2. Pd Bernouli Etc

PD orde 1: PD BERNOULI

Bentuk PD Bernoulli:

(Mirip bentuk umum metode FI tanpa yn (kuliah minggu lalu)

Metode FI :

Salah satu strategi yang mudah dalam penyelesaian PD Bernoulli adalah mengubah ke bentuk FI

Hal ini dilakukan dengan menghilangkan suku yn dari sebelah kanan tanda “sama dengan” dgn membagi dgn yn, menjadi:

................(a)

Ambil pemisalan z=y1-n

dz=(1-n) y-n dy

dz/(1-n) = y-n dy ...............(b)

subtitusi (b) ke (a) maka:

Atau dz/dx + (1-n) P(x) z = Q(x) (1-n) ........(c)

Atau dz/dx + R(x) z = T(x) ..................(d)

Dengan R(x)= (1-n) P(x) dan T(x)= Q(x) (1-n)

Pers. (d) dpt diselesaikan dengan metode FI

Contoh:

Seleaikan PD Bernouli berikut xy – dy/dx = y4exp(-3x2/2)

Jawab:

xy – dy/dx = y4exp(-3x2/2) atau dy/dx - xy = -y4exp(-3x2/2)

dibagi y4 mjd:

(y-4) dy/dx - x/y3 = -exp(-3x2/2) ….......…pers. (j)

misal z=1/y3=y-3…maka dz=-3y-4dy atau dz/(-3)=y-4dy ........ (k)

subtitusi pers (k) ke (j)

(-1/3) (dz/dx) - x z = -exp(-3x2/2)

Atau (dz/dx) + 3 x z = 3 exp(-3x2/2)

…..….sdh memenuhi standard utk diselesaikan dgn metode FI

silahkan diteruskan……(Latihan)

Jawab:

(dz/dx) + 3 x z = 3 exp(-3x2/2)

Dalam kasus ini maka sebagai α(x) adalah α(x)=3x dan f(x)= 3 exp(-3x2/2)

sehingga:

Masukkan ke formula

sehingga penyelesaiannya adalah:

PD RICCATI

Bentuk PD Riccati:

(bentuk PD non-linier orde pertama)

Atau bila didekatkan ke susunan FI:

(bentuk umum mirip sususan metode faktor integral dgn penambahan suku P(x)y2).

Atau mirip PD bernouli dengan penambahan suku R(x)

Bentuk PD Riccati yg seringkali muncul pada bidang engineering adalah kasus dimana P(x)=-1, membentuk:

…………………..(m)

Penyelesaian PD nonlinier Riccati dilakukan dengan mengubah PD menjadi BENTUK LINIER dengan substitusi:

...............(o)

………………..(n)

Subtitusi pers (n) dan (o) ke pers (m)

dikali u mjd:

Ini PD orde 2 LINIER

Bentuk PD orde 2 dan orde lebih tinggi akan dibahas pada materi-materi kuliah selanjutnya

PD ORDE 1 DENGAN KOEFISIEN LINIER

(PD TIDAK HOMOGEN)

Bentuknya dapat ditulis:

Atau:

Jelas terlihat merupakan PD non homogen akibat c dan γ yg sendirian (konstanta).

Penyelesaiannya dilakukan dengan meng-homogenkan persamaa tsb dengan cara menghilangkan konstanta c dan γ, caranya adalah dengan memisalkan:

dengan adalah konstanta-konstanta baru

Sehingga:

………….(s)

Selanjutnya bagaimana menentukan ?Dari (s) dapat diuraikan mjd:

konstanta baru:

……………………….(p)

………………………..(q)

Dari (p) diperoleh

Dengan mensubstitusi ke pers (q) maka diperoleh:

dengan

jika ini disubtitusi ke pers (s)

...............(s)

pada akhirnya akan terbentuk PD homogen

Lalu dibentuk ke menjadi

yang dapat diselesaikan secara langsung dengan pemisalan kedua yaitu z=u/v spt kasus PD homogen pada kuliah sebelumnya

untuk lebih jelas lihat contoh berikut:

Contoh:

Selesaikan (2x+3y+1) dx – (x+2y+2)dy=0

Jawab:

PR1.

BAGAIMANA UTK KASUS BILA

a b

Contoh

(x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0

Jawab:

PR 2 Selesaikan di rumah......

PD ORDE 1 DERAJAT 2

Orde dari PD tergantung pada turunan tertinggi, sedangkan derajatnya berhubungan dengan pangkatnya

Contoh PD orde 1 dan pangkat (derajat) 2:

Atau dpt ditulis:

PR.3. Selesaikan (2x+y-1)dy-(4x-y+7)dx=0