View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7 ��������������������������������������������������������������������������������������������������� فصل‌اول:الگو‌و‌دنباله‌پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌اول���������������������������������������������������������������������������������������� 21فصل‌دوم:توان‌های‌گویا‌و‌عبارت‌های‌جبری����������������������������������������������������������������� 2939 ��������������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌دوم47 ������������������������������������������������������������������������������ فصل‌سوم:معادله‌و‌تابع‌درجه‌دوم64 �������������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌سوم72 �������������������������������������������������������������������������������������� فصل‌چهارم:معادله‌و‌نامعادله82 ������������������������������������������������������������������������������������ پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌چهارم88 ������������������������������������������������������������������������������� فصل‌پنجم:قدر‌مطلق‌و‌جزء‌صحیح‌پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌پنجم�������������������������������������������������������������������������������������� 95فصل‌ششم:تابع‌نمایی‌و‌لگاریتم������������������������������������������������������������������������������� 100110 ��������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌ششم115 �������������������������������������������������������������������������������������� فصل‌هفتم:هندسه‌تحلیلی127 ���������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌هفتم‌فصل‌هشتم:تابع������������������������������������������������������������������������������������������������������� 134157 �������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌هشتم169 ������������������������������������������������������������������������������������������������������ فصل‌نهم:تقسیم174 ������������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌نهم‌فصل‌دهم:مثلثات����������������������������������������������������������������������������������������������������� 176202 ����������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌دهم213 ���������������������������������������������������������������������� فصل‌یازدهم:حد‌و‌پیوستگی‌و‌مجانب230 ������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌یازدهم‌فصل‌دوازدهم:مشتق����������������������������������������������������������������������������������������������� 241253 ���������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌دوازدهم‌فصل‌سیزدهم:کاربرد‌مشتق������������������������������������������������������������������������������������ 260274 ���������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌فصل‌سیزدهم‌آزمون‌های‌جامع���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 285290 ���������������������������������������������������������������������������������� پاسخ‌نامءه‌تشریحی‌آزمون‌جامعپاسخ‌نامءه‌کلیدی��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 300
134
تابع‌ماشینی‌است‌که‌به‌ازای‌هر‌ورودی،دقیقاً‌یک‌خروجی‌می‌دهد.در‌نمایش‌زوج‌مرتبی‌یک‌تابع،مؤلفه‌های‌اول‌نباید‌برابر‌باشند،اگر‌برابر‌بودند،مؤلفه‌های‌دومشان
هم‌باید‌برابر‌باشد.
چند‌‌تابع‌خاص‌داشتیم.یک‌بار‌یادآوری‌می‌کنیم:.برد‌آن‌تک‌عضوی‌و‌نمودارش‌یک‌خط‌افقی‌است. f x c( ) = تابع‌ثابت:
.همان‌نیمساز‌ناحیءه‌اول‌و‌سوم)یا‌بخشی‌از‌آن(است. f x x( ) = تابع‌همانی:
]است. , )0 + ¥ دامنه‌و‌برد‌آن : y x= تابع
را‌بدون‌استفاده‌از‌انتقال‌رسم‌کنید،باید‌بهxتان y ax b c= + + اگر‌خواستین‌توابع‌به‌فرم
اعدادی‌بدهید‌که‌زیر‌رادیکال‌را‌صفر،1و4کند.بعد‌با‌همان‌سه‌نقطه‌شکل‌رسم‌می‌شود.مثالً‌برای
قرار‌دهید‌تا‌زیر‌رادیکال‌اعداد 12و -1، -3
2باید‌به‌جایx،اعداد y x= - +1 2 3 رسم‌تابع
صفر،1و4شود:
x
y
- -
-
3
21
1
2
1 0 1
،2،1و‌منفی‌همین 12:برای‌رسمش‌بهx،اعداد y
x= 1 تابعاعداد‌را‌بدهید.
برای‌به‌دست‌آوردن‌دامنءه‌توابع‌دوتا‌شرط‌مهم‌داریم:مخرج‌کسرها‌نباید‌صفر‌شود.
عبارت‌های‌زیر‌رادیکال‌های‌با‌فرجءه‌زوج‌باید‌بزرگ‌تر‌و‌یا‌مساوی‌صفر‌باشند.
با‌دامنءه‌تابع y xx
= +-1
2
3 فرجءه‌فرد‌محدودیتی‌در‌دامنءه‌تابع‌به‌وجود‌نمی‌آورد.مثالً‌دامنءه‌تابع
،یکسان‌است. -{ }2 که‌می‌شود y xx
= +-1
2
135
، عدد حقیقی باشد. مجموعه مقادیر x در کدام بازه است؟ 2 9
22
24 23
xx x-- ++ -- اگر عبارت
)تجربی خارج 96( [ , ]- 2
3
2
3)2 [ , ]2
32 )1
[ , ) ( , ]- 2
30 0
2
3 )4 [ , ) ( , ]- 2
30 0 2 )3
که‌مشکلی‌ندارد.فقط‌کافی‌است‌عبارت‌زیر‌رادیکالی 223 x x- عبارت گزینءه »4«
که‌فرجءه4دارد‌را‌بزرگ‌تر‌یا‌مساوی‌صفر‌بگذاریم:
2 9
20
4 9
2
02 3 2 3
2
02
2
2 2xxx
x xx
- ³ Þ - ³ ¾ ®¾¾ - + ³¾Äq\U ( ) ( )
جدول‌تعیین‌عالمت‌می‌کشیم:
Z»p â¾LUo¶
R·
´ÃTwH¼iï¶ I¶ ¾¨ ÂÄ
RnILø ®¨
x -
- + + -
2
30
2
3
0 0
II]¯
- -[ , ] { }2
3
2
30
� ��� ���
را‌به‌ما‌می‌دهند f x( ) یک‌مدل‌سؤال‌خیلی‌رایِج‌دامنه‌در‌کنکور،این‌گونه‌است‌که‌نمودار‌تابع
یا‌توابعی‌شبیه‌آن‌را‌می‌خواهند.حل‌این‌سؤاالت‌واقعاً‌آسان‌است! y xf x= ( ) و‌از‌ما‌دامنءه‌تابعکافیه‌عبارت‌زیر‌رادیکال‌را‌بزرگ‌تر‌یا‌مساوی‌صفر‌بگذارید‌و‌بعد‌نامعادلءه‌به‌دست‌آمده‌را‌با‌تعیین
عالمت‌حل‌کنید.یک‌مثال‌ازش‌ببینید:
) کدام است؟ ) ( )x f x++ 1 f است. دامنءه تابع غیرنقطه ای x( ) شکل زیر، نمودار تابع با ضابطءه)ریاضی خارج 97( [ , ]-3 2 )1
[ , )- + ¥1 )2( , ]-¥ -1 )3
- -( , )3 2 )4عبارت‌زیر‌رادیکال‌را‌بزرگ‌تر‌و‌یا‌مساوی‌صفر‌می‌گذاریم: گزینءه »4«
2 1 3
1
1 0
, ,
( ) ( )
- -
¯
-
+ ³
:¾zÄn
:ï¾zÄn
x f x
136
f x( ) هم‌در‌یک‌سطر‌دیگر. f x( ) در‌یک‌سطر‌و x +1 جدول‌تعیین‌عالمت‌رسم‌می‌کنیم.و‌هر‌جا‌زیر‌محور + را‌با‌توجه‌به‌نمودارش‌تعیین‌عالمت‌می‌کنیم.هر‌جا‌باالی‌محورxهاست،
می‌گذاریم. - xهاست،
xxf xx f x
- -+ - - + +
- + - ++ + - - +
3 1 2
1 0
0 0 0
1 0 0 0
( )( ) ( )
IÄ SLX¶ ¾¨ ÂÄIÀI]´ÃÀH¼iï¶ Hn SwH oÿž ®¾¾¾¾¾¾ -¥ -( , ]3 {{ } [ , )- + ¥1 2
}را‌از‌دامنه‌حذفش‌می‌کنیم)چون‌باعث‌به‌وجود }-1 چون‌سؤال‌گفته‌تابع‌غیرنقطه‌ای!،پسآمدن‌یک‌نقطءه‌تک‌می‌شود(.در‌نتیجه:
D = -¥ - + ¥ = - -( , ] [ , ) ( , )3 2 3 2∪ �
برای‌به‌دست‌آوردن‌برد‌توابع»خطی«،»درجه‌دو«،»قدرمطلقی«،»رادیکالی«،»چندضابطه‌ای«و»نمایی‌و‌لگاریتمی«نمودارشان‌را‌رسم‌می‌کنیم.
f شامل چند عدد صحیح نمی باشد؟ x x x( ) | x |== ++ 2 برد تابع5)4 3)3 2)2 1)1
تابع‌را‌به‌صورت‌دوضابطه‌ای‌می‌نویسیم: گزینءه »4«
f x x xx
x xx x
( )| |
= + =+ >- <
ìíî
2 2 0
2 0
آن‌را‌رسم‌می‌کنیم:
صحیِح عدد 5 شامل که است ( , ) ( , )-¥ - + ¥2 2 تابع برد0نمی‌شود. 2 1, ,± ±
توابعfوgبا‌هم‌برابرند‌اگر‌هر‌دو‌شرط‌زیر‌را‌داشته‌باشند:ضابطه‌هایشان‌برابر‌باشد. دامنه‌هایشان‌برابر‌باشد.
چندتا‌مثال‌ببینید:
و‌ضابطه‌های‌هر‌دو‌بعد‌از‌ساده‌شدن -{ }0 :دامنءه‌هر‌دو‌تابع g x xx
( ) =5
6و f x x
x( ) =
2
3
است،پسfوgبرابرند. yx
= 1 به‌صورت
g x x x( ) .= - 2 و f x x x( ) ( )= - 2از‌اشتراک A B´ ABو‌دامنءه‌تابع‌به‌فرم از‌حل‌نامعادلءه³0 AB دامنءه‌تابع‌به‌فرم
به‌دست‌می‌آید. B ³0 و A ³0 جواب‌های‌دو‌نامعادلءه
137
Df = -¥ + ¥( , ] [ , )0 2 به‌دست‌می‌آید: x x( )- ³2 دامنءهfاز‌حل‌نامعادلءه0 ( ) ( ) [ , )x x³ ³ = + ¥0 2 2 است: x - ³2 0 و x دامنءهg،اشتراک‌جواب‌نامعادله‌های³0
دامنه‌ها‌برابر‌نشد‌پسfوgبرابر‌نیستند.بود،دو‌تابع‌برابر‌بودند!)بررسی‌کنید(. g x x x( ) .= -2 و f x x x( ) ( )= -2 جالبه‌اگر
:اعداد‌منفی‌در‌دامنءهfهستند‌ولی‌در‌دامنءهgنیستند، g x x( ) log= 2 و f x x( ) log= 2
پس‌دو‌تابع‌برابر‌نیستند. log log | |x x2 2=
برابر g x ax b( ) = + با‌تابع f xxx
x
k x( ) =
--
¹
=
ìíï
îï
24
22
2
این‌دفعه‌یک‌تابع‌دوضابطه‌ای‌مثل
شده‌است‌و‌از‌ماb،aوkرا‌می‌خواهند. f x
x xk x
( ) =+ ¹
=ìíî
2 22
ضابطءه‌اول‌تابعfبا‌اتحاد‌مزدوج‌ساده‌می‌شود:
. b = 2 و a باشد،پس1= ax b+ همان x + 2 االن‌باید‌برابر‌قرار‌می‌دهیم: x = 2 شد.حاال‌مقدار‌دو‌تابع‌را‌در g x x( ) = + 2 در‌نتیجه
f g k k( ) ( )2 2 2 2 4= Þ = + Þ =
تابعی‌که‌مؤلفه‌های‌دوم‌زوج‌مرتب‌هایش،عضو‌تکراری‌نداشته‌باشد‌را‌تابع‌یک‌به‌یک‌می‌گوییم.اگر‌تابعی‌یک‌به‌یک‌باشد،هر‌خطی‌موازی‌محورxها‌رسم‌کنیم،حداکثر‌آن‌را‌در‌یک‌نقطه‌قطع‌می‌کند.انجام را کارها این از یکی نبودنش، یا بودن یک‌به‌یک بررسی برای بودند، داده را تابع ضابطءه اگر‌‌اگر‌شد‌مثال‌نقض‌برایش‌گیر‌می‌آوریم؛یعنی2تاxگیر‌می‌آوریم‌که رسم‌نمودار می‌دهیم:
اگر‌تابع‌اکیداً‌یکنوا‌بود،حتماً‌یک‌به‌یک‌است. yهای‌یکسان‌بدهند.
کدام گزینه یک به یک نیست؟
y x x= +2 | | )4 y xx
= + 1 )3 y x x= + )2 y x x= | | )1
را‌رسم‌می‌کنیم: و نمودار‌توابع گزینءه »3«
y x xx x
x x= =
³
- <
ìíï
îï| |
2
2
0
0
y x xx xx x
= + =³<
ìíî
23 0
0| |
هر‌دو‌یک‌به‌یک‌هستند.
138
توابعی‌صعودی‌اکیدند.چون‌جمع‌دو‌تابع‌صعودی‌اکید،تابعی‌صعودی y x= و y x= توابع
صعودی‌اکید‌و‌در‌نتیجه‌یک‌به‌یک‌است.پس‌قطعاً‌تابع y x x= + اکید‌می‌شود،پس‌تابع
، x = 1
2و x = یک‌به‌یک‌نیست!می‌شد‌برایش‌مثال‌نقض‌هم‌زد.مثالً‌به‌ازای2 y x
x= + 1
yهای‌یکسان‌می‌دهد.
می‌شههد.اگر‌دامنههءه‌تابع x baS = -
2 طههول‌رأس‌تابههع‌درجههه‌دو،
انتخاب‌کنیم، x ba
£ -2 یا‌به‌صههورت x b
a³ -
2 درجههه‌دو‌را‌به‌صورت
تابعیکبهیکمیشود.
x a£ یا x a³ (است.اگر‌دامنه‌را که‌نمودارشان‌به‌شکل) y x a b= - +| | در‌توابعبگیریم،تابعیکبهیکمیشود.
هم‌اگر‌دامنه‌را‌بین‌دو‌نقطءهmaxوminمتوالی‌بگیریم، y x= cos و y x= sin در‌توابعتابع‌یک‌به‌یک‌می‌شود.
اگر‌جای‌مؤلفه‌های‌اول‌و‌دوم‌زوج‌مرتب‌ها‌را‌عوض‌کنیم،وارون‌آن‌تابع‌به‌دست‌می‌آید.شرط‌وارون‌پذیری‌یک‌تابع،یک‌به‌یک‌بودن‌آن‌است.
D Rf f- =1 Rو D
f f- =1 جای‌دامنه‌و‌برد‌در‌تابع‌وارون‌عوض‌می‌شود:
قرینه‌اند. y x= ،نسبت‌به‌خط f -1 نمودارfو
)تجربی 95( y کدام است؟ f x== --1( ) f باشد، نمودار تابع x x x( ) | |== اگر
)2 )1
)4 )3
139
تابعfرا‌دوضابطه‌ای‌می‌نویسیم: گزینءه »3« f x x x
x x
x x( ) | |= =
³
- <
ìíï
îï
2
2
0
0
قرینه y x= ابتداfرا‌رسم‌می‌کنیم.بعد‌نمودارش‌را‌نسبت‌به‌به‌دست‌آید. f -1 می‌کنیم‌تا
و‌برعکس. f a b( ) = ،بنویسید f b a- =1( ) هر‌وقت‌الزم‌شد‌جای
اگر مفروض اند. g x xx( ) ==
-- 1 و f == {( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}2 5 6 3 3 7 4 1 1 9 تابع دو
)تجربی 96( f باشد، a کدام است؟ g a-- ==12 6( ( ))
52
)4 32
)3 34
)2 12)1
. f g a( ) ( )6 2= ،نتیجه‌می‌گیریم f g a- =12 6( ( )) گزینءه »2«
، g x( ) .از‌طرفی‌با‌توجه‌به‌ضابطءه f ( )6 3= در‌تابعf،نتیجه‌می‌گیریم‌که ( , )6 3 از‌زوج‌مرتب
است: g a aa
( )22
2 1=
-
f g a aa
a a a a( ) ( )6 2 32
2 16 3 2 4 3
3
4= Þ =
-Þ - = Þ = Þ =
g--1 کدام است؟16( ) ، حاصل f x x x-- == ++1( ) g و x f x( ) ( )== --3 4 اگر
)ریاضی 89( 8)4 7)3 6)2 5)1. g a( ) =16 است،پس g a- =1
16( ) فرض‌می‌کنیم گزینءه »4« f a( )3 4 16- = ،پس: f a( )3 4- می‌شود g a( ) f a- = -1
16 3 4( ) دوباره‌از‌هشدار‌فوق‌استفاده‌می‌کنیم: f - = + =1
16 16 16 20( ) ،پس: f x x x- = +1( ) چون f a a a- = - Þ - = Þ =1
20
16 3 4 3 4 20 8( )��� در‌نتیجه:
یکی‌از‌موضوعاتی‌که‌معموالً‌در‌کنکور‌از‌آن‌سؤال‌می‌آید،ضابطءه‌وارون‌یک‌تابع‌است.برای‌به‌دست
آوردن‌ضابطءه‌وارون‌یک‌تابع‌دو‌مرحلءه‌زیر‌را‌انجام‌می‌دهیم:با‌هر‌کلکی‌که‌شد،xرا‌برحسبyمی‌نویسیم.
جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم.
140
توابعی‌که‌وارون‌آن‌ها‌را‌از‌ما‌می‌خواهند‌به‌همراه‌مثال‌در‌زیر‌آمده‌اند:تابع‌خطی:به‌خاطر‌آسان‌بودنش‌مثال‌نمی‌زنیم.فقط‌یک‌نکته‌ازش‌بدانید:
،خودشان‌می‌شوند. y x= و‌تابع‌خطِی وارون‌توابع‌خطی‌با‌شیب1-
را‌به‌دست x £ 2 با‌دامنءه f x x x( ) = - +24 تابع‌درجه‌دو‌با‌دامنءه‌محدودشده:وارون‌تابع1
می‌آوریم.اول‌تابع‌درجه‌دو‌را‌به‌صورت‌مربع‌کامل‌می‌نویسیم.برای‌این‌کار‌مربع‌نصف‌ضریبxرا‌اضافه‌و‌کم
می‌کنیم)این‌جا‌می‌شود4(: y x x y x x y x
x
= - + Þ = - + Þ = - -+ -
-
2 2
2
24 1 4 1 2 34 4
2( )
( )� �� ��
اصل‌کار‌انجام‌شد.حاالxرا‌باید‌تنها‌کنیم:
y x y x+ = - ¾ ®¾¾ + = -3 2 3 22( ) | |nm]
بود،پس x £ 2 این‌جا‌هم‌بچه‌ها‌خیلی‌اشتباه‌می‌کنند‌و‌قدرمطلق‌را‌نمی‌گذارند.حاال‌چون‌دامنه
y x x y+ = - + Þ = - + +3 2 3 2 قرار‌دهیم: - +x 2 باید | |x - 2 جای
y x= - + +3 2 در‌آخر‌جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
را‌هم‌به‌دست‌بیاوریم. f متأسفانه‌هنوز‌تمام‌نشده!باید‌دامنءه1-Dآن‌است‌که‌نمودارfرا‌بکشیم‌و‌برد
f -1 یادتان‌باشد‌بدون‌ریسک‌ترین‌راه‌برای‌حساب‌کردن‌را x £ 2 با‌دامنءه y x= - -( )2 3
2 Dاست‌را‌پیدا‌کنیم.در‌این‌جا‌نمودار‌تابعf -1 fکه‌همان
می‌کشیم:
Þ D Rf f- = = - + ¥1 3[ , )
رسیدیم،راه‌حل‌عوض y x+ = -3 2| | بود،از‌آن‌جایی‌که‌به x ³ 2 اگر‌در‌این‌جا‌دامنه‌می‌شود‌و‌ادامه‌می‌دهیم: x - 2 خود | |x - 2 ،پس x ³ می‌شود.االن‌چون2
y x x y y xy x+ = - Þ = + + ¾ ®¾¾¾¾ = + +3 2 3 2 3 2» ·jo¨ïƼø
را‌حساب‌می‌کنیم: f x x( ) = - - +1 2 تابع‌رادیکالی:وارون‌تابعاول‌سعی‌می‌کنیمxرا‌برحسبyبنویسیم:
y x x y x y= - - + Þ - = - ¾ ®¾¾ - = -1 2 1 2 1 22 2 ·H¼U ( )
Þ - = - + Þ = - +x y y x y y1 4 4 4 52 2
y x x= - +24 5 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
141
D(را‌پیدا‌کنیم:f -1 تمام‌نشده‌ها!باید‌نمودار‌خودfرا‌بکشیم‌و‌بردf)همان
Þ R Df f
= = -¥-1 2( , ]
درمی‌آید. y x x x= - + £24 5 2
¾õMIò ¾¹¶Hj� ��� ��� �; به‌صورت f پس1-
، f x x x x( ) = - + +3 26 12 5 درجه‌سه‌هایی‌که‌مکعب‌کامل‌می‌شوند:برای‌محاسبءه‌وارون‌تابع
: - +8 13 می‌نویسیم کمک‌می‌گیریم‌و‌به‌جای5+ ( )x x x x- = - + -2 6 12 83 3 2 از‌اتحاد
y x x x y x y x
x
= - + - + Þ = - + Þ - = -
-
3 2
2
3 36 12 8 13 2 13 13 2
3( )
( ) ( )� ���� ����
3 3 32 13 13 2 â¾]oξ ®¾¾ - = - Þ = - +x y x y
.این‌جا‌دیگر‌شکل‌دامنه‌نداریم‌و‌چیزی‌را‌الزم y x= - +13 23 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
نیست‌چک‌کنیم.است. f x dx b
cx a( ) = -
- +،به‌صورت f x ax b
cx d( ) = +
+تابع‌هموگرافیک:وارون‌تابع
در‌واقع‌جایaوdرا‌عوض‌کردیم‌وbوc،سر‌جای‌خودشان‌قرینه‌می‌شوند.
است. y xx
= - +- +5 2
4 3به‌صورت y x
x= -
-3 2
4 5مثالً‌وارون‌تابع
را‌به‌دست‌آورید. f اگر‌هم‌حفظ‌کردنش‌سخته،با‌طرفین‌وسطین‌کردن‌و‌سپس‌تنهاکردنx،می‌توانید1-
با‌هم‌برابر‌می‌شوند. f -1 باشد،fو a d+ =0 ،اگر f x ax bcx d
( ) = ++
در‌تابع‌هموگرافیک
کدام با g x x( ) == -- 9
2و f --1 تابع دو نمودارهای باشد، f x x x x( ) ;== -- -- ³³2
2 3 1 اگر )تجربی 98( طول، متقاطع هستند؟
21)4 18)3 15)2 12)1با‌تابع‌درجه‌دو‌طرفیم.پس‌باید‌آن‌را‌مربع‌کامل‌بنویسیم: گزینءه »4«
y x x y x x y x
x
= - - Þ = - - Þ = - -+ -
-
2 2
1
22 3 2 3 1 41 1
2( )
( )� �� ��
حاالxرا‌برحسبyمی‌نویسیم: y x y x+ = - ¾ ®¾¾ + = -4 1 4 1
2( ) | |nm] است،پس‌داریم: x چون‌دامنه³1
y x x y+ = - Þ = + +4 1 4 1
y x= + +4 1 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
f x g x x x- = Þ + + = -14 1
9
2( ) ( ) را‌باgبرابر‌می‌گذاریم: f حاال1-
142
وقتی‌گزینه‌ها‌را‌داریم،برای‌چی‌خودمان‌را‌درگیر‌حل‌معادله‌کنیم؟!بین18،15،12و21،این از ،رادیکال‌عددی‌رند‌بیرون‌می‌دهد،پس‌جواب‌یکی x = 21 و x =12 فقط‌به‌ازای
برقرار‌می‌شود. x = دوتاست.تساوی‌فقط‌به‌ازای21
برای‌به‌دست‌آوردن‌تقاطع‌یک‌تابع‌با‌وارونش‌یکی‌از‌این‌دو‌کار‌را‌انجام‌می‌دهیم:
به‌دست‌آید.تعداد f -1 قرینه‌می‌کنیم‌تا‌نمودار y x= نمودارfرا‌می‌کشیم.آن‌را‌نسبت‌به‌خطنقاط‌برخوردشان‌را‌پیدا‌می‌کنیم.
را‌حل‌می‌کنیم. f x f x( ) ( )= -1 را‌حساب‌می‌کنیم.بعد‌معادلءه f ضابطءه1-معادلءه ، f x f x( ) ( )= -1 معادلءه حل جای به می‌توانیم باشد، صعودی اکیداً تابعی f اگر
را‌حل‌کنیم. f x x( ) =
قطع طول کدام با را خود وارون نمودار ، -- { }2 دامنءه با ، f x xx( ) == ++
--4
2تابع نمودار
)تجربی خارج 96( می کند؟ 4(4و1 و1 -4 )3 -1 2(4و -1 و -4 )1
برای‌وارون‌تابع‌هموگرافیک‌فرمول‌گفتیم: گزینءه »2«
¾¹Äo¤
j¼{ï¶ Ƽø » ÁI]j¼{ï¶ ¾¹Äo¤ »f x x
x( ) = +
-
¯
-+ +
1 4
1 2
2 1
1 44
1 2 4
1 1
2 4
1¾ ®¾¾¾¾¾¾¾ = - -
- += +
--f x x
xxx
( )
¾¹Äo¤
برابر‌می‌گذاریم: f -1 حاالfرا‌با f x f x x
xxx
x x x( ) ( )= Þ +-
= +-
Þ + - = --1 2 24
2
2 4
13 4 2 8
Þ - - = Þ = -x x x23 4 0 1 4,
توابع ترتیب به بر‌هم‌تقسیم‌کنیم، یا تفریق،ضرب با‌هم‌جمع، را g fو تابع اگر‌ضابطه‌های‌دو
به g و f تابع دو دامنءه اشتراک از توابع این دامنءه می‌آیند. به‌دست fg
و f g. ، f g- ، f g+
یک‌شرط‌بیشتر‌دارد‌و‌آن‌این‌است‌که‌مخرج‌یعنیgهم‌نباید‌صفر‌باشد: fg
دست‌می‌آید.البتهD D Df g f g+
´=
D D D x g xfg
f g= - = { | ( ) }0
143
، کدام است؟ ( )( )fg x ، آن گاه برد تابع g x x( ) | x |== ++ f و x x( ) | |== -- ++2 1 اگر
)ریاضی خارج 97( ( , )0 + ¥ )4 ( , )- + ¥1
2)3 ( , )- + ¥1 )2 ( , )-¥ 1
2)1
برابر‌صفر‌می‌شود، x است.تابعgبه‌ازای£0 دامنءه‌توابعfوg،هر‌دو گزینءه »3«
Dfg
= - -¥ = + ¥ ( , ] ( , )0 0 : x £0 به‌جز می‌شود fg
پس‌دامنءه‌تابع
xو x مثبت‌می‌شود‌و‌به‌ترتیب1+ | |x و | |x +1 ،داخل‌هر‌دو‌قدرمطلق x به‌ازای0<
به‌صورت‌زیر‌درمی‌آید: fg
می‌شوند.پس‌ضابطءه
( ) ( ) | || |
( ) ( ) ( )fgx x
x xx
x xxx
xx x
= - ++
= - ++
= - + = - + = -2 1 2 1 1
2
1
2
1 1
2
11
را‌حساب‌کنیم. yx
= -1
2
11( ) باید‌برد‌تابع x حاال‌با‌شرط0<
می‌شود،پس ( , )0 + ¥ (است‌که‌بردش به‌صورت) x به‌ازای0< yx
= 1 نمودار
. 1 0x
>
را‌به‌دست‌می‌آوریم: yx
= -1
2
11( ) ،محدودءه‌برد 1 0
x> از
1 01
1 11
2
11
1
2
1
2
1
1
2
x x xy> ¾ ®¾ - > - ¾ ®¾ - > - Þ > -- ´
( )
است. ( , )- + ¥1
2پس‌بردمان
)یا f g+ تابع مقدار بعد می‌نویسیم. را مشترک xهای اول دادند، زوج‌مرتبی را g و f اگر حاال‌و f = -{( , ) , ( , ) , ( , )}1 2 3 7 2 1 اگر مثالً می‌کنیم. حساب مشترک xهای در را بود( که هرچی
fهای‌مشترک‌دو‌تابعxرا‌بخواهیم،اول 2gf g+
باشد‌و‌ما‌تابع g = - -{( , ) , ( , ) , ( , )}1 4 2 1 4 5
D Df g = -{ , }1 2 وgرا‌می‌نویسیم:را‌حساب‌می‌کنیم: 2g
f g+،مقدار‌تابع x = 2 و x = -1 حاال‌در
x gf g
= - -- + -
=+
= = ¾ ®¾¾¾ -12 1
1 1
2 4
2 4
8
6
4
314
3: ( )( ) ( )
( ) ( , )KUo¶ïZ»p
x gf g
=+
= -+ -
= - Þ22 2
2 2
2 1
1 1
2
0: ( )( ) ( )
( )( )
Þتعریف‌نشده زوج‌مرتبی‌نمی‌دهد
)}است. , )}-1 4
3به‌صورت 2g
f g+پس‌تابع
144
ممکن‌استfوgرا‌زوج‌مرتبی‌به‌ما‌بدهند‌وfogیا‌چیزی‌شبیه‌آن‌را‌از‌ما‌بخواهند.این‌جور وقت‌ها حواستان‌باشد‌کهxها‌را‌از‌تابع‌داخلی‌یعنیgمی‌گیریم.با‌یک‌مثال‌توضیح‌دهیم.
این در باشد، g = - -{( , ) , ( , ) , ( , )}2 3 4 1 7 6 و f = - -{( , ) , ( , ) , ( , )}2 1 3 1 1 5 کنید فرض‌‌قرار‌می‌دهیم: f g x( ( )) ،4و7را‌در صورتxهای‌دامنءهg؛یعنی2-
x f g f
x f g
= - - = = Þ -
=-
2 2 3 1 2 1
4 4
3
1
: ( ( )) ( ) ( , )
: ( ( ))
kÀjï¶ KUo¶ïZ»p
== - = Þ
= =
f
x g f
( ) ( , )
: f( ( )) ( ) :
1 5 4 5
7 7 6
6
kÀjï¶ KUo¶ïZ»p
jnHkº j
¼¼]» kÀjﵺ ÂLUo¶ïZ»pÞ
ü
ý
ïïï
þ
ïïï
Þ = -fog {( , ) , ( , )}2 1 4 5
تابع باشند، g == {( , ),( , ),( , ),( , )}2 3 4 2 5 6 3 1 و f == {( , ),( , ),( , ),( , )}1 2 2 5 3 4 4 6 اگر
)ریاضی 98( ، کدام است؟ ggof --1
{( , ) , ( , )}3 5 2 4 )4 {( , ) , ( , )}5 2 2 4 )3 {( , ) , ( , )}4 2 3 5 )2 {( , ) , ( , )}4 2 5 2 )1را‌بنویسیم.جایxوyهایfرا‌عوض‌می‌کنیم: f اول‌باید1- گزینءه »1«
f - =12 1 5 2 4 3 6 4{( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )}
می‌گذاریم: g f x( ( ))-1 را‌در f ،xهای1- gof -1 برای‌نوشتن
x g f g
x g f g
x g f
= = =
= = = Þ
=
-
-
-
2 2 1
5 5 2 3 5 3
4
1
1
: ( ( )) ( )
: ( ( )) ( ) ( , )
: (
jnHkº
11
1
1
4 3 1 4 1
6 6 4 2 6 2
( )) ( ) ( , )
: ( ( )) ( ) ( , )
= = Þ
= = = Þ
ü
ý
ïï
þ
ïï
Þ
-
-
g
x g f g
gof =={( , ) , ( , ) , ( , )}5 3 4 1 6 2
را‌می‌خواهیم.دامنءه‌مشترکgوhرا‌می‌نویسیم: gh
،تابعhاست‌و‌ما‌تابع gof -1 فرض‌کنیدD Dg h ={ , }4 5
را‌حساب‌می‌کنیم: gh
،مقدار‌تابع x = 5 و x = 4 حاال‌در
x gh
= = = Þ44
4
2
12 4 2: ( )
( )( , )
x gh
= = = Þ55
5
6
32 5 2: ( )
( )( , )
)}است. , ) , ( , )}4 2 5 2 به‌صورت gh
پس‌تابع
145
، f x x( ) == --2 5 و g == {( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}2 5 3 4 1 6 4 7 8 1 ضابطه ه�ای ب�ا تاب�ع دو )ریاضی 93( ) باشد، a کدام است؟ )( )f og a-- ==1
6 مفروض اند. اگر4)4 3)3 2)2 1)1
را کار همین هم این‌جا بنویسید. f g x( ( )) ، ( ) ( )fog x جای همیشه گزینءه »4« f g a- =1
6( ( )) می‌کنیم:،پس‌در‌این‌جا‌داریم: f a b( ) = ،نتیجه‌می‌گیریم f b a- =1( ) در‌تابع‌وارون‌گفتیم‌از
f g a( ) ( )6 = f x x f( ) ( )= - Þ =2 5 6 7 را‌از‌ضابطه‌اش‌حساب‌می‌کنیم: f ( )6 مقدار ( , )4 7 درمی‌آید.با‌توجه‌به‌وجود‌زوج‌مرتب g a( ) = 7 به‌شکل f g a( ) ( )6 = پس‌تساوی
. a = 4 در‌تابعg،نتیجه‌می‌گیریم:
سه‌حالت‌دارد:
،fهای‌تابعxرا‌می‌خواهیم:راحت‌ترین‌حالت‌همین‌است.کافی‌است‌جایfogرا‌داریم‌وgوfباشد،آن‌گاه: g x x( ) = -3 و1 f x x x( ) = -2 2 را‌قرار‌دهیم.مثالً‌اگر g x( )
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )fog x f g x x x= = - - -3 1 2 3 12
gوfogرا‌داریم‌وfرا‌می‌خواهیم:این‌حالت‌بیشتر‌مورد‌عالقءه‌طراحان‌کنکور‌است.تابع‌داخلی‌‌به‌دست‌آید. f x( ) یعنیgرا‌مساویtمی‌گذاریم.xرا‌برحسبtمی‌نویسیم‌و‌درfogقرار‌می‌دهیم‌تا
f برابر کدام است؟ x( ) ) باشند، تابع )( )fog x x x== ++ ++8 6 52 g و x x( ) == ++2 1 اگر
)تجربی خارج 95( 2 2 32x x- + )2 2 3 1
2x x+ + )12 3
2x x+ + )4 2 42x x- + )3
gرا‌مساویtمی‌گذاریم‌وxرا‌برحسبtمی‌نویسیم: گزینءه »3«
2 11
2x t x t+ = Þ = -
می‌گذاریم: t -12
در‌تابعfog،جایxها،
f x x x f t t t( ) ( ) ( ) ( )2 1 8 6 5 81
26
1
25
2 2+ = + + Þ = - + - +
Þ = - + - + = - + + - +f t t t t t( ) (t ) ( )2 1 3 1 5 2 4 2 3 3 52 2
Þ = - +f t t t( ) 2 42
f x x x( ) = - +2 42 آخر‌سر‌هم‌باید‌جایt،دوبارهxبنویسیم:
»اگر می‌دادند: ما به این‌جوری 97 کنکور مثل را سؤال همین صورت بود ممکن وقت هر باشد یادتان پس است؟« کدام f x( ) ضابطءه باشد، f x x x( )2 1 8 6 5
2+ = + +تابع‌داخلی)در‌این‌جاg(را‌داشتیم،باید‌آن‌راtبگیریم.
146
f g x( ( )) را‌قرار‌می‌دهیم‌تا g x( ،تابع( f x( ) fوfogرا‌داریم‌وgرا‌بخواهیم:جایxهای‌که‌داشتیم‌برابر‌می‌گذاریم‌و‌با‌حل‌معادله، f g x( ( )) به‌دست‌آمده‌را‌با f g( (x)) به‌دست‌آید.
را‌پیدا‌می‌کنیم. g x( )
باشد،می‌نویسیم: ( ) ( )fog x x x= + -2 8 32 و f x x( ) = +2 مثالً‌اگر1
f g x g x( ( )) ( )= +2 1 که‌سؤال‌داده‌برابر‌می‌گذاریم: fog x( ) را‌با f g x( ( )) حاال‌این
2 1 2 8 3 2 2 8 4 4 22 2 2 2g x x x g x x x g x x x( ) ( ) ( )+ = + - Þ = + - ¾ ®¾ = + -¸
اگرfوfogهر‌دو‌درجه‌دو‌بودند،باید‌دو‌طرف‌را‌مربع‌کامل‌کنید،بعد‌معادله‌را‌حل‌کنید.را‌می‌نویسیم: f g x( ( )) باشد،اول ( ) ( )fog x x x= - +2
2 4 و f x x( ) x= + +24 7 مثالً‌اگر
f g x g x g x( ( )) ( ) ( )= + +24 7
که‌سؤال‌داده،برابر‌قرار‌می‌دهیم: f g x( ( )) را‌با f g x( ( )) بعد‌این g g x x2 2
4 7 2 4+ + = - + دو‌طرف‌را‌مربع‌کامل‌می‌کنیم‌و‌معادله‌را‌حل‌می‌کنیم:
( ) ( ) ( ) ( ) | | | |g x g x g x+ + = - + Þ + = - Þ + = -2 3 1 3 2 1 2 12 2 2 2
دو‌حالت‌می‌شود:
g x x g x xg x( ) ( )( ) x g(x) x
+ = - Þ = -+ = - + Þ = - -
ìíî
2 1 3
2 1 1
( )fog g of- - -=1 1 1
اگر مفروض اند. g x x( ) == ++5 9 و f == {( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}5 2 7 3 1 4 3 6 9 1 تابع دو
)تجربی خارج 96( ) باشد. a کدام است؟ )( )g of a-- -- ==1 18
7)4 6)3 3)2 2)1 ( ) ( )fog a- =1
8 ،پس: ( )fog -1 می‌نویسیم g of- -1 جای1 گزینءه »2«
f g a( ( ))8 = ،پس: ( ) ( )fog a8 = ،نتیجه‌می‌گیریم ( ) ( )fog a- =18 از
g x x g( ) ( )= + Þ = =5 9 8 49 7 را‌حساب‌می‌کنیم: g( )8 f g a f a a( ( )) ( )8 7 3= Þ = Þ = ادامه‌می‌دهیم:
،ضابطه‌های‌برابری‌دارند‌ولی‌دامنه‌هایشان‌متفاوت‌است: f of-1 و fof دو‌تابع1- ( ) ( ) ,fof x x D D R
fof f f- = = =- -
11 1
( ) ( ) ,f of x x D Df of f
- = =-1
1 پس‌هر‌دو‌تابع،توابعی‌همانی‌هستند.
147
یک‌مثال‌زوج‌مرتبی‌و‌یک‌مثال‌ضابطه‌ای‌از‌آن‌ببینید:هر‌دو‌تابع‌همانی‌اند، f of-1 و fof باشد،چون1- f = {( , ) , ( , )}1 2 4 5 مثال‌زوج‌مرتبی:اگرRfمی‌آیند Dfیا‌همان -1 ،xها‌از fof -1 پس‌مؤلفه‌های‌اول‌و‌دوم‌زوج‌مرتب‌هایشان‌برابر‌است.در
Dfمی‌آیند. ،xها‌از f of-1 و‌در fof
Rf
- =12 2 5 5{( , ) , ( , )}� �� ��
â¾¹¶Hj IM ºIµÀ ÍMIU
f ofDf
- =11 1 4 4{( , ) , ( , )}� �� ��
â¾¹¶Hj IM ºIµÀ ÍMIU
باشد،نمودارش‌به‌صورت‌زیر‌است: f x x( ) = - -2 مثال‌ضابطه‌ای:اگر1
Þ= + ¥
= - + ¥ìíî
DRf
f
[ , ][ , )2
1
(است. ]است‌که‌نمودارش‌به‌شکل) , )- + ¥1 و‌دامنه‌اش ( ) ( )fof x x- =1
(است. ]است‌که‌نمودارش‌به‌شکل) , )2 + ¥ و‌دامنه‌اش ( ) ( )f of x x- =1
،نمودار‌توابع‌وابسته‌به‌آن‌را‌این‌گونه‌رسم‌می‌کنیم: y f x= ( ) با‌فرض‌داشتن‌نمودار‌تابع ( , )a b >0 واحد‌به‌چپ a y f x aÜ = +( ) واحد‌به‌راست a y f x aÜ = -( )واحد‌به‌پایین b y f x bÜ = -( ) واحد‌به‌باال b y f x bÜ = +( )
قرینه‌نسبت‌به‌محورyها Ü = -y f x( )قرینه‌نسبت‌به‌محورxها Ü = -y f x( )
ضرب‌می‌شود)yها‌ثابت‌می‌ماند(. 1k
طول‌نقاط‌در Ü =y f kx( )
عرض‌نقاط‌درkضرب‌می‌شود)xها‌ثابت‌می‌ماند(. Ü =y kf x( )
(باشد،داریم: به‌شکل) f x( ) برای‌مورد)5(و)6(مثال‌می‌زنیم.اگر‌نمودار‌تابع
148
قسههمت‌بههاالی Ü =y f x| ( ) |محورxها‌بدون‌تغییر‌می‌ماند‌و‌قسههمت‌پایین‌محههورxها،نسههبت‌بههه‌آن‌قرینه
می‌شود.
Þ
kxو -x ، x a± در‌موارد)1(،)3(و)5(حواستان‌باشد‌که‌در‌ضابطءه‌تابع،جایxها،به‌ترتیب x - 3 را‌بخواهیم3واحد‌به‌راست‌ببریم،باید‌جایxها، y x= -1 2 قرار‌می‌گیرد.مثالً‌اگر‌تابع y x x= - - = - +1 2 3 2 7( ) قرار‌دهیم:
f را نسبت به محور yها تعیین کرده، سپس 2 واحد به طرف xهای x x( ) == قرینءه نمودار تابعانتقال می دهیم. نمودار حاصل، نیمساز ناحیءه اول و سوم را با کدام طول قطع می کند؟ مثبت )تجربی خارج 97(
1 5/ )4 1)3 0 5/ )2 -2 )1مراحل‌را‌به‌ترتیبی‌که‌سؤال‌گفته،انجام‌می‌دهیم: گزینءه »3«
می‌گذاریم: -x برای‌قرینه‌کردن‌نسبت‌به‌محورyها،جایxها،
y x y x= Þ = - می‌گذاریم: x - 2 برای2واحد‌به‌سمت‌راست‌بردن،جایxها،
y x y x x= - Þ = - - = -( )2 2
2 - =x x قطع‌می‌دهیم: y x= را‌با‌خط y x= -2 تابع‌تساوی‌باال‌برقرار‌است. x اگر‌گزینه‌ها‌را‌چک‌کنیم‌فقط‌به‌ازای1=
اگر‌این‌انتقال‌ها‌با‌هم‌ترکیب‌شوند،ترتیب‌اثر‌دادنشان‌به‌صورت‌زیر‌است: a f b x c d
¯ ¯ ¯ ¯+ +
³¼w ³»j Ï»H ³nI¿a
( )
y f x= - - +( )2
1 (باشد‌و‌بخواهیم‌نمودار1 به‌صورت) y f x= ( مثالً‌اگر‌نمودار‌تابع(را‌رسم‌کنیم،این‌جوری‌می‌شود:
SLvº ¾¹Äo¤IÀ n¼d¶ ¾M
keH»¯IM ¾M
IÀj
yx
f x- - +
¯
¯
®
32
1 4
11
21 1( )
¼¼{ï¶ oMHoMkeH»
SwHn ¾M2
1
SwHn ¾M keH» 1¾ ®¾¾¾¾
oMHoM IÀkº¼{ï¶
2 x¾ ®¾¾¾
149
¾M SLvº ¾¹Äo¤
IÀy¾ ®¾¾¾¾ keH»¯IM
1¾ ®¾¾
این‌جوری‌بود: y x= 3 ملقب‌به‌لر‌و‌وارونش‌یعنی y x= 3 شکل‌تابع
دوتا‌اتحاد‌مکعب‌روبه‌رو‌را‌هم‌بلد‌باشید:
( )
( )
x x x x
x x x x
± = ± + ±
± = ± + ±
ìíï
îï
1 3 3 1
2 6 12 8
3 3 2
3 3 2
،باید‌از‌دلش y x x x= + + -3 23 3 2 با‌این‌دوتا‌اتحاد‌ممکن‌است‌بازی‌کنند.مثالً‌برای‌رسم‌تابع
را‌بیرون‌بکشید: ( )x +1 3
y x x x y x x= + + - ¾ ®¾¾¾¾¾ = +- +3 2 1 1 3 23 3 2 3
» ·I¶j¼i´Ã¹¨ï¶ ¾ÎIòH Hn ++ -+ -3 21 1x
= + -( )x 1 33
را‌یک‌واحد‌به‌چپ‌و3واحد‌به‌پایین‌می‌بریم. y x= 3 ،تابع y x= + -( )1 33 پس‌برای‌رسم‌تابع
y را نسبت به محور yها قرینه و سپس 3 واحد به سمت x x x== -- ++ --3 26 12 3 نمودار تابع
y را با کدام طول، قطع می کند؟ == راست می بریم. تابع جدید، خط328)4 -8 )3 2)2 -2 )1
را‌اضافه‌می‌کنیم: +8 و -8 بیرون‌بکشیم.عدد ( )x - 23 از‌ضابطءه‌تابع‌باید گزینءه »1«
y x x x x
x
= - + - = - +- +
-
3 2
2
36 12 3 2 58 8
3( )
( )� ���� ����
می‌گذاریم: -x اول‌ضابطه‌‌را‌نسبت‌به‌محورyها‌قرینه‌می‌کنیم،سپس‌جایxها، y x= - - +( )2 5
3
می‌گذاریم: x - 3 بعد‌آن‌را3واحد‌به‌راست‌می‌بریم،یعنی‌جایxها، y x x= - - - + = - + +( ( ) ) ( )3 2 5 1 5
3 3 قطع‌می‌دهیم: y = حاال‌آن‌را‌با‌خط32
( ) ( )- + + = Þ - + = Þ - + = Þ = -x x x x1 5 32 1 27 1 3 23 3
150
x x f x f x2 1 2 1
> Þ ³( ) ( ) در‌تعریف‌ریاضی‌تابع‌صعودی،داریم:ولی‌در‌تعریف‌ریاضی‌تابع‌اکیداً‌صعودی،مساوی‌باال‌حذف‌می‌شود:
x x f x f x2 1 2 1
> Þ >( ) ( ) ما‌معموالً‌برای‌تشخیص‌صعودی‌یا‌نزولی‌بودن‌مجبوریم،نمودار‌رسم‌کنیم.
با‌حرکت‌از‌چپ‌به‌راست‌روی‌نمودار،اگر‌نمودار‌تابع‌فقط‌رو‌به‌باال‌برود،تابع‌اکیداً‌صعودی‌است‌و‌اگر‌هم‌باال‌برود‌و‌هم‌خط‌افقی‌شود،تابع‌صعودی‌است.
تابع‌ثابت،تابعی‌هم‌صعودی‌و‌هم‌نزولی‌است.اگر‌قسمتی‌از‌یک‌تابع،صعودی‌و‌قسمت‌دیگرش‌نزولی‌باشد،آن‌تابع‌غیریکنوا
است،مثل‌این:
)تجربی خارج 98( f در کدام بازه، اکیداً صعودی است؟ x x x( ) | | | |== ++ -- --1 2 تابع با ضابطءه ( , )2 + ¥ )4 ( , )-1 2 )3 ( , )1 + ¥ )2 ( , )-¥ 2 )1
نمودار‌رسم‌می‌کنیم.اگر‌یادتان‌باشد‌شکل‌این‌توابع،آبشاری‌می‌شد!کافی گزینءه »3«است‌چهارتا‌نقطه‌بدهیم:
oUï¦a¼¨ ¾zÄn ¾zÄn oUï©nqM
- -- -
xy
2 1 2 3
3 3 3 3
اکیداً‌صعودی‌است. ( , )-1 2 ]یا , ]-1 2 این‌تابع‌در‌بازءه‌می‌شد. اگر‌جای»اکیداً‌صعودی«می‌گفت»صعودی«،جواب
)با‌حذفfها‌عالمت‌برنمی‌گردد( a b> ،نتیجه‌می‌گیریم f a f b( ) ( )> در‌تابع‌اکیداً‌صعودی‌اگربرمی‌گردد(. )عالمت a b< می‌گیریم نتیجه ، f a f b( ) ( )> از باشد نزولی اکیداً f اگر ولی
، به کدام صورت است؟ y f x f x== --( ) ( )1 f باشد، دامنءه تابع x(x) == 2 اگر
)ریاضی خارج 93( [ , ) ( , ]-1 0 0 1 )2 - -( , )1 1 )1 ( , ] ( , ]-¥ -1 0 1 )4 [ , ) [ , )- + ¥1 0 1 )3
151
عبارت‌زیر‌رادیکال‌را‌بزرگ‌تر‌یا‌مساوی‌صفر‌قرار‌می‌دهیم: گزینءه »4«
fx
f x fx
f x( ) ( ) ( ) ( )10
1- ³ Þ ³
1x
x³ تابعی‌اکیداً‌صعودی‌است،پس‌با‌حذفfها،عالمت‌برنمی‌گردد. f x x( ) = 2
نامعادلءه‌به‌دست‌آمده‌را‌حل‌می‌کنیم: 1 0
10
1 10
2
xx x
xx xx
- ³ Þ - ³ Þ - + ³( ) ( ) جدول‌تعیین‌عالمت‌می‌کشیم:
-
+ - + -
1 0 1
0 0®¨ R·
JH¼] JH¼]
( , ] ( , ]-¥ -1 0 1
باشد،تابع‌اکیداً‌نزولی‌است. a تابع‌اکیداً‌صعودی‌و‌اگر0> a ،اگر0< y ax b= + در‌تابع‌خطی
y در یک بازه اکیداً نزولی است. ضابطءه معکوس آن x x x== -- -- ++ ++| | | |2 6 4 نمودار تابع)ریاضی 94( در این بازه کدام است؟
- + >x x5 2; )2 - + < -x x6 4; )1
- + - < <1
21 4 10x x; )4 - + - < <1
21 4 3x x; )3
-4 تابع‌را‌به‌صورت‌چندضابطه‌ای‌می‌نویسیم.ریشه‌های‌قدرمطلق‌ها،3و گزینءه »4« y x x x= - - + +| | | |2 6 4 است.
Þ³ = - - + + = -
- < < = - + - + + = - +£ -
x y x x x xx y x x x x
x
3 2 6 4 2 10
4 3 2 6 4 2 2
4
: ( ): ( )
: yy x x x= - + - - - + =
ì
íï
îï
2 6 4 10( )
، y x= - +2 2 با‌ضابطءه - < <4 3x فقط‌شیِب‌ضابطءه‌وسطی،منفی‌شد،پس‌تابع‌در‌بازءهاکیداً‌نزولی‌است.
y x x y x y= - + Þ = - + Þ = - +2 2 2 21
21 وارونش‌را‌به‌دست‌می‌آوریم:
ÁI] ·jo¨ Ƽø»y x y x¾ ®¾¾¾¾¾ = - +1
21
است.فقط‌چیزی‌که‌خیلی‌مهمه‌و‌اغلب‌اشتباه y x= - +1
2پس‌ضابطءه‌وارون‌به‌صورت1
بازءه را‌در f x x( ) = - +2 2 برد باید ما fمی‌شود. برد وارون‌است‌که تابع می‌کنند،دامنءه‌‌حساب‌کنیم.چونfخطی‌است،سروته‌بازءه‌دامنه‌اش‌را‌می‌دهیم‌تا‌بردش‌به‌دست‌آید. ( , )-4 3
ff
Rf( )( )
( , )- =
= -Þ = -
4 10
3 44 10
است. ( , )-4 10 در‌این‌بازه، f پس‌دامنءه1-
152
)ریاضی خارج 91(6 160 ) چگونه است؟ ( )) ( )f x f x2 -- ، تابع f x xx
( ) == ++2
2
1 اگر
4(یک‌به‌یک 3(فرد 2(همانی 1(ثابت)g کدام است؟6 161 )--2 f باشد، مقدار a a a g( ) ( )2 5 11 1
2-- == ++ ++ == اگر f تابعی همانی و g تابعی ثابت و -5 )4 5)3 -3 )2 3)1
b کدام است؟6 162 a-- D باشد، حاصل bf == -- { f به صورت{ x ax xx x a
( ) == ++ ++++ ++
2
2
4 4
6اگر دامنءه تابع
-12 )4 12)3 -6 )2 6)1، کدام است؟6 163 xf x( ) y است. دامنءه تابع با ضابطءه f x== --( )2 شکل زیر، نمودار تابع
)تجربی خارج 94( [ , ] [ , ]-1 1 0 6 )1 [ , ] [ , ]-3 1 0 2 )2
[ , ] [ , ]- - -5 3 1 2 )3 [ , ] [ , ]- -5 3 0 2 )4
b کدام است؟6 164 k++ ) باشد، مقدار , )--11 k ، بازءه f xff x x b
( ): ( , )( )
==-- ÞÞ== -- ++
ììííîî
2 3
4
اگر برد تابع
10)4 -10 )3 50)2 -50 )1
f به کدام صورت است؟6 165 xx x
x x( ) ==
-- -- ££-- >>
ììííïï
îîïï
0
10
نمودار تابع
)2 )1
)4 )3
در کدام گزینه، توابع f و g، مساوی اند؟6 166 g x x( ) log= 2 و f x x( ) log= 2 )2 g x x( ) ( )= 2 و f x x( ) | |= )1
g x xx
( ) =-1 و f x x
x( ) =
-1)4 g x x
x( ) | |= و f x x
x( )
| |= )3
153
a کدام است؟6 167 b c d++ ++ ++ g برابر باشند، مقدار x x dax bx c
( ) == ++++ ++
22 f و x x( ) ==
--2
3اگر دو تابع
-8 )4 -6 )3 -4 )2 -2 )1مقدار6 168 باشد، یک به یک تابع ، f a a a b== -- --{( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}3 2 5 3 2 1 4
2 رابطءه اگر )ریاضی خارج 86( a کدام است؟ b++
5)4 3)3 2)2 1(صفر
یک به یک نیست. A کدام می تواند باشد؟6 169f A B
f x x x
:
( )
®®
== ++ --
ììííïï
îîïï 2 8 32
تابع
[ , ]-2 2 )4 ( , )-¥ - 2 )3 ( , )-3 0 )2 ( , )0 4 )1
)تجربی خارج 95(6 170 ، چگونه است؟ f با دامنءه x x( ) | |== 3 تابع با ضابطءه4(یک‌به‌یک 3(وارون‌ناپذیر 2(صعودی 1(نزولی
، خط d می نامیم. عرض از مبدأ خط 6 171 y x== 3 را نسبت به خط 2 4y x-- == قرینءه خط به معادلءه)تجربی 97( d کدام است؟
2)4 1)3 -1 )2 -2 )1y و نیمساز ناحیءه اول 6 172 f x== ( ) شکل روبه رو، نمودار تابع
، کدام است؟ x f x-- --1( ) با ضابطءه و سوم است. دامنءه تابع )تجربی 94( ( , ]0 2 )1
[ , ]2 3 )2 [ , ]2 8 )3 [ , ]3 8 )4
)تجربی 92(6 173 ، به کدام صورت است؟ y x== -- --2 1 ضابطءه معکوس تابع
y x x x= - + - £24 5 2; )2 y x x x= - + £2
4 5 2; )1
y x x x= - + - ³24 5 1; )4 y x x x= - + ³2
4 5 1; )3x باشد، ضابطءه وارون آن کدام است؟6 174 ³³ 3 y با دامنءه x x== -- ++ --2
6 5 اگر
4 3 3- + £x x; )2 4 3 4- + £x x; )1
- - + ³x x4 3 3; )4 - - + ³x x4 3 4; )3
)تجربی 96(6 175 ، کدام است؟ f xx x
x x( ) ==
³³
-- -- <<
ììííïï
îîïï
00
ضابطءه وارون تابع
-x x| | )4 x x| | )3 x2 )2 -x2 )1، در یک بازه، نزولی است. ضابطءه معکوس آن در این بازه، کدام است؟6 176 y x x== --| |2 تابع با ضابطءه
)تجربی 94( 1 1 1- - <x x; )2 1 1 0- + <x x; )11 1 0 1- - < <x x; )4 1 1 0 1+ - < <x x; )3
154
f کدام است؟6 177 x--1( ) f باشد، ضابطءه x x x( ) ( )== ++ ++1
24
2 اگر
2x
x- )4 xx
- 2 )3 1x
x- )2 xx
- 1 )1
178 6 g == -- -- -- -- --{( , ),( , ),( , ),( , )}2 1 1 4 3 2 4 3 f و xx x
x x( ) ==
³³
-- -- <<
ììííïï
îîïï
00
دو تابع با ضابطه های
)ریاضی خارج 93( g باشد، a کدام است؟ f a-- ==13( ( )) مفروض اند. اگر
4)4 2)3 -1 )2 -4 )1) باش�د، a کدام 6 179 )( )gof a == 5 g و x( ) {( , ),( , ),( , ),( , )}== 1 2 5 4 6 5 2 3 ، f x x x( ) == ++ اگر
)تجربی 91( است؟ 4)4 3)3 2)2 1)1
به 6 180 نقطه دو در را xها f محور تابع نمودار اگر است. مفروض g x x x( ) == -- با ضابطءه تابع
-- قطع کند، آن گاه نمودار تابع fog، محور xها را با کدام طول قطع می کند؟ 1
4طول های 6 و
)ریاضی خارج 94( 4(9و4 و4 14
)3 14
2(9و 191(4و
باشند، 6 181 تابع دو g == {( , ),( , ),( , ),( , )}2 3 4 2 5 6 3 1 و f == {( , ),( , ),( , ),( , )}1 2 2 5 3 4 4 6 اگر)ریاضی خارج 98( ، کدام است؟ ( )g of f-- --1 برد تابع
{ , }2 1- )4 { , }3 4 )3 { , }2 3 )2 { , }-1 4 )1
کدام 6 182 ، ( )( ) ( )(x)gof x fog== معادلءه جواب باشند، g x x( ) == ++ 4 و f x xx( ) == --
++2 1
2اگر
)تجربی خارج 97( است؟ 4(7و1 -1 3(7و و1 -7 )2 -1 و -7 )1
)تجربی 97(6 183 ، برابر کدام است؟ f x( ) f باشد، ضابطءه x( x ) x2 3 4 14 132-- == -- ++ اگر
x x22 1- - )2 x x2
3- + )1 x x2
1- + )4 x x22 1- + )3
g باشند، ضابطءه تابع fog، کدام است؟6 184 f x x x( ( )) == ++ ++8 22 202 f و x x( ) == ++2 3 اگر
)ریاضی 92( 2 3 72x x- + )2 2 7 3
2x x- + )1 4 4 11
2x x- + )4 4 2 132x x- + )3
) کدام می تواند باشد؟6 185 )( )f g x++ ، آن گاه ( )(x) xfog x== ++ --2 2 f و x x x( ) == -- --2 2 اگر)تجربی خارج 90(
x x2 2+ )4 x x2 2- )3 x2 1+ )2 x2 1- )1
g باشند، دامنءه تابع fog، کدام است؟6 186 x x x( ) log( )== --215 f و x x( ) == --2 اگر
)ریاضی خارج 95( [ , ) ( , ]-5 0 15 20 )2 ( , ] [ , )0 5 20 25 )1 [ , )-5 0 )4 ( , ]15 20 )3
155
، کدام است؟6 187 ( )( )g of-- --1 18 g باشند، مقدار x x x( ) == ++3 f و x x( ) == --2
54 اگر
)تجربی خارج 98( 3)4 2 5/ )3 2)2 1 5/ )1
y کدام است؟6 188 fof== --( )(x)1 f باشد، نمودار تابع x xx( ) == --
++2 1
3اگر
)4 )3 )2 )1
y را 3 واحد به طرف xهای مثبت، سپس 2 واحد به طرف yهای 6 189 x x== -- ++ ++22 نمودار تابع5
)ریاضی 98( منفی انتقال می دهیم. نمودار جدید در کدام بازه، باالی نیمساز ربع اول است؟ ( , )2 6 )4 ( , )3 5 )3 ( , )2 5 )2 ( , )3 4 )1
y را، 4 واحد به طرف xهای منفی و یک واحد به طرف yهای مثبت 6 190 x== --| |1
22 نمودار تابع
)تجربی 93( انتقال می دهیم. نمودار جدید و نمودار اولیه، با کدام طول متقاطع اند؟ -2 )4 -2 5/ )3 -3 )2 -3 5/ )1
191 6 y f x== --2 1( y به صورت روبه رو است. نمودار تابع( f x== ( ) تابعبه کدام صورت است؟
)2 )1
)4 )3
تابع6 192 برد و دامنه اشتراک است. روبه رو شکل به f تابع نمودار y کدام است؟ f x== ++ --2 1 2 3( )
[ , ]-1 1 )2 { }-1 )1 [ , ]-1 0 )4 [ , ]-3 1 )3
y به صورت مقابل است. مقدار6 193 x bx cx d== -- ++ ++ ++3 2 نمودار تابع
b کدام است؟ cd--
2)2 1)1 -1 )4 3)3
156
)تجربی 98(6 194 ، در کدام بازه، اکیداً نزولی است؟ f x x x( ) | | | |== ++ ++ --2 1 تابع با ضابطءه ( , )1 + ¥ )4 ( , )-2 1 )3 ( , )-¥ 1 )2 ( , )-¥ - 2 )1
f تابعی اکیداً نزولی است. محدودءه m کدام است؟6 195 m m m== -- -- -- ++{( , ),( , ),( , )}2 5 1 2 1 4 11 تابعÆ )4 - < <3 2m )3 m < -3 )2 m > 2 )1
کدام یک از توابع زیر در دامنءه خود، اکیداً نزولی است؟6 196
f x x x( ) | |= - 2 )2 f x x x( ) | |= 2 )1
f x x x( ) | |= - )4 f x x x( ) | |= )3
197 6 a ) اکیداً یکنوا باشد، حداکثر مقدار , ]--¥¥ a f در بازءه x x x x( ) ( ) | |== -- ++ --22 1 1 اگر تابع
کدام است؟4)4 3(صفر 2)2 1)1
f اکیداً نزولی است، نمودار آن با نمودار 6 198 x x x( ) | | | |== -- ++ --2 3 در بازه ای که تابع با ضابطءه)تجربی 97( ، در چند نقطه مشترک هستند؟ g x x x( ) == -- --2 10
2 تابع2)2 1)1
4(فاقد‌نقطءه‌مشترک 3)3f در یک بازه، صعودی است. ضابطءه معکوس آن، در 6 199 x( ) | x | | x |== -- -- ++2 6 1 تابع با ضابطءه
)تجربی خارج 94( این بازه، کدام است؟ 13
2 3x x+ >; )2 - + >x x7 8; )1
12
1 4 8x x- - < <; )4 x x+ > -7 4; )3
157
را‌تشکیل‌می‌دهیم:6 160 f x( ) تابع گزینءه »1«
f x xx
f x xx
xx
( ) ( ) ( )( )
= + Þ = + = +2
2
2
2
1 1 1 ادامه‌می‌دهیم:
( ( )) ( ) ( ) ( )f x f x xx
xx
xx
xx
2 2 2
2
2
2
2
2
1 1 12
12- = + - + = + + - - =
پس‌این‌تابع‌یک‌تابع‌ثابت‌است.،در‌نتیجه:6 161 f a a( )2 2- = - fهمانی‌است،پس گزینءه »3«
2 5 11 6 9 0 3 0 32 2 2- = + + Þ + + = Þ + = Þ = -a a a a a a a( )
g( ) ( )1 2 3 5= - - = 2برابر‌بود: - a با g( )1 از‌طرفی‌هم5می‌شود. g( )-2 چونgتابع‌ثابت‌است،پس
162 6 x x a26+ + دامنءهfفقط‌شامل‌یک‌عدد)b(نمی‌شود،پس‌مخرجfیعنی گزینءه »4«
DZoh¶ = Þ - = Þ =0 36 4 0 9a a باید‌یک‌ریشءه‌مضاعف‌داشته‌باشد:،ریشءه‌مخرج‌را‌پیدا‌می‌کنیم: a = 9 با‌شرط
x x x x2 26 9 0 3 0 3+ + = Þ + = Þ = -( )
b a- = - - = -3 9 12 باشد‌و‌در‌نتیجه: -3 پسbباید‌را‌اگر2واحد‌به‌راست‌ببریم6 163 f x( ) نمودار گزینءه »4«
.پس‌االن‌باید2واحد‌ببریمش‌به‌چپ‌تا‌به f x( )- 2 می‌شود‌برسیم. f x( ) نمودار‌خود
xf x( ) ³0 برای‌دامنه،زیر‌رادیکال‌باید‌بزرگ‌تر‌و‌یا‌مساوی‌صفر‌باشد:هم، f x( ) برای‌حل‌این‌نامعادله،جدول‌تعیین‌عالمت‌می‌کشیم.تعیین‌عالمتxکه‌کاری‌ندارد.برای‌قرار‌می‌دهیم: - و‌هر‌جا‌زیر‌محورxهاست،عالمت + هر‌جا‌که‌نمودارش‌باالی‌محورxهاست،عالمت - -
- - - + ++ - + + -- + - + -
Þ Î - -
5 3 0 2
0
0 0 0
0 0 0 0
5 3 0 2xf xxf x
x( )( )
[ , ] [ , ]∪
JH¼]] JH¼]� �� �� ��� ��
،محدودءه‌برد‌را‌پیدا6 164 - < <2 3x است.از‌نامساوی ( , )-2 3 دامنءه‌تابع‌بازءه گزینءه »4«می‌کنیم:
- < < ¾ ®¾¾ - < - < ¾ ®¾ - + < - + < +´ - +2 3 12 4 8 12 4 8
4x x b x b bb( ) Þ = - + +joM ( , )12 8b b
158
برابر‌است: ( , )- + +12 8b b با‌بازءه ( , )-11 k پس‌بازءهÞ
- + = - Þ =+ = Þ =
ìíî
12 11 1
8 9
b bb k k
b k+ = + =1 9 10 در‌نتیجه:را‌نسبت‌به‌محور6 165 y x= تابع گزینءه »2«
و‌بعد‌نسبت‌به‌محور ( )y x= - yها‌قرینه‌می‌کنیم.این‌شکلی‌می‌شود: ( )y x= - - xها‌قرینه‌می‌کنیم
آن بلدیم. را y
x= 1 نمودار
قرینه xها محور به نسبت را x قسمت0< فقط و می‌کنیم
را‌نگه‌می‌داریم: Þ
پس‌شکل‌نهایی‌این‌است:
دامنه‌ها‌با‌هم‌برابر‌نیست.6 166 و ، در گزینءه »3«Dg = + ¥[ , )0 Dfو =
2logبرابر‌است. | |x با log x2 Dg.یادتان‌باشد‌که = + ¥( , )0 Dfو = - { }0،gبرای‌دامنءه.Df = + ¥( , )1 ،اشتراک‌می‌گیریم: x >1 و x برای‌دامنءهf،بین‌دو‌شرط³0
Dg = -¥ + ¥( , ] ( , )0 1 را‌حل‌می‌کنیم: xx -
³1
0 نامعادلءه
1 0
1 0
xx
>- <
ìíî
است‌و‌ضابطءه‌هر‌دو‌به‌صورت -{ }0 هر‌دو‌شرط‌را‌دارند.دامنءه‌هر‌دو فقط‌توابع‌درمی‌آید.
دامنءه‌تابعf،فقط‌عدد3را‌شامل‌نمی‌شود.دامنءهgباید‌با‌دامنءهfبرابر‌باشد،6 167 گزینءه »1«باشد.پس‌در‌صورت ( )x - 3
2 پس‌مخرجgباید‌ریشءه‌مضاعف3بدهد،یعنی‌به‌صورت‌ضریبی‌ازهای‌مخرج‌ساده‌شود،در‌نتیجهgباید‌این‌جوری‌باشد: x - 3 باشد‌که‌با‌یکی‌از x - 3 gباید
g xx
xx x
d
a b c
(x) ( )( )
= -
-= -
- +
¯ ¯ ¯
2 3
3
2 6
1 6 92 2
a b c d+ + + = - + - = -1 6 9 6 2 پس:
159
168 6 a a2 - داریههم.برای‌تابع‌بههودن‌باید ( , )3 2 و ( , )32a a- دو‌زوج‌مرتههب گزینءه »4«
مساوی2باشد: a a a a
aa
2 22 2 0
1
2- = Þ - - = Þ
= -=
ìíî
تابع رابطه، می‌شود باعث که داریم ( , )-1 5 و ( , )-1 4 زوج‌مرتب دو آن‌وقت باشد، a = اگر1-،مؤلفه‌های‌دوم‌برابر‌دارند.برای ( , )3 2 و ( , )b 2 قبول‌است.دو‌زوج‌مرتب a = 2 نباشد،پس‌فقط
باشد. b = 3 یک‌به‌یک‌بودن‌رابطه،باید a b+ = + =2 3 5 در‌نتیجه:
طول‌رأس‌سهمی‌را‌حساب‌می‌کنیم:6 169 گزینءه »2« x b
aS = - = - = -2
8
2 22
( )
یعنی‌شکل‌حدودی‌سهمی‌این‌جوری‌است:
باشد -2 برای‌آن‌که‌تابع‌یک‌به‌یک‌باشد،باید‌دامنه‌یعنیAرا‌به‌گونه‌ای‌انتخاب‌کنیم‌که‌یا‌قبل‌از
داخل‌بازه‌می‌افتد،پس‌یک‌به‌یک‌نیست. -2 ،عدد ( , )-3 0 .االن‌به‌ازای -2 یا‌بعد‌از‌را‌می‌کشیم:6 170 y x= 3 تابع گزینءه »3«
تابع که است واضح بیاوریم. باال را xها محور زیر قسمت‌های است کافی ، y x= | |3 رسم برای
یک‌به‌یک‌نیست،پس‌وارون‌پذیر‌نیست.
قرینه6 171 ( )y x= وقتی‌سؤال‌می‌گوید‌تابعی‌را‌نسبت‌به‌نیمساز‌ربع‌اول‌و‌سوم گزینءه »1«
،جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم: 3 2 4y x- = کنید؛یعنی‌وارونش‌را‌می‌خواهد.در‌ضابطءه 3 2 4x y- =
بعدyرا‌برحسبxمی‌نویسیم:2 3 4
3
22y x y x= - Þ = -
¯
áHkL¶ pH Æoø
عبارت‌زیر‌رادیکال‌را‌بزرگ‌تر‌یا‌مساوی‌صفر‌می‌گذاریم:6 172 گزینءه »4« x f x x f x- ³ Þ ³- -1 1
0( ) ( )
160
را‌می‌کشیم: f -1 نمودار
است؟روی‌نمودار‌به‌ازای y f x= -1( ) باالتر‌از y x= ،یعنی‌کجاها،تابع x f x³ -1( ) نامعادلءه
[ , ]3 8 است،پس‌جواب‌همین‌است: f -1 ،نیمساز‌ربع‌اول‌و‌سوم‌باالتر‌از 3 8£ £xوارون6 173 تابع دامنءه همان که اولیه تابع برد اول گزینءه »1«
است‌را‌حساب‌می‌کنیم:
R Df f= = -¥-1 2( , ] با‌توجه‌به‌نمودار،داریم:
حاال‌می‌رویم‌سراغ‌ضابطه.xرا‌برحسبyمی‌نویسیم:
y x x y x y y= - - Þ - = - ¾ ®¾¾ - = - +2 1 1 2 1 4 42 2 ·H¼U
Þ = - +x y y24 5
y x x= - +24 5 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
است. ( , ]-¥ 2 و‌دامنه‌اش y x x= - +24 5 پس‌ضابطءه‌وارون
باید‌تابع‌را‌مربع‌کامل‌بنویسیم:6 174 گزینءه »1« y x x y x x= - + - Þ = - - +2 2
6 5 6 5( ) داخل‌پرانتز،عدد9را‌اضافه‌و‌کم‌می‌کنیم:
y x x x x= - - + - + = - - + +( ) ( )2 26 9 9 5 6 9 4
Þ = - - +y x( )3 42
( ) | |x y x y- = - ¾ ®¾¾ - = -3 4 3 42 nm] حاالxرا‌برحسبyمی‌نویسیم:
،داخل‌قدرمطلق‌مثبت‌است،پس‌خودش‌بیرون‌می‌آید: x ³ 3 با‌دامنءه
x y x y- = - Þ = - +3 4 4 3 y x= - +4 3 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:نمودار کنیم. را‌حساب Rf باید Df -1 به‌جای . f دامنءه1- یعنی داستان، مهم جای به رسیدیم
را‌می‌کشیم: x ³ 3 با‌دامنءه y x= - - +( )3 42
Þ = = -¥-D R
f f1 4( , ]
161
نمودارfرا‌می‌کشیم:6 175 گزینءه »3«
قرینه‌کنیم،نمودار‌روبه‌رو‌به‌دست‌می‌آید: y x= اگر‌آن‌را‌نسبت‌به
است‌که‌چند‌باری‌هم‌در‌کنکور‌آمده‌است. y x x= | نمودار‌مربوط‌به‌تابع|
اول‌تابع‌را‌دوضابطه‌ای‌می‌نویسیم:6 176 گزینءه »3«
y x xx x xx x x
= - =- ³
- + <ìíî
| |( )( )
22 2
2 2
نمودار‌را‌رسم‌می‌کنیم:
است. y x x= - -( )2 نزولی‌اکید‌است.ضابطءه‌آن‌در‌این‌بازه‌به‌صورت ( , )1 2 تابع‌رسم‌شده‌در‌بازءه
برای‌به‌دست‌آوردن‌وارون،باید‌آن‌را‌مربع‌کامل‌بنویسیم: y x x x x x
x
= - - = - - + - = - - +
-
( ) ( ) ( )
( )
2 2
1
22 2 1 1 1 1
2
� �� ��
xرا‌برحسبyمی‌نویسیم:
y x x y x y= - - + Þ - = - ¾ ®¾¾ - = -( ) ( ) | |1 1 1 1 1 12 2 nm]
1،داخل‌قدرمطلق‌مثبت‌می‌شود: 2< <x به‌ازای x y x y- = - Þ = - +1 1 1 1
y x= - +1 1 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:است. ( , )0 1 Dهمان
f -1 است،پس ( , )0 1 1،بازءه 2< <x برد‌تابعfبه‌ازای
،اول‌دو‌طرف‌را‌در62 177 y x x= + +1
24
2( ) برای‌تنهاکردنxدر‌رابطءه گزینءه »1«ضرب‌می‌کنیم:
2 42y x x= + +
بعد‌رادیکال‌را‌تنها‌می‌کنیم‌و‌طرفین‌را‌به‌توان2می‌رسانیم:
2 4 4 4 42 2 2 2 2y x x y xy x x- = + ¾ ®¾¾ - + = + ·H¼U
162
Þ - = ¾ ®¾ - = Þ = -¸4 4 4 1
12 4 22
y xy y xy x yy
y xx
xx
= - = -2
1 1 جایxوyرا‌عوض‌می‌کنیم:
178 6. f a b( ) = می‌توانیم‌نتیجه‌بگیریم f b a- =1( ) گفتیم‌از گزینءه »1«
. g f a( ) ( )3 = ،نتیجه‌می‌گیریم g f a- =13( ( )) این‌جا‌هم‌از
- =2 f a( ) ،مقدارش‌را‌می‌گذاریم: g( )3 جای. a = -4 است.پس -2 ،برابر f ( )-4 با‌توجه‌به‌ضابطءهf،فقط‌مقدار
باید66 179 f a( ) درg،نتیجه‌می‌گیریم‌که ( , )6 5 و‌زوج‌مرتب g f a( ( )) = 5 از گزینءه »4«،که‌باید‌مساوی‌با6قرار‌دهیم: a a+ می‌شود f a( ) باشد.
a a a+ = ¾ ®¾¾ =6 4IÀï¾¹Äq¬
و6 180 f ( )6 0= قطع‌کرده،پس x = - 1
4و x = 6 نمودارf،محورxها‌را‌در گزینءه »2«
. f ( )- =1
40
را‌حل‌کنیم.با‌توجه‌به‌این‌که f g x( ( )) =0 محورxها‌را‌قطع‌کند،باید‌معادلءه f g x( ( )) اگر‌تابع
باشد: - 1
4باید6و g x( ،صفر‌می‌شود،پس( x = - 1
4و x = 6 fدر
g x x x( ) = Þ - =6 6
tke¾ ®¾¾ =x 9 )با‌توجه‌به‌گزینه‌ها‌بین4و9،فقط9جواب‌می‌دهد(
g x x x x x( ) = - Þ - = - Þ - + =1
4
1
4
1
40
ÍMo¶ jIdUH¾ ®¾¾¾ - = Þ = Þ =( )x x x1
20
1
2
1
4
2
به‌دست‌آید:6 181 g-1 جایxوyرا‌درgعوض‌می‌کنیم‌تا گزینءه »4« g- =1
3 2 2 4 6 5 1 3{( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )} ،xهایش‌را‌ازfمی‌گیرد: g of-1 تابع
x g f g= = = Þ- -1 1 2 4
1 1: ( ( )) ( ) را‌می‌دهد ( , )1 4 زوج‌مرتب x g f g= = = Þ- -
2 2 51 1: ( ( )) ( ) jnHkº
x g f g= = = Þ- -3 3 4
1 1: ( ( )) ( ) jnHkº x g f g= = = Þ- -
4 4 6 51 1: ( ( )) ( ) را‌می‌دهد ( , )4 5 زوج‌مرتب
، f ={( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )}1 2 2 5 3 4 4 6 و h g of= =-11 4 4 5{( , ) , ( , داشتن{( با حاال
را‌تشکیل‌دهیم.با‌دامنءه‌مشترکhوfکار‌داریم: h f- می‌خواهیمD Dh f ={ , }1 4
163
حساب‌می‌کنیم: x = 4 و x =1 را‌در h f- مقدار‌تابع
x h f h fx h f h f
= - = - = - == - = - = - = -
Þ1 1 1 1 4 2 2
4 4 4 4 5 6 1
: ( ) ( ) ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( )
jjoM = -{ , }2 1
می‌گذاریم‌تاfogبه‌دست‌آید:6 182 x + 4 ،fهایxجای گزینءه »1«
f g x xx
xx
( ( )) ( )( )
= + -+ +
= ++
2 4 1
4 2
2 7
6
می‌گذاریم‌تاgofبه‌دست‌آید: 2 1
2
xx
-+
،gهایxیک‌بار‌هم‌جای
g f x xx
xx
( ( )) = -+
+ = ++
2 1
24
6 7
2
fogوgofرا‌برابر‌می‌گذاریم:
2 7
6
6 7
26 43 42 2 11 14
2 2xx
xx
x x x x++
= ++
Þ + + = + +
Þ + + = ¾ ®¾ + + =¸4 32 28 0 8 7 0
2 4 2x x x x Þ + + = Þ = - -( ) ( ) ,x x x1 7 0 1 7
183 62 33
2x t x t- = Þ = + 2راtمی‌گیریم: 3x - گزینءه »4«
می‌گذاریم: t + 3
2جایxها،
f x x x f t t tt
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 14 13 43
214
3
213
2 2- = - + Þ = + - + +
Þ = + - + + Þ = - +f t t t f t t t( ) ( ) ( ) ( )3 7 3 13 12 2
f x x x( ) = - +21 آخر‌سر‌هم‌جایx،tمی‌گذاریم:
،fکه‌تابع‌داخلی‌می‌شود‌را‌داریم.تابع‌داخلی‌راtمی‌گیریم:6 184 g f x( ( )) از گزینءه »3«
2 33
2x t x t+ = Þ = -
قرار‌می‌دهیم: t - 3
2،جایxها، g x x x( )2 3 8 22 20
2+ = + + در
g t t t g t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= - + - + Þ = - + - +83
222
3
220 2 3 11 3 20
2 2
Þ = - + + - + Þ = - +g t t t t g t t t( ) ( )2 12 18 11 33 20 2 52 2
g x x x( ) = - +2 52 جایtها،xمی‌گذاریم:
f g x x x x x( ( )) ( )= - + + = - +2 2 5 3 4 2 132 2 حاالfogرا‌تشکیل‌می‌دهیم:
می‌گذاریم:6 185 g x( ) ،جایxها، f x x x( ) = - -2 2 در گزینءه »1«
f g x g x g x( ( )) ( ) ( )= - -2 2
164
ای‌که‌سؤال‌داده‌برابر‌قرار‌می‌دهیم: f g x( ( )) صفحءه‌قبل‌را‌با f g x( ( )) g x g x x x2 22 2( ) ( )- - = + -
،مربع‌کامل‌می‌شود.پس 14با‌عدد x x2 + این‌جور‌وقت‌ها‌باید‌دو‌طرف‌را‌مربع‌کامل‌کنیم.عبارت
اضافه‌می‌کنیم: 14به‌دو‌طرف،
g x g x x x g x x2 2 2 21
4
1
4
1
2
1
2( ) ( ) ( ( ) ) ( )- + = + + Þ - = +
| ( ) | | |g x x- = +1
2
1
2جذر‌می‌گیریم:
دو‌حالت‌می‌شود:
g x x g x x
g x x g x x
( ) ( )
( ) ( )
- = + Þ = +
- = - - Þ = -
ì
íï
îï
1
2
1
21
1
2
1
2
را‌می‌سازیم: f g+ در‌هر‌دو‌حالت
f x g x x x
f x g x x x x x x
( ) ( ) ( ) (x ) x
( ) ( ) ( ) ( )
+ = - - + + = -
+ = - - + - = -
2 2
2 2
2 1 1
2 2 --
ìíï
îï 2
186 6 x DgÎ و g x Df( )Î دامنءهfogدوتا‌شرط‌داشت: گزینءه »2«
2 0 2- ³ Þ £x x برای‌دامنءهf،زیر‌رادیکال‌را‌بزرگ‌تر‌و‌یا‌مساوی‌صفر‌قرار‌می‌دهیم:برای‌دامنءهg،عبارت‌جلوی‌لگاریتم‌را‌بزرگ‌تر‌از‌صفر‌قرار‌می‌دهیم:
x x x x x x215 0 15 0 15 0- > Þ - > Þ > <( ) IÄ
x D x xgÎ Þ > <15 0IÄ االن‌هر‌دو‌شرط‌را‌اعمال‌می‌کنیم:
g x D x xfx
( ) log( )Î Þ - ££2
215 2
´Ãvļºï¶ , ÁI]2
100
2 215 100 15 100log log( ) log¾ ®¾¾¾¾¾ - £ Þ - £x x x x
Þ - - £ Þ - + £ Þ - £ £x x x x x215 100 0 20 5 0 5 20( ) ( )
بین‌شرط)1(و)2(اشتراک‌می‌گیریم:[ , ) ( , ]-5 0 15 20
187 6. g f- -1 18( ( )) یعنی ( ) ( )g of- -1 1
8 گزینءه »4«
را‌مساوی8قرار‌می‌دهیم: f x( ) را‌حساب‌کنیم. f -18( ) اول‌باید
f x x x x( ) = Þ - = Þ = Þ =82
54 8
2
512 30
. g-130( ) می‌شود g f- -1 1
8( ( )) و f - =18 30( ) پس
165
را‌مساوی30می‌گذاریم: g x( ) ، g-130( ) برای‌محاسبءه
g x x x x( ) = Þ + = ¾ ®¾¾ =30 30 33 IÀï¾¹Äq¬
. g- =130 3( ) پس
است.6 188 y x= تابع‌همانی‌بود،یعنی‌ضابطه‌اش fof تابع1- گزینءه »3«Rfمی‌شود. Dاست‌که‌آن‌هم
f -1 همان fof -1 فقط‌حواسمان‌به‌دامنه‌اش‌باشد.دامنءه
است. -{ }ac
،به‌صورت f x ax bcx d
( ) = ++
برد‌تابع‌هموگرافیک
هم f دامنءه1- پس است، -{ }2 صورت به f x xx
( ) = -+
2 1
3تابع برد باال، نکتءه به توجه با
است. -{ }2رسم‌کنیم: -{ }2 با‌دامنءه y x= در‌نتیجه‌ما‌باید
xها،6 189 جای برود، راست به واحد 3 ، y x x= - + +2
2 5 تابع آن‌که برای گزینءه »2«قرار‌می‌دهیم: x - 3
y x x x x x= - - + - + = - + - + - +( ) ( )3 2 3 5 6 9 2 6 52 2
Þ = - + -y x x28 10
ضابطه‌را‌منهای2می‌کنیم‌تا‌تابع2واحد‌به‌پایین‌برود:
y x x y x x= - + - - Þ = - + -( )2 28 10 2 8 12
را‌حل‌کنیم. f x g x( ) ( )> برای‌آن‌که‌ببینیم‌تابعf،کجا‌باالی‌تابعgاست،باید‌نامعادلءه‌را‌حل‌کنیم: f x x( ) > است،باید‌نامعادلءه y x= پس‌این‌جا‌برای‌این‌که‌ببینیمf،کجا‌باالی
f x x x x x x x( ) > Þ - + - > Þ - + <2 28 10 7 10 0
Þ - - < Þ < <( ) ( )x x x2 5 0 2 5
قرار6 190 x + 4 ،4واحد‌به‌چپ‌برود،جایxها، y x= -| |2 برای‌آن‌که‌تابع2 گزینءه »2«می‌دهیم: y x= + -| |4
22
y x= + -| |42
1 حاال‌یک‌واحد‌به‌آن‌اضافه‌می‌کنیم‌تا‌تابع1واحد‌باال‌برود:
| | | |x x2
24
21- = + - ضابطءه‌اولیه‌را‌با‌ضابطءه‌جدید‌مساوی‌قرار‌می‌دهیم:
| | | | | | | |x x x x- = + - Þ - + =4 4 2 4 2 طرفین‌را‌ضربدر2می‌کنیم:
جواب‌می‌دهد. x = -3 گزینه‌ها‌را‌چک‌می‌کنیم.فقط‌به‌ازای
166
را‌رسم‌می‌کنیم:6 191 y f x= - + 2 1
³¼w ³»j Ï»H
( ) مرحله‌به‌مرحله‌تابع گزینءه »3«
Oa keH» 1¾ ®¾¾¾
¸{ï¶ oMHoM IÀ2 y¾ ®¾¾¾¾¾ IÀ ¾M SLvº ¾¹Äo¤y¾ ®¾¾¾¾¾
192 6، f x( )2 1+ ]است.برای‌به‌دست‌آوردن‌دامنءه , ]-1 3 ،بازءه f x( ) دامنءه‌تابع گزینءه »2«و3قرار‌دهیم: 2را‌بین1- 1x + باید
- £ + £ ¾ ®¾ - £ £ ¾ ®¾ - £ £ Þ = -- ¸1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1
1 2x x x D [ , ]
f2،فقط‌عدد2پشت 2 1 3f x( )+ - ]است.برای‌به‌دست‌آوردن‌برد , ]0 2 ،بازءه f x( ) برد‌تابع].بعد3واحد‌از‌دو‌سر‌آن‌کم , ]0 4 نقش‌دارند.اول‌دو‌سر‌بازه‌را‌در2ضرب‌می‌کنیم: -3 و‌عددR = -[ , ]3 1 می‌کنیم:D R = - - = -[ , ] [ , ] [ , ]1 1 3 1 1 1 حاال‌بین‌دامنه‌و‌برد‌اشتراک‌می‌گیریم:
را‌انتقال‌دهیم‌و‌نسبت‌به‌محورها‌قرینه‌کنیم،ضابطه‌اش6 193 y x= 3 اگر‌تابع گزینءه »2«درمی‌آید‌کهaوbبه‌ترتیبxوyنقطءه‌مرکز‌تقارن‌تابع‌هستند. y k x a b= - +( )3 به‌صورت
y k x= - +( )1 23 است،پسaوbبه‌ترتیب1و2هستند‌و‌ضابطه‌به‌شکل ( , )1 2 در‌این‌جا‌مرکز‌تقارن
است.kاست،پس -1، x3 پیدا‌می‌کنیم.چون‌ضریب y x bx cx d= - + + +3 2 ضریبkرا‌به‌کمک
درمی‌آید: y x= - - +( )1 23 است،در‌نتیجه‌ضابطءه‌تابع‌به‌شکل هم1-
y x x x x x xb c d
= - - + - + = - + - +( )3 2 3 23 3 1 2 3 3 3
b cd- = - - =3 3
32
( ) پس:
با‌نقطه‌یابی،آن‌را6 194 تابع‌گلدانی‌است. یک f x( ) | x | | x |= + + -2 1 تابع گزینءه »1«رسم‌می‌کنیم:
oUï¦a¼¨ ¾zÄn ¾zÄn oUï©nqM
- -x
y3 2 1 2
5 3 3 5
167
زوج‌مرتب‌ها‌را‌ازxکوچک‌به‌بزرگ‌مرتب‌می‌کنیم:6 195 گزینءه »4«
f m m m
m m m
= - - - +
- > - > +¯ ¯ ¯
{( , ),( , ),( , )}1 2 1 2 5 4 11
2 1 5 11 :uQ ,kº¼{ï¶ ´¨̈ IÀ ,IÀ yÄHqÎH IMï ,²»qº ÍMIU njy x
2 1 5 3 6 2m m m m- > - Þ > Þ > نامعادلءه‌باال‌تبدیل‌به‌دو‌نامعادله‌می‌شود: 5 11 2 6 3- > + Þ - > Þ < -m m m m
بین‌دو‌شرط‌باال،اشتراک‌می‌گیریم‌که‌تهی‌می‌شود.نمودار‌تمام‌توابع‌را‌رسم‌می‌کنیم:6 196 گزینءه »4«
y x xx x
x x= =
³
- <
ìíï
îï
2
3
3
0
0
| | Þ غیریکنوا
y x x= - Þ2 | | شکل‌باال‌را‌نسبت‌به‌محورxها‌قرینه‌می‌کنیم
Þ غیریکنوا
y x xx x
x x= =
³
- <
ìíï
îï| |
2
2
0
0
Þ اکیداً‌صعودی
y x x= - Þ| | شکل‌باال‌را‌نسبت‌به‌محورxها‌قرینه‌می‌کنیم
Þ اکیداً‌نزولی
تابعfرا‌ساده‌تر‌می‌نویسیم:6 197 گزینءه »1«
f x x x x x x( ) ( ) | | | | | | | ( ) |= - - = - - = -1 1 1 1 12 2 3
به‌دست‌آید: y x= -( )1 3 را1واحد‌به‌راست‌می‌بریم‌تا‌نمودار y x= 3 تابع
168
قسمت‌زیر‌محورxها‌را‌نسبت‌به‌محورxها‌قرینه‌می‌کنیم:
y = -| (x ) |13
اکیداً‌نزولی‌است،پس‌حداکثر‌مقدارaبرابر1است. ( , ]-¥ 1 این‌تابع‌در‌بازءه‌را‌رسم‌می‌کنیم:6 198 f x x x( ) | | | |= - + -2 3 تابع‌گلدانی گزینءه »1«
¾zÄn ¾zÄn
xy
1 2 3 4
3 1 1 3 Þ اکیداً‌نزولی‌است. ( , ]-¥ 2 در‌بازءه
،ضابطءهfرا‌بدون‌قدرمطلق‌می‌نویسیم: x £ به‌ازای2
f x( ) | x | | x | ( x ) ( x ) x= - + - = - + + - + = - +2 3 2 3 2 5
،قطع‌می‌دهیم: g x x x( ) = - -2 102 ضابطءه‌به‌دست‌آمده‌را‌با
2 10 2 5 2 15 0 35
2
2 2x x x x x x- - = - + Þ + - = Þ = - ,
قرار‌دارد،پس‌در‌یک‌نقطه‌متقاطع‌اند. ( , ]-¥ 2 در‌بازءه x = -3 از‌دو‌عدد‌به‌دست‌آمده‌فقط
هستند.تابع‌را‌سه‌ضابطه‌ای‌می‌نویسیم:6 199 ریشه‌های‌قدرمطلق‌ها3و1- گزینءه »3«
f x x xx x x x
x x x( ) | | | |: ( )
: ( ) ( )= - - + => - - + = -
- £ £ - + - + = -2 6 1
3 2 6 1 7
1 3 2 6 1 33 5
1 2 6 1 7
xx x x x
+< - - + - - - = - +
ì
íï
îï : ( ) ( )
ضابطءه با x > 3 دامنءه در تابع این پس است، مثبت عددی y x= - 7 ضابطءه شیب فقط،تابعی‌صعودی‌است. y x= - 7ضابطءه‌وارون‌آن‌را‌حساب‌می‌کنیم:
y x x y y xy x y x= - ¾ ®¾¾¾¾ = + ¾ ®¾¾¾¾¾ = +7 7 7 KveoM » ·jo¨ Ƽø
را‌می‌سازیم: y x= - 7 ،محدودءه x > 3 که‌می‌شود‌بردf.از f فقط‌مانده‌دامنءه1-
x x y> ¾ ®¾ - > - Þ > --3 7 4 4
7 شد. x > -4 و‌دامنه‌اش y x= + 7 پس‌ضابطءه‌وارون
Recommended