2011.10.04 Югозападен университет "Неофит Рилски"-...

1

Решения на задачите от кандидатстудентския изпит по математика в ЮЗУ ”Н.Рилски”

Вариант 3 (10 април 2011)

Задача 1. Да се реши уравнението

2 2 2 7 .2 2 2 12

x xx x

Решение. ДМ за x : 1 0 ( 1)( 2) 02

x x xx

, откъдето следва, че

( , 2) ( 1, )x .

Полагаме 2 22

x ux

. ДМ за u : 0u .

Получаваме уравнението 1 712

uu

или 212 7 12 0u u , което има корени

143

u и 234

u . Коренът 2u на ДМ.

От 143

u намираме, че 2 2 4 2 2 162 3 2 9

x xx x

, откъдето получаваме 7x .

Тъй като 7 принадлежи на ДМ за x , то 7x е решение на задачата..

Отговор: 7x .

Задача 2. Да се реши системата уравнения

17 .2 4

3.

x y

y x

Решение. Заместваме 3y x от второто уравнение в първото и получаваме

1 37 .2 4x x или 1 17 .2 .4 4x x , откъдето следва, че 114 1x . Това равенство е изпълнено само при 1 0x . Следователно 1x . От 3y x получаваме 2y . Следователно двойката ( 1, 2)x y е единствено решение на системата.

Отговор: ( 1, 2)x y Задача 3. В ABC с 2 2 AC cm и 4 2 BC cm отсечката CL е

ъглополовяща. Ако O е центърът на описаната окръжност около ABC и

90OLC , да се намери дължината на страната AB на триъгълника.

2

Решение. Нека лъча CL пресича описаната около триъгълника окръжност в

точка M (Фиг.1). Триъгълникът COM е равнобедрен и следователно неговата

височина OL е и негова медиана. Следователно CL ML l .

Нека означим AL x и BL y . Тогава от . .CLML AL BL имаме 2 .l x y От

2 . .CL CACB AL BL намираме, че 2 16 .l x y .

От системата уравнения

2

2

16

.

l xy

l xy

като елиминираме l , получаваме 8xy .

От друга страна 2 2 124 2

x ALy BL .

Системата

8

1 .2

xy

xy

има решение 2, 4x y . Следователно 6AB x y .

Отговор. 6 AB cm .

Задача 4. Основата ABC на триъгълната пирамида ABCM е правоъгълен

триъгълник с 90C и : 3 : 4AC BC . Околните ръбове на пирамидата имат

дължина l и образуват с равнината на основата ъгъл 45 . Да се намери обемът на

пирамидата.

O

L

A B

C

M

.1Фиг

3

Решение. Тъй като околните ръбове на пирамидата са равни, то ортогоналната

проекция O на върха M на пирамидата в равнината ABC е център на описаната

окръжност около основата. Но ABC е правоъгълен и следователно O е средата на

хипотенузата AB на триъгълника (Фиг.2).

Триъгълниците , MOA MOB и AMB са равнобедрени правоъгълни и

следователно 2AB l , 2lMO .

Ако използваме за ABC стандартните означения: , , AB c BC a AC b ,

имаме 2c l , 34

b a и от Питагоровата теорема получаваме 4 25

a l и

3 3 24 5

b a l .

Тогава обемът на пирамидата е 31 1 1 2 2. . . .3 3 2 25ABCV S MO abMO l .

A

O

B

C

M

Фиг.2