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Potenziale: r
ZeE p
2−=
Aspetti importanti da conoscere con sicurezza:
- numeri quantici e livelli energetici
- funzione d’onda e distribuzione spaziale
- eccitazione e transizioni (termiche e radiative)
Atomi idrogenoidi:
sono la base per capire la fisica degli atomia molti elettroni, delle molecole e dello stato solido
sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sonopermessi tutti i valori di L, in modulo e direzione
Potenziale: rZe
E p
2−=
Costanti del moto:- energia totale E=Ecin+Ep
- momento angolare (modulo)-direzione del momento angolare
rpL ⊥=Lr
Atomi idrogenoidi:descrizione classica
2
2
2
2
222222
2con
222222
mr
LE
Em
p
mr
rpm
pm
pm
pm
pE
L
Lrtrtr
cin
=
+=+=+==
atomo H: momento angolare massimo
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
ener
gia
(eV
)
energia totale E
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
ao
rZe
Ep
2−=
2
2
2mr
LEL =
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel motoclassico di un elettrone con orbita circolare
di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
Orbitaclassica
atomo H: momento angolare qualunque
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
ener
gia
(eV
)
energia totale Eafelio
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
perielio
Orbitaclassica
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel motoclassico di un elettrone con orbita ellittica di semiasse
maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
Atomo di idrogeno: moto di un elettrone consemiasse maggiore dell’ellisse pari al
raggio di Bohr (0,53 Å)
orbita elettrone
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
-1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80x (angstrom)
y (a
ng
stro
m)
nucleo
orbita con Linferiore al massimo
orbita con Lmassimo
afelio perielio
pper
p
paf
Orbitaclassica
Numeri quantici:
sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondentiai valori interi dei numeri quantici
n≥1 ; 0 ≤ l < n ; -l ≤ ml ≤ l ; ms = ± 1/2
- n → energia totale En= - ERZ2/n2
- l → momento angolare L2 = l(l+1) 2
- ml → componente di L lungo z Lz= ml
- ms → componente dello spin lungo z Sz= ms
Potenziale: r
ZeE p
2−=Atomi idrogenoidi:
descrizione quantistica
h
hh
n
1
234
lml
rappresentazione n,l,ml ,ms>
Livelli energetici: diagramma di Grotrian
E (eV)
-13.6
-1.5-3.4
-0.85
0s
1p
2d
0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2
(2)
(6)(2)
(6)(2) (10)
(6)(2) (10)
-1/2 +1/2ms
),,(),,(22
),,(2
2
22ϕϑψϕϑψϕϑψ rEr
rZe
mr
Lm
prH r =
−+=
),()(
),()(),,( ϕϑϕϑϕθψ ll ml
ml Y
rru
YrRr ==
),()1(),( 22 ϕϑϕϑ ll ml
ml YllYL h+=
Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger
dOdrrr 22),,( ϕϑψ
probabilità di trovare l’elettronenell’elemento di volumeintorno al punto (x,y,z)
dOdrr 2 r
z
y
x
θ
ϕ
Oggi il valore medio di si può misurare direttamente, ad es. con un Microscopio a Forza Atomica (AFM)
2),,( ϕϑψ r
interpretazione fisica della “funzione d’onda
|u(r)|2 dr
probabilità di trovare l’elettrone auna distanza fra r e r+dr
( ) )(2)(
22
2ruEE
m
dr
rudeff −=
hEeff = EL + Ep
coefficiente di proporzionalità
curvatura della funzione d’onda funzione d’onda
)(2
)1()(2
2
2
2
2
22ruE
rZe
mr
ll
dr
rudm
−−
+=
hh
termine cinetico termini di energia “di posizione”
Funzione d’onda radiale
ao è il “raggio di Bohr”
dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiononell’equazione di Schrödinger
Le dimensioni atomiche
nao/Z determina la rapidità della cadutaesponenziale della funzione d’onda dopo il flesso
conviene introdurrela “distanza ridottaρ”, tale che:
ρZ
nar o
2=
2/10 )( ρ−= Creru
m1053,04
10222
2−⋅===
cm
c
me
ha
eeo
απ
h
Eeff =Ep
- i punti di inversione delmoto classico sono punti diflesso della funzioned’onda perché E-Eeff=0
- dopo il flesso, la curvaturadella funzione d’ondacambia segno e la funzionetende a zeroasintoticamente
- il massimo della funzioned’onda si verifica a unadistanza dal nucleo pari alraggio di Bohr ao
Atomo di idrogeno:n=1
Funzione d'onda n=1
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,00 1 2 3 4 5 6
r (angstrom)
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV)
punto di flesso
punto di inversione
n=1
Eeff =Ep
- i punti di inversione del motoclassico sono punti di flessodella funzione d’onda perchéE-Eeff=0
- il numero di “nodi” dellafunzione d’onda aumenta con n
- dopo l’ultimo flesso, la funzioned’onda tende a zeroasintoticamente
- ci sono n massimi dellafunzione d’onda checorrispondono a diversi“anelli” di maggiore probabilità
Funzioni d'onda l = 0
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,00 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
Ene
rgia
(eV
)punti di flesso
punti di inversione
n=1
n=3n=2
n=1 n=3
n=2
Atomo di idrogeno:l=0, n=1, 2, 3
- gli n massimi della funzioned’onda corrispondono a diversi“anelli” di maggiore probabilità
- non si tratta di “orbite” diverse:la funzione d’onda ècontemporaneamente diversada zero in zone a diversadistanza dal nucleo
Atomo di idrogeno:distribuzione spazialedella funzione d’onda
l=0, n=1, 2, 3
n=1
+
n=2, l=0
+-
n=3, l=0
+
+
-
n=2, l=0 n=2, l=1
Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenzialen=2, l=0 e 1
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV)
n=2
EL per l=1
Eeff per l=1
flessi di l=1flesso di l=0
n=1
n=3
Eeff =EL+ Ep
- i punti di inversione delmoto classico sono punti diflesso della funzioned’onda perché E-Eeff=0
- il numero di “nodi” dellaparte radiale della funzioned’onda diminuisce con l, aparità di n
-35.0
-30.0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV)
F u n z i o n i d ' o n d a n = 2 ; l = 0 , 1
-10 .0
-5 .0
0 .0
5 .0
10 .0 0 2 4 6 8 1 0 1 2
r ( a n g s t r o m )
punti di inversionen=1
n=3n=2
l=1
l=0
punti di flesso
Funzione d’ondaradiale n=2, l=0, 1
r = ρ nao/Z, quindi nao/Zdetermina la rapidità della cadutaesponenziale della funzioned’onda dopo l’ultimo flesso
il flesso• si “allontana” al crescere di n•si “avvicina” al crescere di Z
2/10 e2)(01 ρ−=== rCruln
2/20 e)2(
221
)(02 ρρ −−=== rCruln
2/21 e
621
)(12 ρρ −=== rCruln
l’andamento per rà 0 vacome rl+1
(quello di R(r) va come rl)
Espressione di u(r)per n=1, 2
Andamento vicinoall’origine della
funzione d’onda radiale
Funzioni d'onda n= 1 l =0; n =2; l = 0,1
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
- al crescere di n, lafunzione d’onda si spostaverso l’esterno
- l’andamento per rà 0va come rl
n=2l=1
n=1l=0
n=2, l=0
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1 l = 0; n =2 l = 0,1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,20 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
n=2, l=0
n=1l=0
n=2l=1
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n=1 l = 0; n =2 l = 0,1
0,00
0,05
0,10
0,15
0,200 0,5 1 1,5 2
r (angstrom)
Andamento vicinoall’origine della funzioned’onda radiale n=1, 2, 3
- al crescere di n, lafunzione d’onda si spostaverso l’esterno
- l’andamento per rà 0va come rl
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
Funzioni d'onda n =3; l = 0,1,2
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,00 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
n=3l=1
n=3l=2
n=3, l=0
n=3, l=2
n=3, l=0
n=1 l=0
n=2l=1 n=3, l=1
n=2l=0
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l
0,00
0,05
0,10
0,15
0 1 2 3 4
r (angstrom)
Dipendenza angolare:“orbitale” 1s
Z
oarCeYr
ruYrRr /0
0100
010100 ),()(
),()(),,( −=== ϕϑϕϑϕϑψ
1s
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4z (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
“orbitale” atomico 2p0
2pz
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
Z
X
andamento infunzione di x a z>0
andamento infunzione di x a z<0
2pz
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8z (angstrom)
funz
ione
d'o
nda
andamento in funzione di zper x = 0, y = 0
ϑϕϑϕϑϕϑψ cos)/2(),()(
),()(),,( 2/01
210121210
oaro earCY
rru
YrRr −−===
“orbitale” atomico 2p+
)sen(cossen)/2(
sen)/2(),()(),,(2/
2/1121211
ϕϕϑ
ϑϕϑϕϑψ ϕ
iearC
eearCYrRr
o
o
aro
iaro
+−=
−==−
−
parte realeparte
immaginaria
+
_+
_
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