View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1. ÇÖZÜM YOLU:
(15)8 = 1.8+5 = 13
13:2 = 6.2+1
6:2 = 3.2+0
3:2 = 1.2+1
En son bölümden başlayarak kalanları
sıralarız. (15)8 = (1101)2
2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
yazarız.
(15)8 → 5 = 2.2+1 , 2 =1.2+0 , 5 = (101)2
1 = 0.2+1 , 1 = (1)2
(15)8 = (1101)2
163
243+163+83=
(2.8)3
(3.8)3+(2.8)3+83
=23. 83
3383 + 2383 + 83
=23. 83
83(33 + 23 + 1)
=23
33 + 23 + 1
=8
27 + 8 + 1=
8
36=
2
9
3𝑥
22𝑥=
1
5 ⇒
3𝑥
(22)𝑥=
1
5
(3
22)
𝑥
=1
5
(3
4)
𝑥=
1
5
(4
3)
𝑥= 5
Her iki tarafın 1
𝑥 inci kuvvetini alalım.
51𝑥 = ((
4
3)
𝑥
)
1𝑥
⇒ 51𝑥 =
4
3
𝑥 = √54
= 51
4 ⇒ 𝑥2 = (51
4)2
𝑥2 = 51
2 = √5
(x2 – 2 )-1 = (√5 − 2)−1 =1
√5−2
Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı
√5 + 2 ile çarpalım.
(𝑥2 − 2)−1 =√5 + 2
(√5 − 2)(√5 + 2)=
√5 + 2
5 − 4= √5 + 2
𝑥(𝑦+𝑧)+𝑧(𝑦−𝑥)
𝑥2+𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑧𝑦−𝑧𝑥
𝑥(𝑥+𝑦)+𝑧(𝑥+𝑦)
=𝑥𝑦 + 𝑧𝑦
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)=
𝑦(𝑥 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)
=𝑦
𝑥 + 𝑦
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
= 15 + 2.5 = 15 + 10 = 25
x + y = 5
x3 + y3 = (x+y)(x2-xy+y2)
= 5.(15 – 5 ) = 5.10 = 50
x2 -4y = -7
y2 - 2x = 2 Eşitliklerini toplayalım.
x2 -4y + y2 – 2x = -7 + 2
(x – 1)2 + (y – 2)2 = -5 + 1 + 4
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 0
x – 1 = 0 , x = 1 y – 2 = 0 , y = 2
x + y = 1 + 2 = 3
(√7 + √3)𝑥
= 4
(√7 − √3)𝑥
= 𝑡 diyerek çarpalım.
(√7 + √3)𝑥
. (√7 − √3)𝑥
= 4. 𝑡
[(√7 + √3)(√7 − √3)]x = 4.t
(7 − 3)𝑥 = 4. 𝑡
4𝑥 = 4. 𝑡 ⇒ 𝑡 =4𝑥
4= 4𝑥−1
1A + 2A + 3A + … + 9A = 504
Sayıları çözümlersek;
10+A + 20+A + 30+A + … + 90+A = 504
10+20+30+ … + 90 + 9.A = 504 ⇒ 9.10
2. 10 + 9. 𝐴 = 450 + 9. 𝐴 = 504
9.A =504 -450 = 54 ⇒ A = 6
12 = 22.3 ve 27 = 20.33
2a.3b≡ 0 ≡ 12 = 22.3.k1 (mod 12)
2b.3a ≡ 0 ≡ 27 = 20.33.k2 (mod 27)
Eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
2a.3b.2b.3a = 22.3.k1.20.33.k2
2a+b.3a+b = 20+2.31+3.k1.k2
(2.3)a+b = 22.34. k1.k2
k1.k2 = 22 alınırsa;
6a+b = 24.34 =64 olur ki
a+b nin alabileceği en küçük değer 4 tür.
(a=3 ve b=1)
Pozitif bölenlerinin sayısı 3 olan sayılar,
bir asal sayının karesi olan sayılardır.
22, 32, 52, 72 gibi.
1 < n < 50 koşulunu sağlayan 4 tane n tam sayısı vardır.
-1 < y < 0 < x
x, pozitif.
-1 < y ise 0 < y+1 dir.
x.(y+1) > 0 pozitif iki sayının çarpımı
pozitiftir.
I. ve II. x ve y nin her değeri için doğru
olmayabilir.
a∆𝑏 = 𝑎2 + 2𝑏
1∆𝑥 = 12 + 2𝑥 = 1 + 2𝑥
2∆(1∆𝑥) = 2∆(1 + 2𝑥) = 22 + 2(1+2𝑥) = 12
4+2(1+2𝑥) = 12
2(1+2𝑥) = 8 = 23
1 + 2𝑥 = 3
2𝑥 = 2
x = 1
YA DA: 1∆𝑥 = 𝑦 diyerek; 2∆𝑦 = 22 + 2𝑦 = 12 , 2𝑦 = 8 = 23 , y = 3
1∆𝑥 = 12 + 2𝑥 = 3 , 2𝑥 = 2 , x = 1
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑍 için
x1 ≠ x2 ise f(x1)≠f(x2) dir.
f bire birdir.
(farklı tam sayıları, farklı tam sayılara
eşler)
f(-1)=-1-1=-2 , f(-2)=-2-1=-3 ,
f(-3)=-3-1=-4 , …
f(0)=0+1=1 , f(1)=1+1=2 ,
f(2)=2+1=3 , …
f(x)=0 ve f(x)=-1 eşitliklerini sağlayan x değerleri yoktur. (Örten değil, içine dir.)
Görüntü kümesi; Z\{-1,0} dır.
(gof)(x) = g[f(x)] = g(|2x-5|)
= ||2x-5|+1| = 3
|2x-5|+1 = 3 veya |2x-5|+1 = -3
|2x-5| = 2 veya |2x-5| = -4
2x-5=2 veya 2x-5=-2
2x=7 veya 2x= 3
x=7/2 veya x= 3/2
|2x-5| = -4 Ç = ∅ x1+x2 = 7/2 + 3/2 = 5
I. f(x) < f(x+2)
f(1) < f(1+2) < f(3+2) ise f(1) < f(5) olur.
II. f(-1) < f(-1+2) , f(-1) < f(1) dir. Fakat;
Mutlak değerleri arasında aynı sıralamanın
olduğu söylenemez.
Örneğin: f(x)=x-5 için
f(-1)=-1-5=-6 < f(1)=1-5=-4 , Fakat;
|-6| < |-4| DEĞİLDİR.
III. f(0) < f(2) < f(4)
f(2) ye f(0) ı, f(4) e f(4) ü eklersek
eşitsizlik değişmez.
f(0) + f(2) < 2.f(4) olur.
x∈ 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) Verilmiş.
x∈ 𝐴 ve x∉ (𝐵 ∩ 𝐶) Doğru.
x∈ 𝐴 ve (x∉ 𝐵 ve x∉ 𝐶) YANLIŞ.
ÇÜNKÜ: x∈ 𝐴 ve x∉ (𝐵 ∩ 𝐶)
Koşulunu sağlayan x elemanı B nin veya
C nin elemanı olabilir.
HATA II NOLU ADIMDADIR.
P(x) polinomunun katsayılar toplamı
P(1) dir.
P(1)=(1+a)(1+b)=15
a,b∈Z+ verildiğinden;
1+a=15 ve 1+b=1 olursa; b=0∉Z+
1+a=5 ve 1+b=3 olursa; a=4 ve b=2 olur. a+b=6
1+a=3 ve 1+b=5 olursa; a=2 ve b=4 olur. a+b=6
1+a=1 ve 1+b=15 olursa; a=0∉Z+
P(x) in kökleri eşit ise; ∆= 0 olmalıdır.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4.1. 𝑚 = 0
m = 1 , P(x)=x2-2x+1=(x-1)2
x1=x2=1 , Ortak kök 1.
Q(1)=12+3.1+n=0 , n = -4
m + n = 1 +(-4)=-3
Parabol ile doğrunun bir tek ortak noktası
vardır. Ortak çözümde ∆= 0 olmalıdır.
x2-2(a+1)x+a2-1 = 1
x2-2(a+1)x+a2-2 = 0
∆= [−2(𝑎 + 1)]2 -4.1(a2-2) = 0
8a + 12 = 0 , a = -3/2
2. YOL: y=1 doğrusu parabole tepe noktasında teğettir. k = 1 olmalıdır.
T.N(r,k) ; r = −𝑏
2𝑎=
2(𝑎+1)
2= 𝑎 + 1 ; f(a+1)=(a+1)2-2(a+1)(a+1)+a2-1=1
-2a-2 = 1 , 2a = -3 , a = -3/2
Aynı renkten iki gülü, 5 farklı renk
içinden 5 farklı şekilde seçer.
Diğer bir gülü de kalan 4 renk içinden
4 farklı şekilde seçer.
2 çeşit vazodan 1 vazo 2 farklı şekilde seçilebilir.
Çarpma kuralı gereği; 5.4.2 = 40 farklı şekilde seçim yapılabilir.
2. YOL : C(5,2).C(2,1).C(2,1) = 10.2.2 =40 (5 RENK İÇİNDEN 2 RENK, 2 RENKTEN
BİRİNDEN 2 TANE VE İKİ VAZODAN BİRİ)
Örnek uzayı:(Olabileceklerin tümü)
C(9,3)=9.8.7/3.2.1 = 84
İstenen: (Olay)
2 kırmızı,1 beyaz veya 1 kırmızı, 2
beyaz.
C(5,2).C(4,1)+C(5,1).C(4,2)=10.4+5.6=70
OLASILIK = 70/84 = 5/6
cos 135o = cos(1800-450) = -cos 450 =−√2
2
cos 3300 = cos(3600-300) = cos 300 = √3
2
sin 1500 = sin(1800-300) = sin 300 = 1
2
𝑐𝑜𝑠1300 + 𝑐𝑜𝑠3300
𝑠𝑖𝑛1500=
−√22 +
√32
12
= √3 − √2
m(CAB)=450 Karede köşegen kenarlarla 450
lik açı yapar.
m(BAE) +x = 450
x = 450 – m(BAE)
tan x = tan(450 – m(BAE))
=𝑡𝑎𝑛450−tan (𝑚𝐵𝐴𝐸)
1+𝑡𝑎𝑛450.tan (𝑚𝐵𝐴𝐸) tan(mBAE)=
5
12
=1−
5
12
1+1.5
12
=7
17
sin 2x = 2 sin x. cos x
2 sin x . cos x . cos 2x = 2 sin x .1
16 sin 𝑥
sin 2x . cos 2x = 1
8
1
2. 𝑠𝑖𝑛4𝑥 =
1
8
sin 4x = 1
4
Denklemin kökü, eşitliği sağlayan sayıdır.
(2
3)
2− (𝑠𝑖𝑛 𝑎).
2
3−
1
4(𝑐𝑜𝑠2𝑎) = 0
sin2 a + cos2 a = 1
sin a = m dersek; cos2a = 1-m2 olur.
4
9− 𝑚.
2
3−
1
4(1 − 𝑚2) = 0
9m2-24m+7=0 , (3m-7)(3m-1)=0
3m-7=0 , m=7/3 Olamaz. -1≤ 𝑚 ≤ 1 olmalı
3m – 1 = 0 , m = 1/3 = sin a olur.
)sin.(cos irz sayısı için ;
)sin.(cos ninrz nn
f(z0) = 1 – 2z06
𝑧06 = (𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
3))
6
= 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜋 = 1
f(z0) = 1-2.1 = -1
(|z|+z)(|z|-𝑧̅ ) = i
|z|2 - |z|.𝑧̅ + z.|z| - z. 𝑧̅ = i
z=a+bi , 𝑧̅ = a-bi , z. 𝑧̅ = a2+b2 =|z|2
-|z|.𝑧̅ +z.|z|= i
|z|(z-𝑧̅) = i
|z|[a+bi-(a-bi)] = i
|z|(2bi) = i
bi = 1
2|𝑧|𝑖 ⇒ b =
1
2|𝑧|
1 sayısına uzaklığı 2 birim; |z-1|=2
i sayısına uzaklığı 3 birim; |z-i|=3
|a+bi-1|=|(a-1)+bi|=√(𝑎 − 1)2 + 𝑏2=2
|a+bi-i|=|a+(b-1)i|=√𝑎2 + (𝑏 − 1)2=3
Karelerini alır, taraf tarafa çıkarırsak;
a – b = 5/2 bulunur.
log𝑎𝑛 𝑥𝑚 =𝑚
𝑛log𝑎 𝑥
log2 3𝑥 + log22 𝑥2 = 2
log2 3𝑥 +2
2log2 𝑥 = 2
log2 3𝑥 + log2 𝑥 = 2
log2 3𝑥. 𝑥 = 2
log2 3𝑥2 = 2
3𝑥2 = 22 ⇒ 3x2 = 4 ⇒ x2= 43 ⇒ x =
2
√3 ⇒ x =
2√3
3
2𝑥 =1
5 ⇒ log2
1
5= 𝑥 ⇒ 𝑥 = − log2 5
3𝑦 =1
4 ⇒ log3
1
4= 𝑦 ⇒ y = − log3 4
𝑥. 𝑦 = (− log2 5)( − log3 4) = log2 5. log3 4
𝑥. 𝑦 =ln 5
ln 2.ln 4
ln 3=
ln 5
ln 2.ln 22
ln 3=
ln 5
ln 2.2. ln 2
ln 3
𝑥. 𝑦 =2 ln 5
ln 3=
ln 52
ln 3=
ln 25
ln 3
∑ (∏𝑘+1
𝑘
𝑛𝑘=1 )9
𝑛=4
= ∑ (21
.32
.43
…𝑛 + 1
𝑛) =
9
𝑛=4
∑(𝑛 + 1)
9
𝑛=4
= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
9≡ 7 ≡ 1 (mod 2)
a9 = 29 – 1 ve a7 = 27 – 1
8≡ 6 ≡ 0 (mod 2)
a8 = 28 + 1 ve a6 = 26 + 1
𝑎9 − 𝑎7
𝑎8 − 4. 𝑎6=
29 − 1 − (27 − 1)
28 + 1 − 4. (26 + 1)
=29 − 27
28 + 1 − 22. 26 − 22=
27(22 − 1)
28 − 28 − 3
=27. 3
−3= −27
Çevre = 2𝜋𝑟
Çevre toplamı = 2𝜋. 4 + 2𝜋. 2 + 2𝜋. 1 + ⋯
= 2𝜋(4 + 2 + 1 + ⋯ )
= 2𝜋 (4
1−1
2
) = 16𝜋
(𝑎 𝑏0 𝑐
) . (𝑎 𝑏𝑜 𝑐
) = (𝑎. 𝑎 + 𝑏. 0 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑐0. 𝑎 + 𝑐. 0 0. 𝑏 + 𝑐. 𝑐
)
(𝑎2 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑐0 𝑐2 ) = (
1 20 4
)
a2 = 1 , a = 1
c2 = 4 , c = 2
a.b+b.c =1.b+b.2=3b = 2 , b = 2/3
a + b + c = 1 + 2/3 + 2 = 11/3
(1 03 1
)−1
=1
1.1−3.0(
1 0−3 1
) = (1 0
−3 1)
= (2 1). (1 0
−3 1) . (
14
)
= (2.1 + 1. (−3) 2.0 + 1.1). (14
)
= (−1 1). (14
) = (−1.1 + 1.4) = (3)
(3) = (a) olduğundan a = 3 tür.
(2(2 31 2
) − (1 20 5
)). (𝑥𝑦) = (
10
)
((4 62 4
) − (1 20 5
)) (𝑥𝑦) = (
10
)
(3 42 −1
) (𝑥𝑦) = (
10
)
(3𝑥 + 4𝑦2𝑥 − 𝑦
) = (10
)
3x + 4y = 1
2x – y = 0
𝑠𝑖𝑛3.0
2−√4−0=
𝑠𝑖𝑛0
2−2=
0
0 Belirsizlik.
Hospital; lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛3𝑥
2−√4−𝑥= lim
𝑥→0
3.𝑐𝑜𝑠3𝑥1
2√4−𝑥
=3. 𝑐𝑜𝑠3.0
1
2√4 − 0
=3.1
14
= 12
(1-1).ln(02-1) = 0.ln 0 = 0.∞ Belirsizlik.
lim𝑥→1+
(𝑥 − 1). ln(𝑥2 − 1) = lim𝑥→1+
ln (𝑥2 − 1)
1𝑥 − 1
∞
∞ Belirsizliğine dönüştü. Hospital;
lim𝑥→1+
ln (𝑥2 − 1)
1𝑥 − 1
= lim𝑥→1+
2𝑥𝑥2 − 1
−1(𝑥 − 1)2
= lim𝑥→1+
2𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1).(𝑥 − 1)2
−1= lim
𝑥→1+
−2𝑥(𝑥 − 1)
𝑥 + 1=
−2.1(1 − 1)
1 + 1=
0
2= 0
lim𝑥→2+
𝑓(2𝑥 − 1) = 𝑓(2. 2+ − 1) = 𝑓(3+) = 1
lim𝑥→2+
𝑓(5 − 𝑥) = 𝑓(5 − 2+) = 𝑓(3−) = 2
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥2 − 1) = 𝑓((2+)2 − 1) = 𝑓(3+) = 1
lim𝑥→2+
𝑓(2𝑥 − 1) + 𝑓(5 − 𝑥)
𝑓(𝑥2 − 1)=
1 + 2
1= 3
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−
(1) = 1
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+
(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏)
= 1 + 𝑎 + 𝑏
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+
𝑓(𝑥) olmalı.
1+a+b=1 ⇒ a+b = 0 (1)
lim𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→3−
(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) = 9 + 3𝑎 + 𝑏 , lim𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→3+
(5) = 5
lim𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→3+
𝑓(𝑥) olmalı.
9+3a+b = 5 ⇒ 3a+b = -4 (2)
(1) ve (2) den 2a = -4 ⇒ a = -2 , b = 2
a – b = -2 -2 = -4
[f(g(x))]’ = 2x +4
g'(x).f’(g(x)) = 2x+4
g’(x) = 1
g(x) = x+a = 0 ⇒ x = -a
1.f’(0) = 2(-a)+4
1.1 = -2a+4 ⇒ a = 3/2
2x+5=6 ⇒ x =1/2 için;
[f(2x+5)]’ = [tan(𝜋
2𝑥)]’
2.f’(2x+5) = 𝜋
2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜋
2𝑥))
2.f’(6) = 𝜋
2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜋
2.
1
2))
2.f’(6) = 𝜋
2(1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜋
4) =
𝜋
2(1 + 1)
f'(6) = 𝜋
2
P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
P(x)=(x+5)(x-2)(x-x3)=(x2+3x-10)(x-x3)
P(x)’in x=0 noktasında bir yerel
ekstremumu olması için,
P’(0) = 0 olmalıdır.
P’(x)=(2x+3)(x-x3)+ (x2+3x-10).1
P’(0) = 3(-x3)-10 = -3x3-10 = 0
x3 = -10/3
x≥ 0 için; f(x) = -2x + c
x< 0 için; f(x) = 3x + c
fonksiyonunun türev fonksiyonudur.
f(2) – f(1) = -2(2)+c-(-2(1)+c)=-4+2=2 D
x < 0 için f’(x) > 0 , x > 0 için f’(x) <0
olduğundan fonksiyonun x=0 noktasında
yerel maksimumu vardır. D
f’(0-) ≠f’(0+) olduğundan grafiktede
görüldüğü gibi 1. Türev tanımsızdır. Bu
yüzden 2. Türev tanımsızdır.
(a,b) noktasındaki normali, (0,1)
noktasından geçmelidir.
f'(x)=-2x , mt=-2a , mn= 1
2𝑎
y-b=1
2𝑎(x-a) Normal denklemi.
1 – b = 1
2𝑎(0 – a) , b =
3
2
2. YOL: (a,b) noktası ile (0,1) noktası arasındaki uzaklığın en küçük olması sağlanır.
u = √(𝑎 − 0)2 + (𝑏 − 1)2 = √𝑎2 + (𝑏 − 1)2 b = 6 – a2 olduğundan;
u = √𝑎2 + (5 − 𝑎2)2 , u’ = 2𝑎+2(5−𝑎2)(−2𝑎)
2√𝑎2+(5−𝑎2)2 =
4𝑎3−18𝑎
√𝑎2+(5−𝑎2)2 = 0 , 4a3 -18a = 0
2a(a2-9
2) = 0 , a1=0 , a2=3/√2 , a3= - 3/√2 , a2 = 3/√2 > o için b = 3/2
f(x) = u dersek; f’(x).dx = du olur.
∫𝑓′(𝑥)
[𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢
𝑢2
∫ 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 yerlerine yazılırsa;
∫𝑑𝑢
𝑢2= 2𝑥 + 𝑐
∫𝑑𝑢
𝑢2= ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 =
𝑢−2+1
−2 + 1= −
1
𝑢
−1
𝑢= 2𝑥 + 𝑐 ⇒ 𝑢 = 𝑓(𝑥) =
−1
2𝑥+𝑐
f (0) =−1
2.𝑜+𝑐=
−1
𝑐=
1
2 ⇒ c = -2
f(x) = −1
2𝑥−2 , f(3) =
−1
2.3−2=
−1
4
u = arcsin x dersek
arcsin x = u ⇒ x = sin u
⇒ dx = cos u. du
∫(arcsin 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2. cos 𝑢. 𝑑𝑢
x = y2 + 1 ve y = x2 + 1 fonksiyonları
ters fonksiyon olduklarından x ve y
eksenleri ile oluşturdukları alanlar
eşittir.
A + B + C = 25 ve B = C dir.
x = y2 + 1 ⇒ y = √𝑥 − 1
C = ∫ √𝑥 − 15
1. 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 1)
1
2𝑑𝑥5
1
=2
3(𝑥 − 1)
3
2 |51 =
2
3(4
3
2 − 0) =16
3
A + 16
3+
16
3= 25 ⇒ A =
43
3
V = 𝜋 ∫ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝜋 ∫9−𝑦2
9𝑑𝑦
3
1
3
1
=𝜋
9(9𝑦 −
𝑦3
3) |
31
=𝜋
9(27 − 9 − 9 +
1
3)
V = 28
27𝜋 br3
Recommended