2.1.2 Maksvelio teorijos pagrindai (Fizika.KTU.2009)

Maksvelio teorijos pagrindai.

XIX amžiaus pirmojoje pusėje A.Ampero, Ž.Bio, F.Savaro, M. Faradėjaus bei kitų mokslininkų eksperimentai parodė, kad elektriniai ir magnetiniai reiškiniai yra susiję.

1855 – 1865 m. Dž.Maksvelas, pasinaudojęs M.Faradėjaus idėjomis apie elektrinį irmagnetinį laukus, apibendrino šiuos eksperimentais nustatytus dėsnius ir sukūrėfundamentalią elektromagnetinio lauko teoriją.

Jo teorija yra makroskopinė, nagrinėjanti tik makroskopinių krūvių ir srovių sukurtuselektrinius ir magnetinius laukus erdvės taškuose, kurių atstumas nuo lauko šaltiniodaug didesnis už molekulių matmenis.

Teorijos pagrindą sudaro Maksvelo lygčių sistema. Maksvelo lygtys susieja elektrinįbei magnetinį lauką apibūdinančius dydžius E, D, B, H su šių laukų šaltinių, t.y. su jųpačių ar su elektros krūvių bei elektros srovių, charakteristikomis.

Lygtys, užrašytos kiekvienam lauko taškui, yra diferencialinės. Lygtys, kuriose šie ryšiai išreikšti tam tikrais integraliniais (suminiais) dydžiais,vadinamos integralinėmis.

Maksvelio teorijos pagrindai. Slinkties srovė.

Pradėdami nagrinėti Maksvelo lygtis, pirmiausiai trumpai aptarsime slinkties srovę irvektorinio lauko matematikos kai kuriuos elementus.

Kiekviena laidumo elektros srovė kuria magnetinį lauką.

Tačiau 1861 m.,apibendrindamas kitų fizikų eksperimentus, Dž.Maksvelas atrado fundamentalų gamtos dėsnį, kuris teigia, kad:

Kiekvienas kintamasis magnetinis laukas erdvėje sukuria sūkurinį elektrinį lauką irkiekvienas kintamasis elektrinis laukas kuria sūkurinį magnetinį lauką.

Taigi kintamasis elektrinis laukas magnetinio lauko kūrimo aspektu yra ekvivalentuselektros srovei, todėl Dž.Maksvelas jį pavadino slinkties srove.

Maksvelio teorijos pagrindai. Slinkties srovė.

Rasime kintamojo elektrinio lauko ir jo sukurto magnetinio lauko kiekybinį ryšį.

Nagrinėsime kintamosios srovės grandinę, į kurią įjungtas kondensatorius su idealiai nelaidžiu dielektriku.

Tekant kintamajai srovei, kondensatorius periodiškai įsikrauna ir išsikrauna, todėl tarpelektrodų elektrinis laukas kinta laike ir, pagal Dž.Maksvelą, pro kondensatorių tekamagnetinį lauką kurianti slinkties srovė.

Jei kondensatoriaus krūvis q , o elektrodo paviršiaus plotas S0 , tai elektrodutekančios laidumo srovės tankis:

, t.y. lygus krūvio paviršinio tankio kitimo spartai.

Krūvio paviršinis tankis yra lygus elektrinei slinkčiai: , o

išdiferencijavę šią lygtį, gauname:

tSq

ttq

SSIj l

l ∂∂

=

∂∂

=∂∂

==σ

000

1

D

=σ

tD

t ∂∂

=∂∂σ

ED

εε 0=

Maksvelio teorijos pagrindai. Slinkties srovė.

Kairioji šios lygties pusė apibūdina laidumo srovės tankį.

Kadangi elektrinė slinktis būdinga dielektrikui, jos kitimo spartą pavadinkime Maksvelio postuluota slinkties srove:

Slinkties srovės tankio kryptis sutampa su slinkties kryptimi.

Todėl vektorinė forma užrašoma:

Iš gautos lygties seka fundamentali išvada: kintant elektriniam laukui (D), tiek vakuume, tiek dielektrike “teka” slinkties srovė, kurianti magnetinį lauką visai taip pat,kaip ir laidumo srovė.

tjl ∂

∂=

σ

tD

t ∂∂

=∂∂σ

tDjs ∂∂

=

tDjs ∂∂

=

Maksvelio teorijos pagrindai. Slinkties srovė.

Elektrinė slinktis yra lygi:

Todėl slinkties srovės tankis dielektrike susideda iš dviejų komponenčių:

Pirmasis dėmuo nusako srovės tankį vakuume, jis susijęs tik su elektrinio lauko kitimulaike.

Jeigu , atsiranda slinkties srovė, kurianti aplink save sūkurinį magnetinįlauką.

Antrasis dėmuo susijęs su poliarizacijos reiškiniu,

t.y. su surištųjų krūvininkų judėjimu dielektrike. Ši srovė vadinama poliarizacijos srove.

tP

tE

tDjs ∂

∂+

∂∂

=∂∂

=

0ε

PED

+= 0ε

0≠∂∂

tE

tP∂∂

Maksvelio teorijos pagrindai. Pilnutinė srovė.

Slinkties srovė “teka” visur, kur kinta elektrinis laukas. Elektrinis laukas gali kisti vakuume, dielektrike, laiduose.

Todėl, apibrėžiant pilnutinę srovę, reikia įskaityti laidumo ir slinkties sroves.

Pilnutinės srovės tankis išreiškiamas:

Suintegravę srovės tankį, veriantį ribotą plotą S, gausime pilnos srovės išraišką:

, čia pirmas narys apibūdina laidumo srovę, o antras – slinkties srovę.

Pagal šią lygtį, grandinė, sudaryta iš nelaidžių dalių, kintamai elektros srovei yrauždara. Šias grandinės dalis “uždaro” slinkties srovės, “tekančios” jomis.

tDjj l ∂∂

+=

SdtDSdjI

SSl

∫∫ ∂∂

+=

Pirmoji Maksvelio integralinė lygtis.

Gautai pilnutinės srovės išraiškai:

pritaikykime visuminės srovės dėsnį: , arba:

Gausime pirmąją Maksvelio integralinę lygtį:

Jei turime absoliučiai idealų dielektriką, jame , todėl lygtis tampa :

ji sieja magnetinio lauko stiprį H, su jį sukėlusio elektriniolauko D kitimo sparta.

SdtDSdjI

SSl

∫∫ ∂∂

+=

IldBl

0µ=∫

IldHl

=∫

SdtDSdjldH

SSl

l

∫∫∫ ∂∂

+=

0=lj

SdtDldH

Sl

∫∫ ∂∂

=

Pirmoji Maksvelio diferencialinė lygtis.

Pirmajai Maksvelio integralinei lygčiai pritaikykime Stokso teoremą, kuri teigia, kad:bet kokio vektoriaus cirkuliacija kontūru l yra lygi to vektoriaus rotoriaus srautui prokontūro l juosiamą ploto S paviršių. T.y.:

, tada: lygtis virs:

Lygtis tenkins lygybę tada, kai pointegraliniai nariai bus lygūs, todėl:

, kai: idealiam dielektrikui:

- pirmoji Maksvelio diferencialinė lygtis, teigianti, kad elektrinio lauko stiprio vektoriaus kitimo sparta lygi magnetinio lauko stipriovektoriaus rotoriui.

T.y. kintantis laike elektrinis laukas kuria sūkurinį magnetinį lauką.

SdHrotldHSl

∫∫ = Sd

tDSdjldH

SSl

l

∫∫∫ ∂∂

+=

SdtDjSdHrot

Sl

S

∫∫

∂∂

+=

tDjHrot l ∂∂

+=

0=lj

tDHrot∂∂

=

Antroji Maksvelio integralinė lygtis.

Antroji Maksvelio lygtis pagrysta 1831 m. M. Faradėjaus įrodytu bendruoju gamtosdėsniu: kiekvienas kintamas magnetinis laukas aplink save kuria sūkurinį elektrinįlauką.

Tai išreiškiama magnetinio srauto kitimo sparta:

Magnetinio srautas, veriantis uždarą paviršių, yra lygus: , todėl:

Kadangi geometrinio kontūro ilgis l ir plotas laike nekinta,integravimo ir diferencijavimo operacijas galime sukeisti.

Gauname antrąją Maksvelio integralinę lygtį:

tldE

l ∂Φ∂

−=∫

∫=ΦS

SdB

∫∫ ∂∂

−=Sl

SdBt

ldE

∫∫ ∂∂

−=Sl

SdtBldE

Antroji Maksvelio diferencialinė lygtis.

Sūkurinio elektrinio lauko vektoriaus E cirkuliacijai pritaikome Stokso teoremą:

, įstatę šią išraišką į antrąja integralinę Maksvelio lygtį, gauname:

Lygtis tenkins lygybę tada, kai pointegraliniai nariai bus lygūs, todėl:

gavome antrosios Maksvelio diferencialinės lygties išraišką.Ji teigia, kad magnetinės indukcijos vektoriaus kitimo sparta lygi elektrinio lauko stiprio vektoriaus rotoriui.

T.y. kintantis laike magnetinis laukas kuria sūkurinį elektrinį lauką.

∫∫ ∂∂

−=Sl

SdtBldE

SdErotldESl

∫∫ =

∫∫ ∂∂

−=SS

SdtBSdErot

tBErot∂∂

−=

Pirmoji ir antroji Maksvelio diferencialinės lygtys.

Pirmoji ir antroji Maksvelio lygtys parodo,

kad kintami elektrinis ir magnetinis laukas neegzistuoja pavieniui, o tik kartu.

Kintamas elektrinis laukas kuria sūkurinį magnetinį lauką, o kintamas magnetinis laukas kuria sūkurinį elektrinį lauką.

Todėl Maksvelio lygtys dar vadinamos elektromagnetinio lauko lygtimis.

Šios dvi lygtys papildomos trečia ir ketvirta lygtimis.

tBErot∂∂

−=

tDHrot∂∂

=

Trečioji Maksvelio lygtis.

Trečioji Maksvelio lygtis, tai elektrostatikoje nagrinėta Gauso teorema elektrinei slinkčiai:

Jos diferencialinė išraiška yra:

dVSdDVS∫∫ = ρ

ρ=Ddiv

Ketvirtoji Maksvelio lygtis.

Ketvirtoji Maksvelio lygtis teigia, kad gamtoje nėra laisvųjų magnetinių krūvių,kitaip tariant visi magnetiniai laukai yra sūkuriniai.

Diferencialinėje formoje ši lygtis užrašoma:

0=∫S

SdB

0=Bdiv

Pilnoji integralinių Maksvelio lygčių sistema

Norint įvertinti aplinkos elektromagnetiniam laukui poveikį, keturios lygtys papildomos:

EjHBED

γµµεε === ,, 00

SdtDSdjldH

SSl

l

∫∫∫ ∂∂

+=

∫∫ ∂∂

−=Sl

SdtBldE

dVSdDVS∫∫ = ρ

0=∫S

SdB

Pilnoji diferencialinių Maksvelio lygčių sistema

EjHBED

γµµεε === ,, 00

tDjHrot l ∂∂

+=

tBErot∂∂

−=

ρ=Ddiv

0=Bdiv

Maksvelio lygtys statiniams laukams.

0=∂∂

tD

0=∂∂

tB

Kai elektrinis ir magnetinis laukai nekinta laike, t.y. Ir

Maksvelio lygčių sistema suskyla į dvi viena nuo kitos nepriklausomas elektrinio ir magnetinio lauko lygčių sistemas.

Elektrostatiniam laukui Stacionariam magnetiniam laukui

Iš to seka, kad statiniai elektrinis ir magnetinis laukai yra atskiros elektromagnetiniolauko apraiškos.

0=∫l

ldE

dVSdDVS∫∫ = ρ

ll

IldH =∫

0=∫S

SdB

Divergencijos ir rotoriaus operatoriai

Bet kokio vektoriaus divergencija yra srautas į išorę pro paviršių, ribojantį vienetinįtūrį.

Jinai yra skaliaras ir gali kisti nuo vieno taško pereinant prie kito taško, t.y. jinai yra koordinačių funkcija. Dekarto koordinačių sistemoje:

Jeigu nėra vektoriaus srauto pro paviršių arbavektorius išeina ir taip pat įeina į paviršių:

0=Fdiv

F

F

F

F F

F

a

aFdiv =

Divergencijos ir rotoriaus operatoriai

Bet kokio vektoriaus rotorius yra cirkuliacija kontūru.Jis yra vektorius. Dekarto koordinačių sistemoje:

Determinato išraiška:

Jeigu vektorius necirkuliuoja uždaru kontūru:

Kitaip tariant, visada:

0=Frot

F

a

F

0)( =Fdivrot

aFrot =

Elektromagnetinės bangos

Jeigu elektrinio lauko kitimas sukuria augantį sūkurinį magnetinį lauką, o augantis –kintantis magnetinis laukas sukuria sūkurinį elektrinį lauką ir t.t., tai šis procesasvyksta periodiškai kintant šiems laukams erdvėje ir laike.

Iš to 1865 metais Dž. Maksvelis padarė išvadą, kad elektromagnetinis laukas galiegzistuoti elektromagnetinių bangų pavidalu. Periodiškai kintantis elektromagnetinislaukas gali atsiskirti nuo jį sukūrusių materialių šaltinių ir nepriklausomai sklistierdvėje.

Tokiu būdu susidaro sklindantys šių laukų svyravimai, kas yra vadinamaelektromagnetinėmis bangomis. Elektromagnetinių bangų egzistavimas išplaukia iš pirmų Maksvelio lygčių sprendimo.

Elektromagnetinės bangos

Elektriškai neutralioje ir nelaidžioje aplinkoje diferencialinių

Maksvelio lygčių sistema labai supaprastėja:

Pritaikykime 2 Maksvelio lygčiai rotoriaus operaciją:

, rotoriaus ir išvestinės operacijų eigą (pagalmatematines vektorinės algebros taisykles) galima sukeisti:

Įstatę 1 lygties E rotorių,lygtis įgauna pavidalą:

0=ρ 0=lj

tEHrot∂∂

=

εε 0 t

HErot∂∂

−=

µµ0 0=Ediv

0=Hdiv

( )

∂∂

−=t

HrotErotrot

µµ0

( ) Hrottt

HrotErotrot

∂∂

−=

∂∂

−= µµµµ 00

( ) 2

2

00 tEErotrot

∂∂

−=

εµεµ

Elektromagnetinės bangos

Tą patį atlikę su 1 lygtimi, gauname dviejų lygčių sistemą:

Iš matematinės lauko teorijos:

Tačiau kadangi: , gauname: , įstatę į pirmą lygtį ir

panaikinę minuso ženklus, gauname:

( ) 2

2

00 tEErotrot

∂∂

−=

εµεµ

( ) 2

2

00 tHHrotrot

∂∂

−=

εµεµ

( ) EEdivgradErotrot

∆−= )(

0=Ediv ( ) EErotrot

∆−=

2

2

00 tEE

∂∂

=∆

εµεµ

Elektromagnetinės bangos

Tą patį atlikę su 2 lygtimi, gauname dviejų lygčių sistemą:

arba, išskleidę Laplaso operatorių ∆:

Šios lygtys yra analogiškos tampriųjų mechaninių bangų diferencialinei lygčiai:

2

2

00 tEE

∂∂

=∆

εµεµ 2

2

00 tHH

∂∂

=∆

εµεµ

2

2

002

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

εµεµ

2

2

002

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

εµεµ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1zs

ys

xs

ts

v ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

Elektromagnetinės bangos

Iš šio palyginimo išplaukia prasmė:

arba:

kadangi:

elektromagnetinės bangos sklidimo greitis yralygus šviesos greičiui. (Vakuume arba medžiagoje).

2

2

2

2

2

2

2

2

00 zH

yH

xH

tH

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

εµεµ

2

2

2

2

2

2

2

2

00 zE

yE

xE

tE

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

εµεµ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1zs

ys

xs

ts

v ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

εµεµ 00

2001v

=εµεµ

εµεµµεcv ==

00

1

00

1µε

=c

Elektromagnetinės bangos

Kintantis elektrinis ar magnetinis laukas kuria sūkurinius laukus, kurių liestinės kiekviename erdvės taške statmenos, juos sukūrusiam laukui. Iš to seka, kadelektromagnetinės bangos yra skersinės.Kai nagrinėjama elektromagnetinė banga sklinda x ašimi, vektoriai E ir H nuo y ir znepriklauso. Todėl diferencialinės lygtys užrašomos paprasčiau:

, čia:

Šias diferencialines lygtis tenkina tokie sprendiniai:

Šie sprendiniai aprašo elektrinio ir magnetinio laukų periodinius svyravimus erdvėje irlaike. O svyravimų sklidimas aplinkoje vadinamas banga. Šiuo atveju turime plokščią elektromagnetinę bangą.Elektromagnetinės bangos eksperimentiškai aptiktos 1888 m. H. Herco.

2

2

2

2

2

1xE

tE

v ∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

1xH

tH

v ∂∂

=∂∂

)cos( 0αω +−= kxtEE m )cos( 0αω +−= kxtHH m

Elektromagnetinės bangos

Elektromagnetinėje bangoje energiją perneša kintantys ir vienas kitą kuriantyselektrinis ir magnetinis laukai.

Sklindant elektromagnetinei bangai šie laukai, kurių kitimo dėsnis ir fazė vienodi, svyruoja statmenai sklidimo krypčiai ir vienas kitam.

Kadangi laukų stiprumas svyruoja statmenai sklidimo krypčiai – elektromagnetinėsbangos yra skersinės.

Šių bangų sklidimo greitis vakuume yra lygus šviesos sklidimo greičiui:

)cos( 0αω +−= kxtEE m )cos( 0αω +−= kxtHH m

εµcv =

Elektromagnetinės bangos – energija

Elektromagnetinės bangos, sklisdamos erdvėje, perneša energija.Šios energijos tūrinis tankis susideda iš elektrinio ir magnetinio laukų energijų turinio tankio:

Elektromagnetinės bangos laukų stiprumus sieja lygybė:

Todėl: ir .

Dar kartą pasinaudoję laukų stiprumų lygybę, gauname:

bangos energijos tūrinį tankį padauginę išjos sklidimo greičio, gauname energijos srautotankį.

arba vektoriškai: vadinamas Pointingo vektoriumi

Energijos srauto tankis lygus energijos kiekiui, pernešamam per vienetinį laiko tarpą,pro vienetinį plotą, statmeną energijos sklidimo krypčiai.

22

20

20 HEwww me

µµεε+=+=

HE µµεε 00 =

me ww = 202 Eww e εε==

EHv

EHw 100 == εµµε

EHwvS == HES

×=

Elektromagnetinės bangos - sukūrimas

Elektromagnetines bangas kuria periodiškai kintantis elektrinis ar magnetinis laukas.

Paprasčiausias elektromagnetinių bangų spinduolis yra elektrinis dipolis.

Dipolio vertei keičiantis laike (gali keistis krūvis arba atstumas), vyksta elektrinio lauko kitimas erdvėje arba laike. Tai sukelia elektromagnetiniu bangu spinduliavimą.

lqp

=

tpp me ωcos=

Elektromagnetinės bangos - siųstuvas

Dipolio spinduliavimo principo taikymu pagrįstas elektromagnetinių bangų siųstuvų konstrukcijos.

Jei mes kondensatoriaus paviršių atskleisim, tai elektromagnetinė energija iš virpesių kontūro pereidinės į erdvę, kurdama elektromagnetines bangas:

Išspinduliuotos bangos dažnis keisis, priklausomai nuo R, L ir C grandinės parametrų.

Elektromagnetinės bangos - imtuvas

Elektromagnetinių bangų priėmimas paremtas elektromagnetinės indukcijos ir elektromagnetinių virpesių rezonanso principu.

Elektromagnetinės indukcijos reiškinys - kintamos srovės atsiradimas laidininke, kertant jį kintamu elektromagnetiniu lauku.

Sklindant elektromagnetinėms bangoms nuo siųstuvo, jei jos sutinka kontūrą, kuriodažnis sutampa su elektromagnetines bangos dažniu, kontūre indukuojasi kintamielektromagnetiniai virpesiai.

Šie virpesiai stiprinami.

Elektromagnetinės bangos - imtuvas

Radijo ryšys pagrįstas norimo perduoti signalo (pvz.: garso), vadinama amplitudine moduliacija.

Amplitudinė moduliacija – elektromagnetinės bangos nekintamo dažnio amplitudėsformavimas pagal garso bangos amplitudės ir dažnio kitimą.

Tai yra ne kas kita kaip skirtingų dažnių bangų sudėtis.

Toks signalas, pasiekęs imtuvą demoduliuojamas – nešantysis dažnis eliminuojamas.

Ko pasėkoje lieka tik garso elektrinis signalas, kuris gali būti paduodamas įgarsiakalbį.

Elektromagnetinės bangos – pagrindinės savybės

1. Elektromagnetinę bangą sukuria kintantis laike E arba H laukas.

2. Elektromagnetinės bangos – sklidimo greitis vakuume:

3. Elektromagnetinės bangos – dažnis nuo 104 iki 1020 Hz.

4. Elektromagnetinės bangos – bangos ilgis intervale 30 km – 3 pm (3*104-3*10-12) m.

5. Sklidimo greitis medžiagose visada yra mažesnis negu vakuume.

6. Sklidimo greitis medžiagose priklauso nuo ε ir µ.

7. Elektromagnetinės bangos yra skersinės.

8. Elektromagnetinėje bangoje E, H ir v vektoriai visada statmeni vienas kitam.

9. Elektromagnetinės bangos patiria lūžio, difrakcijos, interferencijos, atspindžio ir kitus reiškinius, būdingus visų tipų bangoms.

smc /10*3 8=

εµcv =

Elektromagnetinės bangos – pagrindinės savybės

10. Elektromagnetinės bangos sklinda vakuumu ir dielektrikais, tačiau visiškai atsispindi nuo metalų paviršių.

11. Kadangi elektromagnetinės bangos skersinės, jos gali poliarizuotis.

12. Elektromagnetinės bangos dažnis priklauso tik nuo šaltinio.

13. Elektromagnetinės bangos ilgis priklauso nuo šaltinio dažnio ir aplinkos:

14. Elektromagnetinės bangos amplitudė priklauso nuo šaltinio galios.

15. Elektromagnetinės bangos silpsta medžiagose, perduodamos energiją medžiagai.

16. Elektromagnetinės bangos gali patirti rezonansą uždarose metalinėse erdvėse.

17. Elektromagnetinės bangos gali būti harmoninės ir sudėtinės.

18.Elektromagnetinėm bangom galioja Doplerio efektas.

νλ V=

Elektromagnetinės bangos – spektras

Elektromagnetinių bangų dažninis spektras – nuo 104 iki 1020 Hz. Elektromagnetinės bangos skirstomos pagal dažnį:

Radijo bangos: 1. Ilgosios bangos (10 km – 100 m),2. Trumposios bangos (100 m – 10 m),3. Video bangos (10 m – 0.01 m),4. Mikrobangos (0.01 m – 1 mm).

Infraraudonos (1 mm – 0.76 µm),Regimos (0.76 – 0.38 µm),Ultravioletinės (0.38 µm – 0.05 µm),Rentgeno spinduliai (0.05 µmγ – spinduliai. - – 3 pm)