Upload
muriel
View
78
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk. Mire jó nekünk az analitikus geometria?. Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
2. Koordináta-rendszerek és transzformációk
2.1. Koordináta-rendszereink
2.2. Az egyenes és sík egyenlete
2.3. Affin transzformációk
2.4. Projektív transzformációk
2009.08 602
Mire jó nekünk az analitikus geometria?
Geometriai modell:
pontok, vonalak,
felületek – testek
Átalakítások:
geometriai számítások
transzformációk
Rajzolás: geometrikus képek;
vetületek - transzformációk
API
2.1. Koordináta-rendszereink
• A Descartes-féle derékszögű koordináták
• Polár-koordináták
• Gömbkoordináták, henger-koordináták
• Baricentrikus koordináták
• Homogén koordináták
a Descartes-féle (ferdeszögű) KR
Egy KR-t meghatároz:
- egy pont (origó, kezdőpont)
- a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek),
amelyek kifeszítik a teret (a síkot),
- és a tengelyeken kijelölt egység
Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával:
P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) a pont vetülete egy tengelyre
a másik két tengely síkjával párhuzamosan
DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR)
Kijelöli 5 „pont”:
O, X, Y, Z, E
Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x |
│ y │
│ z │
kétféle irányítás:
jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),
+Z felől nézve: X Y : „CCLW”
balsodrású (balos, balkezes)
A síkban:
Kijelöli 4 „pont”:
O, X, Y, E
Pontok: P = (x, y)T = │x│
│y│
kétféle irányítása:
jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),
X tengely Y tengely:
„CCLW”
balsodrású (balos, balkezes)
Síkbeli polárkoordináták (ti)
kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya.
P = ( r, ); ( 0 r ), ( 0 < 2).
Síkbeli polárkoordináták (ti)
PK DK
x = r cos , y = r sin
DK PK
r = x2+y2 és
= arctan( y / x ), ha x 0 és x 0
= 0, ha y = 0 és x > 0
= , ha y = 0 és x < 0
= /2, ha x = 0 és y > 0, ill. y<0
= meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)
alapsík, benne PKR
és a Z tengely,
gömbkoordináták: P = (r, , );
r: 0 r
: polárszög; <2 az alapsíkban)
azimut; 0 vagy -/2
/2
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)
henger-koordináták: ( r, , z )
PK DK
x = cos = r sin cos ; y = sin = r sin sin , z = r cos = r sin = x2+y2, (az alapsíkban)
DK PK : . . .
Pontrendszer súlypontja (olv)
• i = 1,2,…,n; tömegpontok
Pi pont, pi , helyvektor, mi tömeg
• A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege;
M = ( mi · pi ) / mi
M = (i · pi ); i = mi / mi ; 0 < i < 1; i = 1
• Adott pi alappontok eseténmás-más mi súlyokhoz, más-más súlypont
• A i súlyok arányosan változtathatók !
p1,m1
p2,m2
p1,m1
p2,m2
p3,m3
M
M
Baricentrikus koordináták
a0, a1, a2 , a3 E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret
E 3 –ben minden x ponthoz
egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak:
x = 0a0 +1a1 + 2a2 + 3a3; i=1
Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.
(lehetnek negatívok is)
{i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái
Baricentrikus koordináták
x = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.
{i} homogén jellegű koordináták:
{'i} {h i} ;h 0 ugyanaz a pont
Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak,
P az alappontok konvex burkán belül van.
Tömegpontok súlypontja is
Homogén koordináták
• Az E 2 egy „inhomogenitása”
• Az euklideszi tér kibővítése
• Homogén koordináták
• „Homogén terünk” szerkezete
• Homogén Descartes koordináták
Descartes Homogén koordináták
• A sík homogén koordinátás egyenlete
• Miért használunk homogén koordinátákat?
Az E 2 egy „inhomogenitása”• Az a egyenes pontjait
K-ból vetítjük az x egyenesre.
• F’ = ?
• Legyen !! Az E 2 kibővítése:
- minden egyenesnek legyen még egy pontja,
- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt)
- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,
- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.
A kibővített euklideszi sík
• Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”);
(projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)
• „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2
[„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak
KG]
• A projektív síkban:
bármely két pont meghatároz egy egyenest
bármely két egyenes meghatároz egy pontot
…
A kibővített euklideszi tér
• Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”);
„a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3.
(„homogén tér”, „ H 3” csak KG)
• H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal
• A projektív térben:
bármely 3 pont meghatároz egy síkot
bármely 3 sík meghatároz egy pontot
. . .
A kibővített euklideszi tér
Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pont
egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,
úgy, hogy:
párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik;
egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”)
párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik,
a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”
Homogén koordináták
• A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében
O : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek
• P = (x, y, z) „homogén koordináták” : P = (x, y, z) [x, y, z, 1] h [x, y, z, 1] = [ h x, h y, h z, h ]; h0
• Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)
• Figyelem: [ x, y, z, w ] h [ -x, -y, -z, -w ] !!
Homogén koordináták
• A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja:
Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”, illetve:
Iv = [ x, y, z, 0 ] h [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0
Áttérés a homogén alakra és vissza
1. A feladat adatai: DKR-ben:
2. Számítások DKR-ben, de közben:
3. Ha kell („kényes” műveletek előtt):
a. áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1]
b. „kényes” műveletek homogén alakban; utána
c. az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)
d. visszatérés DKR-be (projektív osztás):
[x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).
4. Az eredmények értékelése DKR-ben.
Vissza: Descartes koordinátákra
H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának :
1. ha x4 0, akkor ez közönséges pont :
[x1, x2, x3, x4] [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1] (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),
2. ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont,
az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása
3. [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).
„Ideális pontok”
E 3 = { (x, y, z) } { [x, y, z, 1] }; x, y, z RR
I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, z RR
H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér”
Az euklideszi tér kibővítése:
minden egyenesnek van még egy pontja:
az egyenes állását jellemzi
párhuzamosok ideális pontja megegyezik
egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén
a tér ideális pontjai: az ideális síkban
Egyenesek közös pontja
„Homogén terünk” szerkezete (olv)
• A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R }
• Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:
Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; h R, h ≠ 0}; x,y,z,w R
A homogén tér:
H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w R } \ { [0,0,0,0] }
Miért használunk homogén koordinátákat?Miért használunk homogén koordinátákat?
• A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.
• A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)
transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata
• A középpontos vetítés számolható
a pontok homogén koordinátáival és
4x4-es mátrixal