View
24
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
多変数の関数と偏微分. 多変数の関数. R n の実関数 n 個の実数 x 1 ,..., x n が決まると一つの実数が決まる f ( x 1 ,..., x n ). 経済学の例 りんごの需要がりんごの価格 p だけでなく、みかんの価格 q と所得 Y に依存する・・ D ( p,q,Y ) 財がたくさんあって、各価格が p 1 ,..., p n, 所得が Y のとき、各財の需要は D 1 ( p 1 ,..., p n , Y ) ,..., D n ( p 1 ,..., p n, Y ). R n から R m への関数 ( 写像 ). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
多変数の関数
• Rn の実関数n 個の実数 x1,..., xn が決まると一つの実数が決ま
るf(x1,..., xn) • 経済学の例りんごの需要がりんごの価格 p だけでなく、み
かんの価格 q と所得 Y に依存する・・ D(p,q,Y)
財がたくさんあって、各価格が p1,..., pn, 所得がY のとき、各財の需要は D1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn
(p1,..., pn,Y )
Rn から Rm への関数 ( 写像 )
• Rn の実関数を m 個並べるn の実数 x1,..., xn が決まると m 個の実数が決まるf1 (x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)
多変量の関数の例• 線形関数
1 1 1,..., ...n n nf x x a x a x
• アフィン関数 ( 一次関数 )
1 1 1,..., ...n n nf x x a x a x b
• 線形代数で扱う
Cobb Douglas 関数
11 1 1,..., ..., , , ,..., 0n
n n nf x x Ax x A
1 1 1ln ,..., ln ln ... lnn n nf x x A x x
対数を取る
対数が線形
Cobb Douglas 生産関数 ,F K L AK L
: :K L資本、 資本単位の取り方で A=1 に標準化できる
1, 1F K L K L
1
1 1
2 ,2 2 2
2 2 2 ,
F K L K L
K L F K L
資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2 倍
一次同次関数と 0 次同次関数
1 1,..., ,..., , 0n nf ax ax af x x a 一次同次関数
1 1,..., ,..., , 0kn nf ax ax a f x x a
k 次同次関数
1 1,..., ,..., , 0n nf ax ax f x x a
0 次同次関数
一次同次の生産関数
• F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)
• 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分の 1 にでもできる
• 規模に対して、収穫一定 (constant return to scale)
需要関数の 0 次同次性
• すべての財の価格と所得が 2 倍になっても経済状態は変わらない→各財の需要は変化しない
1 1,..., , ,..., ,i n i nD ap ap aY D p p Y
1 1 1,..., , ,..., ,..., ,n n nD p p Y D p p Y
各財の需要関数
効用関数の序数性• 序数的・・・どちらがいいかのみ意味が
ある• 基数的・・・大きさ自体に意味がある。序数的なら
1 1,..., , ,...,n nf x x f y y の比較と
1 1ln ,..., , ln ,...,n nf x x f y y の比較は同等
より一般的に
1 1,..., , ,..., :n nf x x f y y は厳密に増加的
の比較は同等
Cobb-Douglas 効用関数と対数線形効用関数の同値性
1
1
1 1
1
1 1
ln ,..., ln ...,
ln ln .... ln
ln ln .... ln
n
n
n n
n
n n
f x x Ax x
A x x
A x x
対数線形のほうが使いやすい
レベル集合の不変性
1 1
1 1
,..., ,...,
,..., ,...,
n n
n n
g
x x f x x A
x x g f x x g A
が厳密に増加的
レベル曲線・無差別曲線も変化しない
CES 関数
1
, 1F K L K L
Cobb Douglas の一般化
1 次同次
1
1
1
1 1 1
, 1
1
1
1 1
F aK aL aK aL
a K a L
a K L
a K L a K L
1
0 0
0
0
1 1
1
ln 1ln
0
ln 1 1
1 1
ln 1 ln ln 1 ln
ln ln ln
Y K L
K LY
d d dK L K L
d d dK L
K K L L K L
K L K L
対数を取る
分母と分子を で微分し、を入れる
偏微分 (Partial derivative)
• 多変数の関数で、他の変数を定数として、一つの変数のみについて、微分する
• d のかわりに∂を 使う
1
1 1 1 1 1 10
,...,
,..., , , ,...., ,..., , , ,....,lim
n
i
i i i n i i i n
f x x
x
f x x x x x f x x x x x
• 極限は上から取っても下から取っても一致
• そうでないときは、偏微分できない ( 偏微分不可能である )
1
1 1 1 1 1 10
,...,
,..., , , ,...., ,..., , , ,....,lim
n
i
i i i n i i i n
f x x
x
f x x x x x f x x x x x
1,..., n
i
f x x
x
関数としては偏導関数
1,...,i nf x x
一次近似
• 一方向
1 1 1 1 1 1
1
,.., , , ,., ,.., , , ,.,
,...,
i i n i i i ni
n
iii
f x x x x x f x x x x x
f x xx x
x
¥
11
11
,..., ,...,:
,..., ,...,
nn
i i
nn
f x x f x x
x x
x x x x
を
で評価
一次近似• すべての方向
11
1 1
111
,..., ,...,
,..., ,...,....
nn
n n
nnn
f x x f x x
f x x f x xx x x x
x x
¥
1 1
1 11
1 1
,..., ,...,,..., ....
....
n n
n nn
n n
f x x f x xdf x x dx dx
x x
df f dx f dx
• 略して全微分表現
一次近似が成立しない例
0
, 0
0 0, 0
x y
f x y y x
x y
0,0 , , 1x yf x y f x y で評価すると
, 0x y f x y は両軸以外では、
のいい近似ではない
全微分 ( 可能 )
• すべての方向でいい近似
2 2
11
1 1
1 11 11
2
11
0, 0, ...
,..., ,...,,..., ,..., ....
...
nn
n n
n nn nn
nn
x x x x
f x x f x xf x x f x x x x x x
x x
x x x x
2 2
2 2
0, 2
0 02
x y x y x x y y
x y
x y
まえの例では、 とすると なら
は、 が小さくなっても小さくならない
比較静学
• 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決まっているとき、その未知数以外の方程式の変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がどんなふうにちょっと変化するかを考える問題
• 全微分 ( 一次近似 ) して、連立方程式を解く
•
限界生産物 ,F K L
K
資本の限界生産物
,F K L
L
労働の限界生産物
一単位投入を増やしたとき産出がどれだけ増えるか
, , ,K LF K L F K L
,K LF F 独立変数を省略
変化率と弾力性による表現K LdY F dK F dL
ß 両辺を Y=Fで割る
K LKF LFdY dK dL
Y F K F L
, ,dY dK dL
Y K L変化率
時間についての変化率と似ているが違う
変化率と弾力性による表現( 3)
K LKF LFdY dK dL
Y F K F L
,K LK L
KF LF
F F
ˆ, ,dY dK dL
Y K LY K L
Rochester ハット
ˆ ˆ ˆK LY K L 慣れれば本能的に瞬時に出る
Cobb-Douglous のケース
1
1
1 1
'
1 ,
Y K L
x x
Y YK L K L
K L
1 1 1
K LdY F dK F dL
K L dK K L dL
ˆ ˆ ˆ1Y K L
偏微分の積の公式• 以下では、微分可能性などは仮定
, , , ,, ,
, , , ,x x
f x y g x y f x y g x yg x y f x y
x x xf x y g x y g x y f x y
1 1
1 11 1
1 1 1 1
,..., ,...,
,..., ,...,,..., ,...,
,..., ,..., ,..., ,...,
n n
i
n nn n
i i
i n n i n n
f x x g x x
x
f x x g x xg x x f x x
x x
f x x g x x g x x f x x
2 変数
多変数
チェイン・ルールの例 1
, , ,f x y x t u g t uで の値が に依存し となる
1 1
1 1
1 1
, , , , ,
,, ,
, , ,
, , ,
, ,
x
x t
f g t u y f g t u y g t u
t x tg t u
f g t u yt
f g t u y g t u
f g t u y g t u
f x y g t u
f g
チェイン・ルールの例 2
, , ,f x y x t u g t uで の値が に依存し となる
1 2
, , , , ,
,, ,
, , ,
, ,
x
x u
x u
f g t u y f g t u y g t u
u x ug t u
f g t u yu
f g t u y g t u
f x y g t u
f g
パスを全部通す例
1 1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
, , , , , , , , ,, ,
, ,, , , , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
, , , ,
x y
x t y t
f g t u h t u f g t u h t u f g t u h t ug t u h t u
t x t y t
g t u h t uf g t u h t u f g t u h t u
t t
f g t u h t u g t u f g t u h t u h t u
f g t u h t u g t u f g t u h t u h t u
f x y g t u f x y h t u
f g f h
, , ,
, ,
f x y x t u g t u
y t u h t u
で の値が に依存し
の値が に依存し となる
上の例の導出
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 00 0 0
0 0 0
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,, ,
, ,
, , , , , ,, ,
, ,
f g t u h t u f g t u h t u
f g t u h t u f g t u h t u
f g t u h t u f g t u h t u
f g t u h t u f g t u h t ug t u g t u
g t u g t u
f g t u h t u f g t u h t uh t u h t u
h t u h t u
0 0t t t t で割り
, , , , , , , , ,, ,f g t u h t u f g t u h t u f g t u h t ug t u h t u
t x t x t
,f x y x t g t
y t h t
で の値が のみに依存し
の値も のみに依存し のとき
1 2
, , ,' '
' '
df g t h t f g t h t f g t h tg t h t
dt x y
f g f h
tが時間のとき
1 2f f g f h
微分方程式でよく使う
例 2Cobb Douglas 生産関数の時間微分
1Y K L Cobb Douglas 生産関数
K と L で微分
1 1YK L
K
1Y
K LL
K と L ともに時間の関数だとする
1Y t K t L t
t で微分
1 1
' ' '
' 1 '
Y YY t K t L t
K L
K L K t K L L t
1 1
' ' '
' 1 '
Y YY t K t L t
K L
K L K t K L L t
1 1 1Y K L K K L L
1Y K L 両辺を で割る
1 1
1 1
1 1
1
1
1
K L LY K L K
Y Y Y
K L LK L K
K L K L
K L
K L
1Y K L 両辺の対数を取る
1ln lnY K L
ln ln ln , ln lnxy x y x x
ln ln 1 lnY K L ln ln ln 1
, ,d Y d Y dY d x
dt dY dt dt x
ln ln 11
d Y d Y dY Y K LY
dt dY dt Y Y K L
数 III を少しやっていると見た瞬間にわかる
例 3 オイラーの法則
1 1,..., ,...,kn nf ax ax a f x x 1,..., nf x x kが 次同次
ixで微分
1 1
11 1
,..., ,...,
,..., ,...,
ki n i n
ki n i n
af ax ax a f x x
f ax ax a f x x
1k 偏導関数は 次同次
1 1,..., ,...,kn nf ax ax a f x xaで微分
11 11,..., ,...,
n ki i n ni
x f ax ax ka f x x
1a で評価
1 11,..., ,...,
n
i i n nix f x x kf x x
オイラー法則
1 11,..., ,...,
n
i i n nix f x x kf x x
一次同次 1 11,..., ,...,
n
i i n nix f x x f x x
0 次同次 11,..., 0
n
i i nix f x x
例 一次同次生産関数
, ,,
F K L F K LF K L K L
K L
, ,,
F K L F K L
K L
資本と労働の限界生産物
これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総賃金で払いつくされ、超過利潤はない
1 11,..., ,...,
n
i i n nix f x x f x x
Recommended