2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2.1. Koordináta-rendszereink

2.2. Az egyenes és sík egyenlete

2.3. Affin transzformációk

2.4. Projektív transzformációk

2009.08 602

Mire jó nekünk az analitikus geometria?

Geometriai modell:

pontok, vonalak,

felületek – testek

Átalakítások:

geometriai számítások

transzformációk

Rajzolás: geometrikus képek;

vetületek - transzformációk

API

2.1. Koordináta-rendszereink

• A Descartes-féle derékszögű koordináták

• Polár-koordináták

• Gömbkoordináták, henger-koordináták

• Baricentrikus koordináták

• Homogén koordináták

a Descartes-féle (ferdeszögű) KR

Egy KR-t meghatároz:

- egy pont (origó, kezdőpont)

- a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek),

amelyek kifeszítik a teret (a síkot),

- és a tengelyeken kijelölt egység

Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával:

P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) a pont vetülete egy tengelyre

a másik két tengely síkjával párhuzamosan

DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR)

Kijelöli 5 „pont”:

O, X, Y, Z, E

Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x |

│ y │

│ z │

kétféle irányítás:

jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),

+Z felől nézve: X Y : „CCLW”

balsodrású (balos, balkezes)

A síkban:

Kijelöli 4 „pont”:

O, X, Y, E

Pontok: P = (x, y)T = │x│

│y│

kétféle irányítása:

jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),

X tengely Y tengely:

„CCLW”

balsodrású (balos, balkezes)

Síkbeli polárkoordináták (ti)

kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya.

P = ( r, ); ( 0 r ), ( 0 < 2).

Síkbeli polárkoordináták (ti)

PK DK

x = r cos , y = r sin

DK PK

r = x2+y2 és

= arctan( y / x ), ha x 0 és x 0

= 0, ha y = 0 és x > 0

= , ha y = 0 és x < 0

= /2, ha x = 0 és y > 0, ill. y<0

= meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

alapsík, benne PKR

és a Z tengely,

gömbkoordináták: P = (r, , );

r: 0 r

: polárszög; <2 az alapsíkban)

azimut; 0 vagy -/2

/2

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

henger-koordináták: ( r, , z )

PK DK

x = cos = r sin cos ; y = sin = r sin sin , z = r cos = r sin = x2+y2, (az alapsíkban)

DK PK : . . .

Pontrendszer súlypontja (olv)

• i = 1,2,…,n; tömegpontok

Pi pont, pi , helyvektor, mi tömeg

• A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege;

M = ( mi · pi ) / mi

M = (i · pi ); i = mi / mi ; 0 < i < 1; i = 1

• Adott pi alappontok eseténmás-más mi súlyokhoz, más-más súlypont

• A i súlyok arányosan változtathatók !

p1,m1

p2,m2

p1,m1

p2,m2

p3,m3

M

M

Baricentrikus koordináták

a0, a1, a2 , a3 E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret

E 3 –ben minden x ponthoz

egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak:

x = 0a0 +1a1 + 2a2 + 3a3; i=1

Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.

(lehetnek negatívok is)

{i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái

Baricentrikus koordináták

x = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.

{i} homogén jellegű koordináták:

{'i} {h i} ;h 0 ugyanaz a pont

Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak,

P az alappontok konvex burkán belül van.

Tömegpontok súlypontja is

Homogén koordináták

• Az E 2 egy „inhomogenitása”

• Az euklideszi tér kibővítése

• Homogén koordináták

• „Homogén terünk” szerkezete

• Homogén Descartes koordináták

Descartes Homogén koordináták

• A sík homogén koordinátás egyenlete

• Miért használunk homogén koordinátákat?

Az E 2 egy „inhomogenitása”• Az a egyenes pontjait

K-ból vetítjük az x egyenesre.

• F’ = ?

• Legyen !! Az E 2 kibővítése:

- minden egyenesnek legyen még egy pontja,

- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt)

- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,

- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

A kibővített euklideszi sík

• Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”);

(projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)

• „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2

[„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak

KG]

• A projektív síkban:

bármely két pont meghatároz egy egyenest

bármely két egyenes meghatároz egy pontot

…

A kibővített euklideszi tér

• Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”);

„a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3.

(„homogén tér”, „ H 3” csak KG)

• H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal

• A projektív térben:

bármely 3 pont meghatároz egy síkot

bármely 3 sík meghatároz egy pontot

. . .

A kibővített euklideszi tér

Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pont

egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,

úgy, hogy:

párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik;

egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”)

párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik,

a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

Homogén koordináták

• A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében

O : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek

• P = (x, y, z) „homogén koordináták” : P = (x, y, z) [x, y, z, 1] h [x, y, z, 1] = [ h x, h y, h z, h ]; h0

• Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)

• Figyelem: [ x, y, z, w ] h [ -x, -y, -z, -w ] !!

Homogén koordináták

• A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja:

Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”, illetve:

Iv = [ x, y, z, 0 ] h [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

Áttérés a homogén alakra és vissza

1. A feladat adatai: DKR-ben:

2. Számítások DKR-ben, de közben:

3. Ha kell („kényes” műveletek előtt):

a. áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1]

b. „kényes” műveletek homogén alakban; utána

c. az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)

d. visszatérés DKR-be (projektív osztás):

[x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).

4. Az eredmények értékelése DKR-ben.

Vissza: Descartes koordinátákra

H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának :

1. ha x4 0, akkor ez közönséges pont :

[x1, x2, x3, x4] [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1] (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),

2. ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont,

az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása

3. [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

„Ideális pontok”

E 3 = { (x, y, z) } { [x, y, z, 1] }; x, y, z RR

I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, z RR

H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér”

Az euklideszi tér kibővítése:

minden egyenesnek van még egy pontja:

az egyenes állását jellemzi

párhuzamosok ideális pontja megegyezik

egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén

a tér ideális pontjai: az ideális síkban

Egyenesek közös pontja

„Homogén terünk” szerkezete (olv)

• A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R }

• Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:

Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; h R, h ≠ 0}; x,y,z,w R

A homogén tér:

H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w R } \ { [0,0,0,0] }

Miért használunk homogén koordinátákat?Miért használunk homogén koordinátákat?

• A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.

• A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)

transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata

• A középpontos vetítés számolható

a pontok homogén koordinátáival és

4x4-es mátrixal