View
262
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Â
Citation preview
М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО
МАТЕМАТИКА
19 май 2009 г. – Вариант 1
УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,
Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида:
• 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен;
• 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири
възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен.
Отговорите на тези задачи отбелязвайте със син/черен цвят на химикалката в листа за
отговори, а не върху тестовата книжка. Отбелязвайте верния отговор със знака Х в кръгчето с буквата на съответния отговор. Например:
Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го
поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и отбележете буквата на друг отговор,
който приемате за верен. Например:
За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като
действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е
отбелязана със знака Х .
Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в
предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете
пълнете решения с необходимите обосновки.
ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!
А Б В Г
А Б В Г
Отговорите на задачите от 1. до 20 вкл. отбелязвайте в листа за отговори!
1. Дадени са безкрайните десетични периодични дроби и ( )0, 15P = ( )0, 151Q = .
Вярно е, че:
А) Б) В) P Q> P Q< P Q= Г) и не могат да се сравнят P Q
2. Стойността на израза ( ) ( )2 25 4 3 3 2P = − + − е:
А) 12 8 3− Б) 2 В) 2 4 3+ Г) 12 4 3−
3. Допустимите стойности за израза (2
1 3 : 22 1 1
x xx x
⎛ ⎞ )+ +⎜ ⎟− −⎝ ⎠ са:
А) Б) В) 0,5; 1x ≠ 0,5; 1x ≠ ± 0,5; 1; 2x ≠ ± Г) 0,5; 1, 2x ≠ ± −
4. Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 20 0x x− − = , 3x и 4x са корените на
уравнението , то е вярно, че: 21 20 0x x− − =
А) 1 2 3 4. .x x x x= Б) 3 41 2
1.
x xx x
= +
В) Г) 1 2 3 4. . . 1x x x x = − 1 2 3 4. .x x x x= −
5. Колко общи точки имат графиките на функциите ( ) 232 +−= xxxf и ? ( ) 652 −+= xxxg
А) Б) 1 В) 2 Г) 3 0
6. Корените на уравнението 1 5x x− = + са: А) и Б) В) 3− 8− 8− 3− Г) няма реални корени
7. Стойността на израза 3 5
1log 27 lg log 1100− − е равна на:
А) 0 Б) 1 В) 4 Г) 5
8. Решенията на неравенството 2
1 11x<
+ са:
А) )2;2(−∈x Б) );2()2;( +∞∪−−∞∈x
В) Г) );0()0;( +∞∪−∞∈x );( +∞−∞∈x
Вариант 1
9. На чертежа е построена единичната окръжност и
права p , която се допира до окръжността в точка с
абсциса 1. Еднoто рамо на ъгъл
A B
C
P Q
α пресича правата
p в точка M , както е показано. За ъгъл α
ординатата на точка M е стойността на
функцията:
А) синус Б) косинус
В) тангенс Г) котангенс
10. Дадена е окръжност и точки ( , 2k O r cm= ) A и B от окръжността, такива че
дължината на дъгата е 2, . Мярката на острия AB 5 cm AOB∠ е:
А) Б) В) Г) 2, 0,25 rad 1,25 rad 2 rad 5 rad
11. За геометричната прогресия е известно, че 1 2 6, ,...,a a a 3 4. 3a a = − . Произведението е равно на: 1 2 3 4 5 6. . . . .a a a a a a А) 27 Б) 9 В) 9− Г) − 27 12. Нека е множество от 100 рационални числа и 1Q x е случайно избрано число от
. Вероятността числото 1Q ( )21q да е ирационално, е: x= +
А) Б) 0 12
В) Г) невъзможно да се определи 1
13. На чертежа и Ако : 2AP PC = : 3 || .PQ AB 15AB = , cm
то дължината на PQ е:
А) 6 Б) 9 cm cm
В) 10 Г) 21,5 cm cm
14. На чертежа ABCΔ е правоъгълен и
равнобедрен, е ъглополовящата на AL CAB∠ , а
и са лицата на построените квадрати. Вярно
е, че:
1,S S2
2
3S
А) Б) 12S S< 1 22S S>
В) 33 22
S ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
2S 3 Г) 1 2S S S+ >
α x1
1 y
M
p
B
S1
C A
L
S2
S3
Вариант 1
15. Ако за четириъгълника ABCD на чертежа е дадено ,
А B
C
D
че и то НЕ Е вярно, че : : 3AOD DOCS S = : 4,1 : 1:DO DB =
A B
CD
OА) Б) ||DC AB AOD OBCS S= В) Г) : 3AOB DOCS S = :1 : 3: 1DOC BCOS S = 16. Лицето на равнобедрен триъгълник с дължини на бедрото и на основата съответно и е: 5 cm 2 cmА) 2 6 2cm Б) 4 6 2cm В) 12 Г) 2cm 2 3 2cm
17. Ако най-голямата страна в разностранния ABC е , където R е радиусът на описаната окръжност, то мярката на вътрешния ъгъл при върха е:
AB R=C
А) Б) 150 В) Г) 1 30 60 20 18. Триъгълникът АВС на чертежа е равностранен с дължина на страната 19 c и . Дължината на хордата CD е: m 5AD = cmА) Б) 20 cm 20 3 cm В) Г) 21 cm 21 3 cm
B
C
A
G
G'
M
19. Точката G е медицентърът на , точката
ABCI
G е симетричната на G относно средата M на страната . Ако AB 4IBMG
S = , то е: ABCSА) 12 Б) 24 В) 28 Г) 36
20. Равнобедрен трапец с основи 50AB = cm и CD 10= cm , и бедро има височина:
29AD = cm
А) Б) 21 В) 30 Г) 20 cm cm cm 41 cm
Вариант 1
Вариант 1
О оворите на задачите от 21. до 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!тг
21. Стойността на израза
1 152 2
12
x x
yA
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
е по-голяма от 6.
Запишете по-голямото oт числата x и y .
при
3. Намерете стойността на израза tg15º+cotg15º.
4. Даден е равнобедрен
22. В банка била вложена сума пари, годишна сложна лихва 3%. След три години сумата нараснала на 21 854 лева и 54 стотинки. Каква сума в лева е била вложена първоначално? 2
ABC с бедра 5AC BC= =саната около
cm
2 и основа .
5. Намерете броя на мобилните телефонни номера от вида а
8AB =жност
cm. Намерете дължината на р а на опи ABC окръ
адиус
2 0887 ab∗∗∗∗ , последните две цифри н които образуват двуцифрено число ab , което квадрат, а двуцифреното число, записано със същите цифри, н в обратен ред, е просто число.
е точено
ълните решения с необходимите обосновки на задачите от26. до 28. вкл. запишете в Псвитъка за свободните отговори!
21 42
xx x
+ + =+
26. Решете уравнението .
7. Иван има в джоба си 2 монети по 10 ст., 4 монети по 20 ст., 4 монети по 50 ст.
8. В медианата и ъглополовящата
2и 2 монети по 1 лв. Той изважда едновременно три монети по случаен начин. Каква е вероятността трите монети да са на обща стойност 1,20 лв?
ABCΔ AM BL
ABCΔ
2 са перпендикулярни и имат
една и дължина, ра а 4. Да се намери P . съща вна н
ФОРМУЛИ
Квадратно уравнение
2 0ax bx c+ + = 2
1,24
2b b acx
a− ± −
= 21 2( )(ax bx c a x x x x+ + = − − )
Формули на Виет 1 2bx xa
+ = − 1 2cx xa
=
Квадратна функция
Графиката на 2y ax bx c= + + , е парабола с връх точката 0a ≠ ( ;2 4b Da a
− − )
Корен. Степен и логаритъм
2 2k ka = a 2 1 2 1k ka+ + = a ; при k∈ m
n m na a= nk nmk ma a= n k nka = ab
; при , , и 0a > 2n ≥ 2k ≥ , ,n m k∈ loga b x= ⇔ xa b= log x
a a x= loga ba = ; при 0, 0, 1b a a> > ≠
Комбинаторика Брой на пермутациите на елемента: n ( )1.2.3... 1 !nP n n n= − =
Брой на вариациите на n елемента -ти клас: k ( ) ( ). 1 ... 1knV n n n k= − − +
Брой на комбинациите на n елемента -ти клас: k ( ) ( ). 1 ... 11.2.3...( 1)
kk nn
k
n n n kVCP k k
− − += =
−
Вероятност ( ) брой наблагоприятнитеслучаиP A
брой навъзможнитеслучаи= 0 ( )P A 1≤ ≤
Прогресии
Аритметична прогресия: ( )1 1na a n d= + −( )11 2 1
2 2n
n
a n da aS n+ −+ n= ⋅ = ⋅
Геометрична прогресия: 11.
nna a q −= 1
11
1 1
nn
na q a qS a
q q− −
= = ⋅− −
Формула за сложна лихва: . . 1100
nn
npK K q K ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Зависимости в триъгълник
Правоъгълен триъгълник: 2 2c a b= + 2 1 12 2 cS ab ch= = a b b 2
1a= c c21=
21 1.ch a b=
2a br = c+ − sin a
cα = cos b
cα = tg a
bα = cotg b
aα =
Произволен триъгълник: 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − b a2 2 2 2 cosc ac β= + − 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + − 2
sin sin sina b c Rα β γ= = =
Формула за медиана: ( )2 2 2 21 2 24am b c= + − a ( )2 2 21 2 2
4bm a c= + − 2b
( )2 2 21 2 24cm a b= + − 2c
Формула за ъглополовяща: a nb m= 2
cl ab nm= −
Формули за лице
Триъгълник: 12 cS c= h 1 sin
2S ab γ= ( )( )( )S p p a p b p c= − − −
S pr= 4abcS
R=
Успоредник: aS ah= sinS ab α=
Четириъгълник: 1 21 sin2
S d d ϕ=
Описан многоъгълник: S pr=
Тригонометрични функции
0α 00 030 045 060 090
α rad 0 6π
4π
3π
2π
sinα 0 12
22
32
1
cosα 1 32
22
12
0
tgα 0 33
1 3 –
cotgα – 3 1 33
0
α− 090 α− 090 α+ 0180 α− sin sinα− cosα cosα sinα cos cosα sinα sinα− cosα− tg tgα− cotgα cotgα− tgα−
cotg cotgα− tgα tgα− cotgα−
( )sin sin cos cos sinα β α β α± = ± β ( )cos cos cos sin sinα β α β α± = ∓ β
( ) tg tgtg1 tg tgα βα βα β±
± =∓
( ) cotg cotg 1cotgcotg cotg
α βα ββ α
± =±
∓
sin 2 2sin cosα α α= 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin2α α α α= − = − = − α
2
2tgtg21 tg
ααα
=−
2cotg 1cotg2
2cotgααα−
= ( )2 1sin 1 cos 22
α α= − ( )2 1cos 1 cos 22
α α= +
sin sin 2sin cos2 2
α β αα β + −+ =
β sin sin 2sin cos2 2
α β αα β β− +− =
cos cos 2cos cos2 2
α β αα β + −+ =
β cos cos 2sin sin2 2
α β αα β + −− = −
β
( ) (( )1sin sin cos cos2
)α β α β α= − − + β ( ) (( )1cos cos cos cos2
)α β α β α= − + + β
( ) (( )1sin cos sin sin2
)α β α β α= + + − β
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО
Учебен предмет – математика май 2009 г.
ВАРИАНТ № 1
Ключ с верните отговори
Въпроси с изборен отговор
Въпрос №
Верен отговор Брой точки
Въпрос №
Верен отговор Брой точки
1. А
2 26. 1,221 33
x = − ± 15
2. Б 2 27. 26 13
220 110P = = 15
3. Г 2 28. ( )3 5 13ABCP∆ = + 15
4. Б 2 5. Б 2 6. В 2 7. Г 2 8. В 2 9. В 2
10. Б 2 11. Г 2 12. А 2 13. Б 2 14. В 2 15. В 2 16. А 2 17. Б 2 18. В 2 19. Б 2 20. Б 2 21. y 3 22. 20000 3
23. 4 3
24. 146
3
25. 410 3
Въпроси с решения 26. КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 26
1. Записваме уравнението така 2 42
x xx x+
+ =+
.
Определяме множеството от допустими стойности :
( ) ( )2 0 ; 2 0;x xx+
> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ ( 2 т.)
2. Повдигаме двете страни на уравнението на втора степен и получаваме 2 22 . 16
2 2x x x x
x x x x+ +
+ + =+ +
( 3 т.)
3. ⇔ ( )( )
2 222 16
2x xx x+ +
+ =+
( 2 т.)
4. ⇔( )
22 4 4 142
x xx x+ +
=+
⇔ 2 22 4 4 14 28x x x x+ + = + ( 2 т.)
5. ⇔ 212 24 4 0x x+ − = ⇔ 23 6 1 0x x+ − = ( 2 т.)
6. Корените на последното уравнение са 1,221 33
x = − ± , ( 2 т.)
7. Съобразяване, че извършените преобразувания са еквивалентни ( 1 т.)
и че ( ) ( )21 3 ; 2 0;3
− ± ∈ −∞ − ∪ +∞ . ( 1 т.)
*Забележка: Ако вместо етап 1. и 7. е направена директна проверка,
че 1,221 33
x = − ± са решения на даденото уравнение ( 4 т.)
Второ решение:
1. Полагане 2x tx+
= ( 2 т.)
2. Допустими стойности за t : 0t > ( 1 т.)
3. Получаване на уравнението 1 4tt
+ = (1 т.)
4. Намиране на 1,2 2 3t = ± ( 2 т) 5. Установяване, че 1 20, 0t t> > ( 2 т.)
6. Заместване 2 2 3xx+
= + и 2 2 3xx+
= − ( 1 т.)
7. Намиране решението на първото уравнение 1 2 3 333 2 3
x −= =
+ ( 3 т.)
8. Намиране решението на второто уравнение 1 2 3 333 2 3
x − −= =
− ( 3 т.)
КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 27 Като се има пред вид с какви монети разполагаме, от три монети обща сума 1,20 лв. може да се получи по два начина – 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. или 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. (3 т.)
Броят на възможните тройки монети е 312
12.11.10 2202.3C = = . (2 т.)
1 монета по 1 лв. може да бъде избрана по 12 2C = начина и 2 по 10 ст. по 2
2 1C = начин (2 т.).
Следователно 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. могат да бъдат избрани по 1 22 2. 2.1 2C C = =
начина. (2 т.)
Две монети по 50 ст. могат да бъдат избрани по 24
4.3 62C = = начина и 1 монета от 20 ст.
може да бъде избрана по 14 4C = начина. (2 т.)
Следователно 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. могат да бъдат избрани по 2 14 4. 6.4 24C C = = начина. (2 т.)
Общият брой на благоприятните изходи е 2 24 26+ = и търсената вероятност Р е 26 13
220 110P = = . (2 т.)
КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 28 • доказване, че ABM∆ е равнобедрен ( 2 т.)
• изразяване на 2BC AB x= = ( 1 т.)
• изразяване на 2 2CL AL y= = ( 2 т.)
• получаване на уравнение от ъглополовящата 2 216 2 2x y= − ( 3 т.)
• получаване на уравнение от медианата 2 264 18 2y x= − (3 т. )
• решаване на системата и получаване на 13x = , 5y = ( 3 т.)
• определяне на периметъра на триъгълника ( )3 5 13ABCP∆ = + (1 т.)
Recommended