
encontra-se na contagem dos votos, ou melhor ainda, na maneira como se descobre a voz
colectiva de um grupo, a partir dos votos individuais de cada membro desse grupo. É por
isso que grande parte das pessoas ficará intrigada com a existência de uma teoria das
eleições, pois pensará que basta fazer a eleição, contar os votos e com base nessa
contagem decidir o resultado da eleição de uma maneira consistente e justa. De facto, o
processo não é complicado quando se trata de escolher uma de entre apenas duas
hipóteses. No entanto, a situação é muito diferente se a escolha envolver três ou mais
alternativas pois não existe um processo razoável e totalmente justo, para a partir da
votação obtida, retirar o vencedor da eleição. É daqui que surge a necessidade da
existência de uma teoria das eleições.
No capítulo um do nosso trabalho abordaremos os diferentes métodos de votação,
desenvolvendo alguns aspectos teóricos ilustrados com muitos exemplos. Por sua vez no
capítulo dois teremos como objecto de estudo os sistemas de votação ponderada: este
assunto será desenvolvido de forma análoga ao capítulo anterior.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 3
Teoria das Eleições
Numa sociedade democrática todas as pessoas são iguais. No que respeita a
direitos de votação este ideal de igualdade traduz-se pelo princípio uma pessoa - um
voto. Será este princípio sempre justo? Será que se deve aplicar quando os eleitores são
mais que indivíduos, por exemplo, organizações ou países? Desde já salientamos que
cada pessoa ou instituição deve escolher o sistema de voto que acha mais justo e que
melhor se aplica à situação. Em qualquer sociedade diversificada e pluralista os
eleitores, sejam eles pessoas, organizações ou instituições, não são iguais e é por vezes
necessário reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus
votos. Este princípio designado como o princípio uma pessoa - x votos é usualmente
conhecido por votação ponderada e é precisamente o contrário do princípio uma pessoa -
um voto.
O melhor exemplo de um sistema de voto com peso é a controversa eleição do
Presidente dos Estados Unidos da América. Temos ainda outros exemplos tais como: os
quadros governamentais regionais e locais, os quadros das escolas, no consulado de
segurança das Nações Unidas, nas cooperações de accionistas em que os votos são de
acordo com o número de acções que cada um possui e muitos mais...
A qualquer arranjo formal no qual os eleitores não estejam em pé de igualdade no
que respeita ao número de votos que controlam, dá-se o nome de sistema de votação
ponderada. Nestes sistemas, a questão fulcral é a relação entre a quantidade de votos e o
poder de cada eleitor.
No capitulo três descreveremos, embora de forma sucinta, a forma como se
processam os actos eleitorais em Portugal, com especial relevo para o método usado na
conversão dos votos obtidos, no número de assentos parlamentares de dado partido.
Finalmente no capítulo quatro faremos uma exposição acerca da forma como este
tema, é hoje abordado no ensino secundário: quais os objectivos e conceitos leccionados,
qual o tipo de exercícios e exemplos propostos e a maneira como contextualizam este
assunto.
CAPÍTULO ICAPÍTULO IMÉTODOS DE VOTAÇÃOMÉTODOS DE VOTAÇÃO
Fundamentos e Ensino da Álgebra 4
ARROW J. KENNET1921-….
Teoria das Eleições
1.1 CONDIÇÕES DE ARROW
Existirá um sistema de votação justo?
Na tentativa de criar um sistema de votação perfeito, durante
vários séculos, alguns Matemáticos debruçaram-se sobre este assunto.
Foi apenas em 1951 que o matemático e economista americano
Kenneth J. Arrow apresentou um conjunto de condições, que cada
método de votação deveria de satisfazer, para ser considerado um
sistema de votação perfeitamente justo. Estas condições ficaram
conhecidas como condições de Arrow, as quais passamos a
enunciar:
Não à ditadura: a preferência de um só indivíduo não deve vir a ser uma
classificação de grupo, sem que sejam consideradas todas as outras preferências
individuais;
Soberania individual: a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas de
qualquer maneira e este pode ainda indicar empates;
Unanimidade: se cada indivíduo prefere uma escolha a outra, a classificação de
grupo deve ser a mesma;
Liberdade de alternativas irrelevantes: a classificação de grupo entre um par de
escolhas não depende das preferências individuais relativamente às restantes;
Classificação única de grupo: o método de produzir a classificação de grupo deve
levar a um único resultado, sempre que é aplicado ao mesmo conjunto de
preferências. A classificação de grupo também deve ser transitiva.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 5
Teoria das Eleições
Arrow investigou muitos dos métodos tradicionalmente usados para determinar
uma classificação de grupos, averiguando se eles obedeciam aos cinco critérios. No
entanto, começou a suspeitar que tal seria impossível. Aplicou o raciocínio lógico e
provou o seguinte facto, o mais famoso da teoria das eleições:
Em suma, a imparcialidade, a justiça total e consistente são impossíveis numa
democracia!
1.2 MÉTODOS DE VOTAÇÃO
No nosso trabalho vamos apresentar vários métodos de votação: como funcionam,
quais as suas implicações, quais os princípios básicos de justiça que violam…
Estes métodos têm por base eleições cujos boletins de voto são por ordem de
preferência, ou seja, actos eleitorais em que é pedido ao eleitor para ordenar todos os
candidatos pela sua preferência. Embora não seja a forma mais comum, este tipo de
votação permite ao eleitor expressar a sua opinião, relativamente ao mérito de todos os
candidatos. Uma forma lógica de organizar este tipo de votos, é agrupar os boletins que
são idênticos e elaborar uma tabela de preferências, onde de uma forma simples e
compacta se resume a quantidade de diferentes votos e a posição de cada candidato.
EXEMPLO 1.1 Fundamentos e Ensino da Álgebra 6
Teorema da impossibilidade de Arrow:Para eleições envolvendo mais do que dois candidatos é matematicamente
impossível encontrar um método, democrático e justo, para determinar o vencedor.
Teoria das Eleições
Realizaram-se, no passado mês de Setembro de 2004, as
eleições para eleger o novo secretário-geral do Partido Socialista.
Sabemos que se apresentaram como candidatos José Sócrates, Manuel
Alegre e João Soares, que votaram 23433 militantes do partido e que o
vencedor foi José Sócrates. Suponhamos agora que os boletins de voto eram por ordem
de preferência, ou seja, que cada militante tinha três espaços para colocar por ordem da
sua preferência, os candidatos. Ora, como se candidataram três pessoas à referida
eleição, existem 3! = 6 boletins de voto diferentes:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: João Soares
3º opção: José Sócrates
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: João Soares
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: José Sócrates
Figura 1.1: Os 6 boletins de voto por ordem de preferência possíveis para a eleição do Secretário-Geral do
Partido Socialista
Consideremos agora a seguinte situação hipotética: Na distrital socialista de Coimbra
existem 15 militantes. Todos eles participaram no escrutínio em questão, e os resultados
obtidos foram os seguintes:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
Fundamentos e Ensino da Álgebra 7
Teoria das Eleições
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Figura 1.2: Boletins de voto por ordem de preferência, obtidos após o acto eleitoral na distrital de
Coimbra.
Analisando a Figura 1.2 verificamos que há muitas repetições entre os boletins de
voto preenchidos, ou seja, diferentes militantes colocaram os candidatos exactamente da
Fundamentos e Ensino da Álgebra 8
Teoria das Eleições
mesma forma. Como já referimos, uma forma lógica de organizar os boletins é agrupar
os que são iguais, e isso conduz-nos ao agrupamento feito na figura 1.3. e seguidamente
à tabela 1.1.
Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Figura 1.3: Os distintos boletins de voto obtidos.
Número de votos 9 3 2 1
1ª opção José Sócrates José Sócrates Manuel Alegre João Soares
2ª opção Manuel Alegre João Soares José Sócrates José Sócrates
3ª opção João Soares Manuel Alegre João Soares Manuel Alegre
Tabela 1.1
Em alternativa a este formato, existe um outro formato para os boletins de voto
por ordem de preferência, no qual o nome dos candidatos aparece no boletim por uma
ordem aleatória e o eleitor põe a seguir ao nome de cada candidato a sua preferência (1,
2,...).
Boletim de Voto
Fundamentos e Ensino da Álgebra 9
Teoria das Eleições
1º opção: ____________
2º opção: ____________
3º opção: ____________
Figura 1.4 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato
habitual .
Boletim de Voto
João Soares: ___________
Manuel Alegre:_________
José Sócrates: __________
Figura 1.5 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato
alternativo.
Obviamente a lista de preferências terá outro aspecto. Por exemplo, a lista de
preferências apresentada na Tabela 1.1 toma o seguinte aspecto:
Número de votos 9 3 2 1
João Soares 3º 2º 3º 1º
Manuel Alegre 2º 3º 1º 3º
José Sócrates 1º 1º 2º 2º
Tabela 1.2
Existem duas particularidades a ter em conta quando trabalhamos com boletins de
voto por ordem de preferência:
A transitividade da preferência individual
Fundamentos e Ensino da Álgebra 10
Teoria das Eleições
Se um eleitor prefere A a B e B a C então segue-se automaticamente que
este leitor prefere A a C.
A eliminação de candidatos
A preferência relativa a um eleitor não é afectada pela eliminação de um
ou mais candidatados.
EXEMPLO 1.2
Recorrendo ao exemplo anterior, consideremos novamente o seguinte boletim de voto:
Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Figura 1.6 – Exemplo de um boletim de voto para a suposta eleição do Secretário-Geral do PS.
Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos, Manuel
Alegre desistiu da competição. Assim, o boletim de voto tomaria a forma abaixo
representada:
Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
Figura 1.7 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.6 após Manuel Alegre desistir da sua
candidatura.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 11
Teoria das Eleições
Deduzimos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é afectada:
José Sócrates permanece na primeira opção e João Soares move-se da terceira para a
segunda posição.
1.2.1 O MÉTODO DA PLURALIDADE
O método da pluralidade é talvez o método mais comum e simples para
encontrar o vencedor de uma eleição. Este método apresenta como vencedor de uma
eleição, o candidato (ou candidatos em caso de empate) que obtiver o maior número de
colocações em primeiro lugar. Salientamos que neste método a única informação
retirada dos boletins de voto diz respeito à escolha do primeiro lugar. Outro dado
relevante é o facto deste método ser uma extensão natural do princípio da regra da
maioria: numa eleição entre dois candidatos, o que tiver a maioria (mais do que metade)
dos votos vence.
EXEMPLO 1.3
Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande
quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são
líderes de audiência! Recentemente surgiu mais um destes programas: “A Quinta das
Celebridades”.
Neste programa entram dentro de uma quinta doze
concorrentes, supostamente conhecidos na sociedade, os quais
têm como objectivo permanecer nessa mesma quinta, sem
contacto com a realidade exterior, o máximo de tempo. Todas
as semanas é expulso um concorrente e o último será o
vencedor. Semanalmente quer os concorrentes, quer o “grande público” nomeiam para
sair, dois dos residentes da quinta. Posteriormente o “grande público” vota novamente,
mas agora para expulsar um dos 4 ou mais ( em caso de empates ) nomeados.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 12
Teoria das Eleições
Pedro Camilo(PC)
Paula Coelho(P)
José Castelo Branco (J)
Admitamos que numa dada semana estão nomeados para sair os seguintes
concorrentes:
Fátima Preto (F)
Alexandre Frota(A)
Suponhamos ainda que para expulsar um concorrente da quinta, basta aceder à
página do programa na Internet e preencher um boletim de voto por ordem de
preferência. Nesse boletim cada elemento do “grande público” coloca por ordem de
preferência os nomes de todos os concorrentes nomeados, começando pelo que prefere
que saia da quinta nessa semana e terminando naquele que gostaria que permanecesse.
Admitamos que a lista de preferências para a votação de quem vai sair da quinta
numa dada semana é a seguinte:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 13
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Tabela 1.3
Quando aplicamos o método da pluralidade ao exemplo da “Quinta das
Celebridades” obtemos:
A Fátima conseguiu 18000 votos em primeiro lugar.
O José Castelo Branco conseguiu 12000 votos em primeiro lugar.
O Alexandre conseguiu 10000 votos em primeiro lugar.
O Pedro Camilo conseguiu 9000 votos em primeiro lugar.
A Paula Coelho conseguiu 6000 votos em primeiro lugar.
Neste caso o resultado da eleição é claro:
A Fátima Preto vai ser expulsa.
Este método caracteriza-se também por satisfazer o critério da maioria, na
medida em que um candidato que tenha a maioria dos votos, é por ele declarado
vencedor.
É de referir que uma pluralidade não implica uma maioria, ou seja, o facto de um
candidato ter mais votos em primeiro lugar relativamente aos outros não significa que
tenha mais de metade dos votos, isto é a maioria. No entanto, uma maioria implicará
sempre uma pluralidade, ou seja, um candidato que tenha mais de metade dos votos em
primeiro lugar terá forçosamente mais votos em primeiro lugar, do que de qualquer outro
candidato.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 14
Critério da maioria:Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em
primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.
PARETO,PARETO, VILFREDOVILFREDO
1848 - 19231848 - 1923
Teoria das Eleições
Ainda dentro deste contexto, apresentamos em seguida o
critério de Pareto, o qual é também satisfeito pelo método da
pluralidade:
Lacunas no método da pluralidade
A principal limitação deste método é o facto de não ter em conta as restantes
escolhas dos eleitores, para além da primeira, o que poderá levar a resultados eleitorais
incorrectos e injustos.
EXEMPLO 1.4
Depois de terminada a fase final do Euro
2004, a UEFA decidiu atribuir o prémio “fair
play” à selecção mais bem comportada, durante
a sua participação, no referido evento tendo em
conta os seguintes parâmetros: comportamento
dos jogadores em campo, o respeito pelos
adversários e pelos árbitros, a atitude atacante das equipas e o próprio comportamento
dos adeptos. Suponhamos que: numa primeira fase a UEFA fez uma sondagem, ao
público europeu em geral, no sentido de eleger os 5 países mais bem comportados e
posteriormente constituiu um júri com 150 elementos (representantes das federações dos
Fundamentos e Ensino da Álgebra 15
Critério de Pareto:Se relativamente a dois candidatos X e Y todos os votantes preferirem X
a Y, então Y não deverá ganhar.
Teoria das Eleições
vários países intervenientes) no intuito de ordenar esses 5 países, em função do seu
comportamento. Cada elemento do júri votou, dispondo os 5 países pela sua ordem de
preferência, ou seja, do país que segundo o seu ponto de vista foi o mais bem
comportado, para o menos bem comportado. A lista de preferências que fornece o
resultado da votação está exposta na tabela seguinte:
Número de votos 72 70 8
1º opção República Checa Holanda Inglaterra
2º opção Holanda Suécia Holanda
3º opção Inglaterra França Suécia
4º opção França Inglaterra França
5º opção Suécia República Checa República Checa
Tabela 1.4
Se fosse utilizado o método da pluralidade a selecção mais bem comportada seria
a República Checa, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que a Holanda tem
70 votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que a Holanda é
uma melhor escolha para expressar o desejo de todos os elementos do júri. De facto,
comparando a Holanda, par a par, com todas as outras selecções, ela é sempre a escolha
favorita. Vejamos, comparando a Holanda com a República Checa temos 78 votos para a
Holanda (70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para a República Checa.
Do mesmo modo, comparando a Holanda com a Inglaterra resulta 142 votos para a
Holanda (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para a Inglaterra. Finalmente
quando a Holanda é comparada com qualquer uma das restantes selecções obtém 150
votos.
Sumariemos agora o problema do Exemplo 1.4. Embora a
selecção Holandesa vença na disputa par a par com qualquer outra
opção, o método da pluralidade não a escolhe para vencedora.
Podemos por isso afirmar que o método da pluralidade transgride
um princípio básico de justiça designado por critério de
Condorcet.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 16 CONDORCET, MARIE JEANCONDORCET, MARIE JEAN
ANTOINE NICOLAS DEANTOINE NICOLAS DE CARITATCARITAT
1743-17941743-1794
Teoria das Eleições
Outras das limitações da pluralidade é o facto de poderem surgir votos
estratégicos que possam alterar os resultados. Uma votação é considerada estratégica
quando um eleitor muda a verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto,
no sentido de manipular o resultado da eleição contra um dado candidato. No mundo
actual o voto estratégico pode ter consequências sérias e inesperadas.
EXEMPLO 1.5
Durante a última legislatura em que
António Guterres foi Primeiro-Ministro de
Portugal, verificou-se uma situação muito
particular na disposição dos deputados na
Assembleia da República: 115 deputados
pertenciam ao partido do Governo e os outros 115
aos partidos que compunham a oposição.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 17
Critério de Condorcet:
Critério ganhador: Se houver uma opção, a qual comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada vencedora da eleição. Um candidato nesta situação designa-se por candidato condorcet.
Critério perdedor: Se houver uma opção que perde no confronto par a par com qualquer outra, então essa opção não deve ser a vencedora da eleição.
Teoria das Eleições
No decorrer do ano 2000, José Daniel Rosas Campelo da Rocha, na altura
deputado do CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de Viana do Castelo, fez uma
greve de fome durante duas semanas, nos próprios corredores da Assembleia da
República, em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo
Limiano para Vale de Cambra.
Em Novembro desse mesmo ano, decorreu a votação para o
Orçamento de Estado de 2001. Habitualmente neste género de
votações os deputados estão obrigatoriamente sujeitos à disciplina
partidária. E se assim acontecesse, como a oposição pretendia
votar contra, o Orçamento não passaria. Mas Daniel Campelo, forte defensor dos
interesses do seu concelho, acordou com o Governo que se absteria se fossem
concedidos alguns benefícios para a sua região (tais como, a construção de várias
estradas e vias rápidas, investimentos nos portos e no sector da saúde, apoios à
construção de uma nova fábrica de queijo Limiano). Deste modo o Governo teria a
maioria e o Orçamento de Estado passaria. Assim foi.
Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP
deduzimos que concordava com os princípios desse mesmo
partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o Orçamento de Estado. Isto
significa que ele alterou o seu voto para influenciar o resultado da eleição, ou seja, fez
uma votação estratégica.
1.2.2 O MÉTODO DE CONTAGEM DE
BORDA
O método de contagem de Borda surgiu como alternativa ao
método da pluralidade e foi, durante muitos anos, tomado como um
método justo e eficaz. Ainda hoje o referido método é muito utilizado
nos mais variados actos eleitorais do mundo real, sobretudo quando o
número de candidatos é elevado.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 18
BORDA,JEAN CHARLESBORDA,JEAN CHARLES1733-17991733-1799
Teoria das Eleições
Neste método a cada posição da tabela de preferências é
atribuída uma pontuação. Por exemplo, dada uma eleição com
n candidatos distribuímos os pontos do seguinte modo:
1 Ponto ao último lugar;
2 Pontos ao penúltimo lugar;
.
.
.n Pontos ao primeiro lugar;
Depois somam-se os pontos de todos os candidatos e ordenam-se os mesmos de
acordo com o número total de pontos obtidos por cada um. Sai vencedor o candidato que
obtiver a pontuação máxima, o que ilustramos com o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.6
Recorramos novamente ao exemplo da Quinta das
Celebridades. A tabela que abaixo apresentamos mostra, em
cada coluna, os valores da pontuação de cada concorrente
nomeado, baseada no processo que atrás apresentámos: uma vez que existem 5
candidatos, o primeiro lugar merece 5 pontos, o segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto
2 e finalmente o quinto merece apenas 1 ponto.
Número de
votos18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
5 pontos
F:
5x18000
J:
5x12000
A:
5x10000
PC:
5x9000
P:
5x4000
P:
5x2000
2º opção:
4 pontos
PC:
4x18000
P:
4x12000
J:
4x10000
A:
4x9000
J:
4x4000
A:
4x2000
3º opção: P: PC: P: P: PC: PC:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 19
Teoria das Eleições
3 pontos 3x18000 3x12000 3x10000 3x9000 3x4000 3x2000
4º opção:
2 pontos
A:
2x18000
A:
2x12000
PC:
2x10000
J:
2x9000
A:
2x4000
J:
2x2000
5º opção:
1 ponto
J
1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.5
De forma sistemática, obtemos:
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000
J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000
A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000
PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000
P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000
Tabela 1.6
Concluímos então que, pela aplicação do método da Contagem de
Borda, será o Pedro Camilo que abandonará a Quinta das Celebridades na
semana em questão.
Salientamos ainda que para além desta forma de atribuição de pontos existem
outras duas:
1) Na primeira, sendo n o número total de candidatos são atribuídos:
0 Pontos para o último lugar;
1 Ponto para o penúltimo lugar;
. . .n-1 Pontos para o primeiro lugar;
Novamente o vencedor é o candidato que obtiver mais pontos.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 20
Teoria das Eleições
2) Na segunda, sendo uma vez mais n o número total de candidatos, são
atribuídos:
n Pontos para o último lugar;
n-1 Pontos para o penúltimo lugar;
. . .1 Ponto para o primeiro lugar;
Neste caso sai vencedor o candidato que obtiver menos pontos.
EXEMPLO 1.7
Vamos agora ilustrar as duas variantes do método de Contagem de Borda,
recorrendo ao exemplo anterior:
1) Na primeira variante as tabelas com a pontuação tomam o seguinte aspecto:
Número de
votos18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
4 pontos
F:
4x18000
J:
4x12000
A:
4x10000
PC:
4x9000
P:
4x4000
P:
4x2000
2º opção:
3 pontos
PC:
3x18000
P:
3x12000
J:
3x10000
A:
3x9000
J:
3x4000
A:
3x2000
3º opção:
2 pontos
P:
2x18000
PC:
2x12000
P:
2x10000
P:
2x9000
PC:
2x4000
PC:
2x2000
4º opção:
1 ponto
A:
1x18000
A:
1x12000
PC:
1x10000
J:
1x9000
A:
1x4000
J:
1x2000
Fundamentos e Ensino da Álgebra 21
Teoria das Eleições
5º opção:
0 pontos
J
0
F:
0
F:
0
F:
0
F:
0
F:
0
Tabela 1.7
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 72000 72000
J 48000+30000+9000+12000+2000 101000
A 18000+12000+40000+27000+4000+6000 107000
PC 54000+24000+10000+36000+8000+4000 136000
P 36000+36000+20000+18000+16000+8000 134000
Tabela 1.8
Observamos então que nesta variante do método de contagem de
Borda obtemos a mesma conclusão que no método original: o Pedro
Camilo vai ser expulso da quinta, com 136000 pontos.
2) Por sua vez na segunda variante, as tabelas com a pontuação tomam o seguinte
aspecto:
Número de
votos18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
1 pontoF: 1x18000
J:
1x12000
A:
1x10000
PC:
1x9000
P:
1x4000
P:
1x2000
2º opção:
2 pontos
PC:
2x18000
P:
2x12000
J:
2x10000
A:
2x9000
J:
2x4000
A:
2x2000
3º opção:
3 pontos
P:
3x18000
PC:
3x12000
P:
3x10000
P:
3x9000
PC:
3x4000
PC:
3x2000
4º opção:
4 pontos
A:
4x18000
A:
4x12000
PC:
4x10000
J:
4x9000
A:
4x4000
J:
4x2000
5º opção: J F: F: F: F: F:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 22
Teoria das Eleições
5 pontos 5x18000 5x12000 5x10000 5x9000 5x4000 5x2000
Tabela 1.9
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
A 72000+48000+10000+18000+16000+4000 168000
F 18000+60000+50000+45000+20000+10000 203000
J 90000+12000+20000+36000+8000+8000 174000
PC 36000+36000+40000+9000+12000+6000 139000
P 54000+24000+30000+27000+4000+2000 141000
Tabela 1.10
Como não podia deixar de ser quem terá de abandonar a quinta é o
Pedro Camilo, com 139000 pontos.
Dos exemplos anteriores concluímos então que:
Independentemente da variante do método em questão, o vencedor será sempre o
mesmo.
O método de contagem de Borda considera, fundamentalmente, toda a informação
que provém da ordem de preferências do eleitor, ao contrário do método da pluralidade
que apenas valoriza a primeira opção do eleitor. Facilmente se verifica que o método em
estudo satisfaz o critério de Pareto, pois se perante dois candidatos X e Y, todos os
votantes preferirem X a Y, obviamente X obterá mais pontos e portanto Y nunca poderá
ganhar. Satisfaz ainda o critério perdedor de condorcet, pois se houver um candidato Y
que perde no confronto par a par com todos os outros candidatos, esse obterá um número
reduzido de pontos, logo nunca ganhará a eleição. Além destes, é ainda satisfeito por
este método, o critério da monotonia, que passamos a anunciar.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 23
Critério da monotonia:Se a opção X vence numa eleição e numa reeleição as únicas alterações,
nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.
Teoria das Eleições
Se numa reeleição apenas for reforçada a opção X, essa opção obterá um número
ainda maior de pontos, logo permanece vencedora da eleição.
Lacunas no método de contagem de Borda
É de referir que este método viola o critério da maioria, uma vez que um candidato
com a maioria dos votos em primeiro lugar pode perder a eleição. Uma violação do
critério da maioria conduz sempre a uma violação do critério ganhador de Condorcet.
Portanto, podemos concluir que o método de contagem de Borda também viola o critério
ganhador de Condorcet. Ilustramos estes dois factos no seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.8
Todos os dias somos confrontados com a “guerra das audiências” entre os quatro
canais generalistas da televisão Portuguesa. Desenvolvem-se esforços, investem-se
milhares de euros e mobilizam-se todos os meios no sentido de captar a atenção dos
espectadores e de rentabilizar cada uma das referidas estações. Suponhamos que os
estudantes de Jornalismo da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra decidiram
levar a cabo uma pesquisa, no sentido de avaliar as preferências da população
universitária, no que respeita a este assunto. Para tal, abordaram 39 alunos e pediram-
lhes que ordenassem por ordem de preferências os 4 canais: RTP1, 2:, SIC, TVI. O
resultado da votação foi o seguinte:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 24
Número de votos 20 15 4
1º opção TVI SIC RTP1
2º opção SIC RTP1 2 :
3º opção RTP1 2: SIC
4º opção 2: TVI TVI
Teoria das Eleições
Tabela 1.11
Utilizando o método de contagem de Borda, obtiveram a pontuação expressa na
tabela seguinte:
Tabela 1.12
Simplificando temos,
Tabela 1.13
Concluíram assim que, pelo método de contagem de Borda, a SIC é o canal
preferido dos estudantes de Coimbra. Embora, o critério da maioria diga que a TVI é a
estação predilecta. Além disso também pelo critério ganhador de Condorcet deveria ser a
TVI a ganhar pois ela vence nas comparações par a par com todos os outros candidatos
por 20-19.
Variantes do método da contagem de Borda
Fundamentos e Ensino da Álgebra 25
Número de votos 20 15 4
1º opção: 4 pontos TVI: 4x20 SIC: 4x15 RTP1: 4x4
2º opção: 3 pontos SIC: 3x20 RTP1: 3x15 2: : 3x4
3º opção : 2 pontos RTP1 : 2x20 2: : 2x15 SIC: 2x4
4º opção: 1 ponto 2: : 1x20 TVI: 1x15 TVI: 1x4
Estações de Televisão Pontuação discriminada Pontuação Total
TVI 80+15+4 99
RTP1 40+45+16 101
SIC 60+60+8 128
2: 20+30+12 62
Teoria das Eleições
Mais tarde foram propostas as seguintes variantes ao método de contagem de
borda:
A variante proposta por Duncan Black que consistia no seguinte: usa-se
primeiro o critério ganhador de Condorcet, ou seja, efectuam-se
comparações entre todos os pares. Se um candidato ganhar a todos os outros
nestas comparações, será o vencedor. Se nenhum ganhar a todos os outros,
usa-se o método de Borda.
Este método transgride um critério chamado Smith que diz o seguinte:
EXEMPLO 1.9
Admitamos que o “24 Horas”, um conceituado jornal português, decidiu eleger o
político mais popular da actualidade. Depois de várias entrevistas de rua a cidadãos
anónimos, constituíram um grupo de 7 individualidades, do mundo da política, que foi
sujeito posteriormente ao veredicto de um júri composto por 3 elementos. Os políticos
mais carismáticos para “o povo” são:
- Pedro Santana Lopes (P);
- José Sócatres (J);
- Paulo Portas (PP);
- Jorge Sampaio (JS);
- Carlos Carvalhas (C);
- Francisco Louçã (F);
- Ferro Rodrigues (FR);
Fundamentos e Ensino da Álgebra 26
Critério de Smith:Sejam α e β subconjuntos do conjunto dos candidatos, que formam
partição. Se cada X pertencente a α vence cada Y pertencente a β, então nenhum candidato Y do subconjunto β pode ser vencedor.
Teoria das Eleições
Suponhamos que o júri optou por votar os 7 candidatos por ordem de preferência,
usando como método de votação a variante de Duncan Black, do método de contagem
de Borda. Consideremos ainda as seguintes partições: α = { P, J, PP }, β = { JS, C, F, FR
}. Feita a votação, os resultados obtidos foram:
1 Votante 1 Votante 1 Votante
P J PP
J PP P
JS JS JS
C C C
F F F
FR FR FR
PP P J
Tabela 1.14
Efectuando as sucessivas comparações par a par concluímos que cada um dos
candidatos de α, ou seja P, J, PP, vence cada um dos candidatos de β, ou seja JS, C, F,
FR, por 2-1. Comparando P, J, PP temos que:
P versus J: 2 – 1;
J versus PP: 2 – 1;
PP versus P: 2 – 1;
Concluímos então que não há um candidato de Condorcet, logo vamos aplicar o
método de contagem de Borda:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 27
Número de votos 1 1 1
1º opção: 7 pontos P: 7 J: 7 PP: 7
2º opção: 6 pontos J: 6 PP: 6 P: 6
3º opção : 5 pontos JS: 5 JS : 5 JS: 5
4º opção: 4 pontos C: 4 C: 4 C: 4
5ª opção: 3 pontos F: 3 F: 3 F: 3
6ª opção: 2 pontos FR: 2 FR: 2 FR: 2
7ª opção: 1 ponto PP: 1 P : 1 J: 1
Teoria das Eleições
Tabela 1.15
´
Tabela 1.16
Pela variante de Ducan Black, Jorge Sampaio é o político mais popular da
actualidade. JS é um candidato da partição β e como já vimos todos os candidatos de α
vencem na comparação par a par os candidatos de β, logo esta variante transgride o
critério de Smith.
A variante proposta por Nanson consiste num método do tipo
eliminatório, que sucessivamente elimina o candidato com menor pontuação
de Borda. Vejamos com o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.10
Fundamentos e Ensino da Álgebra 28
CandidatosPontuação
discriminadaPontuação Total
P 7+1+6 14
J 6+7+1 14
PP 1+6+7 14
JS 5+5+5 15
C 4+4+4 12
F 3+3+3 9
FR 2+2+2 4
Teoria das Eleições
O Futebol é desporto preferido do povo português! É causa de muitas alegrias,
também de muitos dissabores, podemos vê-lo ainda como um negócio que move milhões
de euros ou até mesmo como uma religião. Enfim é o “desporto rei”! A “1ª Liga” está já
em pleno e os adeptos começam já a fazer prognósticos relativamente a quem sairá
vencedor deste campeonato. Os 20 funcionários de uma dada empresa decidiram ir a
votos ( por ordem de preferência ) para ver quem, segundo as convicções de cada um,
será o campeão! Escolheram como método de votação a variante de Nanson do método
da contagem de Borda. Os resultados obtidos são os descritos na seguinte tabela de
preferências:
Tabela 1.17
Aplicando o método da Contagem de Borda obtemos:
Tabela 1.18
Simplificando temos,
Tabela 1.19
Eliminamos o Futebol Clube do Porto. Reconstruindo a tabela de preferências
temos:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 29
Número de votos 8 5 5 2
1º opção SLB FCP SCP FCP
2º opção SCP SLB FCP SCP
3º opção FCP SCP SLB SLB
Número de votos 8 5 5 2
1º opção: 3 pontos SLB: 3x8 FCP: 3x5 SCP: 3x5 FCP:3x2
2º opção: 2 pontos SCP: 2x8 SLB: 2x5 FCP: 2x5 SCP: 2x2
3º opção : 1 pontos FCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2
Clubes de Futebol Pontuação discriminada Pontuação Total
SLB 24+10+5+2 41
SCP 16+5+15+4 40
FCP 8+15+10+6 39
Teoria das Eleições
Tabela 1.20
Aplicando novamente o método da Contagem de Borda obtemos:
Tabela 1.21
Simplificando temos,
Tabela 1.22
Eliminamos o Sporting Clube de Portugal e desta forma, segundo os funcionários
da referida empresa, o Sport Lisboa e Benfica será o novo campeão de 1ª Liga
Portuguesa.
É fácil de ver, como está evidenciado no exemplo a seguir, que também na
variante proposta por Nanson falha o critério da monotonia.
EXEMPLO 1.11
Retomemos o exemplo anterior e suponhamos que, por qualquer motivo, os
intervenientes decidiram repetir a votação. Admitamos ainda que os 2 últimos votantes
decidiram, nesta nova votação, favorecer o Benfica da seguinte forma:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 30
Número de votos 8 5 5 2
1º opção SLB SLB SCP SCP
2º opção SCP SCP SLB SLB
Número de votos 8 5 5 2
1º opção: 2 pontos SLB: 2x8 SLB: 2x5 SCP: 2x5 SCP:2x2
2º opção: 1 pontos SCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2
Clubes de Futebol Pontuação discriminada Pontuação Total
SLB 16+10+5+2 33
SCP 8+5+10+4 27
Teoria das Eleições
Tabela 1.23
Aplicando o método da Contagem de Borda obtemos:
Tabela 1.24
Simplificando temos,
Tabela 1.25
Agora eliminamos o Sporting Clube de Portugal. Reconstruindo a tabela de
preferências temos:
Tabela 1.26
Aplicando novamente o método da Contagem de Borda obtemos:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 31
Número de votos 8 5 5 2
1º opção SLB FCP SCP FCP
2º opção SCP SLB FCP SLB
3º opção FCP SCP SLB SCP
Número de votos 8 5 5 2
1º opção: 3 pontos SLB: 3x8 FCP: 3x5 SCP: 3x5 FCP:3x2
2º opção: 2 pontos SCP: 2x8 SLB: 2x5 FCP: 2x5 SLB: 2x2
3º opção : 1 pontos FCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SCP: 1x2
Clubes de Futebol Pontuação discriminada Pontuação Total
SLB 24+10+5+4 43
SCP 16+5+15+2 38
FCP 8+15+10+6 39
Número de votos 8 5 5 2
1º opção SLB FCP FCP FCP
2º opção FCP SLB SLB SLB
Teoria das Eleições
Tabela 1.27
Simplificando temos,
Tabela 1.28
Eliminamos o Sport Lisboa e Benfica e nesta 2ª votação, segundo os funcionários
da referida empresa, o Futebol Clube do Porto será o novo campeão de 1ª Liga
Portuguesa. Logo esta variante transgride o Critério da monotonia, como havíamos já
afirmado.
1.2.3 O MÉTODO DE COPELAND
O método de Copeland assenta no seguinte procedimento: compara-se cada
candidato com cada um dos outros. Atribuímos a cada candidato os números G -
número de candidatos a que ele vence- e L - o número de candidatos que o venceu.
Associamos a todos os candidatos o valor G – L. Ganha o candidato para o qual G – L é
máximo. Neste método surgem empates frequentes.
Este método satisfaz o critério ganhador de Condorcet, pois se um candidato vence
todos os outros, e sendo n o número de candidatos, então L = 0 e G = n – 1, logo esse
Fundamentos e Ensino da Álgebra 32
Número de votos 8 5 5 2
1º opção: 2 pontos SLB: 2x8 FCP: 2x5 FCP: 2x5 FCP:2x2
2º opção: 1 pontos FCP: 1x8 SLB: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2
Clubes de Futebol Pontuação discriminada Pontuação Total
SLB 16+5+5+2 28
FCP 8+10+10+4 32
Teoria das Eleições
candidato é o vencedor. É também de referir que este método entra em contradição com
as contagens de Borda. Vejamos o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.12
O Gabinete de informação de uma dada estação de televisão, decidiu
constituir um júri para avaliar, em vários aspectos, as seguintes rádios: Antena 3
(A), RFM, Comercial (C), Cidade (RC) e TSF. O objectivo é identificar a rádio
que melhor satisfaz as necessidades dos ouvintes no que respeita a serviços
noticiosos, entretenimento, passatempos, música entre outros. Consideremos que o
júri é composto por 9 elementos e que estes decidiram votar por ordem de
preferência as rádios, usando como método de votação o método de Copeland. A
tabela de preferências é:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 33
Número de votos 1 4 1 3
1º opção A C TSF TSF
2º opção RFM RC A A
3º opção C RFM RC RFM
4ª opção RC TSF RFM RC
5ªopção TSF A C C
Teoria das Eleições
Tabela 1.29
Depois de efectuadas as comparações obtemos o seguinte:
A: 3-1=2;
RFM: 2-2=0;
C: 2-2=0;
RC: 2-2=0;
TSF: 1-3=-2.
Desta forma, segundo o método de Copeland, ganha a Antena 3. Referimos
apenas, que a TSF é a pior classificada.
Apliquemos agora a este exemplo o Método da contagem de Borda:
Tabela 1.30
Simplificando temos,
Tabela 1.31
Fundamentos e Ensino da Álgebra 34
Número de votos 1 4 1 3
1º opção: 5 pontos A: 1x5 C: 4x5 TSF: 1x5 TSF:3x5
2º opção: 4 pontos RFM: 1x4 RC: 4x4 A: 1x4 A: 3x4
3º opção : 3 pontos C: 1x3 RFM: 4x3 RC: 1x3 RFM: 3x3
4ª opção: 2 pontos RC : 1x2 TSF: 4x2 RFM: 1x2 RC: 3x2
5ª opção: 1 ponto TSF : 1x1 A: 4x1 C: 1x1 C: 3x1
Rádios Pontuação discriminada Pontuação Total
A 5+4+4+12 25
RFM 4+12+2+9 27
C 3+20+1+3 27
RC 2+16+3+6 27
TSF 1+8+5+15 29
Teoria das Eleições
Por sua vez o método de Contagem de Borda dita como vencedora a TSF, sendo
a Antena 3 a pior classificada.
1.2.4 O MÉTODO DA PLURALIDADE COM
ELIMINAÇÃO
O método da pluralidade com eliminação consiste em eliminar
progressivamente os candidatos menos aptos, um por um, até se obter um vencedor, ou
seja, este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos.
Seguidamente descrevemos como se processa o método em estudo:
1º Passo:
Tal como no método da pluralidade contam-se os votos em primeiro lugar de
cada candidato.
Se houver algum candidato que tenha a maioria ( pelo menos metade mais
um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha
o menor número de votos em primeiro lugar.
2º Passo:
O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são agora excluídos da
tabela de preferências. Relembramos que uma vez retirado da lista de
preferências um candidato, na sua coluna, os candidatos abaixo colocados
Fundamentos e Ensino da Álgebra 35
Teoria das Eleições
movem-se para cima um lugar. Contam-se novamente os votos em primeiro
lugar.
Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais
um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha
o menor número de votos em primeiro lugar.
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos
votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.
EXEMPLO 1.13
Vamos utilizar novamente o exemplo da Quinta das
Celebridades, aplicando-lhe agora o método da pluralidade
com eliminação.
1º Passo:
Tabela 1.32
Uma vez que nenhum dos concorrentes tem a maioria ( no mínimo metade mais
um ou seja pelo menos 27501) dos votos em primeiro lugar, vamos eliminar o
concorrente com menor número de votos em primeiro lugar isto é vamos eliminar a
Paula Coelho.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 36
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
2º Passo:
Uma vez que a Paula Coelho foi eliminada, todos os concorrentes abaixo dela
sobem um degrau, logo José Castelo Branco ficará com mais 4000 votos em primeiro
lugar, e o Alexandre Frota com mais 2000. Agrupamos os boletins que ficaram iguais
depois da eliminação da Paula Coelho e obtemos a tabela seguinte:
Tabela 1.33
Concluímos, através dessa mesma tabela que o Pedro Camilo será eliminado.
3º Passo:
Prosseguindo da mesma forma, verificámos que o Alexandre Frota fica com mais
9000 votos em primeiro lugar. Voltámos a organizar os dados e obtivemos a tabela
seguinte:
Tabela 1.34
É fácil verificar que José Castelo Branco será eliminado, pois é o concorrente com
menos votos em primeiro lugar.
4º Passo:
Finalmente, excluímos José Castelo Branco e obtivemos a tabela que se segue:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 37
Número de votos 18000 16000 10000 9000 2000
1º opção F J A PC A
2º opção PC PC J A PC
3º opção A A PC J J
4º opção J F F F F
Número de votos 18000 16000 21000
1º opção F J A
2º opção A A J
3º opção J F F
Teoria das Eleições
Tabela 1.35
Daqui concluímos que Alexandre Frota será expulso, pois é ele
que tem a maioria dos votos em primeiro lugar.
Então, segundo o método da pluralidade com eliminação, Alexandre Frota
abandonará, na semana em questão, a “quinta mais vigiada de Portugal”.
Analisemos agora mais alguns exemplos, onde se utiliza o método da pluralidade
com eliminação.
EXEMPLO 1.14
Um grupo de 26 docentes do Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra está a preparar uma acção de
formação, para professores do ensino básico e secundário, sobre o tema “Teoria das
Eleições “. Esse evento será organizado numa das escolas secundárias da cidade de
Coimbra. Mas eis que surgem problemas relativamente a escolha do referido
estabelecimento de ensino e os docentes decidem votar por ordem de preferência as
seguintes escolas: Escola Secundária Quinta das Flores (QF), Escola Secundária Infanta
Dona Maria (DM), Escola Secundária de Avelar Brotero (AB), Escola Secundária Jaime
Cortesão (JC) e Escola Secundária José Falcão (JF). A lista de preferências obtida foi:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 38
Número de votos 18000 37000
1º opção F A
2º opção A F
Número de votos 10 5 2 1 4 4
1º opção DM JF AB AB JC QF
2º opção JF JC DM QF AB JC
3º opção AB QF QF JF DM AB
4º opção JC AB JF DM QF DM
5º opção QF DM JC JC JF JF
Teoria das Eleições
Tabela 1.36
Como temos 26 eleitores são necessários 14 ou mais votos para atingir uma
maioria. Vamos usar o método da pluralidade com eliminação para encontrar o nome da
escola que receberá a dita acção de formação.
1ºPasso:
Tabela 1.37
Uma vez que nenhuma das escolas obteve 14 ou mais votos em primeiro lugar e a
Escola Secundária Avelar Brotero é a que tem menos votos em primeiro lugar,
eliminamos do processo essa mesma escola.
2º Passo:
Dos 3 votos, em que a Avelar Brotero estava em primeiro lugar, 2 vão para a Dona
Maria (basta verificar a terceira coluna da lista de preferências) e 1 vai para a Quinta das
Flores (da quarta coluna da lista de preferências).
Tabela 1.38
Agora a Jaime Cortesão é a que tem menos votos em primeiro lugar, por isso vai
ser eliminada.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 39
Escolas Candidatas DM JF AB JC QF
Número de votos em primeiro lugar 10 5 3 4 4
Escolas Candidatas DM JF AB JC QF
Número de votos em primeiro lugar 12 5 4 5
Teoria das Eleições
3º Passo:
Os 4 votos em primeiro lugar da Jaime Cortesão iriam para a Avelar Brotero
(quinta coluna), mas como a Avelar Brotero também já está fora da corrida, vamos
verificar qual a escola abaixo dessa, na mesma coluna. A Dona Maria é a felizarda.
Tabela 1.39
Agora podemos parar, não precisamos de avançar porque temos um candidato com
a maioria dos votos em primeiro lugar. A Escola Secundária Dona Maria é a vencedora,
será lá que irá ser concretizada a acção de formação sobre “Teoria das Eleições”.
EXEMPLO 1.15
Na passada Queima das Fitas os quartanistas de Direito
organizaram um jantar de curso na noite da serenata. Dado que
havia diferentes opiniões relativamente à escolha do restaurante
decidiram ir a votos. A escolha incidia sobre os seguintes
estabelecimentos: “O Telheiro” (T), “Prazeres da Carne” (PC),
“Farmácia” (F) e “O Napolitano” (N). A tabela abaixo apresentada
expressa o resultado da votação:
Tabela 1.40
Fundamentos e Ensino da Álgebra 40
Escolas Candidatas DM JF AB JC QF
Número de votos em primeiro lugar 16 5 5
Número de votos 8 6 2 19
1º opção PC F T N
2º opção F N N F
3º opção N T PC PC
4º opção T PC F T
Teoria das Eleições
O número de quartanistas eleitores é 8+6+2+19=35, ou seja, são necessários 18 ou
mais votos em primeiro lugar para obter uma maioria. “O Napolitano” tem 19 votos,
então é automaticamente o vencedor desta eleição.
Com os dois exemplos anteriores verificamos que o método da pluralidade com
eliminação satisfaz o critério da maioria.
Lacunas no método da pluralidade com
eliminação
Este método transgride o critério da monotonia e o critério ganhador de Condorcet,
com verificamos nos seguintes exemplos:
EXEMPLO 1.16
Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos Olímpicos é
necessário escolher qual a cidade anfitriã ou seja a cidade à qual
caberá a nobre tarefa de organizar este famoso evento. Essa é uma
eleição que levanta muitas controvérsias pois provoca grandes
alterações no desenvolvimento da cidade, quer a nível económico
quer a nível político. Os eleitores são os membros do Comité
Olímpico Internacional e o método actualmente utilizado é o método
da pluralidade com eliminação com uma pequena alteração. Essa alteração consiste no
facto de que cada eleitor apresenta as suas preferências em cada ronda em vez de as
mostrar ordenadas, todas de uma só vez.
Suponhamos que para a organização dos Jogos Olímpicos de Verão 2004
concorreram três cidades: Beijing (China), Atenas (Grécia), Istambul (Turquia) e que
eram 29 os membros do Comité Internacional Olímpico. Além disso, vamos utilizar o
método da pluralidade com eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 41
Teoria das Eleições
Admitamos agora que dois dias antes da eleição se efectuou uma sondagem
apenas para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa sondagem são
apresentados na tabela seguinte:
Tabela 1.41
Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o
vencedor desta sondagem.
1º Passo:
Tabela 1.42
Atenas é a cidade com menos votos em primeiro lugar, logo será a eliminada.
2º Passo:
Como Atenas foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam
passam para Beijing. Temos então,
Tabela 1.43
Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing é
a cidade vencedora desta sondagem.
Admitamos que a divulgação da referida sondagem influenciará alguns eleitores
a alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4 eleitores da última coluna da
tabela 1.41 decidem alterar os seus votos, pondo em primeiro lugar Beijing em vez de
Istambul.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 42
Número de votos 7 8 10 4
1º opção I A B I
2º opção A B I B
3º opção B I A A
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 10 11 8
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 18 11
Teoria das Eleições
Eis que o grande dia chegou! O Comité Olímpico foi a votos e os resultados da
eleição são os apresentados na tabela seguinte:
Tabela 1.44
Vamos agora aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados
apresentados nesta tabela:
1º Passo:
Tabela 1.45
Istambul é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.
2º Passo:
Sendo Istambul eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para Atenas.
Originando uma nova tabela.
Tabela 1.46
Atenas é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem
mais votos em primeiro lugar.
É um facto bastante estranho não ser Beijing a vencedora. Se
repararmos a única alteração que ocorreu da sondagem para a eleição
Fundamentos e Ensino da Álgebra 43
Número de votos 7 8 14
1º opção I A B
2º opção A B I
3º opção B I A
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 14 7 8
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 14 15
Teoria das Eleições
oficial foi alguns eleitores alterarem Beijing de segunda para primeira preferência. Em
princípio isso deveria favorecer Beijing. Mas o que realmente acontece é que esta
situação é uma falha deste método: o método da pluralidade com eliminação viola o
critério da monotonia, como havíamos já referido.
EXEMPLO 1.17
O ano lectivo 2004/2005 ficará marcado pelo
irremediável atraso na colocação dos professores. Dada a
gravidade do assunto, é do conhecimento de todos que o nosso
Governo, liderado por Pedro Santana Lopes, constituiu uma
comissão de inquérito com o objectivo averiguar
responsabilidades. Suponhamos que a já citada comissão é
composta por 30 elementos e que são apontadas como causas de
tal problema as seguintes entidades ou situações:
A – A empresa contratada para a realização do concurso.
B – A actual ministra.
C – O ministro anterior.
D – Os serviços do ministério.
E – A dissolução do Governo de Durão Barroso.
Admitamos ainda que, a fim de se apurarem os responsáveis, cada elemento da
comissão votou por ordem de preferência as possíveis causas acima enunciadas;
colocando em primeiro a situação ou entidade que acha culpada e terminando com
aquela que considera isenta de culpa. O resultado de tal processo eleitoral encontra-se na
seguinte tabela:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 44
Número de votos 10 8 5 4 3
1º opção A D B C E
2º opção C C C B A
3º opção B B D D C
4º opção D E A E B
5º opção E A E A D
Teoria das Eleições
Tabela 1.47
Verifiquemos quem é o vencedor de tal eleição utilizando o método da
pluralidade com eliminação.
1º Passo:
Tabela 1.48
A causa E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será
eliminada.
2º Passo:
Como a causa E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para a
causa A.
Tabela 1.49
A causa C é que será eliminada neste passo.
3º Passo:
Uma vez que a causa C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para a
causa B.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 45
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 9 8
Teoria das Eleições
Tabela 1.50
Agora será a causa D a eliminada.
4º Passo:
Dado que a causa D foi eliminada os seus votos passam para a causa B.
Tabela 1.51
Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a causa B, ou seja a comissão
de inquérito aponta como culpada pelo atraso na colocação dos professores a actual
ministra da educação.
Verifiquemos, por outro lado, que a causa C é um candidato de Condorcet.
Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparada com B
tem 25 contra 5; comparada com D tem 22 contra 8; e comparada com E tem 27 contra
3. Como a causa C é um candidato de Condorcet e não é a vencedora da eleição
podemos afirmar que o método da pluralidade com eliminação viola o critério de
Condorcet.
Apesar das lacunas apresentadas o método em questão é utilizado em diferentes
situações do mundo real, sobretudo em eleições com número reduzido de candidatos
(normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6)
Fundamentos e Ensino da Álgebra 46
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 17
Teoria das Eleições
Variantes do método da pluralidade com
eliminação
Método da pluralidade com Runoff (ou método da corrida final)
A descrição deste método é a seguinte:
1º Passo:
Conta-se o número de votos em primeiro lugar e se porventura um deles
obtiver a maioria (pelo menos metade mais 1) é anunciado como o vencedor
da eleição.
Se isto não acontecer eliminam-se todos os candidatos com a excepção dos
dois que acumularem mais votos em primeiro lugar.
2º Passo:
Os candidatos eliminados no passo anterior são excluídos da tabela de
preferências. Procede-se a uma nova contagem, sendo vencedor da eleição o
candidato que obtiver a maioria dos votos em primeiro lugar.
EXEMPLO 1.18
Vamos mais uma vez utilizar o exemplo da Quinta das Celebridades, agora para
mostrar como funciona o método da pluralidade com Runoff.
1º Passo:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 47
Teoria das Eleições
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.52
Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos com
menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos reter, apenas, os dois candidatos
com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os candidatos A, PC e P.
Obtemos a tabela seguinte:
2º Passo:
Tabela 1.53
Agora é José Castelo Branco quem tem a maioria dos votos em
primeiro lugar, ou seja vai ter de ser ele a abandonar a “quinta mais
vigiada de Portugal”.
Método de Coombs
Fundamentos e Ensino da Álgebra 48
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 37000
1º opção F J
2º opção J F
Teoria das Eleições
Este método assemelha-se em tudo ao método da pluralidade com eliminação, mas
neste eliminamos a cada passo o candidato com maior número de votos em último lugar.
Ou seja,
1º Passo:
Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos em último lugar;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais
um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem
maior número de votos em último lugar;
2º Passo:
O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são excluídos da tabela de
preferências;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais
um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem
maior número de votos em último lugar.
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos
votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.
EXEMPLO 1.19
Fundamentos e Ensino da Álgebra 49
COOMBS, CLYDECOOMBS, CLYDE F.F.
1912 - 19881912 - 1988
Teoria das Eleições
Retomemos, novamente, o exemplo da Quinta das
Celebridades para ilustrar o método de Coombs.
1º Passo:
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.54
Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,
vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.
Verificámos que a Fátima Preto é quem aparece mais vezes em último lugar (em
37000 boletins contra o José Castelo Branco que aparece nos restantes), então será
eliminada.
2º Passo:
A lista de preferências é, obviamente, modificada e toma agora o seguinte
aspecto:
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção PC J A PC P P
2º opção P P J A J A
3º opção A PC P P PC PC
4º opção J A PC J A J
Fundamentos e Ensino da Álgebra 50
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Tabela 1.55
Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, por
isso vamos ter que recontar os votos para o último lugar.
O José Castelo Branco tem 29000 votos em último lugar, o Alexandre Frota tem
16000, o Pedro Camilo tem 10000 e a Paula Coelho não tem votos em último lugar. O
que significa que José Castelo Branco é quem será eliminado.
3º Passo:
Obtemos a seguinte lista de preferências:
Número de votos 27000 22000 4000 2000
1º opção PC A P P
2º opção P P A PC
3º opção A PC PC A
Tabela 1.5
Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro
lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.
O Alexandre Frota tem 29000 votos em último lugar e o Pedro Camilo 26000. A
Paula Coelho continua a não ter nenhum. Então o Alexandre Frota será eliminado.
4º Passo:
Obtemos uma nova lista de preferências:
Número de votos 27000 28000
1º opção PC P
2º opção P PC
Tabela 1.57
Fundamentos e Ensino da Álgebra 51
Teoria das Eleições
Finalmente, a Paula Coelho tem 28000 votos em primeiro
lugar, ou seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que será
ela, a celebridade, a abandonar a quinta.
Sistematizando agora a informação relativa às aplicações do método da
pluralidade com eliminação e suas variantes, no exemplo da Quinta das Celebridades,
concluímos que:
Método / Variante Concorrente vencedor
Pluralidade com Eliminação Alexandre Frota
Pluralidade com Runoff José Castelo Branco
Coombs Paula Coelho
Tabela 1.58
As diferentes modalidades do método da pluralidade com eliminação dão-nos
diferentes vencedores.
1.2.5 O MÉTODO DA COMPARAÇÃO PAR A
PAR
O método da comparação par a par consiste em comparar todos os candidatos
dois a dois. Designamos por comparação par a par cada uma destas comparações.
Dados dois candidatos X e Y, é atribuído numa comparação par a par, 1 ponto ao
vencedor, que é o candidato que se encontra com melhor posição num maior número de
colunas da tabela de preferências. Em situação de empate é atribuída ½ ponto a cada
um dos candidatos. Será declarado vencedor da eleição o candidato que após terem sido
realizadas todas as comparações par a par, obtiver maior número de pontos. Neste
método é frequente ocorrerem casos de empate, ou se aceita a existência de mais do que
um vencedor ou, caso contrário, usa-se um método pré-determinado de desempate.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 52
Teoria das Eleições
EXEMPLO 1.20
Para ilustrar este método, consideremos de novo o
exemplo da votação nos concorrentes da “Quinta das
Celebridades”.
Analisemos a tabela seguinte:
Tabela 1.59
Desencadeemos a comparação par a par entre Fátima Preto e José Castelo
Branco:
Na primeira coluna da tabela de preferência verificamos que os 18000 votos vão
para a Fátima Preto, uma vez que este candidato ocupa uma posição superior na ordem
de preferência, relativamente ao José Castelo Branco. No entanto, os restantes 37000
votos vão para José Castelo Branco. Portanto, o vencedor desta comparação par a par é
José Castelo Branco, que ganha um ponto.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 53
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Tabela 1.60
No caso da comparação par a par entre o Alexandre Frota e o Pedro Camilo,
verifica-se que existem 43000 eleitores que preferem o Pedro Camilo ao Alexandre
Frota e apenas 12000 eleitores que preferem o Alexandre Frota ao Pedro Camilo.
Portanto o vencedor desta comparação par a par é o Pedro Camilo, que ganha um ponto.
Tabela 1.61
Fazendo-se todas as comparações possíveis, os resultados são:
F versus J: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
José Castelo Branco vence e obtém 1 ponto.
F versus A: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.
F versus PC: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
F versus P: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
J versus A: (12000+4000)=16000 votos
para (18000+10000+9000+2000)=39000
Fundamentos e Ensino da Álgebra 54
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.
J versus PC: (12000+10000+4000)=26000 votos
para (18000+9000+2000)=29000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
J versus P: (12000+10000)=22000 votos
para (18000+9000+4000+2000)= 33000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
A versus PC: (10000+2000)=12000 votos
para (18000+12000+9000+4000)= 43000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
A versus P: (10000+9)=19000 votos para (18000+12000+4000+2000)=36000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
PC versus P: (18000+9000)=27000 votos
para (12000+10000+4000+2000)=28000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
Procedendo desta forma os resultados obtidos após a contagem dos pontos são os
seguintes:
Fátima
Preto0 pontos
José
Castelo
Branco
1 pontos
Alexandre
Frota2 pontos
Pedro
Camilo3 pontos
Fundamentos e Ensino da Álgebra 55
Teoria das Eleições
Paula
Coelho4 pontos
Tabela 1.62
Conclusão:
O vencedor da eleição é o concorrente P! Ou seja, é a Paula
Coelho que vai abandonar a “ vida rural”.
Como é óbvio o critério ganhador de Condorcet é satisfeito por este método, pois o
candidato que é sempre preferido nas comparações par a par é que vai obter um maior
número de pontos, logo será o vencedor neste método.
Satisfaz também o critério da maioria, pois o candidato que tem a maioria dos
votos em primeiro lugar será o vencedor segundo este método; como demonstramos no
raciocínio seguinte:
Consideremos uma eleição em que existem N candidatos: X1, X2,..., XN e que o
candidato X1 tem a maioria dos votos em primeiro lugar. Apliquemos o método da
comparação par a par. O candidato X1 é comparado com cada um dos outros N-1
candidatos e, como tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ganha as N-1
comparações e obtém N-1 pontos. O candidato X2 é comparado com todos os outros
candidatos excepto com X1, visto que os dois já foram comparados anteriormente. E
portanto, são feitas N-2 comparações. Deste modo, X2 pode vencer no máximo N-2
comparações e ganhar N-2 pontos. E assim sucessivamente. Até que o (N-1) - ésimo
candidato é comparado apenas com o N-ésimo, visto que as comparações com os outros
N-2 candidatos já foram efectuadas e portanto, é apenas feita uma comparação par a par.
Caso o (N-1) -ésimo vença esta comparação, ganha, na melhor das hipóteses, 1 ponto.
Mas,
N-1 N-2 ... 1,
Portanto X1 tem o maior número de pontos e vence a eleição.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 56
Teoria das Eleições
Mostrámos assim que o candidato que possui a maioria dos votos em primeiro
lugar no boletim de voto é de facto o vencedor da eleição e portanto este método satisfaz
o critério da maioria.
É ainda satisfeito o critério da monotonia: se um candidato X é vencedor de uma
eleição e se são efectuadas alterações no boletim de voto, todas elas favoráveis a X, X
vai vencer ainda mais comparações par a par e portanto obterá ainda mais pontos, o que
conduzirá a que ele seja o vencedor.
Lacunas no método da comparação par a par
O exemplo seguinte irá demonstrar que apesar de serem satisfeitos os critérios de
justiça atrás mencionados, o método da comparação par a par não satisfaz um princípio
básico de justiça designado por critério da independência.
EXEMPLO 1.21
Admitamos a seguinte situação:
Uma Escola Secundária da Região Centro do país decidiu
atribuir um prémio ao melhor aluno do ano lectivo 2003/2004.
Numa primeira fase do concurso seleccionaram os 5 alunos que
mais se destacaram positivamente durante o ano. Foram eles:
Cátia (C), Luís (L), Margarida (M), Ruben (R) e Sofia (S). Na
segunda fase os 22 elementos do conselho pedagógico reuniram
extraordinariamente e votaram por ordem de preferência os alunos seleccionados.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 57
Critério da independência:Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros
candidatos é removido, sendo os boletins de voto contados de novo, então X continua a ser o vencedor da eleição.
Teoria das Eleições
Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par. Os
resultados obtidos são expressos na seguinte tabela:
Tabela 1.63
As comparações par a par são:
C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
R vence e obtém 1 ponto.
C versus M: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6
C vence e obtém 1 ponto.
C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
C vence e obtém 1 ponto.
C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
C vence e obtém 1 ponto.
R versus M: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12
M vence e obtém 1 ponto.
R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.
R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
Fundamentos e Ensino da Álgebra 58
Número de votos
2 6 4 1 1 4 4
1ª opção C R R M M L S
2º opção L C C R L C M
3ª opção M M L C C S L
4ª opção R L S L R M R
5ª opção S S M S S R C
Teoria das Eleições
R vence e obtém 1 ponto.
M versus L: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10
M vence e obtém 1 ponto.
M versus S: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12
S vence e obtém 1 ponto.
L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
L vence e ganha 1 ponto.
Os resultados obtidos após a contagem dos pontos são:
Cátia 3 pontos
Ruben 2 + ½ pontos
Margarida 2 pontos
Luís 1+ ½ pontos
Sofia 1 ponto
Tabela 1.64
Conclusão: o vencedor é a Cátia!
Ao saber que era uma das seleccionadas, para a votação que decidiria quem era o
melhor a aluno da escola, a Margarida informou o conselho executivo que não estava
interessada em tal prémio. Desta forma a Margarida foi eliminada da votação.
Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?
Suponhamos então que o candidato M é eliminado da eleição original e que o
método de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são os
que a tabela seguinte apresenta:
Número de Votos
2 6 4 1 1 4 4
Fundamentos e Ensino da Álgebra 59
Teoria das Eleições
1ª escolha C R R R L L S
2º escolha L C C C C C L
3ª escolha R L L L R S R
4ª escolha S S S S S R C
Tabela 1.65
Agora as comparações par a par são:
C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
R vence e obtém 1 ponto.
C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
C vence e obtém 1 ponto.
C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
C vence e obtém 1 ponto.
R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.
R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
R vence e obtém 1 ponto.
L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
L vence e ganha 1 ponto.
Os resultados obtidos na nova eleição são:
Cátia 2 pontos
Ruben 2 + ½ pontos
Luís 1+ ½ pontos
Sofia 0 pontos
Tabela 1.66
Fundamentos e Ensino da Álgebra 60
Teoria das Eleições
Conclusão: O vencedor é o Ruben e não a Cátia!
Evidenciamos assim que o método da comparação par a par não satisfaz o critério
da independência.
Outra lacuna a referir, é o facto deste método poder desencadear resultados que
anunciam como vencedores todos os candidatos, isto é, resultado em que há um empate
generalizado. Normalmente não existe um processo fixo para desempatar mas, na
realidade, é fundamental pré-estabelecer regras para que caso seja necessário se proceda
a um desempate.
EXEMPLO 1.22
Os 11 elementos da direcção do Núcleo de Estudantes de
Farmácia, decidiram realizar um convívio na noite da Serenata da
Latada 2004. Ao prepararem o referido evento surgiram algumas
desavenças no que respeitava à escolha da marca de cerveja que
venderiam durante essa noite. Dada esta situação,
concordaram em votar por ordem de preferência, as seguintes
marcas: Super Bock (SB), Sagres (S), Tagus (T). Decidiram
ainda usar como método de votação o método de comparação
par a par.
A tabela seguinte mostra os resultados obtidos e a ordem de preferências:
Número de Votos 4 2 5
1ª opção SB S T
2ª opção S T SB
3ª opção T SB S
Tabela 1.67
Fundamentos e Ensino da Álgebra 61
Teoria das Eleições
As comparações par a par a efectuar são:
SB versus S: (4 + 5) = 9 votos para 2
SB vence e obtém 1 ponto.
SB versus T: 4 votos para (2 + 5) = 7
T vence e obtém 1 ponto.
S versus T: (4 + 2) = 6 votos para 5
S vence e obtém 1 ponto.
Após a contagem dos pontos obtemos:
SB 1 ponto
S 1 ponto
T 1 ponto
Tabela 1.68
Conclusão: As marcas de cerveja estão todas empatadas! Como é óbvio, neste
caso e em todos os outros casos, não é possível, nem razoável considerar que todos os
candidatos sejam vencedores.
Quantas comparações par a par têm de ser
feitas numa eleição?
Fundamentos e Ensino da Álgebra 62
Teoria das Eleições
Uma desvantagem proporcionada por este método, é o dispendioso trabalho
relacionado com o número de comparações par a par, que têm de ser desenvolvidas,
numa eleição, no sentido de determinar o vencedor. Dado que são necessárias
comparações entre todos os candidatos, este número irá variar consoante a quantidade de
candidatos envolvidos no processo eleitoral. Durante este processo é imprescindível
contar o número de comparações par a par sistematicamente, tendo o cuidado de não
repetir nenhuma.
Suponhamos uma dada eleição com n candidatos.
O primeiro candidato vai ser comparado com os restantes n – 1, portanto
resultam daí n – 1 comparações;
O segundo candidato vai ser comparado com todos os outros, excepto com
o primeiro, uma vez que essa comparação já foi realizada. Daqui resultam n
– 2 comparações;
Por sua vez o terceiro candidato será comparado com todos os outros à
excepção do primeiro e do segundo. Efectuam-se portanto n – 3
comparações;
.
.
.
O (n – 1) - ésimo candidato será comparado com todos os outros à excepção
dos (n – 2) primeiros, ou seja, é comparado apenas com o n-ésimo. Daqui
resulta apenas uma comparação;
Obtemos então que o número de comparações par a par é: 1 + 2 + 3 + … + (n -1).
Fundamentos e Ensino da Álgebra 63
Teoria das Eleições
Esta expressão, é a soma dos primeiros n – 1 termos de uma progressão
aritmética de razão 1. Assim resulta que numa eleição com n candidatos o número
de comparações par a par é:
1 + 2 + 3 + … + (n -1) = ( (n – 1) n) / 2
(O que se demonstra facilmente por indução.)
Neste momento é pertinente afirmar, que este método não é viável em
eleições com muitos candidatos, dado que o número de comparações a efectuar
aumenta rapidamente em função do número de candidatos.
Comparação dos Resultados Obtidos
Recorrendo uma vez mais ao exemplo da Quinta das
Celebridades vamos mostrar, na tabela seguinte, que a
aplicação de métodos de votação distintos origina vencedores
distintos:
Vencedor Método de Votação
Fátima Preto Pluralidade
Pedro Camilo Contagem de Borda
Alexandre Frota Pluralidade com Eliminação
Paula Coelho Comparação Par a Par
Tabela 1.70
Concluímos assim que o concorrente eleito para sair da quinta “mais vigiada de
Portugal” varia de método para método.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 64
Teoria das Eleições
1.2.6 RANKINGS
Em muitas situações da vida real é fundamental, não só ter conhecimento do
vencedor de uma eleição, mas também dos candidatos que ocupam o segundo lugar, o
terceiro lugar, etc. Perante esta situação, é necessário que para além de indicar o
vencedor, o método forneça um ranking dos candidatos. Para tal dispomos de dois
métodos:
Métodos de Ranking extensivos ou alargados;
Métodos de Ranking recursivos;
Métodos de ranking extensivos ou alargados
É possível obter uma extensão natural de cada um dos métodos de eleição
analisados anteriormente, de forma a encontrarmos a classificação geral dos candidatos.
De seguida apresentamos a extensão de alguns dos métodos referidos anteriormente:
Método da pluralidade alargado
Segundo este método é eleito para a primeira posição do ranking o
candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
A segunda posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à
excepção do candidato já eleito, obtiver o maior número de colocações
em primeiro lugar.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 65
Teoria das Eleições
Por sua vez, a terceira posição do ranking será ocupada pelo candidato,
que à excepção dos já eleitos, obtiver o maior número de colocações em
primeiro lugar.
E assim, sucessivamente.
EXEMPLO 1.23
Para exemplificar este método,
consideremos de novo a eleição no concurso
televisivo “Quinta das Celebridades”. A tabela
com a lista de preferências da votação, já
apresentada, é a seguinte:
Tabela 1.71
Assim, verifica-se que:
F tem 18000 pontos em primeiro lugar;
J tem 12000 pontos em primeiro lugar;
A tem 10000 pontos em primeiro lugar;
PC tem 9000 pontos em primeiro lugar;
P tem 6000 pontos em primeiro lugar.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 66
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Portanto, segundo este método, o vencedor é a Fátima Preto (F), que terá
então de abandonar a quinta. O José Castelo Branco (J) ocupa a 2ª posição, uma
vez que é o 2º candidato com mais votos em 1º lugar e de forma análoga se
verifica que o Alexandre Frota (A) ocupa a 3ª posição, o Pedro Camilo (PC) ocupa
a 4ª posição e a Paula Coelho (P) ocupa a 5ª posição.
Esquematizando:
Posição no Ranking Candidato Votos em 1º lugar
1º F 18000
2º J 12000
3º A 10000
4º PC 9000
5º P 6000
Tabela 1.72
Método da contagem de Borda alargado
É também, relativamente, simples estabelecer a ordem de classificação
geral dos candidatos de uma eleição aplicando este método. Como já
referimos, a cada candidato está associado um número de pontos, sendo o
candidato eleito o que obtiver um maior número de pontos. Logo o ranking
será elaborado em função dessa pontuação, ou seja, a posição do ranking
aumenta à medida que os pontos também aumentam.
EXEMPLO 1.24
Fundamentos e Ensino da Álgebra 67
Teoria das Eleições
Aplicando no exemplo do reality show, “Quinta das Celebridades”, o Método de
Contagem de Borda obtivemos:
Concorrentes Pontuação Total
F 127000
J 156000
A 162000
PC 191000
P 189000
Tabela 1.73
Logo, os resultados do ranking baseados no método de contagem de Borda
Alargado são os seguintes:
Posição no Ranking Candidato Votos em 1º lugar
1º PC 191000
2º P 189000
3º A 162000
4º J 156000
5º F 127000
Tabela 1.74
Método da pluralidade com eliminação alargado
A forma como encontramos o ranking dos candidatos numa dada
eleição, recorrendo a este método é a seguinte:
O primeiro candidato que é eliminado ocupará a ultima posição, o
segundo candidato eliminado, será por sua vez, colocado no penúltimo lugar
Fundamentos e Ensino da Álgebra 68
Teoria das Eleições
do ranking e assim sucessivamente até ser colocado na primeira posição o
último candidato a ser eliminado.
EXEMPLO 1.25
Retomemos mais uma vez o exemplo da eleição
no reality show “Quinta das Celebridades”. A tabela
seguinte expressa os resultados do ranking baseado
neste método:
Posição no Ranking Candidato Eliminado na
1º A
2º F 4ª volta
3º J 3ª volta
4º PC 2ª volta
5º P 1ª volta
Tabela 1.75
Método de comparação par a par alargado
A base para se elaborar o ranking com recurso a este método, é o
número de comparações par a par ganhas por cada candidato, isto é, o
número de pontos que cada um ganhou após essa comparações. Portanto,
aquele que mais comparações tiver ganho será o candidato a ocupar a
primeira posição do ranking, seguindo-se o candidato, que à excepção do
candidato já colocado, ganhou mais comparações. E assim sucessivamente
até obter o ranking de todos os candidatos.
EXEMPLO 1.26
Fundamentos e Ensino da Álgebra 69
Teoria das Eleições
Voltando ao exemplo do concurso televisivo “Quinta das Celebridades”
verificamos que os resultados baseados neste método são:
Posição no Ranking Candidato Pontos
1º P 4
2º PC 3
3º A 2
4º J 1
5º F 0
Tabela 1.76
Comparação dos Resultados Obtidos
Método de Ranking AlargadoOrdem de Classificações Gerais
1º 2º 3º 4º 5º
PluralidadeF J A PC P
Contagem de BordaPC P A J F
Pluralidade com EliminaçãoA F J PC P
Comparação Par a ParP PC A J F
Tabela 1.77
Fundamentos e Ensino da Álgebra 70
Teoria das Eleições
Da análise da tabela verificamos que diferentes métodos conduziram a rankings de
candidatos distintos, sendo bastante evidente essa discrepância. No entanto, na maioria
das eleições do mundo real, os resultados dos rankings obtidos do recurso a métodos
distintos, tendem a ser mais consistentes e uniformes.
Métodos de ranking Recursivo
Este método tem por base um processo designado por aproximação recursiva.
Considerando que numa dada eleição, é utilizado o método X e a aproximação recursiva
para elaborar o ranking de candidatos, este é obtido seguindo os seguintes
procedimentos:
Começamos por aplicar o método X de forma a encontra o vencedor da
eleição ocupando este o primeiro lugar do ranking;
De seguida, este é retirado da lista de preferências, sendo desta forma obtida
uma nova lista;
A esta é aplicado o mesmo método X para determinar o vencedor, ocupando
este o segundo lugar do ranking;
E assim sucessivamente até estarem ordenados todos os candidatos da
eleição;
EXEMPLO 1.27
Neste exemplo vamos considerar de novo a eleição na
“Quinta das Celebridades” e recorremos ao método da
pluralidade recursivo para classificar os candidatos.
Relembremos a tabela com a lista de preferências:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 71
Teoria das Eleições
Tabela 1.78
1º Passo:
Determinamos o vencedor usando o método da pluralidade.
Como já vimos anteriormente o vencedor é a Fátima Preto e portanto é ela que tem
de abandonar a vida rural, preenchendo assim o 1º lugar do ranking.
2º Passo:
Removendo a Fátima Preto da lista de preferências original, obtemos uma nova
lista de preferências:
Tabela 1.79
Aplicando de novo o método da pluralidade observamos que o concorrente a ser
expulso é o Pedro Camilo. Portanto Pedro Camilo ocupa o 2º lugar no ranking.
3º Passo:
Removendo o Pedro Camilo da lista de preferências obtemos a seguinte tabela:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 72
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1ª opção PC J A PC P P
2ª opção P P J A J A
3ª opção A PC P P PC PC
4ª opção J A PC J A J
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1ª opção P J A A P P
2ª opção A P J P J A
3ª opção J A P J A J
Teoria das Eleições
Tabela 1.80
Aplicando o método da pluralidade mais uma vez, deduzimos que o vencedor é a
Paula Coelho, o que significa que ela ocupa o 3º lugar.
4º Passo:
Removendo a Paula Coelho da lista de preferências obtemos a seguinte tabela:
Tabela 1.81
Verificamos agora que, segundo o método da pluralidade o vencedor é o
Alexandre Frota. Deste modo ele ocupa o 4º lugar.
5º Passo:
Por fim observamos que o José Castelo Branco ocupa a última posição, isto é,
ocupa a 5ª posição.
Assim a classificação geral dos candidatos segundo o método de pluralidade
recursivo é a seguinte:
Lugar Candidato
1º Fátima Preto
2º Pedro Camilo
3º Paula Coelho
4º Alexandre Frota
5º José Castelo Branco
Tabela 1.82
Fundamentos e Ensino da Álgebra 73
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1ª opção A J A A J A
2ª opção J A J J A J
Teoria das Eleições
Note-se que este resultado é diferente daquele que foi obtido com a aplicação do
método da pluralidade alargado. De facto, só o primeiro lugar é que se manteve igual.
EXEMPLO 1.28
Vamos determinar agora, o ranking do exemplo da
“Quinta das Celebridades” utilizando o método de contagem
de Borda recursivo. Para tal vamos recorrer as tabelas 1.5 e
1.6 :
Número de
votos18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
5 pontos
F:
5x18000
J:
5x12000
A:
5x10000
PC:
5x9000
P:
5x4000
P:
5x2000
2º opção:
4 pontos
PC:
4x18000
P:
4x12000
J:
4x10000
A:
4x9000
J:
4x4000
A:
4x2000
3º opção:
3 pontos
P:
3x18000
PC:
3x12000
P:
3x10000
P:
3x9000
PC:
3x4000
PC:
3x2000
4º opção:
2 pontos
A:
2x18000
A:
2x12000
PC:
2x10000
J:
2x9000
A:
2x4000
J:
2x2000
5º opção:
1 ponto
J
1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.5
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000
J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000
A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000
PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000
Fundamentos e Ensino da Álgebra 74
Teoria das Eleições
P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000
Tabela 1.6
Portanto o vencedor é o Pedro Camilo, sendo este colocado automaticamente no
primeiro lugar do ranking. Eliminando o Pedro Camilo da tabela 1.5 temos as seguintes
tabelas:
Número de
votos18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
4 pontos
F:
4x18000
J:
4x12000
A:
4x10000
A:
4x9000
P:
4x4000
P:
4x2000
2º opção:
3 pontos
P:
3x18000
P:
3x12000
J:
3x10000
P:
3x9000
J:
3x4000
A:
3x2000
3º opção:
2 pontos
A:
2x18000
A:
2x12000
P:
2x10000
J:
2x9000
A:
2x4000
J:
2x2000
4º opção:
1 pontos
J:
1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.83
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 72000+12000+10000+9000+4000+2000 109000
J 18000+48000+30000+18000+12000+4000 130000
A 36000+24000+40000+36000+8000+6000 140000
P 54000+36000+20000+27000+16000+8000 161000
Tabela 1.84
Agora o vencedor é a Paula Coelho (P), colocando-se desta forma no segundo
lugar do ranking.
Ao eliminarmos o candidato (P), as tabelas reduzem-se ao seguinte:
Número de 18000 12000 10000 9000 4000 2000
Fundamentos e Ensino da Álgebra 75
Teoria das Eleições
votos
1º opção:
3 pontos
F:
3x18000
J:
3x12000
A:
3x10000
A:
3x9000
J:
3x4000
A:
3x2000
2º opção:
2 pontos
A:
2x18000
A:
2x12000
J:
2x10000
J:
2x9000
A:
2x4000
J:
2x2000
3º opção:
1 pontos
J:
1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.85
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 54000+12000+10000+9000+4000+2000 91000
J 18000+36000+20000+18000+12000+4000 108000
A 36000+24000+30000+27000+8000+6000 131000
Tabela 1.86
Verificamos que Alexandre Frota é desta vez o vencedor, colocando-se em
terceiro lugar do ranking. Eliminando (A) das tabelas obtemos o seguinte:
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
2 pontos
F:
2x18000J: 2x12000 J: 2x10000 J: 2x9000 J: 2x4000 J: 2x2000
2º opção:
1 pontosJ 1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.87
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 36000+12000+10000+9000+4000+2000 73000
J 18000+24000+20000+18000+8000+6000 94000
Tabela 1.88
Fundamentos e Ensino da Álgebra 76
Teoria das Eleições
Verificamos que José Castelo Branco é desta vez o vencedor, colocando-se em
quarto lugar do ranking. Finalmente, a 5ª e última posição será ocupada pela Fátima
Preto.
Sintetizando obtemos o seguinte quadro:
Lugar Candidato
1º Pedro Camilo
2º Paula Coelho
3º Alexandre Frota
4º José Castelo Branco
5º Fátima Preto
Tabela 1.89
CAPÍTULO IICAPÍTULO II
Fundamentos e Ensino da Álgebra 77
Teoria das Eleições
MÉTODOS DE VOTAÇÃOMÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESOCOM PESO
2.1 TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO
Em todo o sistema de votação ponderada intervêm três elementos:
Os Jogadores, que são os próprios eleitores. De agora em diante usaremos o
termo “eleitores” quando se trata de um sistema de votação uma pessoa - um
voto e o termo jogadores quando nos referimos a um sistema de votação uma
pessoa - x votos. O número de jogadores será designado pela letra N e os
respectivos jogadores por P1, P2, ... , PN;
O Peso dos seus votos, que consiste no número de votos que cada jogador
possui e que é representado por W1, W2, ... , WN, respectivamente.
Quota, que consiste no número mínimo de votos necessário para aprovar uma
moção ( proposta apresentada para ser discutida em assembleia ).
Fundamentos e Ensino da Álgebra 78
Teoria das Eleições
Representamos quota pela letra q. O valor da quota tem de ser sempre maior do
que a metade do total dos votos e menor ou igual que o próprio total.
Formalmente,
Os Jogadores que possuem um peso de voto superior ou igual à quota são
designados por ditadores. Os outros que ficam submetidos a eles são chamados
Jogadores Neutros.
Pode acontecer também que dado um jogador P1, apesar de não ser ditador mas
tendo maior número de votos que qualquer um dos outros, tenha o poder de impedir que
uma moção seja aprovada, ou seja, este jogador tem poder de veto: mesmo que todos os
outros jogadores votem juntos nunca conseguirão aprovar uma moção contra a vontade
de P1, dado que não têm votos superiores à quota.
A notação usada para representar um sistema de voto com peso é a seguinte:
[ q : W1, W2, ... , WN ]
Salientamos, que é costume pôr os diferentes pesos por ordem decrescente de
grandeza.
EXEMPLO 2.1
Consideremos que a direcção de uma dada empresa possui quatro membros, P1, P2,
P3 e P4, com a seguinte distribuição de votos:
Membros Votos
P1 8
P2 6
P3 5
P4 1
Fundamentos e Ensino da Álgebra 79
Teoria das Eleições
Tabela 2.1
Seguindo as regras da direcção, são necessários dois terços dos vinte votos para
aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser
descrito por [14: 8, 6, 5,1].
Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro superior a dois terços de vinte.
EXEMPLO 2.2
Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota q =
7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4 votarem
a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto é a
versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de votação
ponderada válido.
EXEMPLO 2.3
Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número
total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será por isso
invalidado.
EXEMPLO 2.4
Analisemos agora o sistema de votação ponderada [11: 4, 4, 4, 4, 4]. Neste caso
os cinco jogadores têm igual número de votos. Para que uma moção seja aprovada basta
que três quaisquer jogadores votem a favor. Note-se que se a quota fosse alterada para q
= 12 a situação manter-se-ia igual. O que se apresenta neste caso, embora disfarçado, é o
sistema uma pessoa – um voto, com a simples necessidade de uma maioria de votos para
aprovar uma moção.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 80
Teoria das Eleições
EXEMPLO 2.5
Estudemos agora o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco
jogadores têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a
unanimidade. Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3,
2, 1] e [5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.
Vamos continuar com mais alguns exemplos, introduzindo agora, informalmente,
a noção de poder:
EXEMPLO 2.6
Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador
P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta
forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.
EXEMPLO 2.7
No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador
mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que
todos os outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria
suficiente para fazer passar uma moção, contra a vontade do P1.
EXEMPLO 2.8
Fundamentos e Ensino da Álgebra 81
Teoria das Eleições
Analisemos o sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3]. À primeira vista
parece que os jogadores P1 e P2 têm muito poder em comparação com o jogador P3.
Contudo, se repararmos melhor, chegamos à conclusão que só é possível aprovar uma
moção com dois jogadores a favor. Mais, quaisquer dois jogadores juntos têm uma
coligação vencedora! Pois bem, na verdade os três jogadores têm exactamente o mesmo
poder.
2.2 O ÍNDICE DE PODER DE BANZAHAF
Em 1965 John Banzahaf introduziu uma interpretação
matemática de poder nos sistemas de votação ponderada, a qual
passamos a descrever.
Em primeiro lugar, vamos definir conceitos fundamentais que
nos permitirão conhecer melhor a sua teoria:
Coligação: grupo de jogadores que unem forças e votam em conjunto ( a
expressão “coligação” é também usada para grupos de um só elemento );
Peso da coligação: número total de votos controlados por uma coligação;
Coligações vencedoras: coligações que têm votos suficientes para aprovar uma
moção. As outras coligações são designadas por coligações perdedoras. Uma
coligação que contém todos os jogadores e portanto que é sempre a vencedora,
é chamada Grande Coligação;
A notação usada para representar uma coligação genérica de N jogadores é: { P1,
P2, ... , PN }.
Jogador crítico: jogador que ao abandonar a coligação, transforma uma
coligação vencedora em perdedora.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 82
Teoria das Eleições
Referimos ainda que as coligações vencedoras podem ter mais do que um jogador
crítico, pelo contrário, uma coligação perdedora não tem um único jogador crítico. Este
conceito, de jogador crítico, é a base do índice de poder de Banzhaf. O princípio chave
desta teoria é que o poder de um jogador é proporcional ao número de coligações em que
esse jogador é crítico: quanto mais vezes ele for crítico maior poder detém.
Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de um qualquer jogador P
num sistema de votação ponderado genérico, com N jogadores, seguimos os seguintes
passos:
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis;
Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras;
Passo 3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos;
Passo 4: Contar o número total de vezes que o jogador P é crítico ( seja esse valor
representado por B);
Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos (seja
este número T);
O Índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção .
Uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador é designada por
distribuição de poder de Banzhaf. É também comum escrever os indicadores de poder
em percentagem. Realçamos ainda, que a soma dos índices de poder é sempre igual a
um.
EXEMPLO 2.9
Fundamentos e Ensino da Álgebra 83
Teoria das Eleições
Vejamos no exemplo 2.8 (sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3] ) quais
são as coligações possíveis, o seu peso e quais as que podem reunir forças de modo a
conseguir a aprovação de uma moção:
Coligação Peso da coligação Vence ou perde
{P1} 99 Perde
{P2} 98 Perde
{P3} 3 Perde
{P1, P2} 197 Ganha
{P1, P3} 102 Ganha
{P2, P3} 101 Ganha
{P1, P2, P3} 200 Ganha
Tabela 2.2
Pela observação da tabela concluímos que existem quatro coligações vencedoras
possíveis. Dentro destas, verifica-se que nas coligações {P1, P2}, {P1, P3}e {P2, P3}os
dois jogadores são necessários para a coligação ter votos suficientes para ganhar (isto é
P1, P2 e P3 são jogadores críticos em cada uma destas coligações), enquanto que na
coligação {P1, P2, P3} qualquer jogador pode abandonar a coligação sem que esta deixe
de ser vencedora.
Em suma, cada jogador é crítico duas vezes, assim todos têm o mesmo índice de
poder de Banzhaf: um terço de poder.
EXEMPLO 2.10
Uma das mais importantes decisões que uma
equipa de basquetebol profissional tem que tomar é
como fazer o recrutamento de jogadores colegiais.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 84
Teoria das Eleições
Em muitos casos a decisão de como escolher um jogador específico é feita através de
votos decisivos. Tome, por exemplo, o caso de Akron Fleyers. No seu sistema, o
treinador principal (TP) tem 4 votos, o director geral (DG) tem 3 votos, o director de
operações de exploração (DE) tem 2 votos e o psiquiatra da equipa (PE) tem 1 voto.
Destes 10 votos, uma simples maioria de 6 votos é necessária para um jogador ser
recrutado. Em suma, os Akron Fleyers funcionam como um sistema de votação
ponderada [6: 4, 3, 2 ,1].
Iremos agora encontrar a distribuição do poder de Banzhaf deste sistema decisivo
de voto. A tabela seguinte mostra as 15 possíveis coligações, quais são as vencedoras e
quais são as perdedoras e, para cada coligação vencedora, os jogadores críticos (estão a
negrito).
Coligação Peso da coligação Vence ou perde
{TP} 4 Perde
{DG} 3 Perde
{DE} 2 Perde
{PE} 1 Perde
{TP, DG} 7 Ganha
{TP, DE} 6 Ganha
{TP, PE} 5 Perde
{DG, DE} 5 Perde
{DG, PE} 4 Perde
{DE,PE} 3 Perde
{TP, DG, DE} 9 Ganha
{TP, DG, PE} 8 Ganha
{TP, DE, PE} 7 Ganha
{DG, DE, PE} 6 Ganha
{TP, DG, DE, PE} 10 Ganha
Tabela 2.3
Fundamentos e Ensino da Álgebra 85
Teoria das Eleições
Tudo o que temos de fazer agora é contar o número de vezes em que cada jogador
é crítico (ou seja o número de vezes em cada um se encontra a negrito) e dividir pelo
número total de jogadores críticos.
A distribuição de poder de Banzhaf é
TP : 5/12 = 41,67 %
DG : 3/12 = 25 %
DE : 3/12 = 25 %
PE : 1/12 = 8, 33 %
Note que, como já afirmámos, a soma dos índices de poder é sempre 1. Este facto
fornece um controle útil nos seus cálculos.
Se agora em vez de quatro tivéssemos N jogadores, quantas coligações seriam
possíveis formar?
É óbvio que em casos cujo número de jogadores é reduzido é mais fácil determinar
o número de coligações possíveis, do que em casos em que esse número é elevado. Para
estes casos é necessária a introdução de uma forma simples e rápida para calcular o
número de coligações possíveis.
A resposta a esta questão assenta nas noções de conjunto e subconjunto. Todo o
subconjunto do conjunto dos jogadores pode ser identificado como uma coligação à
excepção do conjunto vazio. Daqui deduzimos que podemos obter o número total de
coligações fazendo a diferença entre o número de subconjuntos do conjunto dos
jogadores e a unidade. Matematicamente:
+ + … + + - 1 = 2 -1
Fundamentos e Ensino da Álgebra 86
Número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos
Teoria das Eleições
EXEMPLO 2.11
Suponhamos que a direcção geral da Associação Académica de
Coimbra é constituída por cinco elementos: presidente, vice-presidente e
três secretários. No que diz respeito ao peso de cada um, numa
determinada decisão, o presidente (P) tem três votos, o vice-presidente
(VC) dois votos e os três secretários têm um voto cada (S1, S2, S3). São
necessários cinco votos para aprovar uma moção. Descrevemos então do
seguinte modo este sistema de votação ponderada: [5: 3, 2,1, 1, 1, 1].
Sabemos agora que o número total de coligações será,
25 – 1 = 31.
Na tabela seguinte apresentam-se apenas as coligações vencedoras e em cada uma
encontram-se a negrito os jogadores críticos:
Coligação vencedora
{P, VP}
{P, VP, S1}
{P, VP, S2}
{P, VP, S3}
{P, S1, S2}
{P, S1, S3}
{P, S2, S3}
{P, VP, S1, S2}
Fundamentos e Ensino da Álgebra 87
Conjunto Vazio
Teoria das Eleições
{P, VP, S1, S3}
{P, VP, S2, S3}
{P, S1, S2, S3}
{VP, S1, S2, S3}
{P, VP, S1, S2, S3}
Tabela 2.3
A distribuição de poder Banzhaf neste sistema de votação ponderada é:
P: 44%
VP: 20%
S1, S2, S3: 12%
2.2.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE BANZHAF
EXEMPLO 2.12
O CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS
O principal responsável por manter a paz internacional e
segurança das nações é o Conselho de Segurança das Nações
Unidas. O Conselho de Segurança é um exemplo clássico de
um sistema de votação ponderado. Consiste em 15 nações
votantes – 5 delas são membros permanentes – Reino Unido,
China, França, Rússia e E.U.A; as outras 10 nações são membros não permanentes,
eleitos por um período de dois anos numa base rotativa. Para aprovar uma moção no
Conselho de Segurança é necessário um voto positivo de cada um dos membros
permanentes (dando efectivamente a cada membro permanente o poder de veto) mais um
voto positivo de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes. Desta forma a
Fundamentos e Ensino da Álgebra 88
Teoria das Eleições
coligação vencedora consiste em cinco membros permanentes e quatro ou mais
membros não permanentes. Temos:
= 210
coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e
+ + + + + = 638
coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.
Há um total de
+ + + + + =
210+ 638= 848
coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.
Em cada uma destas coligações vencedoras, cada membro permanente é crítico.
Os membros não permanentes apenas são críticos nas coligações vencedoras mínimas,
isto é nas coligações constituídas por 5 permanentes e 4 não permanentes (existem 210
coligações deste tipo). Em cada uma destas coligações com 9 elementos um membro não
permanente é crítico em
= 84
coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é considerado
como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não permanente
nunca é crítico.
O número total de vezes em que todos os jogadores são críticos é de
5 x 848 + 10 x 84 = 5080
Sendo assim o poder de cada membro permanente é
= = 0,167.
O poder de um membro não permanente é
Fundamentos e Ensino da Álgebra 89
Teoria das Eleições
= = 0,0167.
Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não
permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder que um membro não
permanente.
Fica a dúvida se seria esta a intenção do decreto das Nações Unidas ou então se
houve um erro de cálculo, baseado na falta de conhecimento da matemática dos votos
ponderados.
EXEMPLO 2.13
O COLÉGIO ELEITORAL.
O Presidente dos E.U.A é escolhido usando uma instituição chamada Colégio
Eleitoral. Na escolha do presidente é permitido a cada estado ganhar um certo número de
votos, igual ao total de membros do congresso (Senadores e Representantes) desse
estado. Os votos são distribuídos por indivíduos chamados eleitores, que são escolhidos
para representantes dos cidadãos dos respectivos estados. A regra geral é de que todos os
eleitores de um estado particular, votem no candidato presidencial que tem a pluralidade
dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida pela regra da Unidade ou pela regra “O
vencedor ganha tudo”. Apesar de ter havido desafios à constitucionalidade desta regra
de unidade, (e em alguns instantes a regra foi violada por eleitores individuais), é
normalmente o procedimento pelo qual o colégio eleitoral se rege.
Outro aspecto importante é o facto de, sob o sistema de dois partidos mais fortes
americanos, muitas eleições presidenciais culminam na escolha entre apenas dois
candidatos viáveis. Sob esta regra da unidade e numa eleição entre apenas dois
Fundamentos e Ensino da Álgebra 90
Teoria das Eleições
candidatos viáveis, o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos de
um sistema de voto ponderado, bem como o único sistema – os E.U.A são o único país
no mundo com tal sistema.
Os jogadores neste sistema de voto são os 50 estados mais o Distrito da Colômbia.
A cada estado é associado um número de eleitores (peso do estado) igual ao
número de senadores (que são sempre dois) mais o número dos seus representantes. A
quota é definida também por uma maioria absoluta do voto eleitoral. Desde 1964, o
número total de votos eleitorais foi estabelecido em 538 e a quota em 270. Os cálculos
para os índices de poder requerem a utilização de métodos matemáticos sofisticados e
um poderoso computador.
EstadoN.º de votos
eleitorais
Percentagem do poder de
índice de Banzhaf
EstadoN.º de votos
eleitorais
Percentagem do poder de
índice de Banzhaf
Alabama 9 1.64 Nevada 4 0.73
Alaska 3 0.55 New Hampshire 4 0.73
Arizona 8 1.46 New Jersey 15 2.75Arkansas 6 1.09 New Mexico 5 0.91California 54 11.14 New York 33 6.20
Colorado 8 1.46 North Carolina 14 2.56
Connecticut 8 1.46 North Dakota 3 0.55Delaware 3 0.55 Ohio 21 3.87
D.C. 3 0.55 Oklahoma 8 1.46Florida 25 4.63 Oregon 7 1.28Georgia 13 2.38 Pennsylvania 23 4.25Hawaii 4 0.73 Rhode Island 4 0.73
Idaho 4 0.73 South Carolina 8 1.46
Illinois 22 4.06 South Dakota 3 0.55Indiana 12 2.19 Tennessee 11 2.01
Iowa 7 1.28 Texas 32 6.00Kansas 6 1.09 Utah 5 0.91
Kentucky 8 1.46 Vermont 3 0.55Louisiana 9 1.64 Virginia 13 2.38
Maine 4 0.73 Washington 11 2.01Maryland 10 1.82 West Virginia 5 0.91
Massachusetts 12 2.19 Wisconsin 11 2.01Michigan 18 3.30 Wyoming 3 0.55
Minnesota 10 1.82Mississippi 7 1.28
Fundamentos e Ensino da Álgebra 91
Teoria das Eleições
Missouri 11 2.01Montana 3 0.55
Nebraska 5 0.91 TOTAL: 538
Tabela 2.4 Número de votos eleitorais baseado no censo de 1990
2.3 O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
Em 1954, surgiu pelas mãos de Lloyd Shapley e Martin Shubik,
uma nova aproximação para medir o poder. Da comparação entre a
interpretação do poder de Banzhaf e a interpretação do poder de Shapley –
Shubik, concluímos que a principal diferença centra-se em torno do conceito
de coligação sequencial. Neste último, as coligações são formadas
sequencialmente, ou seja, é importante a ordem pela qual o jogador entra
na coligação: todas as coligações começam com um primeiro jogador, que
se pode aliar a um segundo seguidamente a um terceiro e assim
sucessivamente. Como vimos anteriormente, segundo Banzhaf, uma
coligação { P1,P2, P3 } significa que os jogadores P1, P2, P3 juntaram o seu
poder e votaram em conjunto, não sendo importante a ordem pela qual
constituíram essa mesma coligação. No entanto, segundo Shapley - Shubik os mesmos
três jogadores podem formar seis coligações sequenciais distintas:
< P1, P2, P3 > ( significa que P1 iniciou a coligação, juntando-se-lhe o jogador P2 e por
fim o jogador P3 )
< P1, P3, P2 >
< P2, P1, P3 >
< P2, P3, P1 >
< P3, P1, P2 >
< P3, P2, P1 >
A seguinte notação < > será um indício que se está a trabalhar com coligações
sequenciais, isto é, com coligações onde nos interessa a ordem de listagem dos
jogadores.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 92
Lloyd Shapley1923
Martin Shubik
1926
Teoria das Eleições
Consideramos agora a seguinte questão: para um dado número N de jogadores
quantas coligações sequenciais existem?
Já referimos que para três jogadores teremos seis coligações sequenciais distintas.
E se tivermos quatro jogadores? É óbvio, que apesar de ser muito trabalhoso, podíamos
enunciar todas as coligações sequenciais possíveis; no entanto é mais rentável e rápido
desenvolvermos o seguinte raciocínio:
Para ocupar o 1º lugar da coligação temos 4 alternativas de escolha, ou
seja, qualquer um dos 4 jogadores;
Para ocupar a 2ª posição teremos agora 3 hipóteses, isto é, todos os
jogadores à excepção do que já foi escolhido para o 1º lugar;
Para preencher o 3º lugar existirão 2 possibilidades, ou seja, os dois
jogadores que não foram escolhidos para o 1º e 2º lugar.
Finalmente, para preencher a 4ª posição resta-nos apenas o jogador que
ainda não foi escolhido.
Esquematizando agora o raciocínio atrás descrito:
____ ____ ____ ____
4 3 2 1
Para combinar as escolhas multiplicamo-las, assim sendo o número total de
coligações sequenciais possíveis com 4 jogadores será: 4×3×2×1 = 4!
Generalizando o processo descrito a um sistema de voto ponderado com N
jogadores, podemos afirmar que há no total N! coligações sequenciais diferentes,
contendo todos os jogadores.
Em cada uma destas coligações há um jogador, que no momento em que se junta à
coligação, transforma a coligação perdedora numa coligação vencedora. Atribuímos a
esse jogador a designação de jogador pivotal da coligação sequencial.
O princípio inerente à teoria de Shapley-Shubik coloca em destaque o jogador
pivotal, uma vez que, devido às suas características, ele é determinante na passagem de
Fundamentos e Ensino da Álgebra 93
Teoria das Eleições
uma situação de coligação perdedora a vencedora, pois os jogadores que surgem antes
dele não possuem votos suficientes para aprovar uma moção.
De acordo com esta teoria, o poder de cada jogador depende do número de vezes
em que cada jogador é pivotal, relativamente a todos os outros jogadores.
COLIGAÇÃO SEQUENCIAL
Ganha
Perde
… Primeir
o
Jogador
Segundo
Jogador …
Jogador
Pivotal
Restantes
Jogadores
Figura 3.1 O Jogador Pivotal
Passamos agora a apresentar a descrição formal do procedimento para encontrar o
Índice de Poder de Shapley- Shubik, para qualquer jogador num sistema de voto
ponderado genérico com N jogadores:
Passo 1: elaborar uma lista de todas as coligações sequenciais contendo os N
jogadores; há N! destas coligações.
Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar um jogador pivotal; há 1 em
cada coligação.
Passo 3: Contar o número total de vezes em que o jogador P é pivotal e designar
esse número por S.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 94
Teoria das Eleições
O Índice de Poder de Shapley- Shubik de um certo jogador P é dado pela fracção .
A listagem dos Índices de Poder de Shapley-Shubik para todos os jogadores dá
origem à distribuição de poder de Shapley-Shubik para o sistema de voto ponderado.
EXEMPLO 2.14
Vamos considerar o exemplo 2.10. A
distribuição é [6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a
distribuição de poder de Shapley-Shubik.
Há 24 coligações sequenciais diferentes (4!)
envolvendo 4 jogadores. Listam-se na tabela 2.4 as
coligações e os jogadores pivotais estão a negrito.
áTP, DG, DE, PEñ áDG, TP, DE, PEñ áDE, TP,DG, PEñ áPE, TP, DG, DEñ
áTP, DG, PE, DEñ áDG, TP, PE, DEñ áDE, TP, PE, DGñ áPE, TP, DE, DGñ
áTP, DE, DG, PEñ áDG, DE, TP, PEñ áDE, DG, TP, PEñ áPE, DG, TP, DEñ
áTP, DE, PE, DGñ áDG, DE, PE, TPñ áDE, DG, PE, TPñ áPE, DG, DE, TPñ
áTP, PE, DG, DEñ áDG, PE, TP, DEñ áDE, PE, TP, DGñ áPE, DE, TP, DGñ
áTP, PE, DE, DGñ áDG, PE, DE, TPñ áDE, PE, DG, TPñ áPE, DE, DG, TPñ
Tabela 2.5
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:
TP: = 0,42 42%
DG: = 0.25 25%
DE: = 0,25 25%
PE: = 0,08 8%
Fundamentos e Ensino da Álgebra 95
Teoria das Eleições
Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é
exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Contudo, de modo geral,
escolhendo aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de
Banzahf e de Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.
EXEMPLO 2.15
Suponhamos que a cidade de Coimbra rege-se
sob aquilo a que se chama “sistema de presidente
forte do município”. Este sistema funciona da seguinte forma:
existem 5 membros na assembleia, nomeadamente o presidente
do município e 4 membros ordinários da assembleia. Uma moção
só é aceite se o presidente e pelo menos 2 membros da assembleia votarem a favor, ou
em alternativa, se todos os 4 membros ordinários votarem a favor (nesta situação diz-se
que o presidente tem poder de veto, mas um voto unânime dos outros 4 membros da
assembleia pode sobrepor-se ao veto do presidente).
O senso comum diz-nos que de acordo com estas regras, os 4 membros ordinários
da assembleia têm o mesmo poder, mas o presidente tem mais. Iremos agora usar a
interpretação de poder de Shapley-Shubik para determinar exactamente quanto mais
poder tem o presidente.
Uma vez que existem 5 jogadores neste sistema de voto, existem 5! = 120
coligações sequenciais a considerar. Vamos em primeiro lugar tentar encontrar o índice
de poder de Shapley-Shubik para o presidente. Em que posição é que o presidente tem
de estar numa coligação sequencial para ser jogador pivotal ? Terá de estar em primeiro
lugar? De modo algum! Nenhum jogador que esteja na primeira posição pode ser
pivotal, a não ser que seja um ditador. Em segundo? Não. Um membro ordinário e o
presidente não são suficientes para passar uma moção. Em terceiro lugar? Sim. Se o
presidente está na terceira posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial.
(Ver figura 3.2(a)). Igualmente se o presidente estiver na quarta posição ele é o jogador
pivotal nessa coligação sequencial porque os três membros ordinários precedentes não
são suficientes para passar uma moção. (Ver figura 3.2(b)). Finalmente, quando o
Fundamentos e Ensino da Álgebra 96
Teoria das Eleições
presidente está na quinta posição não é o jogador pivotal, pois os 4 membros ordinários
precedentes são suficientes para passar a moção. (Ver figura 3.2(c)).
Ganha
Perde
Ganha
Perde
Ganha
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
(a) (b) (c)
Figura 3.2
Surge agora uma questão pertinente: em quantas coligações sequenciais está o
presidente em primeiro lugar? Em segundo? … Em quinto? A simetria das posições
indica-nos que haverá tantas coligações sequenciais em que o presidente está em
primeiro lugar como em qualquer outra posição. As 120 coligações sequenciais (5!)
podem ser divididas em cinco grupos de vinte e quatro – 24 com o presidente em
primeiro lugar, 24 com o presidente em segundo, etc. Finalmente, o presidente é jogador
pivotal em todas as coligações que esteja em terceiro ou quarto lugar, havendo 24 de
cada. Assim o índice de poder do presidente é = 40%. Dado que os 4 membros
ordinários da assembleia têm que repartir igualmente os restantes 60% de poder, cada
um terá um índice de poder de Shapley-Shubik de 15%.
2.3.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE
SHAPLEY-SHUBIK
Fundamentos e Ensino da Álgebra 97
Teoria das Eleições
O REGRESSO AO COLÉGIO ELEITORAL
Calcular o índice de poder de Shapley-Shubik dos diferentes estados não é tarefa
fácil. Existem 51 estados, o que dá um total de 51! coligações sequenciais; um número
muito grande (com 67 dígitos!). Fazer a análise de todas as coligações possíveis é um
processo que requer muito tempo, podendo chegar mesmo a levar milhares de anos!
Desta maneira uma análise directa está fora de questão. Existem, no entanto, alguns
atalhos matematicamente sofisticados, que, quando juntos a um computador e a um
software adequado permitem eficiência nos cálculos.
EstadoN.º de votos
eleitorais
Percentagem do poder de
índice de Banzhaf
Percentagem do poder de
índice de Shapley-Shubik
EstadoN.º de votos
eleitorais
Percentagem do poder de
índice de Banzhaf
Percentagem do poder de
índice de Shapley-Shubik
Alabama 9 1.64 1.64 Nevada 4 0.73 0.72
Alaska 3 0.55 0.54 New Hampshire 4 0.73 0.72
Arizona 8 1.46 1.46 New Jersey 15 2.75 2.76Arkansas 6 1.09 1.09 New Mexico 5 0.91 0.90California 54 11.14 10.81 New York 33 6.20 6.29
Colorado 8 1.46 1.46 North Carolina 14 2.56 2.57
Connecticut 8 1.46 1.46 North Dakota 3 0.55 0.54Delaware 3 0.55 0.54 Ohio 21 3.87 3.91
D.C. 3 0.55 0.54 Oklahoma 8 1.46 1.46Florida 25 4.63 4.69 Oregon 7 1.28 1.27Georgia 13 2.38 2.38 Pennsylvania 23 4.25 4.30Hawaii 4 0.73 0.72 Rhode Island 4 0.73 0.72
Idaho 4 0.73 0.72 South Carolina 8 1.46 1.46
Illinois 22 4.06 4.11 South Dakota 3 0.55 0.54Indiana 12 2.19 2.20 Tennessee 11 2.01 2.01
Iowa 7 1.28 1.27 Texas 32 6.00 6.09Kansas 6 1.09 1.09 Utah 5 0.91 0.90
Kentucky 8 1.46 1.46 Vermont 3 0.55 0.54Louisiana 9 1.64 1.64 Virginia 13 2.38 2.38
Maine 4 0.73 0.72 Washington 11 2.01 2.01Maryland 10 1.82 1.82 West Virginia 5 0.91 0.90
Massachusetts 12 2.19 2.20 Wisconsin 11 2.01 2.01Michigan 18 3.30 3.33 Wyoming 3 0.55 0.54
Fundamentos e Ensino da Álgebra 98
Teoria das Eleições
Minnesota 10 1.82 1.82Mississippi 7 1.28 1.27
Missouri 11 2.01 2.01Montana 3 0.55 0.54
Nebraska 5 0.91 0.90 TOTAL: 538
Tabela 2.6 - Número de votos eleitorais baseado no censo de 1990
Se compararmos os índices de poder de Banzhaf e Shapley-Shubik , apercebemo-
nos que existe uma pequena diferença entre os dois. Este exemplo mostra, uma vez mais,
que em algumas situações os índices de poder de Banzhaf e Shapley-Shubik dão
essencialmente a mesma resposta. O próximo exemplo ilustra uma situação bem
diferente.
O REGRESSO AO CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS
Vamos agora aplicar o método de Shapley-Shubik ao exemplo do
Conselho de Segurança das Nações Unidas. Seguindo o esquema
apresentado anteriormente temos:
Passo 1: Existem 15! coligações sequenciais envolvendo os 15 membros. Isto são
cerca de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes.
Passo 2: Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações
apenas se for o nono jogador na coligação sequencial (pois são necessários 5
permanentes e 4 não permanentes para formar uma coligação vencedora mínima),
precedido pelos 5 membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos
podem ser escolhidos de maneiras diferentes). Os oito elementos que o
precedem podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o seguem
podem ser ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada membro não
permanente será pivotal em 8! 6!, isto é, , aproximadamente
2,44 biliões de coligações sequenciais.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 99
Teoria das Eleições
Passo 3: Segue-se, que qualquer um dos membros não permanentes é pivotal em
aproximadamente 2,44 biliões dos 1,3 triliões de coligações sequenciais.
Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de Shapley-
Shubik de
= 0,001865
ou seja, aproximadamente 0,19% .
Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2% (0,19 x
10). Os restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada
um cerca de = 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem
cerca de cem vezes mais poder do que um membro não permanente.
A desproporção entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais
reflectida neste método!
2.3.22.3.2 ELEIÇÕES EUROPEIAS: COMPARAÇÃOELEIÇÕES EUROPEIAS: COMPARAÇÃO
DOS ÍNDICES DE PODER APRESENTADOSDOS ÍNDICES DE PODER APRESENTADOS
No passado mês de Junho de 2004 ocorreram as
eleições europeias no nosso país. O Partido Socialista
venceu as eleições elegendo mais deputados que
qualquer outro partido. Qual o índice de poder de cada
partido? Seguidamente vamos tentar responder a esta
questão, ou seja utilizando os resultados reais desta
eleição vamos calcular o índice de poder de Banzhaf e
de Shapley-Shubik de cada partido.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 100
Teoria das Eleições
Só admitindo cada partido como um eleitor, é que podemos ter como exemplo do
sistema de voto ponderado, as eleições Europeias de Junho de 2004.
Observemos a seguinte tabela: Tabela 2.7
Partidos Votos % Mandatos
PS 1516001 46.36 12
PPD/PSD.CDS-PP 1132769 34,64 9
CDU (PCP-PEV) 309401 9,46 2
B.E. 167313 5,12 1
PND 33833 1,03 0
PCTP/MRPP 36294 1,11 0
PPM 15454 0,47 0
MD 13840 0,42 0
MPT 13671 0,42 0
P.H. 13272 0,41 0
P.N.R 8405 0,26 0
PDA 5588 0,17 0
POUS 4275 0,13 0
Admitamos ainda que para aprovar uma dada moção são necessários 13 mandatos.
Analisemos então o poder de cada partido segundo os dois métodos estudados (para
tornar o estudo mais simples consideramos apenas os quatro partidos que obtiveram
mandatos):
Índice de Poder de Banzhaf
Segundo a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser descrito da
seguinte forma, [13: 12, 9, 2, 1]. A tabela seguinte ilustra as coligações vencedoras e os
jogadores pivotais (que estão a negrito):
Fundamentos e Ensino da Álgebra 101
Teoria das Eleições
Coligação vencedora
{PS, PPD/PSD.CDS-PP }
{PS, CDU}
{PS, B.E}
{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU}
{PS, PPD/PSD.CDS-PP, B.E}
{PS, CDU, B.E}
{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU, B.E}
Tabela 2.8
A distribuição de poder Banzhaf é:
PS: = 0,7 ► 70 %
PPD/PSD.CDS-PP: = 0,1 ► 10 %
CDU: = 0,1 ► 10 %
B.E: = 0,1 ► 10 %
Índice de poder de shapley-shubik :
Há 4! = 24 coligações sequenciais diferentes, uma vez que temos 4 partidos! (Para
facilitar a escrita na tabela ,em vez de PPD/PSD.CDS-PP escreveremos apenas PPD).
Fundamentos e Ensino da Álgebra 102
Teoria das Eleições
Coligação Sequencial Jogador Pivotal
áPS,PPD,CDU,BE ñ PPD
áPS,PPD,BE,CDUñ PPD
áPS,CDU,PPD,BE ñ CDU
áPS, CDU,BE,PPDñ CDU
áPS,BE,PPD,CDUñ BE
áPS,BE,CDU,PPDñ BE
áPPD,PS,CDU,BEñ PS
áPPD,PS,BE,CDUñ PS
áPPD,BE,PS,CDUñ PS
áPPD,BE,CDU,PSñ PS
áPPD,CDU,PS,BEñ PS
áPPD,CDU,BE,PSñ PS
áCDU,PPD,PS,BEñ PS
áCDU,PPD,BE,PSñ PS
áCDU,BE,PPD,PSñ PS
áCDU,BE,PS,PPDñ PS
áCDU,PS,BE,PPDñ PS
áCDU,PS,PPD,BEñ PS
áBE,PS,PPD,CDUñ PS
áBE,PS,CDU,PPDñ PS
áBE,PPD,PS,CDUñ PS
áBE,PPD,CDU,PSñ PS
áBE,CDU,PPD,PSñ PS
áBE,CDU,PS,PPDñ PS
Tabela 2.9
PS é pivotal 18 vezes.
PPD/PSD.CDS-PP é pivotal 2 vezes.
CDU é pivotal 2 vezes.
BE é pivotal 2 vezes.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 103
Teoria das Eleições
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:
PS: = 0,75 ► 75 %
PPD/PSD.CDS-PP: = 0,08 ► 8 %
CDU: = 0,08 ► 8 %
B.E: = 0,08 ► 8 %
Comparação dos índices de poder:
PartidoÍndice de poder
Banzhaf
Índice de Poder
Shapley-Shubik
PS 70% 75%
PPD/PSD.CDS-PP 10% 8%
CDU (PCP-PEV) 10% 8%
B.E. 10% 8%
Tabela 2.10
É de referir que existe uma diferença significativa entre o índice de poder do PS
e o dos restantes partidos. Os resultados obtidos usando os dois métodos não diferem
muito. No entanto é de salientar que calcular o índice de poder de Banzhaf é muito mais
simples do que calcular o índice de poder Shapley-Shubik!
CAPÍTULO IIICAPÍTULO III
Fundamentos e Ensino da Álgebra 104
Teoria das Eleições
ELEIÇÕES EM PORTUGALELEIÇÕES EM PORTUGAL
Este capítulo surge neste trabalho devido, não só à extrema importância do
assunto, mas também porque que na sua esmagadora maioria, os Portugueses não sabem
como funciona o método de eleição em Portugal e quase ninguém sabe sequer o nome
do processo utilizado.
Em Portugal, na eleição do Presidente da República, é utilizado o sistema
maioritário a duas voltas. Este método consiste em eleger a opção que recolhe, pelo
menos metade de todos os votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por
nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à qual são submetidas apenas
as duas opções mais votadas na primeira volta.
No que diz respeito às eleições para Presidente da Junta de Freguesia ou da
Câmara Municipal, o sistema utilizado é o maioritário simples. Neste é eleito, numa
única votação a opção que reúne maior número de votos, independentemente dos
resultados obtidos pelas outras opções.
Em relação às eleições para a Assembleia da República, Assembleias das
Autarquias Locais ( e também no Parlamento Europeu ) o sistema utilizado é o sistema
de representação proporcional utilizando o Método de Hondt .
A Constituição da República Portuguesa, no n.º 1 do artigo 149º (Círculos
eleitorais) estabelece que "Os Deputados são eleitos por círculos eleitorais
geograficamente definidos na lei, a qual pode determinar a existência de círculos
plurinominais e uninominais, bem como a respectiva natureza e complementaridade, por
forma a assegurar o sistema de representação proporcional e o método da média mais
alta de Hondt na conversão dos votos em número de mandatos."
O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais possíveis dentro do sistema de
representação proporcional e converte votos em mandatos.
Numa eleição, caso seja utilizado este método, deve observar-se o seguinte:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 105
Teoria das Eleições
a) As listas propostas à eleição devem conter a indicação de candidatos em
número igual ao dos mandatos atribuídos ao respectivo colégio eleitoral.
b) Os candidatos de cada lista considerar-se-ão ordenados segundo a
sequência constante da respectiva declaração de candidatura.
c) Dentro de cada lista, os mandatos serão conferidos aos candidatos pela
ordem de precedência indicada na declaração de candidatura.
A conversão dos votos em mandatos far-se-á em obediência às seguintes regras
(método de representação proporcional de Hondt):
1. Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no
colégio eleitoral respectivo.
2. O número de votos apurado por cada lista será dividido sucessivamente
por 1,2,3,4,5, etc., e alinhados os quocientes pela ordem decrescente da sua grandeza
numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao colégio eleitoral
respectivo.
3. Os mandatos pertencerão às listas a que correspondem os termos da série
estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos
quantos são os seus termos na série.
4. No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes
da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido
menor número de votos.
EXEMPLO 3.1
Fundamentos e Ensino da Álgebra 106
Teoria das Eleições
Consideremos a seguinte situação real: em cada acto eleitoral para a autarquia de
Coimbra são eleitos 33 deputados para a Assembleia Municipal. Iremos então, com base
nos resultados reais das eleições autárquicas de 2001, efectuar a distribuição dos
mandatos na referida assembleia.
1o Passo
PARTIDO PPD/PSD-CDS-PP-PPM PS PCP-PEV B.E.
N.º DE VOTOS 34263 26194 10197 2016
Tabela 3.1
2º Passo
Divisores PPD/PSD-CDS-PP-PPM PS PCP-PEV B.E.
1 34263 26194 10197 20162 17131,5 13097 5098,5 10083 11421 8731,33* 3399 6724 8565,75 6548,5 2549,25 5045 6852,6 5238,8 2039,4 403,26 5710,5 4365,67* 1699,5 3367 4894,71* 3742 1456,71* 2888 4282,875 3274,25 1274,625 2529 3807 2910,44* 1133 22410 3426,3 2619,4 1019,7 201,611 3114,82* 2381,27* 927 183,27*12 2855,25 2182,83* 849,75 16813 2635,62* 2014,92* 748,38* 155,08*14 2447,36* 1871 728,36* 14415 2284,2 1746,27* 679,8 134,416 2141,44* 1637,125 637,31* 12617 2015,47* 1540,82* 599,82* 118,59*
Tabela 3.2
(Os número assinalados com * são números que foram sujeitos a aproximações)
N.º do mandato Quociente Partido
PolíticoN.º do
mandato Quociente Partido Político
1º 34263PPD/PSD-CDS-PP-
PPM18º 3742 PS
Fundamentos e Ensino da Álgebra 107
Teoria das Eleições
2º 26194 PS 19º 3426,3PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
3º 17131,5PPD/PSD-CDS-PP-
PPM20º 3399
PCP-PEV
4º 13097 PS 21º 3274,25 PS
5º 11421PPD/PSD-CDS-PP-
PPM22º 3114,82*
PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
6º 10197 PCP-PEV 23º 291044* PS
7º 8731,33*PS
24º 2855,25PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
8º 8565,75PPD/PSD-CDS-PP-
PPM25º 2635,62*
PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
9º 6852,6PPD/PSD-CDS-PP-
PPM26º 2619,4
PS
10º 6548,5 PS 27º 2549,25 PCP-PEV
11º 5710,5PPD/PSD-CDS-PP-
PPM28º 2447,36*
PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
12º 5238,8 PS 29º 2381,27* PS
13º 5098,5PCP-PEV
30º 2284,2PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
14º 4894,71*PPD/PSD-CDS-PP-
PPM31º 2182,83*
PS
15º 4365,67PS
32º 2141,44*PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
16º 4282,875PPD/PSD-CDS-PP-
PPM33º 2039,4
PCP-PEV
17º 3807PPD/PSD-CDS-PP-
PPM
Tabela 3.3
Portanto:
PPD/PSD-CDS-PP-PPM recebe o 1º, 3º, 5º, 8,º 9º, 11º, 14º, 16º 17º, 19º, 22º, 24º, 25º, 28º, 30º e 32º mandatos;
Fundamentos e Ensino da Álgebra 108
Teoria das Eleições
PS recebe o 2º, 4º, 7º, 10º, 12º, 15º, 18º, 21º, 23º, 26º, 29º e 31º mandatos;
PCP/PEV recebe o 6º, 13º, 20º, 27º e 33º mandatos;
B.E. não recebe nenhum mandatos.
Assim, e de acordo com o definido em b) e c):
PPD/PSD-CDS-PP-PPM elege os dezasseis primeiros deputados da sua lista;
PS elege os doze primeiros deputados da sua lista;
PCP/PEV elege os cinco primeiros deputado da sua lista.
Coimbra Eleições Autárquicas 2001
Presidente Eleito: Carlos Manuel Sousa Encarnação Freguesias: 31 Eleitores: 125 306
Câmara Municipal
Lista Votos [%] Mandatos
PPD/PSD-CDS-PP-PPM 38 335 50,8 6
PS 22 512 29,8 4
PCP-PEV 9 611 12,7 1
B.E. 1 385 1,8 0
PCTP/MRPP 587 0,8 0
P.H. 260 0,3 0
Votantes 75 463 60,2 -
Brancos 1 882 2,5 -
Nulos 891 1,2 -
Assembleia Municipal
Lista Votos [%] Mandatos
PPD/PSD-CDS-PP-PPM 34 263 45,4 16
PS 26 194 34,7 12
PCP-PEV 10 197 13,5 5
B.E. 2 016 2,7 0
Votantes 75 453 60,2 -
Brancos 1 842 2,4 -
Nulos 941 1,2 -
Tabela 3.4
NOTAS HISTÓRICAS
Hondt
Fundamentos e Ensino da Álgebra 109
Teoria das Eleições
Victor D'Hondt ( Gand, 1841-1901 ), jurista belga e professor de direito civil na Universidade de Gand ( Ghent ), adepto da
representação proporcional [ consiste na repartição dos mandatos pelos partidos, proporcionalmente à importância da respectiva votação ],
concebeu o método que leva o seu nome.
Na Bélgica este sistema foi aplicado pela primeira vez nas eleições parlamentares de 1900.
Em Portugal, em 1909-10, através de proposta de reforma eleitoral e em artigos na imprensa [ Leão Azedo, "A representação proporcional", Alma Nacional, n.º
21, 30-Jun-1910 ], o Partido Republicano (PR) advogava a utilização da representação proporcional. Seria contemplada na Lei Eleitoral de 14-Março-
1910 para os círculos de Lisboa e Porto. Face à disparidade dos resultados eleitorais, o PR obteve nas duas cidades mais de 93 % dos votos, o método de
Hondt acabou por não ter aplicação prática. A legislação posterior, Lei n.º 3, de 3-Julho-1913, terminaria com a inovação, regressando ao sistema de lista incompleta da anterior legislação monárquica e que se manteria até 1925.
Entre as características do método de Hondt importa assinalar o encorajamento à formação de coligações, uma vez que o agrupamento de partidos leva a conseguir maior número de mandatos do que se concorressem isoladamente. Favorece no entanto os grandes partidos, não satisfazendo o critério da quota. A análise dos
resultados eleitorais em Portugal, após 1975 mostra isso mesmo.
A comissão de redacção da primeira lei eleitoral após a revolução de 25 de Abril de 1974 ( Decreto-Lei n.º 621-C/74, de 15-Nov ) , " ... optou - por unanimidade - pelo método de Hondt por ser aquele que melhor poderá traduzir a vontade do
corpo eleitoral, ... " ( Relatório da Eleição para a Assembleia Constituinte 1975, volume
I - Projecto de Lei Eleitoral, Ministério da Administração Interna, Secretariado Técnico dos Assuntos Políticos ).
O n.º 1 do artigo 155º [ actual 149º, com nova redacção ] da Constituição da República (1976) estabelece que « Os Deputados são eleitos segundo o sistema de
representação proporcional e o método da média mais alta de Hondt » foi aprovado com 31 abstenções ( PCP, MDP, UDP e oito Deputados ex-PPD ) - in "Constituição da República Portuguesa 1976 (anotada), Victor Silva Lopes, [Lisboa], Editus, 1976.
CAPÍTULO IVCAPÍTULO IV
Fundamentos e Ensino da Álgebra 110
Teoria das Eleições
TEORIA DAS ELEIÇÕES NASTEORIA DAS ELEIÇÕES NAS ESCOLAS ESCOLAS
Hoje em dia os conceitos matemáticos são desenvolvidos mais numa "perspectiva
cultural" do que numa perspectiva de "formação estritamente técnica". De entre
inúmeros assuntos interessantes que ligam a Matemática ao nosso dia à dia, são
seleccionados alguns temas mais atractivos, nomeadamente a Teoria Matemática das
Eleições. Este tema faz parte do conteúdo do programa da disciplina de Matemática
Aplicada às Ciências Sociais, que é leccionada nos Cursos Geral de Ciências Sociais e
Humanas e Tecnológico de Ordenamento do Território.
A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais pretende contribuir para
o desenvolvimento da capacidade de resolução e discussão de problemas matemáticos,
aplicados a situações reais e além disso, tem em vista propósitos de Educação para a
cidadania.
Mais do que dominar questões técnicas, pretende-se que os alunos tenham
experiências matemáticas significativas que lhes permitam dar a devida importância das
abordagens matemáticas nas suas futuras actividades.
São portanto os objectivos desta disciplina:
Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística
que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento
de estudos como para a inserção na vida activa;
Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de
interpretação e intervenção no real;
Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em
situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais;
Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem
matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico;
Contribuir para formar uma atitude positiva face à ciência e particularmente
Fundamentos e Ensino da Álgebra 111
Teoria das Eleições
com a Matemática;
Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e solidariedade;
Desenvolver capacidades de intervenção social pela compreensão e
discussão de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos
cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania activa e
participativa;
Considerar a matemática como uma ferramenta fundamental para a
vida !!!
A Teoria Matemática das Eleições tem como fundamento o facto de vivermos
numa sociedade democrática e estarmos constantemente a ser solicitados para tomar
decisões. Este tema surge como módulo inicial no programa, apresentando as seguintes
vantagens:
aborda um assunto muito importante para qualquer regime político
democrático;
ajuda a recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino
básico, tais como cálculo, percentagens e desigualdades;
alerta os estudantes para a importância de modelos matemáticos em áreas
fora das ciências e da engenharia;
mostra as limitações de um modelo matemático;
permite uma forma de trabalho em que o investigar situações, o recolher
dados, o analisar situações e o escrever de pequenos relatórios desempenham
um papel preponderante.
Nesta ordem de ideias apresenta-se uma planificação possível na seguinte tabela:
Estudo de algumas eleições Como melhorar o sistema de votação
Fundamentos e Ensino da Álgebra 112
Teoria das Eleições
Objectivos
Perceber como se contabilizam os mandatos
em algumas eleições;
Perceber que os resultados podem ser
diferentes se os métodos de contabilização
dos mandatos forem diferentes.
Estudar algumas situações
paradoxais;
Analisar algumas condições para
ter um sistema adequado;
Perceber que há limitações à
melhoria dos sistemas.
Explicação
dos
objectivos
Todo o trabalho ganha se for feito a partir de
exemplos concretos que tanto podem vir de
votações feitas entre os próprios estudantes
(cores, sabores, clubes, etc.), como podem vir
de dados de eleições já realizadas, com
particular relevância para as eleições nacionais,
regionais e locais portuguesas; devem contudo
evitar-se exemplos demasiado recentes passíveis
de gerar efervescência desnecessária na sala de
aula. Devem também ser usados alguns
exemplos históricos significativos, de diferentes
épocas e países que tenham usado diferentes
sistemas de votação.
O professor deve usar a metodologia que achar
mais adequada de modo a que os estudantes
participem activamente no estudo dos exemplos
e modelos propostos.
Os estudantes devem recorrer à tecnologia
(calculadoras gráficas ou computadores) para
simular variações das situações estudadas e
tentar retirar algumas conclusões, elaborando
pequenos relatórios.
Os diferentes sistemas de votação e
métodos de contabilização de mandatos
que poderão ser estudados são: por
ordem de preferência, maioritário com
duas ou mais voltas, proporcional (com
diferentes métodos de traduzir a
proporcionalidade), de aprovação.
Cada sistema estudado deve ser
acompanhado de uma pequena análise
das suas principais consequências.
O teorema de Arrow, que mostra as
limitações de um sistema matemático
de votação e de contabilização dos
mandatos em eleições, pode ser
trabalhado com diferentes níveis de
aprofundamento, podendo contudo
fazer-se apenas uma breve referência à
sua existência. Esta é uma boa
oportunidade para fazer uma referência
histórica ao matemático Kenneth
Arrow que foi galardoado com o
prémio Nobel da Economia em 1972.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 113
Teoria das Eleições
Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas tão só
alertar os estudantes para uma área de importância fundamental na sociedade actual e
como a matemática é uma ferramenta incontornável (embora de modo nenhum seja a
única ferramenta relevante).
Seguidamente apresentamos a forma como é exposta a teoria matemática das
eleições na escola.
De entre os vários sistemas de votação existentes, são apenas seleccionados para
exposição lectiva os seguintes:
Maioritário;
Por ordem de preferência ou preferencial;
Proporcional;
Aprovação.
Sistema Maioritário
é feita a distinção entre maioria absoluta e maioria simples;
Maioria absoluta: é eleita a opção que recolhe, pelo menos metade de todos os
votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por
nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à
qual ou são submetidas apenas as duas opções mais votadas na
1ª volta (como é o caso da eleição do Presidente da República
Portuguesa) ou são submetidas novamente todas as opções
(como é por exemplo o caso das eleições das comissões dos
clubes de futebol);
Fundamentos e Ensino da Álgebra 114
Teoria das Eleições
Maioria simples ou relativa: é eleita, numa única votação a opção que reúne
maior número de votos, independentemente dos
resultados obtidos pelas outras opções (é o
sistema utilizado nas eleições para Presidente da
Junta de Freguesia ou da Câmara Municipal).
são expostos alguns exemplos que permitem ao aluno verificar que os
resultados de uma votação podem ser diferentes, dependendo do sistema de
votação utilizado;
são feitas referências históricas do estudo desta teoria, nomeadamente a
Condorcet e a Kenneth Arrow;
é apresentado o Paradoxo do voto (designado também por Paradoxo de
Condorcet) através de exemplos, tais como;
EXEMPLO 4.1
Consideremos um grupo de três amigos, João, Ricardo e
Vasco que pretendem fazer uma viagem a três países, Alemanha,
Suíça e Itália. Cada um deles tem uma sugestão quanto à ordem de
visita dos países, as quais são apresentadas a seguir:
Prioridades João Ricardo Vasco
1.º Alemanha Itália Suíça
2.º Suíça Alemanha Itália
3.º Itália Suíça Alemanha
Tabela 4.1
Fundamentos e Ensino da Álgebra 115
Teoria das Eleições
Vejamos o que acontece quando comparamos cada uma das opções par a
par:
Alemanha/Suíça: 2 votos contra 1 voto;
Suíça/Itália: 2 votos contra 1 voto;
Itália/Alemanha: 2 votos contra 1 voto.
Temos que a Alemanha ganha à Suíça, a Suíça ganha à Itália e a Itália à
Alemanha. Ocorre portanto o chamado Paradoxo do voto, ou seja, não existe
nenhuma opção que obtenha a maioria frente a todas as restantes opções.
é referido que a regra da maioria não avalia a intensidade das preferências
pois cada indivíduo só tem direito a um voto: não considera, por isso, os
interesses das minorias.
Sistema por ordem preferência ou
preferencial
É definido este tipo de sistema: é um sistema em que o votante não escolhe
apenas um de entre todos os candidatos que se apresentam a votação, mas
expressa a sua ordem de preferência relativamente a todos os candidatos.
Abordam alguns métodos tais como: o método de Borda, o método de Runoff.
são apresentados alguns exemplos, da seguinte forma:
Fundamentos e Ensino da Álgebra 116
Teoria das Eleições
EXEMPLO 4.2
Numa aula de Educação Física, o professor
apresentou aos alunos quatro possíveis modalidades, de
entre as quais estes teriam de escolher uma para começar a
ser praticada nas aulas. Seis alunos da turma ficaram
responsáveis por essa escolha, sendo essa efectuada através do preenchimento de
boletins de voto por ordem de preferência. Tinham como modalidades possíveis:
basquetebol (B), voleibol (V), futebol (F) e andebol (A).
Ordem de
preferênciaAna João Rita Inês Bruno André
1.º F V F B A B
2.º V F V V F F
3.º A A A F V A
4.º B B B A B V
Tabela 4.2
Numa primeira abordagem da tabela, verifica-se que o futebol e o
basquetebol estão empatados com dois primeiros lugares cada um.
Como o pretendido era escolher apenas uma modalidade, decidiu-se
atribuir 4 pontos à primeira preferência, 3 à segunda, 2 à terceira e 1 à quarta. A
tabela seguinte ilustra o modo como foram efectuados os cálculos, bem como os
resultados finais.
Modalidade Contagem Total
Futebol 2 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 + 0 x 1 19
Basquetebol 2 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 4 x 1 12
Voleibol 1 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 +1 x 1 16
Andebol 1 x 4 + 0 x 3 + 4 x 2 + 1 x 1 13Tabela 4.3
Fundamentos e Ensino da Álgebra 117
Teoria das Eleições
A modalidade vencedora é o futebol! Com este sistema o basquetebol, que
inicialmente estava empatado com o futebol, ficou em último lugar.
são feitas ainda algumas referências históricas.
Sistema Proporcional
Define-se este tipo de sistema;
Este sistema de votação requer que o candidato, para ser eleito, obtenha
determinada proporção dos votos.
Em Portugal, as leis eleitorais da Assembleia da República e Autarquias
locais (Parlamento Europeu seguem o sistema de representação proporcional
utilizando o Método de Hondt. O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais
possíveis dentro do sistema de representação proporcional e converte votos em
mandatos.
Vejamos de seguida como é apresentado nas escolas este método:
Método de Hondt
1º passo: Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no
respectivo cículo eleitoral.
2º passo: O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,
2, 3, 4, 5, ... até ao número de mandatos a atribuir (se necessário) sendo os
quocientes alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa
sequência de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo
eleitoral respectivo;
Fundamentos e Ensino da Álgebra 118
Teoria das Eleições
3º passo: Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da sequência
estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos
mandatos quantos os seus termos na sequência;
4º passo: No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da
sequência serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver
obtido menor número de votos.
são apresentados alguns exemplos do género do seguinte:
EXEMPLO 4.3
Suponhamos que temos 9 mandatos a distribuir num determinado
círculo eleitoral sendo o número de votos obtido pelas listas X, Y, Z e W,
respectivamente 10000, 6000, 5500 e 2000.
Divisores X Y Z W
1 10000 6000 5500 2000
2 5000 3000 2750 1000
3 3333,3 2000 1833,3 666,7
4 2500 1500 1375 500
Tabela 4.4
Como temos 9 mandatos para atribuir, vamos ordenar nove quocientes
por ordem decrescente da sua grandeza:
10000 > 6000 > 5500 > 5000 > 3333,3 > 3000 > 2750 > 2500 > 2000
- A lista X recebe o 1º, o 4º, o 5º e o 8º mandato.
- A lista Y recebe o 2º e o 6º mandato.
- A lista Z recebe o 3º e o 7º mandato.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 119
Teoria das Eleições
- A lista W recebe o 9º mandato (pois em caso de empate o mandato é
atribuído ao que tem menor número de votos).
são feitas ainda referências históricas a Victor d’Hondt;
abordam-se também mais dois métodos proporcionais:
O Método Hagenbach-Bischof, que consiste na divisão do número de
votos apurados por cada partido pela quota eleitoral, a qual se
obtém dividindo o total de votos apurados em cada círculo pelo
número de mandatos mais um. Este método é utilizado na Suíça,
Áustria, Grécia e Luxemburgo.
O Método de Sainte-Lague, que tem uma aplicação semelhante à do
Método de Hondt, mas em que a série de divisores é 1, 3, 5, 7, etc.
Este método encontra-se em vigor nos países escandinavos
Sistema de Aprovação
É descrito o sistema e são anunciadas algumas vantagens;
É um procedimento através do qual os votantes podem votar em tantos
candidatos quantos quiserem. Cada candidato aprovado recebe um voto e o
candidato com mais votos ganha.
É um método simples de perceber e de utilizar sendo usado actualmente por
vários governos e organizações.
Este método tem algumas vantagens relativamente aos outros:
- Confere aos eleitores uma opção mais flexível;
- Ajuda a eleger o candidato mais forte;
- Fomenta a adesão ao voto;
Fundamentos e Ensino da Álgebra 120
Teoria das Eleições
- Dá aos candidatos minoritários o seu real valor;
- É muito prático.
são apresentados também alguns exemplos da forma:
EXEMPLO 4.4
Uma turma do 12º ano pretende efectuar uma viagem de finalistas e, para
isso, organizar uma eleição para determinar o país de destino. As opções eram
México (M), Cuba (C), Venezuela (V) e Brasil (B). As opiniões recolhidas foram
as seguintes:
- 13 estudantes votaram México e Cuba;
- 12 estudantes votaram Venezuela e Cuba;
- 10 estudantes votaram Brasil e Cuba;
- 5 estudantes votaram Cuba, Brasil e México.
Calculamos de seguida quantos votos recebeu cada país.
PAÍS CONTAGEM
México 13 + 5 = 18
Cuba 13 + 12 + 10 + 5 = 40
Venezuela 12
Brasil 10 + 5 = 15
Tabela 4.5
Fundamentos e Ensino da Álgebra 121
Teoria das Eleições
Como se verifica na tabela, Cuba é o destino escolhido pelos estudantes.
É referido que numa eleição usando o Sistema de aprovação, a adição ou
exclusão de candidatos ou alternativas não altera a pontuação total dos outros
candidatos ou alternativas.
No final do capítulo, é finalmente referido o famoso Teorema de Arrow da
seguinte forma:
TEOREMA DE ARROW
É impossível constituir um sistema de votação democrático que obedeça às
cinco condições:
Não ditadura – A preferência de um indivíduo não pode reflectir a preferência
de todos sem a consulta destes;
Transitividade – Se um indivíduo prefere a alternativa A à alternativa B e
prefere B a C então deverá preferir A a C;
Domínio ilimitado – Qualquer ordenação individual de alternativas é aceitável;
Independência de alternativas irrelevantes – Se um grupo prefere a
alternativa A a B, a desistência de uma terceira alternativa, C, não deve
modificar essa preferência;
Postulado de Pareto – Se um indivíduo preferir a alternativa A em relação a B
e ninguém se opuser a isso, o grupo deverá reflectir essa preferência.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 122
Teoria das Eleições
CONCLUSÃO
No 1º capítulo tentámos dar resposta à questão da existência de um método
eleitoral justo e totalmente imparcial, o que é fundamental numa democracia.
Verificámos que todos os métodos que apresentámos têm lacunas, pois todos eles violam
pelo menos um dos critérios essenciais à coerência, à imparcialidade e à justiça. Este
facto, inicialmente é surpreendente, dada a relevância das eleições numa democracia, e
dada a inteligência e imaginação colectiva dos cientistas sociais e matemáticos. Mas de
facto, foi provado que para eleições envolvendo mais de dois candidatos é
matemáticamente impossível encontrar um método, democrático e justo para determinar
um vencedor. Foi assim encontrada a resposta para uma das mais pertinentes questões da
Teoria das Eleições.
Em qualquer sociedade, por muito que se prezem os valores da democracia,
alguns indivíduos e grupos têm mais poder do que outros. Este aspecto foi tratado no 2º
capítulo, onde discutimos a noção de poder, como este se aplica nas situações formais de
votação, chamadas sistemas de voto com peso e vimos como os métodos matemáticos
nos permitem medir o poder de um indivíduo ou grupo como um índice de poder. Em
particular, vimos dois diferentes tipos de índice de poder: o índice de poder segundo
Banzhaf e o indicador de poder de Shapley-, Shubik. Estes dois indicadores fornecem-
nos diferentes maneiras de medir o poder, as quais ocasionalmente estão de acordo;
contudo, na maioria das vezes diferem significativamente. Ambos são úteis, e em alguns
casos a escolha entre eles é subjectiva. Talvez a melhor maneira de os avaliar é pensar
neles como sendo baseados num conjunto de suposições ligeiramente diferentes. A ideia
subjacente ao poder segundo Banzhaf é a de que os “jogadores” são livres de entrar e
sair de uma coligação, negociando a suas alianças de poder. Segundo a interpretação de
Shapley-Shubik, a ideia inerente ao poder é a suposição de que quando um jogador entra
numa coligação, ele faz um compromisso para ficar. No último caso o poder do jogador
é gerado pela sua habilidade de estar no lugar certo, na hora exacta. Contrariamente ao
que nós esperavamos, os matemáticos não nos dão as respostas, apenas as ferramentas
que nos podem ajudar a tomar uma decisão certa.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 123
Teoria das Eleições
Relativamente à exposição que é feita nas escolas sobre teoria das eleições é de
referir que se trata de uma abordagem superficial, que visa mostrar a aplicabilidade do
assunto e não tanto o rigor matemático que lhe está subjacente. É sobretudo uma
abordagem prática que recorre aos mais variados exemplos para dar a conhecer alguns
métodos e conceitos. Referimos por fim que essa visão “leve” do tema, segundo o nosso
parecer, pode conduzir o aluno a construir raciocínios pouco esclerecedores e até mesmo
incorrectos.
Não podíamos terminar o nosso trabalho sem descrever, embora de forma sucinta,
o modo como se processam os vários actos eleitorais em Portugal, uma vez que também
nós desconheciamos tais processos e achamos fundamental que todo e qualquer cidadão,
enquanto eleitor, os conheça.
Fundamentos e Ensino da Álgebra 124
Teoria das Eleições
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Apontamentos de Aplicações da Matemática, do Doutor J. M. Simões Pereira;
Gazeta de Matemática, publicação bianual da Sociedade Portuguesa da
Matemática, Ano LXIV, Julho 2003;
Consulta de jornais: Expresso, Público, Diário de Coimbra;
LONGO, Elisabete; BRANCO, Isabel; Matemática Aplicada às Ciências Sociais;
Texto Editora; 2004;
MAGALHÃES, Fernanda Maria Ladeiro Monteiro Gouveia de; Teoria das
Eleições; Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra; Maio de 2001;
TANNENBAUM, Peter; ARNOLD, Robert; Excursions in Modern Mathematics;
Prentice Hall, Inc; 2001;
PESQUISA NA INTERNET:
http:// www.tvi.iol.pt;
http:// www.rtp.pt;
http:// www. cne.pt;
http:// www. mat.uc.pt;
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Teoria das Eleições
FIM
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