View
215
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
1/42183
10 - Analiza reelelor de curent continuu
01. Ce este analiza unei reele electrice
Unele configuraii de reea (circuite) nu pot fi rezolvate prin reducerea conform regulilor circuitelor serie -
paralel datorit existenei necunoscutelor multiple.
Pentru rezolvarea acestor tipuri de probleme se pot folosi sistemele de ecuaii.
General vorbind, analiza reelei este o metod matematic folosit pentru analiza unui circuit electric
Imposibilitatea reducerii circuitului la o combinaie serie-paralel
. n
multe cazuri, vom ntlni circuite ce conin surse de putere multiple sau configuraii ale componentelor ce nu se pot
simplifica prin metodele de analiz serie-paralel. n aceste cazuri este necesar utilizarea altor mijloace. Acest
capitol prezint cteva tehnici folositoare pentru analiza unor astfel de circuite complexe.
Pentru ilustrarea faptului c un circuit relativ simplu poate fi imposibil de redus n sub-circuite serie sau
paralel, s luam urmtorul circuit serie-paralel ca i exemplu:
Pentru analiza circuitului alturat, paii sunt urmtorii:
gsirea rezistenei echivalente pentru R2i R3n paralel;
adugarea rezistorului R1 n serie pentru aflarea
rezistenei echivalente totale; cunoscnd tensiunea
bateriei B1
Rezistorii R
i rezistena total a circuitului, putem afla
curentul total folosind legea lui Ohm (I = E / R);
folosirea valorii curentului pentru calcularea cderilor de
tensiune din circuit. O procedur destul de simpl pn la urma.
Totui, dac adugm o singur baterie n circuit, problema analizei circuitului se complic:
2i R3nu mai sunt conectai n paralel
unul cu cellalt, pentru c bateria B 2a fost introdus
n ramura de circuit a lui R3
.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
2/42184
Dac suntem i mai ateni, putem observa c n acest circuit nu exist doi rezistori legai direct n serie sau
paralel
Analiza unei puni dezechilibrate
unul cu cellalt. Aceasta reprezint de fapt dificultatea problemei: n analiza circuitelor serie-paralel, primul
pas era identificarea rezistorilor n serie sau n paralel, reducndu-i la o rezisten echivalent la urmtorul pas. Dar
dac niciun rezistor nu este legat n serie sau paralel cu un altul, ce putem face?
Este evident faptul c reducerea acestui circuit relativ simplu, cu doar trei rezistori, este imposibil de
realizat prin metoda analizei circuitelor serie-paralel. Totui, acesta nu este singurul tip de circuit ce sfideaz
analiza serie-paralel.
n acest caz avem un circuit n punte; pentru simplitatea exemplului
presupunem c nu este echilibrat (raportul R1/R4nu este egal cu raportul
R2/R5). Dac puntea ar fi echilibrat, curentul prin R3 ar fi zero, prin
urmare circuitul s-ar putea reduce la o combinaie serie-paralel (R1--R4//R2--R5
).
Din pcate, orice curent prin R3 face imposibil aplicarea analizei serie-paralel. Rezistorul R1 nu este n
serie cu R4datorit existenei unei alte ci pentru curgerea electronilor, prin R3. Dar nici R2nu este n serie cu R5
din aceleai motive. De asemenea, R1nu este n paralel cu R2pentru c existena rezistorului R3separ terminalii
celor doi rezistori n partea de jos. Nici R4nu este n paralel cu R5
Imposibilitatea aflrii tuturor necunoscutelor implicate
.
Dei s-ar putea s nu fie evident n acest moment, problema o reprezint existena prea multor variabile
necunoscute
Utilizarea sistemelor de ecuaii
. ntr-o combinaie serie-paralel cel puin, exista o metod de aflare a cderii de tensiune i a rezistenei
totale, calcularea curentului fiind apoi posibil utiliznd acest valori. n cazul circuitelor de mai sus, exist mai mult
de o singur variabil (parametru) necunoscut n cea mai simpl configuraie a circuitului posibil.
n cazul unui circuit cu dou baterii, este imposibil s ajungem la valoarea rezistenei totale, datorit
existenei a dou surse de putere ce furnizeaz tensiune i curent (am avea nevoie de dou rezistene totalepentru
a continua cu aplicarea legii lui Ohm). n cazul punii dezechilibrate, exist o rezisten total la bornele bateriei,
dar curentul total se mparte n proporii necunoscute n cadrul punii, astfel c nu putem aplica legea lui Ohm
pentru aflarea celorlalte valori din circuit.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
3/42185
Prin urmare, ce putem face n astfel de cazuri? Un prim rspuns este utilizarea unui proces matematic
cunoscut sub numele de ecuaii simultane sau sisteme de ecuaii. ntr-un scenariu cu o singur necunoscut, este
suficient existen unei singure relaii pentru aflarea necunoscutei. Totui, atunci cnd dorim o rezolvare pentru
mai multe necunoscute simultan, avem nevoie de un numr de ecuaii egal cu numrul necunoscutelor
02. Metoda ramurii de curent
. Rezolvarea
unor astfel de ecuaii se poate dovedi destul de dificil n unele cazuri. Din fericire, n cele ce urmeaz, vom
prezenta unele metode de analiz a circuitelor pentru evitatea folosirii acestor sisteme de ecuaii.
Paii pentru aplicarea metodei ramurii de curent: Alegerea unui nod i a direciilor curenilor (aleator)
Scrierea ecuaiei legii lui Kirchhoff pentru curent pentru acel nod Notarea polaritilor cderilor de tensiune n funcie de direcia aleas a curenilor
Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru fiecare bucl din circuit, nlocuind cderea de tensiune de pe
fiecare rezistor (E) cu produsul IR n fiecare ecuaie
Aflarea curenilor necunoscui de pe fiecare ramur (rezolvarea sistemului de ecuaii)
Dac oricare dintre soluii este negativ, atunci direcia pe care am intuit-o la punctul 1 este greit!
Calcularea cderilor de tensiune la bornele tuturor rezistorilor (E = IR)
Definiie
Folosind aceasta metod, presupunem i indicm un sens al curenilor prin circuit i scriem apoi ecuaiile ce
descriu relaiile dintre acetia folosind legile lui Ohm i Kirchhoff. n momentul n care avem cte o ecuaie pentru
fiecare curent necunoscut, putem rezolva sistemul de ecuaii pentru determinarea tuturor curenilor i prin urmare a
tuturor cderilor de tensiune din reea.
Exemplu
S folosim urmtorul circuit pentru ilustrarea
metodei.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
4/42186
Alegerea nodului de referin
Primul pas este alegerea unui nod din circuit (loc de
ntlnire a cel puin trei ramuri) ca i punct de
referin pentru curenii necunoscui.
Alegerea aleatoare a direciei curenilor prin nodul de referin
Ghicim apoi direcia curenilor din acest nod,
notnd curenii cu I1, I2 i I3. Nu este neaprat ca
direciile acestea s fie cele corecte (reale), n acest
moment acestea sunt pur speculative. Vom tii dac
intuiia noastr a fost greit n momentul rezolvrii
ecuaiilor matematice pentru cureni; orice direcie
greit va aprea n ecuaii cu semnul minus
Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru curent
.
Legea lui Kirchhoff pentru curenii(LKC) spune c suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-
un nod de reea trebuie s fie egal cu zero, prin urmare putem introduce curenii I 1, I 2i I 3
Notarea polaritilor tuturor cderilor de tensiune din circuit
ntr-o singur ecuaie.
Vom nota toi curenii ce intr ntr-un nod cu semnul pozitiv i toi curenii ce ies dintr-un nod cu semnul negativ
(aceasta este doar o convenie; inversnd semnele, rezultatul final va fi exact acelai):
Pasul urmtor este notarea tuturor semnelor
cderilor de tensiune n funcie de sensul presupus
al curenilor. inei minte c partea din amonte a
rezistorului va fi tot timpul negativ, iar partea din
aval tot timpul pozitiv ntruct electronii posed
o sarcin negativ.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
5/42187
Desigur, polaritatea bateriilor rmne aceeai. Nu este nicio problem dac polaritatea rezistorului nu se
asorteaz cu cea a bateriei att timp ct polaritatea rezistorului este bazat pe direcia presupus de curgere a
curentului prin acesta. Toate calculele efectuate de acum ncolo se vor baza pe direcia presupus a curenilor prin
nodul ales.
Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune
Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (LKU) spune c suma algebric atuturor cderilor de tensiune dintr-o
bucl de reea trebuie s fie egal cu zero
Parcurgerea buclei din stnga
. Pentru a obine ecuaiile folosind LKU, trebuie s introducem valorile
cderilor de tensiune ca i cum le-am fi msurat cu un voltmetru real.
Putem ncepe parcurgerea buclei din orice punct dorim; n cazul de faa ncepem de la bornele bateriei i
continum n sens invers acelor de ceasornic pn ajungem n punctul de unde am plecat:
Dup ce am parcurs ntreaga bucl din stnga, adunm toate aceste valori ale tensiunii pentru a forma o
ecuaie:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
6/42188
Evident, nu cunoatem nc valoarea cderilor de tensiune la bornele rezistorilor R1i R2aa c nuputem
introduce valorile lor reale n ecuaie n acest moment.Totui, timfaptul c suma tuturor acestor cderi de tensiune
trebuie s fie egal cu zero, prin urmare ecuaia este adevrat i o putem folosi mai departe n analiza noastr.
Putem dezvolta ecuaia nlocuind tensiunile necunoscute cu produsul dintre curenii necunoscui, I1 i I2
Parcurgerea buclei din dreapta
, ivaloarea rezistorilor prin care acetia trec, folosind legea lui Ohm (E = IR). Eliminm de asemenea i valoarea 0 din
sum:
Din moment ce cunoatem valorile tuturor rezistorilor n ohmi, putem nlocui aceste valori n ecuaie pentru
a ne uura calculele:
Motivul pentru care am redus ecuaia n acest fel (pn la urm, avem tot dou necunoscute) este folosirea
acelorai variabile necunoscute ce le-am folosit i n ecuaia LKC de mai sus>. Acest pas este necesar pentru aflarea
soluiei sistemului final de ecuaii.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
7/42189
Aplicnd aceeai pai i pentru bucla din dreapta, obinem o alt ecuaie:
Cunoscnd faptul c tensiunea de pe fiecare rezistor poate fi exprimat ca i produsul dintre curent i
rezistena
Formarea i rezolvarea sistemului de ecuaii
fiecarrui rezistor, putem rescrie ecuaia de mai sus astfel:
n acest moment avem un sistem matematic format din trei ecuaii(o ecuaie LKC i dou ecuaii LKT) i
trei necunoscute:
Putem rescrie ecuaiile de mai sus trecnd n dreapta valorile cunoscute (constantele ecuaiilor) i lsnd n
partea stng valorile necunoscute(I1, I2i I3), trecnd explicit toi coeficienii pentru claritate. Putem oberva c
toate cele trei variabile sunt prezente n toate cele trei ecuaii:
Rezolvnd ecuaiile de mai sus, ajungem la soluia ecuaiilor
Revenirea la circuitul iniial
, reprezentat prin cele trei valori ale
curenilor:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
8/42190
Prin urmare, valoarea curentului I1este de 5 A,
I2de 4 A iar I3de -1 A. Dar ce nseamn curent
negativ? n acest caz, nseamn c intuiia
noastr cu privire la direcia curentului I3a fost
greit. Revenind la circuitul iniial, putem
reface schema acestuia schimbnd direcia
curentului I3 i schimbnd n acelai timp i
polaritatea cderii de tensiune de pe rezistorul R3.
Observm faptul c, prin bateria B2curentul circul n sens invers datorit tensiunii mai ridicate a bateriei
B1. n ciuda faptului c polaritatea bateriei ncerc s mping electronii prin acea ramur de circuit, electronii sunt
de fapt forai s se deplaseze n sens contrar datorit tensiunii superioare a bateriei B 1. nseamn acest lucru c
ntotdeauna bateria mai puternic va ctiga iar curentul prin bateria mai slab va fi forat n sens contrar? Nu
neaprat. Acest lucru depinde de fapt att de diferena de tensiune dintre cele dou baterii ct i de valoarea
rezistorilor din circuit. Singura metod sigur de aflare a comportamentului circuitului este analiza matematic a
acestuia
Aflarea cderilor de tensiune pe toate componentele
.
Cunoscnd acum valoarea tuturor curenilor din circuit, putem calcula cderile de tensiune la bornele
tuturor rezistorilor folosind legea lui Ohm (E = IR):
03. Metoda buclei de curentPaii pentru aplicarea metodei buclei de curent:
Trasarea buclelor de curent n circuit astfel nct s fie cuprinse toate componentele
Notarea polaritii cderilor de tensiune de pe rezistori n funcie de direciile curenilor de bucla alei
Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru tensiune n cazul fiecrei bucle din circuit, nlocuind tensiunea
(E) cu produsul dintre curent i rezisten (IR) pentru fiecare rezistor din ecuaie. Acolo unde doi cureni de
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
9/42191
bucl se intersecteaz unul cu cellalt printr-un component, curentul se exprim ca i sum algebric dintre
cei doi cureni (ex. I1+ I2) dac au aceeai direcie prin component; n caz contrar, curentul se va exprima
ca i diferen (I1- I2
Rezolvare sistemului de ecuaii rezultat i aflarea curenilor de bucl
)
Dac oricare dintre soluii este negativ, nseamn c direcia iniial presupus pentru curent este greit!
Adunarea algebric a curenilor de bucl pentru aflarea curenilor prin componentele prin care trec mai
muli cureni de bucl
Aflarea cderilor de tensiune pe toi rezistorii (E = IR)
Definiie
Metoda buclei de curent sau metoda ochiului de curent
Exemplu
este asemntoare metodei ramurii de curent prin
faptul c folosete un sistem de ecuaii descris de legea lui Kirchhoff pentru tensiune i legea lui Ohm pentru
determinarea curenilor necunoscui din circuit. Difer de metoda ramurii de curent prin faptul c nu utilizeazlegea lui Kirchhoff pentru curent i de obicei este nevoie de mai puine variabile i ecuaii pentru rezolvare, ceea ce
reprezint un avantaj.
S vedem cum funcioneaz aceast metod
folosind acelai circuit.
Trasarea buclelor din circuit
Primul pas n metoda buclei este identificarea
buclelor din circuit astfel nct s cuprindem toate
componentele. n circuitul de mai sus, prima bucla
va fi cea format de B1, R1, i R2, iar cea de a doua
din B2, R2, i R3. Partea cea mai ciudat a acestei
metode este imaginarea circulaiei curenilor prin
fiecare dintre aceste bucle
.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
10/42192
Alegerea aleatoare a direciei curenilor din circuit
Alegerea direciei fiecrui curent este complet arbitrar precum n cazul metodei ramurii de curent, dar
ecuaiile rezultate sunt mai uor de rezolvat dac avem aceeai direcie prin componentele aflate la intersecia celor
dou bucleformate (putem observa faptul c att curentul I 1ct i I2trec prin rezistorul R2
Notarea polaritilor tuturor cderilor de tensiune din circuit
de jos n sus n locul n
care se intersecteaz). Dac direcia curentului presupus iniial se dovedete a fi greit, acest lucru se va observan soluia final prin faptul c valoarea va fi negativ.
Urmtorul pas este notarea tuturor polaritilor
cderilor de tensiune la bornele rezistorilor n funcie
de direcia curenilor indicat de bucle
Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune
. inei minte
c partea din amonte a rezistorului va fi tot timpul
negativ, iar partea din aval tot timpul pozitiv
ntruct electronii posed o sarcin negativ.
Polaritile bateriei depind desigur deorientarea lor
n diagram i pot s corespund sau s nu corespund polaritilor rezistorilor.
Utiliznd legea lui Kirchhoff pentru tensiune, putem parcurge fiecare dintre cele dou bucle, genernd
ecuaii n funcie de cderile de tensiune ale componentelor i de polariti. La fel ca n cazul metodei ramurii de
curent, vom desemna cderea de tensiune a unui rezistor ca produsul dintre rezistena acestuia (n ohmi) i curentul
buclei respective (I1sau I2n acest caz), a crei valoare nu este cunoscut n acest moment.
Cnd cei doi cureni se intersecteaz (cazul rezistenei R2), vom scrie acel termen al ecuaiei ca produsul
dintre cderea de tensiune pe acel component i suma celor doi cureni ai buclelor (ER2*(I1+ I2
Parcurgerea buclei din stnga
)).
ncepem cu bucla din stnga i parcurgem ntregul ochi de reea n direcia invers acelor de ceasornic
(direcia este pur arbitrar), obinnd urmtoarea ecuaie:
Observai faptul cprin rezistorul R2curentul care trece este de fapt suma curenilor celor dou bucle( I1i
I2). Acest lucru se datoreaz faptului c ambii cureni trec prin R2n aceeai direcie. Simplificnd ecuaia obinem:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
11/42193
Parcurgerea buclei din dreapta
n acest moment avem o singur ecuaie cu dou necunoscute. Acest lucru nseamn ca mai avem nevoie
de nc o ecuaiepentru a determina curenii buclelor. Aceast ecuaie o obinem prin parcurgerea buclei din
dreapta a circuitului, i obinem:
Simplificnd ecuaia
Rezolvarea sistemului de ecuaii i determinarea curenilor de bucl
cum am fcut i nainte, obinem:
Avnd dou ecuaii putem folosi metode matematice pentru determinarea necunoscutelor I1i I2
Revenirea la circuitul iniial
:
Dar, atenie, aceste valori ale curenilor sunt
valabile pentru bucle i nu sunt curenii efectivi ai
ramurilor
. S ne ntoarcem la circuitul iniial pentrua vedea care este relaia dintre ei.
Rezultatul de -1 A pentru curentul buclei I2
nseamn c direcia indicat iniial (aleator) este
incorect. n realitate, direcia curentului I2
este
contrar direciei iniiale (observai modificarea
sensului buclei pe desen!).
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
12/42194
Determinarea valorii curenilor i a cderilor de tensiune prin fiecare component
Aceast modificare a direciei curentului fa de ceea ce am presupus iniial va modifica polaritatea
cderilor de tensiune pe rezistorii R2i R3datorit curentului I2. De aici putem deduce curentul prin R1, 5 A i
cderea de tensiune (I*R), 20 V. De asemenea, curentul prin R3este 1 A, cu o cdere de tensiune de 1 V. Dar ce se
ntmpl n cazul rezistorului R2
Curentul de bucl I?
1trece prin R2de jos n sus, iar
curentul I2 de sus n jos. Pentru a determina
curentul real prin R2, trebuie s observm foarte
atent interaciunea dintre curenii celor dou bucle,
I1 i I2
Din moment ce I
(n acest caz sunt n opoziie); valoarea
final va fi suma algebric a celor doi.
1are 5 A ntr-o direcie i I21 A n direcia opus, curentul realprin R2este diferenacelor doi, adic 4 A i trece prin R2de jos n sus. Cu un curent de 4 A prin R2
Avantajul utilizrii metodei buclei de curent
rezult o cdere de tensiune de 8 V.
Principalul avantaj al metodei buclei de curent
este c n general soluia unei reele mari poate
fi gsit cu relativ puine ecuaii i puine
necunoscute
.
Pentru circuitul analizat de noi a fost nevoie de 3 ecuaii folosind metoda ramurii de curent i doar dou
folosind metoda buclei de curent. Acest avantaj crete semnificativ atunci cnd reeaua crete n complexitate.
Pentru rezolvarea acestui circuit folosind
metoda ramurii de curent, am avea nevoie de 5
variabile pentru fiecare curent posibil din
circuit (de la I1 la I5
) i prin urmare 5 ecuaii
pentru aflarea soluiei, dou pentru LKC i trei
pentru LKT:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
13/42195
n schimb, folosind metoda buclei de curent
avem doar trei necunoscute
i prin urmare doar
trei ecuaii de rezolvat pentru rezolvarea reelei,
ceea ce constituie un avantaj.
04. Metoda nodului de tensiune
Paii pentru aplicarea metodei ramurii de curent: nlocuirea surselor de tensiune conectate n serie cu un rezistor cu o surs de curent conectat n paralel cu
un rezistor. Cele dou reprezentri sunt echivalente
Schimbarea valorilor rezistorilor cu conductane
Selectarea unui nod de referin (E0
Atribuirea de tensiuni necunoscute (E
)
1)(E2) ... (En
Scrierea legii lui Kirchhoff pentru curent pentru fiecare din nodurile 1, 2, ... N. Coeficientul pozitiv al
primei tensiuni din prima ecuaie reprezint suma conductanelor legate la acel nod. Coeficientul pozitiv al
celei de a doua tensiuni, din ecuaia a doua, este suma conductanelor conectate la acel nod. Acelai lucru
este valabil i pentru coeficientul celei de a treia tensiuni din ecuaia a treia, precum i pentru toate celelalte
ecuaii. Toi coeficienii se regsesc pe diagonala principal
) nodurilor rmase
Toi ceilali coeficieni ale celorlalte ecuaii sunt negativi i reprezint conductanele dintre noduri. n prima
ecuaie, al doilea coeficient reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 2; coeficientul al treilea
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
14/42196
reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 3. Acelai lucru este valabil pentru toi ceilali coeficieni ai
tuturor ecuaiilor
Termenii dinpartea dreapta a ecuaiei reprezint sursele de curent conectate la nodurile respective
Se rezolv sistemul de ecuaii pentru aflarea tensiunilor de nod necunoscute
Definiie
Metoda nodului de tensiune pentru analiza circuitelor determin tensiunea nodurilor n funcie de ecuaiile
legii lui Kirchhoff pentru curent (LKC). Aceast analiz arat puin ciudat pentru c necesit nlocuirea surselor de
tensiune cu surse echivalente de curent. De asemenea, valorile rezistorilor n ohmi sunt nlocuite prin conductanele
echivalente n Siemens, G = 1/R. Unitatea de msur pentru conductan este Siemens-ul, S=-1
Alegerea punctului de referin
.
ncepem cu un circuit ce conine surse de
tensiune convenionale. Un punct comun E0este
ales ca i punct de referin. Tensiunile pentru
celelalte noduri, E1 i E2
nlocuirea surselor de tensiune cu surse de curent
sunt calculate n
funcie de acest punct.
O surs de tensiune n serie cu o
rezisten trebuie s fie nlocuit de
o surs de curent echivalent n
paralel cu o rezisten
. Circuitul
modificat arat astfel.
Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru curent
Vom scrie apoi ecuaiile LKC pentru fiecare nod. Partea dreapt a ecuaiei reprezint valoarea sursei de
curent ce alimenteaz nodul respectiv:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
15/42197
nlocuirea rezistenelor cu conductane
nlocuim rezistena rezistorilor n ohmi cu conductana acestora n Siemens:
Aflarea conductanelor echivalente
Conductanele paralele (rezistorii) pot fi
combinai prin adunarea conductanelor. Dei nu
vom redesena circuitul, putem deja aplica
metoda nodului de tensiune:
Formarea sistemului de ecuaii
Pentru dezvoltarea unei metode generale, vom scrie ecuaiile LKC n funcie de tensiunile necunoscute ale
nodurilor 1 i 2, V1i V2de aceast dat.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
16/42198
Pentru figura de mai sus, ecuaiile arat astfel:
Suma conductanelor conectate la primul nod este coeficientul pozitiv al primei tensiuni din ecuaia (1).
Suma conductanelor conectate la cel de al doilea nod este coeficientul pozitiv al celei de a doua tensiuni din
ecuaia (2). Ceilali coeficieni sunt negativi, reprezentnd conductanele dintre noduri. Pentru ambele ecuaii,
partea dreapt a ecuaiei este egal cu sursa de curent respectiv conectat la nod.
Reguli pentru aplicarea metodei nodului de tensiune
Aceast metod ne permite s scriem rapid ecuaiile prin inspecie i duce la urmtoarele reguli pentru
aplicarea metodei nodului de tensiune:
nlocuirea surselor de tensiune n serie cu un rezistor cu o surs echivalent de curent i un rezistor n
paralel
Schimbarea valorilor rezistorilor n conductane
Selectarea unui nod de referin (E0
Desemnarea unor tensiuni necunoscute pentru nodurile rmase, (E
)
1)(E2) ... (EN Scrierea unei ecuaii LKC pentru fiecare nod, 1, 2, ... N. Coeficientul pozitiv a primei tensiuni din prima
ecuaie este suma conductanelor conectate la primul nod. Coeficientul pentru a doua tensiune din a doua
ecuaie este suma conductanelor conectate la acel nod. Acelai lucru este valabil i pentru a treia tensiune
n ecuaia a treia i pentru celelalte ecuaii. Aceti coeficieni se gsesc pe o diagonal.
)
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
17/42199
Toi ceilali coeficieni ai ecuaiei sunt negativi, reprezentnd conductanele dintre noduri. n prima ecuaie,
coeficientul al doile reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 2, al treilea coeficient reprezint
conductan dintre nodul 1 i nodul 3. Acelai lucru este valabil i pentru celelalte ecuaii
Partea din dreapta a ecuaiilor reprezint sursa de curent conectat la nodurile respective
Rezolvarea sistemului de ecuaii i aflarea tensiunilor nodurilor necunoscute
Analiza unei puni dezechilibrate folosind metoda nodului de tensiune
Circuitul de mai jos are trei noduri. Conductanele nu apar pe desen, dar G1=1/R1
Exist trei noduri pentru care putem scrie ecuaii. Coeficienii
sunt pozitivi pentru E
, etc.
1 (ecuaia 1), E2 (ecuaia 2) i E3
Diagonala matricii formate are coeficieni pozitivi. Toi ceilali coeficieni sunt negativi.Soluia sistemului
de ecuaii este:
(ecuaia 3). Acestea sunt sumele tuturor conductanelor
conectate la nodurile respective. Toi ceilali coeficieni sunt
negativi, reprezentnd conductana ntre noduri. Partea dindreapta a ecuaiei reprezint sursa de curent, 0.136092
amperi, singura surs pentru nodul 1. Celelalte ecuaii au zero
n partea dreapta datorit lipsei unei surse de tensiune.
05. Teorema lui Millman
Teorema lui Millman consider circuitul o reea paralel de ramuri.
Toate tensiunile introduse i aflate din teorema lui Millman au ca referin unul i acelai punct din circuit
(de obicei latura de jos a circuitului)
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
18/42200
Definiie
Prin intermediul teoremei lui Millman, circuitul este redesenat ca i o reea de ramuri paralele, fiecare
ramur coninnd un rezistor sau o combinaie serie baterie/rezistor. Aceast teorem se poate aplica doar n cazul
circuitelor ce pot suferi aceast modificare.
Exemplu
Avem (din nou) circuitul alturat.
Redesenarea circuitului
Acelaicircuit
redesenat pentru aplicarea teoremei lui
Millman (cele dou circuite sunt echivalente).
Lund n considerare rezistena i tensiunea furnizat n fiecare ramur, putem folosi teorema lui Millman
pentru aflarea cderilor de tensiune n toate ramurile. Chiar dac nu exist bateria B2, notaia B3
Ecuaia teoremei lui Millman
pentru bateria din
dreapta este pentru a scoate n eviden faptul c aceasta aparine ramurii 3 din circuit
Teorema nu este altceva dect o ecuaie lung aplicabil oricrui circuit ce poate fi redesenat ca i ramuri
paralele, fiecare ramur cu propria sa surs de tensiune i rezisten n serie:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
19/42201
Aflarea cderii de tensiune pe ramuri
nlocuind valorile din exemplul de mai sus ajungem la urmtorul rezultat:
Valoarea rezultatului, 8 V, reprezint cdereade tensiune pe toate ramurile
.
Polaritile tuturor tensiunilor au ca i referina acelai punct. n exemplul de mai sus, firul de jos este
folosit ca i punct de referin, prin urmare tensiunile pentru fiecare ramur au fost introduse n ecuaie ca fiindpozitive (28 pentru R1, 0 pentru R2i 7 pentru R3
Aflarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor
).
Pentru aflarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor, tensiunea Millman (8 V n acest caz) trebuie
comparat cu tensiunea fiecrei surse din fiecare ramur, folosind principiul aditivitii tensiunilor n serie
Determinarea curenilor pe fiecare ramur
:
Pentru aflarea curenilor prin fiecare ramur, aplicm legea lui Ohm (I = E/R):
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
20/42202
Direcia curentului prin fiecare rezistor este
determinat de polaritatea fiecrui rezistor i nu
de polaritatea bateriei, curentul putnd fi forat s
se deplaseze invers printr-o baterie, precum n
cazul bateriei B3
.
Acest lucru este bine de inut minte fiindc teorema lui Millman nu ne ofer niciun indiciu cu privire la
posibilitatea unei direcii greite a curenilor precum este cazul metodelor ramurii de curent i abuclei de curent.
Trebuie s fim ateni la polaritatea cderii de tensiune la bornele rezistorilor, determinnd de acolo direcia de
curgere a curentului.
06. Teorema superpoziiei
Conform teoremei superpoziiei, un circuit poate fi analizat considernd funcionarea unei singure surse de
putere odat; valorile tensiunilor i curenilor pentru fiecare caz n parte se adun pentru aflarea soluiei
finale, atunci cnd n circuit funcioneaz toate sursele de putere
Pentru a scoate toate sursele de putere din circuit exceptnd una singur, toate sursele de tensiune se
nlocuiesc cu un scurt-circuit, i toate sursele de curent cu un circuit deschis.
Definiie
Teorema superpoziiei reprezint acea viziune de geniu ce transform un subiect complex ntr-o versiune
simpl i uor de neles.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
21/42203
Strategia const n eliminarea rnd pe rnd a tuturor surselor de putere din c ircuit exceptnd una singur,
utilizndanaliza serie/paralel
Exemplu
pentru determinarea cderilor de tensiune i a curenilor din reeaua modificat pentru
fiecare surs de putere separat. Apoi, dup ce toate cderile de tensiune i curenii au fost determinai pentru fiecare
surs de tensiune funcionnd separat/independent n reea, valorile sunt suprapuse una peste cealalt (adunare
algebric) pentru determinarea efectiv a curenilor i tensiunilor atunci cnd n circuit funcioneaz toate sursele de
putere mpreun.
S lum acelai circuit ca i exemplu.
mprirea circuitului n funcie de sursele de putere
Din moment ce avem dou surse de putere n acest
circuit, va trebui s calculm dou seturi de date pentru
cderile de tensiune i curent, un set pentru circuitul
funcionnd doar cu sursa de tensiune de 28 de V
...
...cellalt pentru circuitul funcionnd doar cu bateria de
7 V
.
Atunci cnd redesenm un circuit pentru analiza serie/paralel cu o singur surs, toate celelalte surse de
tensiune sunt nlocuite de fire (scurt-circuit), i toate sursele de curent sunt nlocuite de circuite deschise. Din
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
22/42204
moment ce avem doar surse de tensiune (baterii) n circuitul de mai sus, toate sursele de putere inactive vor fi
nlocuite de fire.
Primul (sub)circuit
Analiznd circuitul n care acioneaz doar bateria de
28 V, obinem urmtoarele valori pentru tensiune i
curent.
Al doilea (sub)circuit
Analiznd circuitul n care acioneaz doar bateria de 7
V, obinem urmtoarele valori pentru tensiune i
curent.
Suprapunerea (sub)circuitelor
Mrime R R1 R2 R3 2// R R3 1+ R2// R3 Unitate(total)E 24 4 4 4 28 VI 6 2 4 6 6 A
R 4 2 1 0.667 4.667
Mrime R R1 R2 R3 1// R R2 3+ R1// R2 Unitate(total)E 4 4 3 4 7 V
I 1 2 3 3 3 AR 4 2 1 1,333 2,333
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
23/42205
Atunci cnd realizm suprapunerea, trebuie s fim foarte ateni la polaritatea cderilor i la direcia
curenilor, pentru c aceste valori se adun algebric.
Aflarea cderilor de tensiune din circuit
Aplicnd aceste valori, rezultatul final arat astfel.
Aflarea valorilor curenilor din circuit
Acelai lucru este valabil i n cazul curenilor.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
24/42206
Folosind valorile aflate dup aplicarea
superpoziiei, circuitul arat astfel.
Concluzii i restricii de aplicabilitate
Simplu i elegant n acelai timp. Totui, teorema superpoziiei poate fi aplicat doar circuitelor ce pot fi
reduse la combinaii de circuite serie/paralel pentru fiecare surs de putere n parte (nu poate fi folosit, de
exemplu, pentru analiza unei puni dezechilibrate), i doar atunci cnd ecuaiile folosite sunt liniare. Acest lucru
nseamn ca teorema nu poate fi folosit dect pentru determinare tensiunii i a curentului nu i a puterii! Puterile
disipate n circuit, fiind funcii neliniare, nu pot fi adunate algebric atunci cnd se consider doar o surs de putere.
aceeai nevoie de liniaritate nseamn ca teorema este inutil n circuitele n care rezistena componentelor se
modific odat cu tensiunea sau temperatura, ca de exemplu becuri incandescente sau varistoare.
O alt condiie este ca toate componentele s fie bilaterale, nsemnnd faptul c trebuie s se comporte
exact le fel indiferent care este direcia de deplasare a electronilor prin ele. Rezistenele ndeplinesc aceast cerin,
precum i toate circuitele studiate pn acum.
Teorema superpoziiei se folosete i n studiul circuitelor de curent alternativ i circuitele cu
amplificatoare semiconductoare, acolo unde de multe ori curentul alternativ este mixat (suprapus) peste curentul
continuu. n astfel de cazuri putem analiza circuitul cnd doar sursa de curent continuu este prezent n circuit i
atunci cnd doar cea de curent alternativ este prezent; rezultatul final este superpoziia celor dou cazuri. Pn una
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
25/42207
alta, folosind teorema superpoziiei, nu mai suntem nevoii s folosim sistemele de ecuaii pentru analiza
circuitelor.
07. Teorema lui Thevenin
Teorema lui Thevenin este o modalitate de reducere a unei reele la un circuit echivalent compus dintr-o
singur surs de tensiune, o rezisten serie i rezistena de sarcin
Paii pentru aplicarea teoremei lui Thevenin:
Gsirea sursei de tensiune Thevenin prin ndeprtarea sarcinii din circuitul original i calcularea cderii de
tensiune dintre punctele n care se afla sarcina iniial
Gsirea rezistenei Thevenin prin ndeprtarea tuturor surselor de putere din circuitul original i calcularea
rezistenei totale dintre cele dou puncte
Desenarea circuitului Thevenin echivalent, cu sursa de tensiune i rezistena Thevenin n serie. Rezistorul
de sarcin se reintroduce ntre cele dou puncte (deschise) din circuit
Aflarea cderii de tensiune i a curentului prin rezistorul de sarcin folosind regulile circuitelor serie
Definiie
Teorema lui Thevenin susine c orice circuit liniar poate fi simplificat, indiferent de complexitatea sa, la
un circuit echivalent cu doar o singur surs de tensiune i o rezisten legat n serie
Exemplu
. Semnificaia termenului
liniar este aceeai ca i n cazul teoremei superpoziiei, unde toate ecuaiile folosite trebuie s fie liniare. Dac
avem de a face cu componente pasive (rezistori, bobine i condensatori) aceast condiie este ndeplinit. Dar,
exist unele componente, precum cele semiconductoare, ce sunt neliniare. Aceste circuite le vom numi prin urmare
circuite neliniare.
Teorema lui Thevenin este folosit n special pentru analiza sistemelor de putere i ale circuitelor n care
rezistorul de sarcin (sau simplu, sarcina) este supus modificrilor; recalcularea circuitului fiind necesar cu
fiecare valoare a rezistenei de sarcin pentru determinarea tensiunii i curentului prin aceasta.
S relum circuitul studiat pn acum cu celelalte
metode.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
26/42208
S presupunem c rezistorul R2este sarcina din acest circuit. Avem deja la dispoziie patru metode pentru
determinarea tensiunii i curentului prin R2, dar niciuna dintre aceste metode nu este eficient din punct de vedere
al timpului de lucru. Imaginai-v c ai folosi aceste metodede fiecare dat cnd valoarea sarcinii variaz (variaia
rezistenei sarcinii este un lucru foarte des ntlnit n sistemele de putere
Circuitul Thevenin echivalent
). Aceast situaie ar presupune mult
munc!
Teorema lui Thevenin nltur temporar sarcina din
circuitul iniial transformnd ceea ce rmne ntr-un
circuit echivalent compus dintr-o singur surs de
tensiune i rezistene n serie. Rezistena de sarcin
poate fi apoi reconectat n acest circuit Thevenin
echivalent i se pot continua calculele pentruntreaga reea ca i cum nu ar fi dect un simplu circuit serie.
Dup conversia circuitului vom avea circuitul
alturat.
Circuitul Thevenin echivalent este echivalentul electric ale surselor i rezistorilor B1, R1, R3i B2vzute
din cele dou puncte de contact al rezistorului de sarcin R2. Acest circuit echivalent, dac este dedus corect, se va
comporta exact ca i circuitul original. Cu alte cuvinte, curentul i tensiunea sarcinii (R2) ar trebui s fie exact
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
27/42209
aceeai n ambele circuite. Rezistena R2nu poate face diferena dintre reeaua original i circuitul echivalent, atta
timp ct EThevenini RThevenin
nlturarea temporar a sarcinii din circuit
au fost calculate corect.
Avantajul transformrii const n uurina calculelorpentru circuitul simplificat, mult mai uoar dect n
cazul circuitului original. Primul pas este nlturarea
rezistenei de sarcin din circuitul original i
nlocuirea acesteia cu un circuit deschis.
Determinarea cderii de tensiune Thevenin
Apoi determinm cderea de tensiune ntre punctele fostei sarcini, folosind
orice metode disponibile. n acest caz, circuitul original, mai puin sarcina, nu
este altceva dect un circuit serie simplu cu dou baterii; putem aplica prin
urmare regulile circuitelor serie, legea lui Ohm i legea lui Kirchhoff pentru
tensiune.
Cderea de tensiune ntre cele dou puncte ale sarcinii
poate fi dedus din tensiunea uneia dintre bateriei i
cderea de tensiune pe unul dintre rezistori, astfel:
Mrime R R1 Total3 UnitateE 16.84.2 21 V
I 4.24.2 4.2 A
R 4 1 5
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
28/42210
Aceast tensiune de 11,2 V este tensiunea Thevenin,
EThevenin
din circuitul echivalent.
Determinarea rezistenei (echivalente) Thevenin
Pentru aflarea rezistenei serie din circuitul echivalent, trebuie
s lum circuitul original, mai puin sarcina, s nlturm
sursele de putere (la fel ca n cazul teoremei superpoziiei) is determinm rezistena de la un terminal la cellalt.
Dup nlturarea celor dou baterii, rezistena
total msurat n aceast locaie este egal cu
rezistenele R1 i R3 n paralel: 0,8 . Aceasta
reprezint rezistena Thevenin (RThevenin
) pentru
circuitul echivalent.
Determinarea cderii de tensiune i a curentului prin sarcin
Cunoscnd valoarea rezistorului (2) dintre cele dou puncte deconexiune, putem determina cderea de tensiune i curentul prin acesta,
ca i cum ntregul circuit nu ar fi altceva dect un simplu circuit serie.
Putem observa c valorile pentru curent i tensiune (4 A, 8 V) sunt identice cu valorile gsite aplicnd
celelalte metode de analiz . De asemenea, valorile tensiunilor i curenilor pentru rezistena serie i sursa Thevenin
Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 3,2 8 11,2 V
I 4 4 4 A
R 0,8 2 2,8
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
29/42211
echivalente nu se aplic componentelor din circuitul original. Teorema lui Thevenin este folositoare doar pentru
determinarea comportamentului unui singur rezistor din reea: sarcina
08. Teorema lui Norton
.
Teorema lui Norton este o metod de reducere a reelei la un circuit echivalent compus dintr-o singur
surs de curent, un rezistor n paralel i o sarcin n paralel.
Paii pentru implementarea teoremei lui Norton: Gsirea sursei Norton de curent prin ndeprtarea tuturor rezistorilor din circuitul iniial i calcularea
curentului prin scurt-circuitul creat ntre punctele de contact ale fostei sarcini a circuitului (scurt-circuit)
Aflarea rezistenei Norton prin ndeprtarea tuturor surselor de putere din circuit i calcularea rezistenei
totale dintre punctele de contact ale fostei sarcini a circuitului (circuit deschis) Realizarea circuitului Norton echivalent, cu sursa de curent i rezistorul Norton n paralel. Rezistorulde
sarcin se reintroduce ntre cele dou puncte deschise ale circuitului echivalent
Aflarea tensiunii i curentului prin sarcin aplicnd regulile circuitelor paralele
Definiie
Conform teoremei lui Norton este posibil simplificarea oricrui circuit liniar, indiferent de complexitate, la
un circuit echivalent dotat cu o singur surs de curent i o rezisten paralel, ambele conectate la o sarcin . La felca n cazul teoremei lui Thevenin, termenul liniar are semnificaia teoremei superpoziiei: ecuaiile implicate
trebuie s fie liniare
Exemplu
.
Circuitul iniial este cel folosit i n exemplele
precedente.
Principiul teoremei lui Norton
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
30/42212
Circuitul echivalent dup aplicarea teoremei lui Norton
va fi cel alturat.
Sursa de curent este un component a crui scop este furnizarea unei valori constante de curent, indiferent de
valoarea tensiunii.
La fel ca n cazul teoremei lui Thevenin, ntreg circuitul original, n afar de rezistena de sarcin, a fost
redus la un circuit echivalent ce este mult mai uor de analizat. Paii folosii pentru calcularea sursei de curent,
INorton, i a rezistenei Norton, RNorton
nlturarea temporar a sarcinii din circuit
, sunt de asemenea similari teoremei precedente.
Primul pas este identificarea rezistenei de sarcin i
nlturarea acesteia din circuitul original.
Calcularea curentului Norton
Pentru aflarea curentului Norton, plasm un fir (scurt-
circuit) ntre cele dou puncte ale sarcinii i
determinm curentul rezultat. Observai c acest pas
este exact invers
n teorema lui Thevenin, unde am
nlocuit sarcina cu un circuit deschis.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
31/42213
Acum c avem o cdere de 0 V ntre punctele de
conexiune a sarcinii (nlturate), nseamn c valoarea
curentului prin R1, n partea stng a circuitului,
depinde doar de tensiunea bateriei B1 i de valoarea
rezistorului R1
Acelai lucru este valabil i n partea dreapta a
circuitului, unde curentul este tot 7 A. Prin urmare,
curentul total prin scurt-circuitul sarcinii este de 14 A
i reprezint curentul sursei Norton (I
: 7 A (I = E / R).
Norton
Calcularea rezistenei Norton
).
Din nou, direcia sgeii unei surse de curent este contrar deplasrii reale a electronilorprintr-un circuit,
notaie ce o folosim n aceast carte.
Pentru calcularea rezistenei Norton, procedm precum n
cazul teoremei lui Thevenin: lum circuitul original, fr
rezistena de sarcin, ndeprtm sursele de putere conform
principiului aplicat n cadrul teoremei superpoziiei (sursele
de tensiune le nlocuim cu scurt-circuit iar sursele de tensiune
cu circuit deschis) i aflm apoi rezistena total dintr-un
punct al sarcinii la cellalt (cei doi rezistori legai n paralel).
Circuitul Norton echivalent
Reconectnd rezistena de sarcin iniial (2), vom
analiza circuitul Norton precum o conexiune paralel
simpl. n acest moment circuitul Norton echivalent
arat astfel.
Mrime R RNorton Totalsarcin UnitateE 8 8 8 V
I 10 4 14 A
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
32/42214
R 0,8 2 0,5
Observaii
La fel cum am vzut i n cazul teoremei lui Thevenin, singurele informaii utile din aceast analiz sunt
valoarea tensiunii i a curentului prin rezistena de sarcin R2
09. Echivalena teoremelor Thevenin-Norton
; celelalte informaii cu privire la circuit suntirelevante. Avantajul const n simplitatea analizei circuitului atunci cnd avem mai multe valori ale rezistenei de
sarcin pentru care vrem s aflm tensiunea i curentul.
Rezistenele Thevenin i Norton sunt egale Tensiunea Norton este egal produsul dintre curentul i rezistena Norton
Curentul Norton este egal cu raportul dintre tensiunea i rezistena Thevenin
Scop
Din moment ce ambele teoreme, att Thevenin ct i Norton, reprezint metode valide de reducere a
reelelor complexe spre circuite mult mai simple i uor de analizat, trebuie s existe un procedeu de transformare a
unui circuit Thevenin echivalent ntr-unul Norton echivalent.
Rezistenele echivalente Thevenin i Norton sunt egale
Metoda de calculare a rezistenei este aceeai n ambele cazuri: ndeprtarea tuturor surselor de putere i
determinarea rezistenei ntre punctele de conexiune rmase libere.
Cele dou rezistene sunt prin urmare egale:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
33/42215
Relaia dintre tensiunea Thevenin i curentul Norton
Lund n considerare faptul c ambele circuite echivalente sunt gndite s se comporte asemenea reelei
originale n ceea ce privete alimentarea sarcinii cu tensiune i curent electric, circuitele Thevenin i Norton artrebui i ele s se comporte identic.
Acest lucru se traduce prin faptul c ambele circuite ar trebui s produc aceeai cdere de tensiune ntre
punctele de contact ale sarcinii, atunci cnd aceasta nu este prezent n circuit. Pentru circuitul Thevenin, cderea
de tensiune pentru circuitul deschis trebuie s fie egal cu sursa de tensiune Thevenin, 11,2 V n acest caz. n cazul
circuitului Norton, toi cei 14 A generai de sursa de curent trebuie s treac prin rezistena de 0,8, producnd
prin urmare o cdere de tensiune de 11,2 V (E = IR). Putem susine astfel c tensiunea Thevenin este egal cu
produsul dintre curentul Norton i rezistena Norton:
Transformarea unui circuit Norton ntr-un circuit Thevenin se realizeaz folosind aceeai valoare a
rezistenei i calculnd tensiunea Thevenin cu ajutorul legii lui Ohm.
n aceeai ordine de idei, att circuitul Thevenin ct i circuitul Norton ar trebui s genereze aceeai
cantitate de curent printr-un scurt-circuit ntre terminalii sarcinii, atunci cnd aceasta nu este prezent n circuit. n
circuitul Norton, curentul de scurt-circuit este exact curentul sursei (de curent), 14 A n acest caz. n circuitul
Thevenin, ntreaga cdere de tensiune de 11,2 V se regsete la bornele rezistorului de 0,8 , ceea ce produce exact
acelai curent prin scurt-circuit, 14 A (I = E / R). Putem susine astfel c,
10. Teorema lui Millman revizuit
curentul Norton este egal cu raportul
dintre tensiunea Thevenin i rezistena Thevenin:
Vom utiliza relaia de echivalen dintre cele dou teoreme n urmtoarea seciune.
Ecuaia teoremei lui Millman
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
34/42216
Revenim acum asupra teoremei lui Millman pentru a elucida forma ciudat a ecuaiei i proveniena
acesteia.Numitorul ecuaiei seamn cu numitorulecuaiei pentru calculul rezistenei paralele, iar termenii E/R ai
numrtorului reprezint valori ale curentului, conform legii lui Ohm (I = E / R).
Utilizarea echivalenei Thevenin-Norton
Pentru nelegerea acestei ecuaii folosim echivalena
Thevenin-Norton discutat n seciunea precedent.
Ecuaia Millman consider c fiecare ramur reprezint de
fapt un circuit Thevenin echivalent; fiecare ramur este
apoi transformat ntr-un circuit Norton echivalent.
n circuitul de mai sus, bateria B1i
rezistorul R1
Determinarea curentului total prin circuit
sunt vzute ca i o
surs Thevenin potrivite pentru
transformarea ntr-o surs Nortonde 7 A (28 V / 4 ) n paralel cu un
rezistor de 4 . Ramura din dreapta
se transform ntr-o surs de curent de 7 A (7 V / 1 ) i un rezistor de 1 c onectat n paralel. Ramura din centru,
ne-coninnd nicio surs de tensiune, se transform ntr-o surs de curent Norton de 0 A n paralel cu un rezistor de
2 .
Din moment ce valorile surselor de curent sunt aditive algebric, curentul total prin circuit este de 7 A + 0 A
+ 7 A, adic 14 A. Aceast adunare a curenilor surselor Norton se regsete la numrtorul ecuaiei Millman:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
35/42217
Determinarea rezistenei totale a circuitului
Toate rezistenele Norton sunt conectate n paralel. Acest lucru se regsete la numitorul ecuaiei lui
Millman.
Redesenarea circuitului echivalent
n cazul de fa, rezistena total este de 571.43 m. Circuitul echivalent
se poate acum redesena i conine doar o surs (de curent) Norton i o
singur rezisten Norton.Folosim legea lui Ohm pentru aflarea cderii de tensiune pe aceste dou
componente (E = IR):
Determinarea ecuaiei lui Millman
Pe scurt, tim despre acest circuit c valoarea total a curentul este dat de raportul dintre suma tuturor
tensiunilor pe ramuri i curenilor respectivi. tim de asemenea c rezisten total este inversul sumei inversului
tuturor rezistenelor ramurilor. i, trebuie s lum n considerare faptul c putem afla tensiunea total pe toate
ramurile prin nmulirea curentului total cu rezistenatotal (E = IR). Tot ce trebuie s facem acum este s punemmpreun cele dou ecuaii pentru curentul i rezistena total, mai exact, putem afla tensiunea total prin nmulirea
lor:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
36/42218
n acest moment, putem realiza faptul c ecuaia lui Millman nu este nimic altceva dect o transformare
Thevenin-Norton i o aplicare a formulei rezistenei paralele
11. Teorema transferului maxim de putere
pentru determinarea cderii de tensiune pe toate
ramurile circuitului.
Conform teoremei transferului maxim de putere, cantitatea de putere disipat pe o sarcin este maxim
atunci cnd valoarea acestei rezistene este egal cu rezistena Thevenin sau Norton a reelei de alimentare a
sarcinii
Definiie
Teorema transferului maxim de putere nu este neaprat o metod de analiza a reelelor ci este folosit
pentru optimizarea proiectrii sistemelor. Pe scurt, puterea disipat pe o rezisten este maxim atunci cnd
valoarea rezistenei este egal cu rezistena Thevenin/Norton a reelei de alimentare
Exemplu
. Dac rezistena sarcinii estemai mare sau mai mic dect rezistena Thevenin/Norton,puterea disipatde aceasta nu va atinge valoarea maxim
(eficien sczut).
Acest lucru se urmrete n realizarea unui sistem stereo, unde dorim ca impedan difuzorului s fie
aceeai cu impedana amplificatorului pentru puterea de ieire (sunet) maxim. Impedana este asemntoare
rezistenei, doar c implic i efectele curentului alternativpe lng cel continuu. O valoare a impedenei prea mare
va rezulta ntr-o putere de ieire sczut. O impedan prea mic, pe de alt parte, va rezulta de asemenea ntr-o
putere de ieire sczut dar i ntr-o posibil nclzire excesiv a amplificatorului.
Revenind la circuitul studiat pn acum...
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
37/42219
...conform teoremei transferului maxim de putere,
valoarea rezistenei de sarcin pentru disiparea
puterii maxime din circuit, trebuie s fie egal cu
rezistena Thevenin (0,8 , n acest caz).
Calcularea puterii disipate totale pe sarcin
Cu aceast valoare a rezistenei, puterea disipat va fi de 39,2 W.
Micorarea valorii rezistenei de sarcin
Dac valoarea rezistenei de sarcin scade (la 0,5 n loc de 0,8, de
exemplu), scade i puterea disipat pe sarcin.
Creterea valorii rezistenei de sarcin
Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 4,716 6,484 11,2 V
I 5,895 5,895 5,895 A
R 0,8 1,1 1,9
P 27,80 38,22 66,02 W
Dac valoarea rezistenei sarcinii crete (la 1,1 n loc de 0,8, de exemplu), puterea disipat va fi de
asemenea mai mic dect valoarea acesteia pentru 0.8 .
Utilizare
Aceast teorem este foarte folositoare atunci cnd dezvoltm un circuit electric pentru folosirea (disiparea)
puterii maxime pe sarcin.
Mrime R RThevenin Totalsarcin Unitate
E 5,6 5,6 11,2 VI 7 7 7 A
R 0,8 0,8 1,6
P 39,2 39,2 78,4 W
Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 6,892 4,308 11,2 V
I 8,615 8,615 8,615 A
R 0,8 0,5 1,3
P 59,38 37,11 96,49 W
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
38/42220
12. Transformarea triunghi-stea i stea-triunghi
Configuraiile (triunghi) mai sunt cunoscute i sub numele de (Pi)
Configuraiile Y (stea) mai sunt cunoscute i sub numele de T
Att configuraiile ct i Y pot fi transformate (transfigurate) n complementele lor echivalente cu
ajutorul formulelor corecte ale rezistenelor. Prin echivalent, se nelege faptul c cele dou reele sunt
electric identice atunci cnd sunt msurate de la cele trei terminale (A, B i C)
O punte poate fi simplificat la un circuit serie/paralel prin transformarea unei jumti din circuit din n
Y. Valorile cderilor de tensiune din circuitul Y sunt aceleai i n circuitul ntre punctele A, B i C
Conexiunile triunghi i stea
De multe ori componentele sunt conectate
ntr-o reea cu trei terminale, astfel:
conexiunea triunghi () cunoscut i sub
numele de delta sau Pi () i configuraia stea
(Y) cunoscut i sub numele de T. Ne putem
da seama de unde vine numele acestora
urmrind desenele alturate.
Este posibil calcularea real a valorilor rezistorilor necesari pentru formarea unui tip de configuraie (
sau Y) bazndu-ne pe valorile rezistorilor celeilalte configuraii, prin simpla analiz a conexiunilor terminalilor. Pe
scurt, dac avem dou reele de rezistori, una i una Y, n cadrul crora rezistorii nu sunt v izibil dar avem la
dispoziie trei terminali (A, B i C), rezistorii pot fi proiectai pentru ambele reele astfel nct nu am putea face
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
39/42221
diferena dintre cele dou reele din punct de vedere electric. Cu alte cuvinte, configuraiile echivalente i Y se
comport identic
Ecuaiile de transfigurare
.
Exist cteva ecuaii pentru transformare unei reele n celelalte:
Transformarea -Y
Transformarea Y-
Acest tip de configuraii sunt frecvent ntlnite n sistemele de putere trifazate de curent alternativ, dar
acestea sunt de obicei reele echilibrate (toi rezistorii au aceeai valoare) i prin urmare calculele nu sunt att de
complexe.
Aplicarea transformrii -Y punilor dezechilibrate
O aplicaie a transformrii -Y se gsete n cadrul circuitelor
punte dezechilibrate,precum cel alturat.
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
40/42222
Rezolvarea acestui circuit folosind analiza curentului de ramur sau buclei de curent este destul de
laborioas, iar fiindc exist doar o singur surs de putere, nici teoremele lui Millman sau superpoziieinu ne sunt
de prea mare ajutor n acest caz. Putem folosi teorema lui Thevenin sau Norton considernd R3
Alegerea configuraiei triunghi de transformat
rezistorul de
sarcin, dar acest lucru nu ne-ar ajuta foarte mult.
n schimb, putem considera c rezistorii R1, R2 i R3 sunt
conectai n (respectiv Rab, Raci Rbc
); generm apoi o reea Y
echivalent pentru nlocuirea lor i transformm prin acest pas
puntea ntr-un circuit combinat (mai simplu) serie/paralel.
Aplicarea transformrii
Determinarea valorilor rezistenelor
Dup efectuarea corect a calculelor, cderile de tensiune ntre punctele A, B i C vor fi aceleai n ambele
circuite:
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
41/42223
Analiza circuitului echivalent rezultat
Desigur, valorile rezistorilor R4i R5
Mrime
rmn aceleai, 18 respectiv 12 . Acum putem analiza circuitul
precum o combinaie serie/paralel, obinnd urmtoarele rezultate:
RB+ R R4 C+ R R5 B+ R4// RC+ R Total5 UnitateE 5,882 5,882 5,882 10 V
I 0,294 0,392 0,686 0,686 A
R 20 15 8,571 14,571
Determinarea cderilor de tensiune ntre punctele A, B i C
Folosim valorile cderilor de tensiune din tabelul de mai
sus pentru determinarea cderilor de tensiune ntre punctele
A, B i C, fiind ateni la adunarea sau scderea lor (precum
este cazul tensiunii ntre punctele B i C).
Mrime R RA RB RC R4 Unitate5E 4,1180,5881,1765,2944,706 V
I 0,6860,2940,3920,2940,392 A
R 6 2 3 18 12
7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf
42/42
Revenirea la circuitul iniial
Cu valorile acestor cderi de tensiune aflate, putem trece la circuitul
original unde aceste cderi de tensiune sunt aceleai
(ntre aceleai
puncte).
Desigur, cderile de tensiune pe rezistorii R4i R5
sunt aceleai ca i n cazul circuitului transformat (Y).
Acum putem determina curenii prin rezistori folosind valorile acestor tensiuni i aplicnd repetat legea lui Ohm (I
= E / R):
Recommended