3. Gerbang Logika Dan Aljabar Boolean

O L E H :BAGU S FATK H U RROZI

J U RU SA N TE K NI K E L E K TROU N TI DA R

2 0 1 5

Gerbang Logika dasar pembentuk dlm sistem digital.

beroperasi dlm bilangan biner (gerbang logika biner).

Logika biner menggunakan dua buah nilai yaitu ‘0’ dan ‘1’.

Logika biner yang digunakan dlm sistem digital, yaitu :

1. logika biner positif, logika tinggi ditandai dengan nilai ‘1’ dan logika rendah ditandai dengan nilai ‘0’.

2. logika biner negatif, logika tinggi ditandai nilai ‘0’ dan logika rendah ditandai nilai ‘1’.

Pada pembahasan ini kita akan mengunakan logika biner positif.

Gerbang Logika DasarPada sistem digital hanya terdapat tiga buah gerbang logika dasar, yaitu :

1. gerbang AND,

2. gerbang OR, dan

3. gerbang NOT (inverter).

Berikut ini kita akan membahas ketiga gerbang dasartersebut.

Gerbang Logika ANDGerbang logika AND gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran.

Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika semua sinyal masukan tinggi.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A AND B”)

A

BF

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1F A B

Gerbang Logika AND

”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan

secara seri.”

6

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2 Lampu

OFF OFF

OFF ON

ON OFF

ON ON

Gerbang Logika AND

S1 S2

7

S1 S2 Lampu

OFF OFF mati

OFF ON mati

ON OFF mati

ON ON nyala

Gerbang Logika AND

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

Fungsi = ??

S1 S2

8

S1 S2 Lampu

0 0 0

Fungsi = ??

Gerbang Logika AND

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2

9

Gerbang Logika AND

S1 S2 Lampu

0 0 0

0 1 0

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

Fungsi = ??

S1 S2

10

S1 S2 PATH?

0 0 0

0 1 0

1 0 0

Fungsi = ??

Gerbang Logika AND

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2

11

S1 S2 PATH?

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Fungsi = Logika AND

Gerbang Logika AND

Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)

S1 S2

Gerbang Logika ORGerbang logika OR gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran.

Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika salah satu sinyal masukan tinggi.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A OR B”)

A

BF

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1F A B

Gerbang Logika OR

”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan

secara paralel.”

14

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S1 S2 Lampu

OFF OFF Mati

OFF ON Nyala

ON OFF Nyala

ON ON Nyala

Gerbang Logika OR

S1

S2

15

S1 S2 Lampu

0 0 0

Fungsi =??

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

Gerbang Logika OR

S1

S2

16

S1 S2 Lampu

0 0 0

0 1 1

Fungsi =??

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

Gerbang Logika OR

S1

S2

17

S1 S2 Lampu

0 0 0

0 1 1

1 0 1

Fungsi =??

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

Gerbang Logika OR

S1

S2

18

Switches in Parallel

S1 S2 Lampu

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Fungsi = Logika OR

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S1

S2

Gerbang Logika NOTGerbang logika NOT gerbang logika dasar yang memiliki sebuah sinyal masukan dan sebuah sinyal keluaran.

Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika sinyal masukan rendah.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan bukan/ not A”)

A FA F

0 1

1 0

F A

Gerbang Logika OR

”memiliki konsep seperti sebuah saklar yang dipasangkan

secara paralel dengan lampu dan diserikan dengan sebuah

resistor.”

21

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S Lampu

OFF Nyala

ON Mati

Gerbang Logika OR

S

R

22

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S Lampu

0 1

Gerbang Logika OR

S

R

23

Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)

S Lampu

0 1

1 0

Gerbang Logika OR

S

R

Gerbang Logika Bentukandihasilkan dari susunan gerbang logika

dasar.

diantaranya :

1. gerbang NAND,

2. gerbang NOR,

3. gerbang XOR, dan

4. gerbang XNOR.

Gerbang Logika NANDGerbang logika NAND gerbang logika AND yang di

NOT kan.

A B F

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

BFF

A

B

Gerbang Logika NAND (Lanjutan)

Gerbang logika NAND gerbang logika yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran.

Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika semua sinyal masukan tinggi.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A NAND B / bukan A AND B”)

A B F

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

BF

F A B

Gerbang Logika NORGerbang logika NOR gerbang logika OR yang di NOT

kan.

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

A

BFF

A

B

Gerbang Logika NOR (Lanjutan)

Gerbang logika NOR gerbang logika yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran.

Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika salah satu atau semua sinyal masukan tinggi.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A NOR B / bukan(not) A OR B”)

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

A

BF

F A B

Gerbang Logika XORberlaku ketentuan: sinyal keluaran tinggi jika masukan tinggi berjumlah ganjil.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A XOR B”)

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

B

AF

F A B

Gerbang Logika XNORberlaku ketentuan: sinyal keluaran rendah jika masukan tinggi berjumlah ganjil.

Ekspresi Booleannya :

(dibaca “F sama dengan A XNOR/ bukan XOR B”)

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A

BF

F A B

Ekivalen logika positif dan logika negatif

Logika positif Logika negatif Definisi

OR AND Keluaran tinggi jika salah satu masukantinggi

AND OR Keluaran tinggi jika semua masukantinggi

NOR NAND Keluaran rendah jika salah satu masukantinggi

NAND NOR Keluaran rendah jika semua masukantinggi

Ekspresi Boolean

Adalah pernyataan logika dalam bentuk

aljabar Boolean.

ALJABAR BOOLEAN

Inti pembelajaran Bisa menghasilkan suatu realisasi rangkaian

elektronika digital dari suatu persamaan logika matematika

Persamaan logika matematika tersebut dimodifikasi sehingga menghasilkan realisasi rangkaian dengan jumlah gerbang yang minimal/optimal.

Rangkaian digital yang ekivalen dengan persamaan logika Misalnya diketahui persamaan logika:

x = A.B+C

Rangkaiannya:

Urutan Operasi (Parentheses) Operasi bilangan biner hanya mengenal AND dan OR

Jika terjadi operasi AND dan OR bersamaan tanpa ada kurung, maka yang didahulukan adalah AND

Misal : x = A.B+C = (A.B)+C A dan B di-and-kan dulu, baru di-or-kan dengan C

A.B+C =/= A.(B+C)

Contoh rangkaian (dengan inverter)

x = A’BC(A+D)’

Tabel kebenaran rangkaian digital Merupakan list output rangkaian/ persamaan logika

untuk seluruh kombinasi input

Contoh: buatlah tabel kebenaran untuk rangkaian x = A’BC(A+D)’

Tabel kebenaranD C B A A’ B.C (A+D)’ x = A’BC(A+D)’

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Sifat Aljabar Boolean Sifat komutatif

Sifat Asosiatif

Sifat Distributif

Sifat Komutatif

Sifat Asosiatif

Sifat Distributif

Hukum-hukum Aljabar Boolean1. Hukum identitas:

(i) a + 0 = a

(ii) a 1 = a

2. Hukum idempoten: (i) a + a = a

(ii) a a = a

3. Hukum komplemen: (i) a + a’ = 1 (ii) aa’ = 0

4. Hukum dominansi:

(i) a 0 = 0 (ii) a + 1 = 1

5. Hukum involusi: (i) (a’)’ = a

6. Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a

7. Hukum komutatif: (i) a + b = b + a (ii) ab = ba

8. Hukum asosiatif: (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a (b c) = (a b) c

9. Hukum distributif: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c

10. Hukum De Morgan: (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) (ab)’ = a’ + b’

11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1

(ii) 1’ = 0

CONTOH

1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y

2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y

3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’

= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z

= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)

= X.Y + X’.Z

45

Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik:

1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP

Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

46

Minterm Maxterm

x y Suku Lambang Suku Lambang

0 0 1 1

0 1 0 1

x’y’ x’y xy’ x y

m0 m1

m2 m3

x + y x + y’ x’ + y x’ + y’

M0 M1 M2

M3

47

Minterm Maxterm

x y z Suku Lambang Suku Lambang

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

x’y’z’ x’y’z x‘y z’ x’y z x y’z’ x y’z x y z’ x y z

m0 m1

m2 m3

m4 m5 m6 m7

x + y + z x + y + z’ x + y’+z x + y’+z’ x’+ y + z x’+ y + z’ x’+ y’+ z x’+ y’+ z’

M0 M1 M2

M3

M4 M5 M6 M7

M I N T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki

hubungan operasi AND antar variabel secara

lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR

Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = X + Y’Z dalam

minterm

Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z

suku pertama A = X(Y+Y’) (Z+Z’)

= XYZ+XYZ’+XY’Z+XY’Z’

suku kedua Y‘Z = Y’Z (X+X’)

= XY’Z + X’Y’Z

Jadi penulisan Minterm untuk F = X + Y’Z

adalah F = XYZ+XYZ’+XY’Z+XY’Z’+X’Y’Z

= m7 + m6 + m5 + m4 + m1

Atau dapat ditulis dengan notasi

F (ABC) = (1,4,5,6,7)

Lanjutan …

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

X Y Z F

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

M A X T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki

hubungan operasi OR antar variabel secara

lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan

operasi AND.

Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam

Maxterm.

Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z

dengan menggunakan Hk.Distributif

F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)

= (X + X’) (Y + X’) (X + Y) (X + Z)

= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)

Lanjutan …….

Untuk suku 1

(X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y +

Z’)

(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)

(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)

Jadi dapat ditulis

F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z)

(X’+Y+Z’)

= M0.M2.M4.M5

Atau ditulis dengan notasi

F (XYZ) = (0,2,4,5)

Lanjutan …

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

A B C F

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1