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8/16/2019 14-Spettro Di Risp
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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1
Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a più gradi dilibertà con il metodo dello Spettro di Risposta
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2
Analisi sismica con lo spettro di risposta 1/10
Ai fini progettuali è importante conoscere i valori massimi della risposta in termini di sforzi
interni e di spostamenti.
La determinazione della risposta massima di un sistema a molti gradi di libertà può essere
eseguita convenientemente utilizzando il concetto di spettro di risposta, definito per i sistemi
lineari viscosi a un grado di libertà.
L’equazione del moto di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da un’accele-
razione del suolo üg(t ) si scrive
!!u(t )+ 2!"
!u(t )+"
2
u(t ) = # !!
ug (t )
Per un assegnato moto del suolo üg(t ), la risposta u(t ) dipende solo dalla frequenza del sistema !,
o dal corrispondente periodo naturale T , e dal rapporto di smorzamento ". Si ha cioè
u = u t ,T ,! ( )
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 3
In genere, l’accelerazione del suolo varia con notevole irregolarità. Per tale ragione la soluzione
dell’equazione può essere eseguita solo mediante metodi numerici. Una volta calcolata la storia
nel tempo della risposta u(t ), gli sforzi interni possono essere valutati attraverso un’analisi staticadella struttura eseguita a ogni istante di tempo desiderato applicando la forza equivalente
f S (t ) = ku(t ) = m! 2u(t ) = mA(t )
in cui A(t ) = !2
u(t ) è la pseudo-accelerazione. Il taglio e il momento ribaltante alla base risultano
T b(t ) = mA(t )
M b(t ) = hmA(t ) = hT
b(t )
in cui h è l’altezza della massa rispetto alla base.
Analisi sismica con lo spettro di risposta 2/10
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 4
Spettro di risposta
Assegnato un moto del suolo üg(t ), il diagramma dei valori massimi della risposta in funzione del
periodo naturale del sistema T , per un valore prefissato del rapporto di smorzamento ", èchiamato spettro di risposta.
La variazione di T consente di considerare tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di
libertà.
Al variare di " si possono tracciare diversi spettri, in modo da considerare i tipici intervalli divariazione dello smorzamento delle strutture.
Pertanto, per un’assegnata componente del moto del suolo, lo spettro di risposta consente dirappresentare la risposta massima di tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.
Analisi sismica con lo spettro di risposta 3/10
Gli spettri di risposta possono essere tracciati in funzione di diverse quantità:
u0
T ,! ( ) = maxt
u(t ,T ,! ) = D T ,! ( )
!u0 T ,! ( ) = max
t !u(t ,T ,! )
!!u0
t T ,! ( ) = max
t
!!ut (t ,T ,! )
spostamento
velocità
accelerazione totale
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 5
Da un punto di vista applicativo sono importanti gli spettri di risposta in termini di pseudo-
velocità V e di pseudo-accelerazione A definiti in funzione di D come segue
V =! D =2"
T D A =!
2 D =
2"
T
# $ %
& ' ( 2
D
Analisi sismica con lo spettro di risposta 4/10
La pseudo-velocità V non rappresenta la velocità effettiva, ma è legata al valore massimo E
dell’energia di deformazione immagazzinata dal sistema durante il sisma:
La pseudo-accelerazione A non rappresenta l’accelerazione effettiva del sistema, ma consente di
calcolare il valore massimo del taglio alla base:
E =1
2kD
2=
1
2!
2mD
2=
1
2m ! D( )
2
=
1
2mV
2
T b0 = mA
che risulta pari alla forza d’inerzia associata alla massa m sottoposta all’accelerazione A.
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 6
Per un accelerogramma assegnato, è possibile calcolare i valori di D, V e A incorrispondenza di
valori discreti di T e di ", costruendo così gli spettri di risposta che si presentano, in generale, conuna forma piuttosto irregolare.
Per ogni sito di interesse è importante, da un punto di vista applicativo, poter disporre di spettri
regolari. Questi possono essere ottenuti normalizzando, mediando e regolarizzando gli spettri
corrispondenti a gruppi di accelerogrammi compatibili con la geologia e i meccanismi
sismogenetici del sito.
Spettri di questo genere sono forniti dalle norme sismiche.
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0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500
A, g
T, s
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 7
Risposte modali massime
Il valore massimo del contributo alla risposta del modo n-esimo può essere calcolato attraverso lospettro di risposta elastico in termini della pseudo-accelerazione spettrale
An = A
n T
n,!
n( )
e la risposta modale massima risulta
rn0
= rn
st A
n
Il segno di rn0 è uguale al segno di perché An è sempre positiva. r nst
Le risposte modali non sono sincrone e quindi non raggiungono simultaneamente i loro valori
massimi. Pertanto, le risposte modali massime determinate attraverso lo spettro di risposta non
possono essere sommate direttamente, ma solo combinate in maniera approssimata.
Analisi sismica con lo spettro di risposta 6/10
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 8
Regole di combinazione dei contributi modali massimi
Una buona stima della risposta nel caso di strutture con frequenze naturali ben separate è data
dalla radice quadrata della somma dei quadrati , cioè
r0 = r
n0
2
n=1
N
!" # $% & '
1
2
Per strutture in cui le frequenze naturali non sono ben separate, una migliore stima può essere
ottenuta con la regola della combinazione quadratica completa, cioè
r0 = !
inri0rn0
n=1
N
"i=1
N
"# $ %& ' (
1
2
! in =
" 2 1+ # in( )
2
1$ # in( )
2
+ 4" 2# in
! in =
" i
" n
in cui #in è il coefficiente di correlazione relativo ai modi i ed n. Il coefficiente #in è pari a 1
quando i = n, mentre è compreso tra 0 e 1 negli altri casi. Diverse espressioni sono state
presentate nella letteratura scientifica per tale coefficiente. A titolo di esempio, nel caso in cui
"i
= "n
= ", una delle più semplici è la relazione
Analisi sismica con lo spettro di risposta 7/10
in cui
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 9
Osservazione
L’analisi sismica con lo spettro di risposta si riduce a una serie di analisi statiche, corrispondenti
ai contributi modali presi in considerazione:
1. si applicano le forze e si calcolano le risposte modali statiche ;
2. le risposte modali statiche sono moltiplicate per l’ordinata spettrale allo scopo di ottenere le
risposte modali massime ;
3. la risposta del sistema si ottiene combinando tra di loro le risposte modali massime.
sn = !
nM
n r
n
st
An
r n0
st
Il metodo, quindi, non richiede esplicitamente l’analisi dinamica dei sistemi modali a un grado di
libertà, ma va comunque interpretato come un’analisi dinamica.
Lo spettro di risposta, infatti, è ottenuto mediante numerose analisi dinamiche e fa riferimento
alle proprietà dinamiche del sistema e del terreno di fondazione (frequenze, modi naturali di
vibrazione e rapporti di smorzamento modali).
Analisi sismica con lo spettro di risposta 8/10
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 10
Edifici multipiano a pianta simmetrica
Le risposte modali massime possono essere espresse in funzione dello spostamento spettrale Dn
o
della pseudo-accelerazione spettrale An.
uin = !
n" in D
n =
! n
# n
2"
in A
n
T bn
= mn
* A
n
M bn
= hn
*m
n
* A
n
f Sn
= sn A
n f Sin = ! nmi" in AnIl vettore con consente di calcolare direttamente le risposte massime
modali:
Analisi sismica con lo spettro di risposta 9/10
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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 11
Sommario del procedimento
1. Definizione delle proprietà dinamiche del sistema (gradi di libertà dinamici, matrice di massa
M e matrice di rigidezza traslazionale K).
2. Determinazione delle frequenze naturali !n (o dei periodi naturali di vibrazione T n = 2" /!n),dei modi naturali di vibrazione !n e delle masse modali efficaci mn
*.
3. Stima dei rapporti di smorzamento modale "n.
4. Calcolo dei valori massimi della risposta relativi a tutti i contributi modali inclusi nell’analisi:
! per ogni periodo naturale di vibrazione T n e del corrispondente rapporto di smorzamento
modale "n si leggono dallo spettro di risposta i valori dello spostamento massimo Dn edella pseudo-accelerazione massima An.
! calcolo degli spostamenti di piano;
! calcolo delle forze statiche equivalenti f Sn;
! calcolo degli sforzi interni attraverso un’analisi statica della struttura soggetta alle forze
f Sn.
5. Stima dei valori massimi della risposta mediante la combinazione dei valori massimi dei
contributi modali.
Analisi sismica con lo spettro di risposta 10/10
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