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4. Modelos Unidimensionales.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
65
4.0 Introducción.
Existen 2 formas principales de modelar el comportamiento fluidodinámico de un motor Stirling: El modelo unidimensional y el modelo multidimensional.
En el primero no hay perfiles de velocidad ni de temperatura y por tanto no hay gradientes de estos parámetros. Las cantidades que dependen de las variaciones espaciales de velocidad y temperatura (como
y
u
∂∂−= µτ ó
y
Tkq
∂∂−= ) se obtienen
indirectamente mediante correlaciones de coeficientes adimensionales. Podemos distinguir los siguientes tipos:
- Modelos de primer orden. � El modelo isotérmico. o La temperatura del gas en cada cámara permanece constante. o Las pérdidas hidráulicas se estiman con la ecuación de Darcy. o Los espacios de expansión y compresión son isotermos y a la misma
temperatura que los focos caliente y frío respectivamente (también isotermos).
- Modelos de segundo orden. � El modelo adiabático ideal. o La temperatura del gas en cada cámara varía debido a cambios en
presión, flujo del gas desde y hacia las cámaras y la transferencia de calor de las paredes hacia las cámaras.
o La transferencia de calor y los procesos dinámicos del gas son descritos con las ecuaciones diferenciales ordinarias.
o Los espacios de expansión y compresión son adiabáticos. o Los focos caliente y frío son isotermos durante el ciclo aunque diferentes
a la temperatura de sus paredes respectivas, para que haya transferencia de calor en los mismos. Dicha transferencia de calor vendrá determinada por el coeficiente de convección h (normalmente procedente de alguna correlación empírica).
- Modelos de tercer orden. o La transferencia de calor y los procesos dinámicos del gas son descritos
con las ecuaciones diferenciales parciales de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía. Están expresadas en la forma unidimensional y escrita para cada cámara del motor.
o No se tienen en cuenta la influencia de la turbulencia en el flujo.
Normalmente, con los modelos unidimensionales se sobrestiman las prestaciones del motor. Esto se evita con el uso de modelos multidimensionales.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
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4.1 Tipos de Modelos Unidimensionales.
4.1.1 Modelo Isotermo.
Un modelo simple pero efectivo del motor lo constituyen cinco cámaras conectadas en serie, que consisten respectivamente en el espacio de compresión c, el foco frío k, el regenerador r, el foco caliente h y el espacio de expansión e. Cada componente es considerado como una celda, donde el gas que contiene está representado por sus valores instantáneos de número de moles n, temperatura absoluta T, volumen V y presión p. Si se requiere una mejor adecuación del modelo a un motor real, se puede descomponer en un mayor número de celdas. En la figura anterior se asigna una temperatura kT a las cámaras c y k ( )kc TT = y una
temperatura hT a las cámaras h y e ( )he TT = y donde se cumple que kh TT > .
Para la cámara r del regenerador se asume que la temperatura sigue una ley lineal entre los extremos, uno a temperatura kT del foco frío y otra a temperatura hT del foco
caliente, de manera que la media efectiva en el mismo debe ser (deducida en el anexo)
−=
k
h
khr
T
T
TTT
ln
.
La suposición de que los espacios de trabajo son isotermos implica que los intercambiadores de calor (incluido el regenerador) tienen una efectividad perfecta del 100%, con una distribución espacial de la temperatura como la indicada en la figura anterior.
La variación de volumen en el motor dependerá del mecanismo cinemático del mismo, aunque uno que da soluciones analíticas simples para este modelo es el que asume que los volúmenes de los espacios de trabajo varían de forma senoidal y que se conoce como análisis de Schmidt por ser este investigador el primero que lo obtuvo en 1871.
Tk
Tr
Th
T
Tc
Te
Figura 4.1. Temperaturas en las cámaras del modelo isotermo.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
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Comencemos el análisis despreciando las fugas de gas de trabajo hacia la atmósfera y viceversa, de esta manera el número total de moles encerrados en el motor es constante e igual al de la suma del contenido en cada una de sus cámaras
n = nc + nk + nr + nh + ne.
Sustituyendo la ley de los gases ideales
n = p V / R T,
obtenemos
n = p (Vc / Tk + Vk / Tk + Vr / Tr + Vh / Th + Ve / Th) / R.
Donde el valor de Tr corresponde al de la media efectiva en el regenerador suponiendo una distribución lineal de temperaturas en el mismo, como se indicó en la página anterior. Entonces, proporcionando las variaciones de volumen Vc y Ve podemos calcular la presión p en función de Vc y Ve (los volúmenes Vk, Vr y Vh son conocidos).
( )( )
++
−⋅++
⋅=
h
e
h
h
kh
khr
k
k
k
c
T
V
T
V
TT
TTV
T
V
T
V
Rnp
ln.
El trabajo dado por el sistema en un ciclo completo se calcula con la integral de p·dV sobre todo el ciclo
∫ ∫ ∫ ⋅
+=⋅+⋅=+= θθθ
dd
dV
d
dVpdVpdVpWWW ec
ecce .
Evaluando el calor transferido sobre el ciclo completo en las diferentes celdas encontramos que
Qc = Wc; Qe = We; Qk = 0; Qh = 0; Qr = 0.
Esto es el resultado de haber definido los espacios de compresión y expansión como isotermos. En las máquinas reales los espacios de compresión y expansión tienden a ser adiabáticos más que isotermos, lo cual implica que el calor neto Qk y Qh transferido en un ciclo debe ser donado por los intercambiadores de calor. Esto será considerado en el modelo ideal adiabático de la sección siguiente. El conjunto de ecuaciones es
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68
4.1.1.1 El análisis de Schmidt.
En el año 1871 Gustav Schmidt publicó un trabajo para resolver de manera analítica el sistema de ecuaciones del modelo isotermo para el caso en que las variaciones de volumen en las cámaras c y e fueran senoidales con un ángulo α de desfase entre ellas.
A partir de aquí haremos uso de la notación siguiente para los distintos volúmenes de las celdas:
Donde
eswe
cle
h
r
k
cclc
swc
Ve
e
V
V
V
V
V
Vc
c
V
V
.en (sweeped) barridovolumen
.en )(clearance muertovolumen
caliente. foco delvolumen
r.regenerado delvolumen
frío. foco delvolumen
.en )(clearance muertovolumen
.en (sweeped) barridovolumen
→→→→→→
→→→
Las variaciones de volumen senoidales de los espacios de expansión y compresión son
Vc = Vclc + Vswc (1 + cos θ) / 2;
Ve = Vcle + Vswe (1 + cos(θ + α)) / 2.
( )( )
++
−⋅++
⋅=
h
e
h
h
kh
khr
k
k
k
c
T
V
T
V
TT
TTV
T
V
T
V
Rnp
ln
Presión
∫
== θθ
dd
dVpWQ e
ee
Calor transferido
∫
== θθ
dd
dVpWQ c
cc
ec WWW += Trabajo dado
eQ
W=η Eficiencia
Vswc Vclc Vk Vr Vh Vcle Vswe
Vc Ve
Figura 4.2. Notación seguida para los distintos volúmenes de las celdas en el modelo de Schmidt.
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Donde θ es el ángulo del ciclo. Sustituyendo Vc y Ve en las ecuaciones de presión de arriba y simplificando obtenemos
θαθαsin
2sin
cos22
cos ⋅
⋅⋅−⋅
⋅+
⋅⋅+
⋅=
h
swe
k
swc
h
swe
T
V
T
V
T
Vs
RMp ,
donde
( )( )
+
⋅++
−⋅+++
⋅=
e
cle
h
swe
h
h
kh
khr
k
k
k
clc
k
swc
T
V
T
V
T
V
TT
TTV
T
V
T
V
T
Vs
2ln
2.
Con el fin de simplificar la ecuación de presión consideraremos la sustitución de β y c definidas por el siguiente triángulo rectángulo:
Donde
+⋅
⋅= −
k
swc
hswe
hswe
T
V
TV
TV
α
α
βcos
sintan 1 ;
22
cos221
+⋅⋅+
=
k
swc
k
swc
h
swe
h
swe
T
V
T
V
T
V
T
Vc α .
Sustituyendo β y c en la ecuación de presión de arriba y simplificando
( )φcos1 ⋅+⋅=
bs
RMp .
Siendo
φ = θ + β;
b = c / s.
Los valores máximo y mínimo de la presión pueden ser evaluados ahora para los valores extremos de cos φ
( )bs
RMp
+⋅⋅=
1min ; ( )bs
RMp
−⋅⋅=
1max .
h
swe
T
Vc
⋅⋅=⋅
2
sinsin
αβc
β
k
swc
h
swe
T
V
T
Vc
⋅+
⋅⋅=⋅
22
coscos
αβ
Figura 4.3. Triángulo rectángulo usado para definir β y c y usarlos en la expresión de la presión.
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La presión media en el ciclo viene dada por
∫ ⋅⋅⋅
=π
φπ
2
021
dppmedia ;
( )∫ ⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅=π
φφπ
2
0 cos11
2d
bs
RMpmedia ,
que se resuelve como
( )21 bs
RMpmedia
−⋅⋅= .
Esta ecuación es la manera más conveniente de relacionar la masa total de gas de trabajo en el ciclo con la presión media de operación.
El trabajo neto dado por el motor es la suma del trabajo dado por los espacios de compresión y expansión. En un ciclo completo
∫ ⋅
⋅==π
θθ
2
0d
d
dVpWQ e
ee ;
∫ ⋅
⋅==π
θθ
2
0d
d
dVpWQ c
cc ;
ec WWW += .
Las derivadas de volumen se obtienen diferenciando Vc y Ve
θθ
sin21 ⋅⋅−= swc
c Vd
dV;
( )αθθ
+⋅⋅−= sin21
swee V
d
dV.
Sustituyendo estos y la ecuación de la presión en las ecuaciones de Wc y We
( )∫ ⋅+⋅+
⋅⋅
⋅⋅−=π
θθβ
θ2
0 cos1sin
2d
bs
RMVW swc
c ;
( )( )∫ ⋅
+⋅++⋅
⋅⋅⋅−=
πθ
θβαθ2
0 cos1sin
2d
bs
RMVW swe
e .
Resolviendo estas integrales obtenemos
( )b
bpVW mediaswc
c
11sin 2 −−⋅⋅⋅⋅= βπ;
( ) ( )b
bpVW mediaswe
e
11sin 2 −−⋅−⋅⋅⋅= αβπ.
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4.1.2 Modelo Adiabático. El modelo adiabático está cimentado básicamente en la utilización de la ecuación unidimensional de conservación de la masa en todo el motor y en la ecuación de estado del gas ideal nRTpV = y la de conservación de la energía, también unidimensional, en cada celda. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento unidimensional es usada en este modelo para la evaluación de la pérdida de carga p∆ mediante el uso de correlaciones empíricas. En este modelo se considera que los espacios de trabajo c y e son adiabáticos. De esta manera los únicos intercambios de calor permitidos con el exterior se producirán en los focos. De nuevo hemos dividido el motor en 5 cámaras. En el siguiente diagrama definimos la nomenclatura seguida para el modelo Adiabático Ideal. Aquí tenemos un solo sufijo (c, k, r, h, e) representando los cinco espacios, y un doble sufijo (ck, kr, rh, he) representando las cuatro interfaces entre esos espacios.
La entalpía es transportada a través de las interfaces en términos de flujos de masa m y la temperatura aguas arriba T. En la figura siguiente se representa el diagrama de distribución de temperaturas en el que se muestra como la temperatura de los espacios de compresión y expansión (Tc y Te) no son constantes, pues varían durante el ciclo entre un valor máximo y uno mínimo de acuerdo con la compresión y expansión adiabáticas que ocurren en los espacios de trabajo.
Tk
Tr
Th
T
Tc
Te
Espacio de compresión adiabático “c”.
Foco frío “k”.
Regenerador “r”.
Foco caliente “h”.
Espacio de expansión adiabático “e”.
Interfaz “ck” Interfaz “kr” Interfaz “rh” Interfaz “he”
Figura 4.4. Nomenclatura seguida para denominar las cámaras e interfaces del modelo adiabático.
Figura 4.5. Temperaturas en las cámaras del modelo adiabático.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
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Entonces las entalpías que fluyen a través de las interfaces ck y he transportan las temperaturas de las celdas aguas arriba, por tanto las temperaturas Tck y The son condicionales según la dirección del flujo y son definidas algorítmicamente como sigue:
If mck’ > 0 then Tck = Tc else Tck = Tk
If mhe’ > 0 then The = Th else The = Te
Nuevamente se considera que no hay fugas de gas, la masa total de gas M en el sistema es constante, y no hay pérdida de presión asociadas a pérdidas de masa, por tanto p representa la presión instantánea en todo el sistema. El trabajo W intercambiado con el entorno proviene de la variación de volumen de los espacios de trabajo Vc y Ve, y el calor Qk y Qh proviene del intercambio con las zonas de los focos frío y caliente, respectivamente. El regenerador es adiabático respecto al exterior pero su matriz metálica intercambia calor Qr con el fluido de trabajo que la atraviesa durante el ciclo.
4.1.2.1 Desarrollo del conjunto de ecuaciones.
Se aplican las ecuaciones de la energía y estado en cada celda y la de continuidad en todo el motor. Para ello consideremos una celda generíca como la siguiente:
En la figura anterior se representan los flujos de masa m& de gas entrante y saliente a sus respectivas temperaturas. También se representan las propiedades del gas (masa m, presión p, temperatura T, y volumen de la cámara V en el instante t). Por ser una celda genérica consideramos que intercambia una cierta cantidad de calor dQ a través de la pared y un diferencial de trabajo dW a través de la pared móvil de la celda. Expresando la ecuación unidimensional de la energía para el gas de trabajo en la celda anterior:
m, p, T, V
dW dQ
m& entrada, Tentrada m& salida, Tsalida
Energía que sale por convección de la celda.
= - + -
Incremento de energía en la celda.
Calor transferido a la celda.
Trabajo dado al entorno.
Energía que entra por convección en la celda.
Advección. Conducción.
Figura 4.6. Flujos de masa y de energía en una celda genérica.
Figura 4.7. Ecuación unidimensional de la energía para el gas de trabajo en una celda genérica.
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Matemáticamente, esto se expresa
salidaentrada
chm
chmWQ
dt
dE
+⋅−
+⋅+−=
22
22*0 &&&& , Ec. 4-1
donde *0E representa la energía total contenida en el volumen de control en el instante t
( ) dVu
edVetEEV Vvc ∫ ∫ ⋅
+⋅=⋅⋅==
2
2*0
*0
*0 ρρ . Ec. 4-2
Podemos despreciar la contribución de la energía cinética en las expresiones anteriores con lo que tendríamos que la energía total se aproxima a la energía interna
( ) ( )tEtE vcvc ≈*0 y por tanto
( ) ( )salidaentrada hmhmWQdt
dE ⋅−⋅+−= &&&& . Ec. 4-3
Aunque la entalpía depende de la presión y la temperatura, se considera que en gases ideales depende sólo de la temperatura. De esta forma
( ) ( )∫ +⋅=T
T refpref
ThdTTcTh )( . Ec. 4-4
Tomando KTref º0= , ( ) (J/Kg) 0=refTh y suponiendo ctecp = podemos simplificar a
( ) TcTh p ⋅≈ . Ec. 4-5
Teniendo en cuenta todas las simplificaciones anteriores podemos expresar el balance de energía (Ec. 4-3) como sigue
( ) ( ) ( )salidapentradapv TcmTcmWQ
dt
Tmdc
dt
dE ⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅= &&&& , Ec. 4-6
donde cp y cv son los calores específicos del gas a presión y volumen constante respectivamente.
Asumimos que el gas de trabajo es ideal. Esta es una suposición razonable para los motores Stirling pues el proceso transcurre bastante lejos del punto crítico. La ecuación de estado para cada celda es presentada en su forma normal y diferenciada
TRmVp ⋅⋅=⋅ ; Ec. 4-7
dt
dT
Tdt
dm
mdt
dV
Vdt
dp
p⋅+⋅=+⋅ 1111
. Ec. 4-8
Puesto que descartamos las fugas, se ha de cumplir que
Mmmmmm ehrkc =++++ . Ec. 4-9
Sustituyendo la masa de cada celda en la ecuación del gas ideal (Ec. 4.7)
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MR
T
V
T
V
T
V
T
V
T
Vp
e
e
h
h
r
r
k
k
c
c
=
++++⋅
, Ec. 4-10
donde, por el perfil lineal de temperaturas asumido para el regenerador, la temperatura media efectiva Tr es igual a
( )
−=
k
h
khr
T
T
TTT
ln
. Ec. 4-11
Resolviendo la ecuación de la presión (Ec 4-10)
++++
⋅=
e
e
h
h
r
r
k
k
c
c
T
V
T
V
T
V
T
V
T
V
RMp .
Ec. 4-12
Diferenciando la ecuación de la masa (Ec 4-9)
0=++++dt
dm
dt
dm
dt
dm
dt
dm
dt
dm ehrkc . Ec. 4-13
Para las celdas de los intercambiadores, como sus respectivos volúmenes y temperaturas son constantes, la forma diferencial de la ecuación de estado (Ec 4-8) se reduce a
dt
dp
pdt
dm
m⋅=⋅ 11
; Ec. 4-14
}
dt
dp
RT
V
dt
dp
p
m
dt
dmTRmVp
⋅=⋅=⋅⋅=⋅
. Ec. 4-15
Sustituyendo en la ecuación de la masa (Ec 4-13)
01 =
++⋅⋅++
h
h
r
r
k
kec
T
V
T
V
T
V
dt
dp
Rdt
dm
dt
dm. Ec. 4-16
Para obtener una ecuación explícita de dt
dp a partir de la Ec. 4-16 hemos de dejar de
expresarla en función de dt
dmc y dt
dme . Consideremos el espacio de compresión
adiabático (dQc/dt = 0).
p, mc, Vc, Tc
ckm&
Tck
Tk
Qc = 0 Qk
Wc
Figura 4.8. Espacio de compresión adiabático interactuando con el foco frío.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
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Aplicando la ecuación de la energía (Ec 4-6) a este espacio obtenemos
( )ckpckc
ccv TcmW
dt
Tmdc ⋅⋅−+−=⋅⋅ && 00 . Ec. 4-17
Por consideraciones de continuidad la acumulación de gas dmc/dt es igual a la masa de gas entrante dada por –dmck/dt, y el trabajo dWc/dt es proporcional a dVc/dt, entonces
( )dt
Tmdc
dt
dVp
dt
dmTc cc
vcc
ckp
⋅⋅+⋅=⋅⋅ . Ec. 4-18
Sustituyendo las relaciones del gas ideal
ccc TRmVp ⋅⋅=⋅ ; Rcc vp =− ; γ=v
p
c
c, Ecs. 4-19
y simplificando
ck
cc
c
TRdt
dpV
dt
dVp
dt
dm
⋅
⋅+⋅= γ . Ec. 4-20
De forma similar, para el espacio de expansión
he
ee
e
TRdt
dpV
dt
dVp
dt
dm
⋅
⋅+⋅= γ . Ec. 4-21
Sustituyendo las expresiones de dmc/dt y dme/dt (Ec. 4-20) y (Ec. 4-21) en (Ec. 4-16)
+
+++
⋅+⋅⋅⋅−
=
he
e
h
h
r
r
k
k
ck
c
e
he
c
ck
T
V
T
V
T
V
T
V
T
V
dt
dV
Tdt
dV
Tp
dt
dp
γ
γ 11
. Ec. 4-22
De la forma diferencial de la ecuación de estado (Ec 4-8) obtenemos las relaciones dTc/dt y dTe/dt
⋅−⋅+⋅⋅=
dt
dm
mdt
dV
Vdt
dp
pT
dt
dT c
c
c
cc
c 111; Ec. 4-23
⋅−⋅+⋅⋅=
dt
dm
mdt
dV
Vdt
dp
pT
dt
dT e
e
e
ee
e 111. Ec. 4-24
Aplicando la ecuación de la energía anterior a cada una de los intercambiadores (dW = 0, T constante) y sustituyendo en la ecuación de estado de dichos intercambiadores (Ec. 4-15)
( ) ( )( )dt
dpV
R
c
dt
dmTcmTcmTc
dt
dQ vvsalidapentradap ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+ && . Ec. 4-25
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
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Para las tres celdas de los intercambiadores de calor obtenemos
{;
⋅−⋅⋅−⋅⋅= kr
T
krckckpkvk mTmTc
dt
dpV
R
c
dt
dQ
k
&& Ec. 4-26
{ {;
⋅−⋅⋅−⋅⋅= rh
T
rhkr
T
krprv
fluido
r mTmTcdt
dpV
R
c
dt
dQ
hk
&& Ec. 4-27
{.
⋅−⋅⋅−⋅⋅= heherh
T
rhphvh mTmTc
dt
dpV
R
c
dt
dQ
h
&& Ec. 4-28
Puesto que los intercambiadores de calor son isotérmicos y el regenerador es ideal, Tkr = Tk y Trh = Th. Además se cumple que
{ 5.21
1
_4.1 aire
v
R
c
=↑
=−
=
γ
γ.
Finalmente el trabajo dado por las zonas de compresión y expansión están dadas por
;ec WWW += Ec. 4-29
;dt
dW
dt
dW
dt
dW ec += Ec. 4-30
;dt
dVp
dt
dW cc ⋅= Ec. 4-31
.dt
dVp
dt
dW ee ⋅= Ec. 4-32
Para que el modelo adiabático funcione se le imponen inicialmente unas temperaturas Tk y Th a los focos frío y caliente respectivamente. Si queremos obtener la transferencia de calor a través de los intercambiadores debemos realizar un proceso iterativo con distintas temperaturas iniciales Tk y Th hasta que sus respectivos valores hayan convergido.
En la figura siguiente volvemos a mostrar el diagrama de temperaturas en el que se señalan los flujos de calor Qk, Qr y Qh del foco frío, regenerador y foco caliente respectivamente:
Tk
Th
T
Tc
Te
Twh
Twk
Qk
Qh
Qr
Figura 4.9. Temperaturas en las cámaras del modelo adiabático.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
77
En la primera iteración del modelo hacemos coincidir Tk con Twk y Th con Twh y calculamos Q según el método numérico elegido (por ejemplo Euler, Runge-Kutta de orden 4, etc). Para el caso de haber elegido Euler
{ {dt
dt
dQQQ +=
anterioriteración
iteraciónnueva
, Ec. 4-33
donde dt
dQ ya se describió en el modelo adiabático. Si queremos la potencia calorífica
la obtenemos a partir del resultado anterior haciendo freqQQ ⋅=& . Por otra parte, de la ecuación básica de transferencia de calor por convección en flujo estacionario
( ) ( )freq
TTAhQTTAhQ wwg
wwg
−⋅⋅=⇒−⋅⋅= & , Ec. 4-34
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, que es empírico y depende de u y por tanto de Re. Por ejemplo, si tuviéramos flujo turbulento podríamos utilizar la analogía de Reynolds. Y en cualquier otro caso se usará la correlación empírica pertinente. Para cada uno de los focos tendremos
( )freq
TTAhQ kwkwgkk −⋅⋅
= ciclo frío foco ;( )
freq
TTAhQ hwhwghh −⋅⋅
=ciclo caliente foco , Ecs. 4-35
donde, siguiendo la nomenclatura del capítulo de rendimientos
rregenerado pérdidasciclo frío foco QQQ k += ; rregenerado pérdidasciclo caliente foco QQQ h += . Ecs. 4-36 Ahora reescribimos estas ecuaciones para calcular las respectivas temperaturas del gas Tk y Th
wgkkwkk Ah
freqQTT
⋅⋅−= ciclo frío foco ;
wghhwhh Ah
freqQTT
⋅⋅−= ciclo caliente foco . Ecs. 4-37
Una vez obtenidas estas dos temperaturas, volvemos a usar el modelo adiabático imponiéndolas como valores de entrada. Se entra así en un proceso iterativo que termina cuando converjan respectivamente los valores de las temperaturas Tk y Th. En nuestro modelo, para unas temperaturas en las paredes Twh = 923 K y Twk = 300 K obtenemos unos valores de Th = 873.44 K y Tk = 314.37 K.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
78
Podemos hacer una comparación entre los trabajos máximos posibles en un ciclo ideal que trabaje con las temperaturas máximas y mínimas anteriores:
130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 2300.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Volumen en cm3
Pre
sión
en
bare
s
Diagrama p-V teórico según las temperaturas de las paredes de los focos
3'
2'
4'
1'
Tm
'áx
=Twh
Tm
'ín
=Twk
130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 2300.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Volumen en cm3
Pre
sión
en
bare
s
Diagrama p-V teórico según las temperaturas medias en los focos
3''
4''
2''
1''
Th
Tk
Figura 4.10. Diagramas p-V teóricos. En azul según las temperaturas de las paredes de los focos. En marrón según las temperaturas medias de los focos.
( )
Julios.
V
VTTRnW
mín
máxwkwh
4421
ln
≈
⋅−⋅⋅=′
;( )
. 2419
ln
Julios.
V
VTTRnW
mín
máxkh
≈
⋅−⋅⋅=
Ecs. 4-38
Y suponiendo una velocidad de 2635.43 rpm tendríamos unas potencias máximas de
; 72941 watios.W =′& . 08845 watios.W =& Ecs. 4-39
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
79
4.1.2.2 Conjunto de ecuaciones y método de solución.
Reunimos, a modo de resumen, el conjunto de ecuaciones anterior:
Presión
.
11
;
+
+++
⋅+⋅⋅⋅−
=
++++
⋅=
he
e
h
h
r
r
k
k
ck
c
e
he
c
ck
e
e
h
h
r
r
k
k
c
c
T
V
T
V
T
V
T
V
T
V
dt
dV
Tdt
dV
Tp
dt
dp
T
V
T
V
T
V
T
V
T
V
RMp
γ
γ
Masas
. ; ; ; ;e
ee
h
hh
r
rr
k
kk
c
cc TR
Vpm
TR
Vpm
TR
Vpm
TR
Vpm
TR
Vpm
⋅⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=
Acumulaciones de masa:
. ; ;
;
;
dt
dp
p
m
dt
dmm
dt
dp
p
m
dt
dmm
dt
dp
p
m
dt
dmm
TR
dt
dpV
dt
dVp
dt
dmm
TR
dt
dpV
dt
dVp
dt
dmm
hhh
rrr
kkk
he
ee
ee
ck
cc
cc
⋅==⋅==⋅==
⋅
⋅+⋅==
⋅
⋅+⋅==
&&&
&
&
γ
γ
Flujo másico: . ; ; ; hherhehekckkrcck mmmmmmmmmm &&&&&&&&&& +==−=−=
Temperaturas condicionales:
if 0>ckm& then cck TT = else
kck TT =
if 0>hem& then hhe TT = else
ehe TT =
Temperaturas:
.111
;111
⋅−⋅+⋅⋅=
⋅−+⋅⋅=
dt
dm
mdt
dV
Vdt
dp
pT
dt
dT
dt
dm
mdt
dV
Vdt
dp
pT
dt
dT e
e
e
ee
ec
c
c
cc
c
Energía:
( )
( )
( )
.
;
;
;
;
;
ecec
ee
cc
heherhhphvh
rhhkrkprvr
krkckckpkvk
WWWdt
dW
dt
dW
dt
dW
dt
dVp
dt
dWdt
dVp
dt
dW
mTmTcdt
dpV
R
c
dt
dQ
mTmTcdt
dpV
R
c
dt
dQ
mTmTcdt
dpV
R
c
dt
dQ
+=⇒+=⋅=
⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
&&
&&
&&
Comentario sobre cómo se obtienen las temperaturas en los intercambiadores: ( )
( ).
.
ciclo caliente focociclo caliente foco
ciclo frio focociclo frio foco
wghhwhh
hwhwghh
wgkkwkk
kwkwgkk
Ah
freqQTT
freq
TTAhQ
Ah
freqQTT
freq
TTAhQ
−=→−
=
−=→−
=
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
80
En el siguiente diagrama de flujo se resumen los pasos seguidos para la resolución del modelo:
Inicio.
k = 1
j = 1
i = 1
Valores dependientes de la cinemática.
Ecuación de estado.
Ecuación de continuidad.
Ecuación de la energía.
i = i+1
i ≤ 360
1TTTT final cinicio cfinal einicio e <−+−
Ecuación de cantidad de movimiento.
( ) ( ) ( ) ( ) 1.01kTkT1kTkT kkhh <−−+−−
j = j+1
k = k+1
si
Temperatura de los focos.
no
si
no
no
si
Figura 4.11. Diagrama de flujo que resume los pasos seguidos para la resolución del modelo.
Donde los subíndices que aparecen son k � va asociado a la temperatura de los focos. i � va asociado a la energía y a la velocidad del flujo dependiente de θ
(asociado por tanto al paso angular, dentro de una misma rotación). j � es el número de vuelta (se para al llegar a condiciones de funcionamiento
estacionario).
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
81
4.1.2.3 Pérdidas de carga durante el ciclo.
Una vez resuelto el modelo adiabático para un ciclo podemos determinar la caída de presión en los tres intercambiadores de calor. En efecto, del modelo adiabático tenemos los valores de ( ) ( ) ( ) ( )θθθθ hrk uuup y , , en todo momento y con los ( )θu de cada
cámara podemos obtener los ( )θp∆ . Si examinamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en forma general
( ) ( ) [ ]dVfpdVvvt
vm
rrrrrrr
ρτρρ +⋅∇+∇−=
⋅∇+∂
∂.
Donde no tenemos fuerzas másicas (no consideramos la gravedad) y podemos expresar la ecuación anterior sin el último término
( ) ( ) [ ]dVpdVvvt
v τρρ ⋅∇+∇−=
⋅∇+∂
∂ rrrrrr
.
Es una ecuación vectorial, en la que cada una de sus componentes tiene los siguientes términos
( ) ( ) ( ) ( )dV
zyxx
pdV
z
wu
y
vu
x
u
t
u zxyxxx
∂∂+
∂∂
+∂
∂+∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ τττρρρρ 2
;
( ) ( ) ( ) ( )dV
zyxy
pdV
z
wv
y
v
x
uv
t
v zyyyxy
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ τττρρρρ 2
;
( ) ( ) ( ) ( )dV
zyxz
pdV
z
w
y
vw
x
uw
t
w zzyzxz
∂∂+
∂∂
+∂
∂+∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ τττρρρρ 2
.
4.1.2.3.1 Simplificación para flujo unidireccional.
Suponiendo que además el flujo es unidireccional en x (v = 0 y w = 0), tendremos una sola ecuación simplificada
( ) ( )dV
yx
pdV
x
u
t
u yx
∂∂
+∂∂−=
∂∂+
∂∂ τρρ 2
.
Y en coordenadas cilíndricas
( ) ( ) ( )dV
r
r
rx
pdV
x
u
t
u rx
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂ τρρ 12
.
Donde r
urx ∂
∂= µτ . Puesto que rxτ es significativo sólo en las paredes del conducto, si
éste se identifica con una superficie de corriente podemos hacer
( ) ( ) ( )dV
rr
rx
pdV
x
u
t
u rxrx
∂∂++
∂∂−=
∂∂+
∂∂
321
ledespreciabosconsideram Lo
2 1 ττρρ.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
82
Y nos quedará
( ) ( )dV
rx
pdV
x
u
t
u rx
+∂∂−≈
∂∂+
∂∂ τρρ 2
.
Puesto que rxτ tiene sentido contrario a la velocidad u, podemos definir rxττ −= . Si
además descomponemos dV de manera que dxdAdV frontal=
( ) ( )dxdA
rx
pdxdA
x
u
t
ufrontalfrontal
−∂∂−≈
∂∂+
∂∂ τρρ 2
.
O bien
( ) ( )dxdA
rdxdA
x
pdxdA
x
udxdA
t
ufrontalfrontalfrontalfrontal
τρρ −∂∂−≈
∂∂+
∂∂ 2
.
4.1.2.3.1.1 Línea de corriente.
Si, como hasta ahora hemos supuesto, el volumen infinitesimal es cilíndrico, el área frontal es rdrdAfrontal π2= , y por tanto el último término podemos expresarlo de otra
manera
( ) ( )drdxr
rdxdA
x
pdxdA
x
udxdA
t
ufrontalfrontalfrontal /
/−
∂∂−≈
∂∂+
∂∂ πτρρ
22
.
Y nos queda
( ) ( ){dxdrdxdA
x
pdxdA
x
udxdA
t
u
dPfrontalfrontalfrontal πτρρ
22
−∂∂−≈
∂∂+
∂∂
.
Donde dP es el diferencial de perímetro. Pasándolo todo al primer miembro
( ) ( )0
2
=+∂∂+
∂∂+
∂∂
dPdxdxdAx
pdxdA
x
udxdA
t
ufrontalfrontalfrontal τρρ
.
Puesto que estamos sobre una línea de corriente, p y u varían sólo con x en el espacio y podemos cambiar las correspondientes derivadas parciales por derivadas totales. Ahora podemos dejar la expresión como
( ) ( )0
(difusivo)viscosoTérmino
presión de Términoconvectivo Término
2
io transitorTérmino
=+
++∂
∂321
44 344 2144 344 2144 344 21dPdxdAdx
dx
dpdxdA
dx
uddxdA
t
ufrontalfrontalfrontal τρρ
.
Que es válida para una corriente unidireccional en un volumen diferencial (cualquiera que sea su forma) y en una línea de corriente. En la figura siguiente se detalla un volumen de control infinitesimal cilíndrico:
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
83
Figura 4.12. Volumen de control infinitesimal cilíndrico en una línea de corriente.
4.1.2.3.1.2 Tubo de corriente.
Si queremos hacer el balance de cantidad de movimiento sobre un tubo de corriente (el de la figura siguiente es cilíndrico):
Tendremos que integrar en todo el volumen la ecuación que teníamos para la línea de corriente
( ) ( )0
(difusivo) viscosoTérmino
0
presión de Término
0
convectivo Término
0
2
io transitorTérmino
0 0000
=+
++∂
∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
43421444 3444 214444 34444 21444 3444 21
P x
x
A x
x frontal
A x
x frontal
A x
x frontal
LLLL
dxdPdAdxdx
dpdxdA
dx
uddxdA
t
u τρρ.
Si nuestro volumen de control es cilíndrico, drrddAfrontal ⋅⋅= θ y drddP ⋅= θ
( ) ( ).0
0
2
00
2
00
2
0
2
0
2
0 0000
=+
++∂
∂∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
R x
x
R x
x
R x
x
R x
x
LLLL
drdxdrdrddxdx
dprdrdxd
dx
udrdrdxd
t
u ππππθτθθρθρ
Resolviendo para θd
( ) ( )02222
0000 000
2
0=+
++∂
∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
LLLL x
x
RR x
x
R x
x
R x
xdrdxrdrdx
dx
dprdrdx
dx
udrdrdx
t
u πτππρπρ.
Resolviendo los tres últimos términos
( ) ( ) ( )( ) ( ) .022220
000 00
22
0=+−+−+
∂∂
∫∫∫∫ ∫ =
L
LL
L x
x Rr
R
xx
R
xx
R x
xRdxrdrpprdruurdrdx
t
u πτππρρπρ
Donde Rr=
τ denota que el valor de τ se evalúa en la superficie Rr = . Por comodidad
usaremos en adelante la notación τ para referirnos a Rr=
τ .
Resolviéndolo aun más el último término
dxx
uu
∂∂+
dxx
pp
∂∂+ p
τ
u frontaldA
dx
dP
L
x0 xL
R
Figura 4.13. Tubo de corriente.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
84
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0222 2
0
22
0 000
=+−+−+∂
∂∫∫ ∫ RLRpprdruurdrdx
t
uxx
R
xx
R x
x LL
L πτππρρπρ.
Ahora τ indica que se ha evaluado τ (antiguo Rr=
τ ) en toda la longitud L del conducto
(valor medio). La expresión anterior representa la relación entre los efectos transitorios, la convección, la pérdida de carga y el cortante en la pared para un volumen de control cilíndrico.
Podemos despejar la pérdida de carga Lxx ppp −=∆
0 y tendremos
Numerosos investigadores han centrado su atención en casos particulares del problema aquí descrito. Lo habitual es considerar flujo estacionario y completamente desarrollado.
También se han estudiado por ejemplo los efectos de entrada en conductos, pero considerando el flujo estacionario con un perfil de velocidades uniforme en la entrada y suponiendo en la salida un perfil de velocidades desarrollado del tipo paraboloide de Poiseuille. Otro caso de interés, el de los flujos oscilantes, se ha estudiado considerando que estaban desarrollados (y con ello se tiene un mismo perfil de velocidades a la entrada y a la salida del volumen de control), lo que lleva aparejado una simplificación al anularse el término convectivo en el balance de cantidad de movimiento del volumen de control, como se ha dicho en un párrafo anterior. Pese a que se estudian casos simplificados, su visión es interesante pues nos dan información cualitativa de cómo estos procesos por separado contribuyen en la pérdida de carga en su conjunto.
Estos casos, además de las pérdidas de carga localizadas que pueden darse en determinadas zonas del motor, serán expuestos en los siguientes apartados.
4.1.2.3.1.2.1 Flujo estacionario desarrollado:
Para este tipo de flujo sólo estará activo el término 3 de la ecuación de la pérdida de carga unidimensional, pudiendo expresarse la pérdida de carga como
hxx D
Lpp
L
τ40
=− .
Y sustituyendo τ en función de fC
.~2
~2
1
4
2
2h
f
f
h
D
LuCp
uC
D
Lp
ρ
ρτ
τ
=∆⇒
=
=∆
( ) ( ) ( )( )
+−+∂
∂=∆ ∫∫ ∫ 3214444 34444 21444 3444 21 3 Término
2 Término
0
22
1 Término
02 2221
00
RLrdruurdrdxt
u
Rp
R
xx
R x
x L
L πτπρρπρπ
.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
85
Que nosotros expresaremos como
h
f
D
LuuCp
~~2 ρ=∆ .
Con el fin de que el signo de p∆ esté correctamente relacionado con el signo de la velocidad u. También podíamos haberlo resuelto con el “Coeficiente de fricción de Reynolds” (Cref) definido como
hDfref CC Re⋅= .
Donde µ
ρ hD
Duh
⋅⋅=~
Re es el Número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico,
definido en la sección Parámetros Adimensionales y que es por definición siempre positivo. El coeficiente de fricción de Reynolds se identifica con el Número de Poiseuille cuando hablamos de flujo laminar. De esta manera la pérdida de carga entre dos secciones separadas una distancia L se puede expresar como
2
~2
h
ref
D
LuCp
µ=∆ .
El coeficiente refC habrá de ser modificado para el caso de conductos formados por
cilindros concéntricos. En un anillo concéntrico, existen dos diámetros; el interior y el exterior:
El diámetro hidráulico se expresa como
( )( ) ( )ba
ba
ba
P
AD frontal
h −⋅=+⋅⋅−⋅⋅=
⋅= 2
244 22
ππ
.
Sin embargo es mejor usar un diámetro efectivo para el caso de cilindros anulares como los que hemos introducido para el modelo en Fluent.
Dicho diámetro efectivo se obtiene corrigiendo del diámetro hidráulico para un flujo laminar en el anillo concéntrico mediante la expresión
ζh
eff
DD = .
r = b
x
u(r)
u(r)
r = a r
Figura 4.14. Perfil de velocidades de un flujo fluido entre dos anillos concéntricos.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
86
Donde el factor de corrección se expresa como
( ) ( )( ) ( )bababa
baba
ln22244
222
−−−−⋅−=ς .
De esta manera, al utilizar el número de Reynolds el diámetro efectivo, se expresa como
Dheff Re1
Reζ
= .
Y el factor de fricción
eff
fRe64= , ó bien
efffC
Re16= .
Por tanto el número de Poiseuille lo podemos expresar como:
( ) ( ) {dodesarrolla Flujo
16ReReRe ⋅==== ζζζ efffefffDhf CCCPo .
Y podemos representar la relación del número de Poiseuille a b/a para anillos concéntricos como sigue:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 116
17
18
19
20
21
22
23
24
b/a
Po=
Cf*
Re
Número de Poiseuille frente a relación b/a
Figura 4.15. Número de Poiseuille frente a la relación b/a.
Donde se puede observar que el número de Poiseuille comienza en el valor 16=Po , como se puede esperar para un conducto circular (0=ab ), y se convierte en el valor asintótico 24=Po para el caso extremo en que el radio interior b sea igual al radio externo a ( 1=ab ). Evidentemente esto último no es alcanzable en la práctica al haber sido degenerado extremadamente el conducto.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
87
En nuestro caso tenemos un montaje con varios tubos concéntricos para los intercambiadores de calor:
Para el intercambiador izquierdo tenemos que los valores de ζ son
Figura 4.17. Valores de ζ en el intercambiador izquierdo.
Y podemos suponer un 4799941.49998971_ =mediokζ .
De esta manera, aislándonos por el momento de cualquier otra consideración en nuestro razonamiento, el número de Poiseuille para este intercambiador en flujo laminar desarrollado deberá ser
( ) 24367991223.999835416ReRe __ ≈=⋅=== mediokeffmediokfDhf CCPo ζζ .
Para el intercambiador derecho tenemos
Figura 4.18. Valores de ζ en el intercambiador derecho.
Y podemos suponer un 3413321.49997054_ =mediohζ . Nuevamente, el número de
Poiseuille será
( ) 24946131123.999528616ReRe __ ≈=⋅=== medioheffmediohfDhf CCPo ζζ .
Intercambiador izquierdo.
Intercambiador derecho.
Regenerador
ζk1 = 1.49998374198441 ζk2 = 1.49998454055164 ζk3 = 1.49998528170053 ζk4 = 1.49998597080719 ζk5 = 1.49998661256027 ζk6 = 1.49998721132924 ζk7 = 1.49998777077438 ζk8 = 1.49998829435759 ζk9 = 1.49998878491390 ζk10 = 1.49998924532513 ζk11 = 1.49998967792725 ζk12 = 1.49999008504848 ζk13 = 1.49999046850342 ζk14 = 1.49999082998672 ζk15 = 1.49999117138493 ζk16 = 1.49999149415954 ζk17 = 1.49999179955208 ζk18 = 1.49999208873491 ζk19 = 1.49999236278827 ζk20 = 1.49999262286770 ζk21 = 1.49999286987430 ζk22 = 1.49999310490261
ζh1 = 1.49995424368530 ζh2 = 1.49995792144694 ζh3 = 1.49996117294773 ζh4 = 1.49996406161775 ζh5 = 1.49996663950858 ζh6 = 1.49996894961913 ζh7 = 1.49997102784363 ζh8 = 1.49997290418782 ζh9 = 1.49997460396808 ζh10 = 1.49997614866107 ζh11 = 1.49997755660722 ζh12 = 1.49997884349277 ζh13 = 1.49998002272024
ζk1
ζk22
ζh1
ζh13
Figura 4.16. Posición de los intercambiadores de calor en nuestro motor.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
88
Los medioζ se han calculado como
∑
∑=
ii
iii
medio A
Aζζ .
Siendo iA el área de paso entre cada uno de los anillos.
El coeficiente fC puede también ser modificado para incluir el efecto de la geometría
del conducto en la pérdida de carga. Para ello escribimos la pérdida de carga debido a la forma del conducto en función de un coeficiente empírico Lk
22
22 vk
g
vkgghp LLformaforma ρρρ =
//==∆ .
Si se quiere añadir formap∆ a la fricciónp∆ que se obtuvo en las mismas condiciones de
flujo
( )h
fL
hfL
h
fformafricción D
LuuCuuk
D
LC
uk
D
LuuCppp
~~2~~2
12
2
~~~2 2 ρρρ
ρ ′=
+=+=∆+∆=∆ .
Donde el nuevo coeficiente fC′ será en este caso
L
DkCC h
Lff 4
1+=′ .
E igualmente
Re4
1
L
DkCC h
Lrefref +=′ .
4.1.2.3.1.2.2 Desarrollo de flujo en la entrada:
En este caso, por considerarse que el flujo es estacionario, estarán activos los términos 2 y 3 de la ecuación unidireccional de la pérdida de carga, pudiéndola expresar como
( ) ( )( ) ( ) 0220
00
2
0
22 =+−+− ∫∫L
LL
x
xxx
R
xx RdxRpprdruu πτππρρ .
Despejando la pérdida de carga
( ) ( ) ( )( ) 0220
00 0
222 =+−=− ∫∫L
LL
x
x
R
xxxx RdxrdruuRpp πτπρρπ .
Para resolver analíticamente la ecuación anterior, Graetz en 1885 supuso que el perfil de velocidades a la entrada era constante (cosa que puede conseguirse en la práctica si el borde de entrada se hace suficientemente suave y redondeado) y de valor Uuinicial =~
mientras que en la zona completamente desarrollada suponía un perfil de velocidades de Poiseuille que cumple la relación ( )2212 RrUuP −= . Véase la siguiente figura:
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
89
Figura 4.19. Desarrollo del flujo en la entrada de un conducto.
Igualmente para la zona desarrollada con régimen de velocidades de Poiseuille el esfuerzo cortante es representado mediante la expresión RUP µτ 4= . La longitud de
entrada es aquella longitud LxL = que necesita el flujo para desarrollarse.
Por comodidad la expresaremos como
( ) ( ) ( )( ) ( ) 02220
00 0
222 =−+−+=− ∫∫L
LL
x
x P
R
xxPxx RdxrdruuRLRpp πττπρρπτπ .
Si consideramos que la densidad no varía sensiblemente en el tramo estudiado, podemos expresarlo como
{( ) ( )
4444444 34444444 21
444 3444 2143421
444 3444 21 flujo del desarrollo al debida adicional carga de pérdida
0
3
1
0
22
dodesarrolla flujosuponiendo Len
carga de pérdida
2 222
22
0
0
0 ∫∫ −+−+=
∫
−
−=∆
+=
L
Lxp
xp
xLx
L
x
P
UR
R
PP
dpp
dxdx
dppp
xx RdxrdrUuRLRpp πττπρπτπ
ρπ
.
Esto puede ser escrito en forma adimensional como una fricción “aparente”
KD
LC
D
LC
U
ppfPappf
xx L +==− 44
2
1 ,2
0
ρ.
Donde puede observarse que se ha adimensionalizado usando la velocidad media en la sección inicial, por ser ésta constante en dicha sección. La K que aparece en la expresión anterior se puede escribir como
( )∫
−+=Rx
x
PL
R
xd
UK
02
4
3
2
ρττ
.
Donde, si hablamos de una tubería de sección circular con diámetro RD 2= , el coeficiente de fricción de Poiseuille será DfPC Re16= como ha venido diciéndose
hasta ahora. El término K es la parte de caída de presión atribuible a la región de entrada, cuyo componente 32 representa la caída de presión necesaria para acelerar un flujo uniforme hacia el paraboloide de Poiseuille mientras que el término integral es la
U2
Uuinicial =~ xL
Nucleo no viscoso
Capa límite Flujo completamente desarrollado
δ
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
90
contribución al exceso de cortante, aproximadamente 0.6. Para una tubería larga en la que Dx >> , el término ( )DLC fP 4 domina la pérdida por fricción total.
El valor de K es una función de x, ( )xKK = , de manera que crece desde 0=x hasta su
valor asintótico para ∞K en la región completamente desarrollada. Los experimentos de
Shah (1978) indican que el valor adecuado de ∞K en tuberías cilíndricas es 25.1=∞K . Para tuberías con sección no circular o en anillos concéntricos el mismo investigador Shah (1978) sugiere una fórmula de interpolación que correlaciona la fricción con la variable ( ) DDx Re=ξ que es válida dentro del 2% para varias formas de conducto
2
,
1
44.3
444.3Re
ξ
ξξξ c
KPo
CPo appfapp
+
−++≈=
∞
.
De esta manera, el factor de fricción medio para el flujo en desarrollo en un conducto es función de la relación longitud / diámetro ó x/d, además del número de Reynolds. En la fórmula anterior appPo es el número de Poiseuille aparente y Po el número de
Poiseuille calculado anteriormente para flujo completamente desarrollado ( )efffDhf CCPo ReRe ζ== y los valores cy K ∞ , apropiados a la geometría de anillos
concéntricos, están listados en la tabla siguiente:
ab Po ∞K c 0.0 16.00 1.25 0.000212 0.05 21.57 0.830 0.000050 0.10 22.34 0.784 0.000043 0.50 23.81 0.688 0.000032 0.75 23.97 0.678 0.000030 1.00 24.00 0.674 0.000029
La expresión de la pérdida de carga usando los valores de la tabla anterior será
+
−++=∆
∞
2
2
1
44.3444.32
ξ
ξξξ
µc
KPo
D
LUp
h
.
4.1.2.3.1.2.3 Flujo oscilante desarrollado: En esta ocasión los términos activos de la ecuación unidimensional de la pérdida de carga serán el primero y el tercero y la podremos expresar como
( )
+∂
∂=∆ ∫ ∫ RLrdrdxt
u
Rp
R x
x
L πτπρπ
221
020
.
r = b x
u(r)
u(r)
r = a r
Figura 4.20. Valores de Po, K∞ y c según la relación b/a de un conducto formado por anillos concéntricos.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
91
Al ser el flujo desarrollado, los perfiles de velocidad instantáneos en cualquier sección son idénticos. De esta manera la velocidad media u~ instantánea en cualquier sección será la misma (no dependen de x).
( )
+=∆ RLLRdt
ud
Rp πτπρ
π2
~1 22
.
Y haciendo uso de la definición de diámetro hidráulico P
ARD frontal
hh
44 =⋅= que se vio
en parámetros adimensionales
( )D
LL
dt
udp
4~τρ +=∆ ,
calculamos la media en el ciclo
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+=∆T T T
dtD
Lt
TLdt
dt
ud
Tdttp
T 0 0 0
41~11 τρ,
que se expresa por tanto como
( )D
LL
T
up
ciclociclo
ciclo
4~τ
ρ+=∆ .
Adimensionando con la velocidad máxima en el ciclo de la media en cualquier sección
ciclomáxu _~
( )( )( ) ( ) D
L
uu
u
T
L
u
p
ciclomáx
ciclo
ciclomáx
ciclo
ciclomáx
ciclo 4
~2
1~2
1
~
~2
1 2_
2_
2_ ρ
τ
ρ
ρ
ρ+=
∆,
luego
( )( )( ) D
LC
u
u
T
L
u
pciclof
ciclomáx
ciclo
ciclomáx
ciclo 4
~2
1
~
~2
1 2_
2_
+=∆
ρ
ρ
ρ,
y por tanto
( ) ( )( )
+=∆D
LC
u
u
T
Lup
ciclof
ciclomáx
ciclociclomáxciclo
4
~2
1
~~
2
12
_
2_
ρ
ρρ ,
donde la pérdida de carga media en el ciclo depende del coeficiente de fricción de
Fanning medio en el ciclo ciclofC definido como
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
92
2_
~2
1ciclomáx
ciclo
ciclof
uC
ρ
τ= .
Lo deseable es que se pueda establecer una correspondencia entre este ciclofC y las
magnitudes que caracterizan a los flujos oscilantes; la amplitud adimensional de la oscilación Ao y la frecuencia adimensional Reω. Se ha podido extraer de la literatura consultada algunas correlaciones propuestas por
investigadores en las que ( )ωRe,ociclof AfC = pero que se aplican para rangos de ωRe
y oA que no sirven para nuestro motor.
4.1.2.3.2 Pérdida de carga en medios porosos:
Claramente, los medios porosos han sido estudiados principalmente para la condición de flujo estacionario desarrollado. En ella, los términos de la ecuación unidireccional de la pérdida de carga se anulan (el primero por estar en flujo estacionario, el segundo por ser flujo desarrollado y el tercero, que representa la pérdida de carga por fricción con la pared, se considera despreciable frente a la fricción con el propio medio poroso). Es por ello que a la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento se le añade un término fuente que representa, precisamente, esta fricción con el medio poroso.
Típicamente, la pérdida de carga para medio poroso se ha modelado como proporcional a la velocidad (para el caso de que la velocidad del flujo sea suficientemente lenta), proporcional al cuadrado de la misma (para el caso de que la velocidad del flujo sea más elevada) o como una combinación de ambas para tener en cuenta ambos efectos cuando no predomina claramente ninguno de los anteriores. Esto puede expresarse como
vvC
L
p rr
+−=∆22ρ
αµ
,
dónde vr
aquí representa la velocidad superficial. Si queremos representarlo con la velocidad física aparecerá la porosidad γ en la formulación anterior
+−=∆ LvvC
Lvprrr 22
2γργ
αµ
.
Suponiendo que queramos expresarlo de una forma análoga a como hicimos con el flujo desarrollado y estacionario en un conducto
LuuC
LuD
LuuCp
h
fMP ~~2
~~~2 22 γργ
αµρ
+/==∆ ,
donde fMPC es un coeficiente de fricción análogo al fC para tuberías (Fanning
en medio poroso). α es la permeabilidad.
2C es el coeficiente de pérdida inercial.
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93
De donde
2~2
22γ
ρµγ CD
u
DC hh
fMP += ,
y si introducimos el número de Reynolds obtendremos
2
22
2Re2C
DDC hh
fMP
γγ += ,
que se puede reinterpretar como
fdsf
fMP CC
C +=Re
,
siendo sfC un coeficiente de fricción superficial (el subíndice sf hace referencia a “skin
friction” ) y fdC es un coeficiente de forma (el subíndice fd hace referencia a “form
drag”).
4.1.2.3.3 Cálculo del Trabajo Motor.
Por cualquiera de los métodos anteriores, una vez elegido la forma de aproximar la pérdida de carga más representativa a las condiciones que se dan en el motor Stirling, procederemos a calcular carga de pérdidasW integrando para todo el ciclo. Se toma como
referencia la presión del espacio de compresión, lo que implica identificar la presión p con pc
∫ ∑ ⋅
⋅∆==
πθ
θ2
0
3
1carga de pérdidas d
d
dVpW
i
ei ,
que habrá que descontar del trabajo indicado indicadoW para hallar el trabajo motor motorW
( )∫ ∫ ⋅Σ∆−+⋅=−= eecindicadamotor dVpdVdVpWWW carga de pérdidas .
La simulación para el caso de estudio del motor nos da las siguientes gráficas de presión respecto al ángulo de la manivela. La primera gráfica enseña las caídas de presión en los tres intercambiadores mientras que la segunda muestra las presiones de los espacios de expansión y compresión respecto al ángulo de la manivela.
200 250 300 350 400 450 500 550 600-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
θ en º
∆ p e
n pa
scal
es
∆p frente a ángulo θ
∆pk
∆pr
∆ph
200 250 300 350 400 450 500 550 600
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8x 105
θ en º
pres
ión
en p
asca
les
presión frente a ángulo θ
pe
pc
Figura 4.21. Pérdida de carga y presión frente al ángulo θ girado por el cigüeñal.
Bajo estas condiciones el trabajo debido a la pérdida de carga es de 12.2 w, alrededor del 9.2 % de la potencia neta de salida.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
94
4.1.2.4 Transferencia de calor durante el ciclo.
Hemos visto previamente que la ecuación unidimensional de conservación de la energía es usada en este modelo para la evaluación de hQ& , rQ& y kQ& a partir de la variación de
energía interna en cada cámara y de la energía térmica que acompaña al flujo de masa (flujo advectivo de calor) y se usarán coeficientes de convección hh y kh para la
evaluación de las temperaturas hT y kT .
Para entender qué es el coeficiente de transferencia de calor por convección (coeficiente de película) h, partiremos de la ecuación de conservación de la energía general en la que no se contemplan los términos debidos a campos externos (no hay gravedad en el modelo) ni calores procedentes de reacciones químicas o radiación
( ) ( )( ) ( ) qvvht
e &rrrrrr
⋅∇−⋅⋅∇=⋅∇+∂
∂ τρρ0
0 .
4.1.2.4.1 Simplificación para flujo unidireccional.
Si el flujo es unidireccional en x (v = 0 y w = 0)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∂∂
+∂
∂−∂
∂=
∂∂+
∂∂
y
q
x
q
y
u
x
uh
t
e yxyx &&τρρ 00 .
Si utilizamos coordenadas cilíndricas
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dV
r
qr
rx
q
r
ru
rdV
x
uh
t
e rxrx
∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂+
∂∂ && 1100 τρρ ,
donde
r
urx ∂
∂−= µτ ; x
Tkqx ∂
∂−=& ; Rr
r r
Tkq
=∂∂=& .
Puesto que rxτ es significativo sólo en las paredes del conducto, si éste se identifica con
una superficie de corriente podemos hacer
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
11
0)n viscosa(disipació
ledespreciabosconsideram lo
00 dVr
qr
rx
q
r
ur
r
ru
rdV
x
uh
t
e rxrx
rx
∂∂+
∂∂
−
∂∂+
∂∂
=
∂∂
+∂
∂
=Φ
&&
321ττρρ
Por otra parte
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
1
momento" deónConservaci"
en hicimos comolesdespreciab
osconsideram lo
00 dVr
qr
rx
q
rr
r
udV
x
uh
t
e rxrxrx
∂∂+
∂∂
−
∂∂
+≈
∂∂
+∂
∂ &&
321
ττρρ
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
95
y nos quedará
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dV
r
qr
rx
qu
rdV
x
uh
t
e rxrx
∂∂+
∂∂−≈
∂∂+
∂∂ && 1100 τρρ
.
Puesto que rxτ se anula a sí misma salvo en la pared donde Rr = y allí tiene sentido
contrario a la velocidad u, podemos definir rrxττ −= (evaluado en r). Si además
descomponemos dV de manera que dxdAdV frontal=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdA
r
qr
rx
qu
rdxdA
x
uh
t
efrontal
rxfrontal
∂∂+
∂∂−−≈
∂∂+
∂∂ && 1100 τρρ
,
o bien
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdA
r
qr
rx
qdxdAu
rdxdA
x
uhdxdA
t
efrontal
rxfrontalfrontalfrontal
∂∂+
∂∂−−≈
∂∂+
∂∂ && 1100 τρρ
.
4.1.2.4.1.1 Línea de corriente. Si, como hasta ahora hemos supuesto, el volumen infinitesimal es cilíndrico, el área frontal es rdrdAfrontal π2= , y por tanto el último término podemos expresarlo de otra
manera
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2
122
122 00
/
∂∂
/+
∂∂−/
/−≈
∂∂+
∂∂
drdxrr
qr
rrdrdx
x
qdrdxru
rrdrdx
x
uhrdrdx
t
e rx πππτπρπρ &&
y nos queda
( ) ( ) ( ){( ) ( )
{ ,2200
∂∂+
∂∂−−≈
∂∂+
∂∂
dxdrr
qrdxdA
x
qdxdrudxdA
x
uhdxdA
t
e
dP
rfrontal
x
dPfrontalfrontal ππτρρ &&
donde dP es el diferencial de perímetro. Pasándolo todo al primer miembro:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 ≈
∂∂+
∂∂++
∂∂+
∂∂
dPdxr
qrdxdA
x
qdPdxudxdA
x
uhdxdA
t
e rfrontal
xfrontalfrontal
&&τρρ.
Puesto que estamos sobre una línea de corriente, p y u varían sólo con x en el espacio y podemos cambiar las correspondientes derivadas parciales por derivadas totales. Ahora podemos dejar la expresión como
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0
Conducción
radialcalor dencia transferede Término
axialcalor dencia transferede Término
(difusivo) viscosoTérminoAdvección
0
io transitorTérmino
0 ≈
++++∂
∂
444444 3444444 21
4342144 344 2143421
444 3444 2144 344 21dPdx
dr
rqddxdA
dx
qddPdxudxdA
dx
uhddxdA
t
e rfrontal
xfrontalfrontal τρρ
que es válida para una corriente unidireccional en un volumen diferencial (cualquiera que sea su forma) y en una línea de corriente. En la figura siguiente se detalla un volumen de control infinitesimal cilíndrico:
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
96
Figura 4.22. Volumen de control infinitesimal cilíndrico en una línea de corriente.
4.1.2.4.1.2 Tubo de corriente.
Si queremos hacer el balance de cantidad de movimiento sobre un tubo de corriente (en la figura siguiente representamos un elemento de corriente dentro de un tubo de corriente cilíndrico):
Tendremos que integrar en todo el volumen la ecuación que teníamos para la línea de corriente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0
Conducción
radialcalor dencia transferede Término
0
axialcalor dencia transferede Término
0
(difusivo) viscosoTérmino
0
Advección
0
0
io transitorTérmino
0
0
00000
≈
++++∂
∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
44444444 344444444 21
444 3444 21444 3444 2144 344 214444 34444 214444 34444 21
P x
x
rA x
x frontalx
P x
x
A x
x frontal
A x
x frontal
LLLLL
dxdPdr
rqddxdA
dx
qddxdPudxdA
dx
uhddxdA
t
e τρρ
Sustituyendo x
Tkqx ∂
∂−=& y Rr
r r
Tkq
=∂∂=&
( ) ( ) ( ) .0
Conducción
radialcalor dencia transferede Término
0
axialcalor dencia transferede Término
0
(difusivo) viscosoTérmino
0
Advección
0
0
io transitorTérmino
0
0
00000
≈
∂∂
+
∂∂
−+++∂
∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
4444444444 34444444444 21
444 3444 214444 34444 2144 344 214444 34444 214444 34444 21
P x
x
A x
x frontal
P x
x
A x
x frontal
A x
x frontal
LLLLL
dxdPdr
r
Trkd
dxdAdx
x
Tkd
dxdPudxdAdx
uhddxdA
t
e τρρ
Si nuestro volumen de control es cilíndrico
( ) ( ) ( ) .00
2
00
2
00
2
00
2
0
0
0
2
0
0
00000
≈
∂∂
+
∂∂
−+++∂
∂∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
R x
x
R x
x
R x
x
R x
x
R x
x
LLLLL
drdxddr
r
Trkd
rdrdxddx
x
Tkd
drdxdurdrdxddx
uhdrdrdxd
t
e πππππθθθτθ
ρθ
ρ
Resolviendo para θd y alterando el orden de integración de algunas integrales
dxx
uu
∂∂+
dxx
pp
∂∂+ p
( )rrxrx rττ −=
u frontaldA
dx
dP
L x0 xL
R r dr
P
A frontal
Figura 4.23. Tubo de corriente.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
97
( ) ( ) ( ) .022222
5 término
0
4 término
00
2 término
0
0
0
0
00000
≈
∂∂
+
∂∂
−+++∂
∂∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
4444 34444 214444 34444 214444 34444 21
LLLLL x
x
RR x
x
R x
x
R x
x
R x
xdrdx
dr
r
Trkd
rdrdxdx
x
Tkd
dxdrurdrdxdx
uhdrdrdx
t
e πππτπρπρ
Resolviendo los términos 2, 4 y 5 y sacando fuera π2 en todos ellos
( ) ( )( )
( ) ( ) .022222
5 término4 término
00
2 término
0 00
0
0
00
0
0
000
≈
∂∂+
∂∂−+++
∂∂
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫=
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
4444 34444 214444 34444 21
4444 34444 21
LRr
r
Lx
x
LxL
x
L x
x
r
Trk
r
Trk
Rx
Tk
x
Tk
R x
x
R uh
uh
R x
xdx
r
Trkdrdr
x
Tkddrdxurdruhddxrdr
t
e ππτπρπρπρ
ρ
Evaluando las integrales 2 y 4 en una línea de corriente
( ) ( ) ( )[ ] ( )
.022
222
5 término
4 término
0
0
2 término
0 000
0
0
0
0
00
0
≈
∂∂+
∂∂−
∂∂−+
++−+∂
∂
∫ ∫∫
∫ ∫∫∫ ∫
=
=
∂∂
∂∂
4444 34444 21444444 3444444 21
44444 344444 21
LRr
r
L
L
L
L
x
x
r
Trk
r
Trk
R
xx
R x
x
R
xx
R x
x
dxr
Trkdrdr
x
Tk
x
Tk
drdxurdruhuhdxrdrt
e
ππ
τπρρπρπ
La última integral (integral 5) podemos evaluarla primero en la sección y después a lo largo de x
.222
22
00
00
0
0rser por 0
0
0
∫∫
∫∫ ∫
==
==
==
==
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂=
∂∂−
∂∂=
=
∂∂−
∂∂=
∂∂=
=
LL
LLRr
r
x
xRrRr
x
xrRr
x
xrRr
x
x
r
Trk
r
Trk
r
TRLkdx
r
Trkdx
r
Trk
r
Trk
dxr
Trk
r
Trkdx
r
Trkd
πππ
ππ
4434421
De esta forma nos quedará
( ) ( ) ( )[ ] ( )
,022
222
0
00 000
0
0
00
0
≈
∂∂+
∂∂−
∂∂−+
++−+∂
∂
=∫
∫ ∫∫∫ ∫
44 344 21&
pared
L
L
L
L
Q
Rr
R
xx
R x
x
R
xx
R x
x
r
TRLkrdr
x
Tk
x
Tk
drdxurdruhuhdxrdrt
e
ππ
τπρρπρπ
de donde podemos despejar paredQ&
( ) ( ) ( )[ ] ( ) .2 222
000 000
0
00
00
∫∫ ∫∫∫ ∫
∂∂−
∂∂−+−+
∂∂
≈R
xx
R x
x
R
xx
R x
xpared rdrx
Tk
x
Tkdrdxurdruhuhdxrdr
t
eQ
L
L
L
L πτπρρπρπ&
En realidad expresaremos el flujo de calor local ( )xQpared& ( paredQ& es la media sobre toda
la longitud del conducto) usando un coeficiente de transferencia de calor por convección (coeficiente de película) de la manera siguiente
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
98
TAhQ calorciatransferenpared ∆==
44 344 21&
cilindros para RL2
_
π
,
donde ( )xQpared
& es el flujo de energía calorífica por unidad de tiempo en vatios.
( )xh es el coeficiente local de transferencia de calor por convección enKm
w
º2⋅.
calorciatransferenA _ es el área de la superficie de intercambio en 2m .
( )xT∆ es la diferencia de temperatura en K entre la de la pared paredT y la
media del flujo ( )xTm.
Es decir, puesto que en flujo laminar la transferencia de calor entre la pared y el fluido en contacto con ella se produce únicamente por conducción, igualamos la expresión de la ley de Fourier con la del coeficiente de transferencia de calor por convección dando lugar a
( )( )
mpared
Rr
mparedcalorciatransferen
paredr
Rrycalorciatransferen
paredr
TT
r
Tk
xhh
TThA
r
Tk
y
Tk
A
−∂∂−
==⇒
−==
∂∂−=
∂∂==
=
==
_
0_
&&
&&
.
Donde ( )xTm es la temperatura media en una sección y se evalúa en términos de la
energía térmica transportada por el fluido conforme pasa por la sección transversal
{ {
{ m
uTdA
cm
TdAucT
udAm
TcmE
dATcuE
c
v
c
c
frontal
A frontal
ctecv
A frontalv
m
A frontal
mvt
A frontalvt
&&
&
&&
321&
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
=
==⇒
=
≡
=
ρρ
ρ
ρ
ltransversasección
masa deunidadporinternaenergía
área deunidadpormasadeflujo
.
El coeficiente h es local y podemos encontrar un coeficiente de convección medio para toda la tubería haciendo la integral sobre toda su longitud x
∫∫
−∂∂−
== =LL x
xmpared
Rrx
xL dxTT
r
Tk
Lhdx
Lh
00
11.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
99
Si igualmente calculamos paredQ& para todo el conducto a partir de la expresión que usa
el coeficiente de película
∫∫ ∆== LL x
x calorciatransferen
x
x paredpared TdxhAL
dxQL
Q00
_
11 && ,
y se intuye que Lh es un coeficiente muy complejo de obtener a partir de la ecuación de la energía.
Tendremos una expresión simplificada para el caso en que la temperatura de la pared
paredT sea constante y tengamos flujo estacionario, desarrollado térmicamente, sin el
término de cortante ni el de gradiente axial de temperaturas. En ese caso podremos despejar Lh de
( ) ( )[ ] mlcalorciatrasnferenL
R
xxpared TAhrdruhuhQL
∆=−= ∫ _0 00 02 ρρπ& ,
siendo mlT∆ la diferencia de temperaturas media logarítmica definida como
( )entradasalida
entradasalidaml TT
TTT
∆∆∆−∆≡∆
ln,
ya que, al ser la temperatura paredT una constante, la diferencia de temperaturas
( )mpared TT − decrece exponencialmente con la distancia x.
Con el fin de utilizar el coeficiente de película Lh de una manera útil en ingeniería se recurre a valores empíricos obtenidos en laboratorio en condiciones de interés. Normalmente este interés ingenieril se ha centrado fundamentalmente en casos mucho más simples y bastante alejados de lo que se necesita en el análisis de un motor Stirling. Los principales son:
- Flujo estacionario desarrollado
66.3=DNu para flujo laminar.
- Desarrollo del flujo en la entrada
14.03
1
PrRe86.1
⋅
⋅=
s
D
DL
Nuµµ
.
En el modelo adiabático, la temperatura en el medio poroso se evalúa mediante una media logarítmica de las temperaturas Th y Tk, luego no es necesario calcular hr.
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
100
4.1.2.5 Tabla resumen expresiones para ∆p y h. A continuación exponemos, a modo de tabla, las expresiones usadas en el modelo adiabático para el cálculo de la pérdida de carga y el coeficiente de película para cada intercambiador, comparadas con la que usa el Profesor Urieli en el suyo:
Urieli. Mi modelo.
∆p foco frío
∆p foco caliente
Cref = 0.0791·Re0.75
2
~2
h
ref
D
LuCp
µ=∆
( )Re2
,2 appf
h
CD
LUp
µ=∆
∆p regenerador
Cref = 24 si Re < 2000
Cref = 0.0791·Re0.75 si Re ≥ 2000
2
~2
h
ref
D
LuCp
µ=∆
C0 = 25887.23
∆p = C0·lr·vsuperficial
h foco frío
Nu = 0.035·Re0.72
hD
kNuh
⋅=
h foco caliente
Nu = 0.035·Re0.84
hD
kNuh
⋅=
h regenerador
PrRe2 ⋅⋅= refC
St
h
p
D
cSth
µ⋅⋅⋅=
Re
Nu = 0.03955·Re0.75
hD
kNuh
⋅=
Se observa que Urieli ha supuesto flujo estacionario y desarrollado para aproximar la pérdida de carga. Supone flujo turbulento en los focos (aunque el número de Reynolds sea inferior a 2000) y usa normalmente flujo laminar para el regenerador. En el presente modelo, en cambio, se ha preferido usar la expresión para flujo estacionario no desarrollado, y de este modo ajustarlo más al modelo multidimensional en Fluent. Se verá en el próximo capítulo que el modelo multidimensional usa como focos multitud de anillos concéntricos de longitud bastante corta (no hay longitud suficiente para que el flujo se desarrolle).
PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelos Unidimensionales.
101
En cuanto a la transmisión de calor, Urieli ha supuesto aplicable la analogía de Reynolds para flujo turbulento
PrRe2 ⋅⋅= refC
St � h
p
D
cSth
µ⋅⋅⋅=
Re .
.2
PrReCkh
k
hNu
RePrC2
1Nu
2Pr
CSt
PrRe
Nu
Pr ReStNu
PrSt2
C
31
f
31
f3
2f
32
f
h
h
D
D
⋅⋅⋅=⇒
≡
=⇒==⋅
⇒
⋅⋅=
⋅=
En mi modelo, en cambio, se ha elegido un parámetro Nu empírico proveniente de la literatura y en el que se han ajustado los coeficientes para aproximar el flujo de calor en cada intercambiador al que Fluent provee como resultado del modelo multidimensional. El coeficiente de película del regenerador sólo es necesario para calcular rregeneradoη . No
se usa para calcular la temperatura en el regenerador rT . En su lugar se emplea la temperatura media efectiva.
4.2 Conclusión.
En este capítulo se han descrito dos modelos unidimensionales, el isotérmico y el adiabático, y el proceso que éstos siguen para llegar a la solución final. Ambos parten de unas ecuaciones simplificadas, siguen una estrategia clara y son fáciles de implementar.
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