多変数の関数と偏微分

多変数の関数

• Rn の実関数n 個の実数 x1,..., xn が決まると一つの実数が決ま

るf(x1,..., xn) • 経済学の例りんごの需要がりんごの価格 p だけでなく、み

かんの価格 q と所得 Y に依存する・・ D(p,q,Y)

財がたくさんあって、各価格が p1,..., pn, 所得がY のとき、各財の需要は D1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn

(p1,..., pn,Y )

Rn から Rm への関数 ( 写像 )

• Rn の実関数を m 個並べるn の実数 x1,..., xn が決まると m 個の実数が決まるf1 (x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)

2 変数の関数の図示• 2 変数のときは、等高線や等圧線を描く

ことができる。一般的にはレベル曲線経済学では無差別曲線

,f x y xy x

のレベル曲線

レベル集合

2 , : ,x y f x y a次元では

無差別曲線の上の部分

1 1,..., : ,...,

:

n nx x f x x a

x f x a

一般的には

準凹関数

• レベル集合が凸集合

, , 0,1 1

A

x y A x y A

　が 凸集合

凸集合 凸集合でない

多変量の関数の例• 線形関数

1 1 1,..., ...n n nf x x a x a x

• アフィン関数 ( 一次関数 )

1 1 1,..., ...n n nf x x a x a x b

• 線形代数で扱う

Cobb Douglas 関数

11 1 1,..., ..., , , ,..., 0n

n n nf x x Ax x A

1 1 1ln ,..., ln ln ... lnn n nf x x A x x

対数を取る

対数が線形

Cobb Douglas 生産関数 ,F K L AK L

: :K L資本、 資本単位の取り方で A=1 に標準化できる

1, 1F K L K L

1

1 1

2 ,2 2 2

2 2 2 ,

F K L K L

K L F K L

資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2 倍

一次同次関数と 0 次同次関数

1 1,..., ,..., , 0n nf ax ax af x x a 一次同次関数

1 1,..., ,..., , 0kn nf ax ax a f x x a

k 次同次関数

1 1,..., ,..., , 0n nf ax ax f x x a

0 次同次関数

一次同次の生産関数

• F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)

• 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分の 1 にでもできる

• 規模に対して、収穫一定 (constant return to scale)

需要関数の 0 次同次性

• すべての財の価格と所得が 2 倍になっても経済状態は変わらない→各財の需要は変化しない

1 1,..., , ,..., ,i n i nD ap ap aY D p p Y

1 1 1,..., , ,..., ,..., ,n n nD p p Y D p p Y

各財の需要関数

効用関数の序数性• 序数的・・・どちらがいいかのみ意味が

ある• 基数的・・・大きさ自体に意味がある。序数的なら

1 1,..., , ,...,n nf x x f y y の比較と

1 1ln ,..., , ln ,...,n nf x x f y y の比較は同等

より一般的に

1 1,..., , ,..., :n nf x x f y y は厳密に増加的

の比較は同等

Cobb-Douglas 効用関数と対数線形効用関数の同値性

1

1

1 1

1

1 1

ln ,..., ln ...,

ln ln .... ln

ln ln .... ln

n

n

n n

n

n n

f x x Ax x

A x x

A x x

対数線形のほうが使いやすい

レベル集合の不変性

1 1

1 1

,..., ,...,

,..., ,...,

n n

n n

g

x x f x x A

x x g f x x g A

が厳密に増加的

　 　 　 　

レベル曲線・無差別曲線も変化しない

CES 関数

1

, 1F K L K L

Cobb Douglas の一般化

1 次同次

1

1

1

1 1 1

, 1

1

1

1 1

F aK aL aK aL

a K a L

a K L

a K L a K L

1

, 1F K L K L

1

1 1 11 1 1K L K L

線形

コッブ・ダグラス

1

10 1K L K L

ロピタル・ルールを用いる

ロピタル・ルール

lim lim 0, ' 0

'lim

'

x a x a

x a

f x g x g a

f x f a

g x g a

1

0 0

0

0

1 1

1

ln 1ln

0

ln 1 1

1 1

ln 1 ln ln 1 ln

ln ln ln

Y K L

K LY

d d dK L K L

d d dK L

K K L L K L

K L K L

対数を取る

分母と分子を で微分し、を入れる

補足

ln ln ln

'ln

' ln ln

x

x

x

f x a

f x a x a

f xa

f x

f x f x a a a

の微分

　 　 　 対数を取る

　 　 　 微分

　 　 　

lnd

K K Kd

レオンチェフ形

1

1 min ,K L K L

11

1

1

1,

1 1

1

1 s ss

LL K K L

K

K L K K

K

K K

1

1L K K L L 同様に

各型のレベル曲線 ( 等量曲線 )

σ= －∞

σ=1

－∞ < σ <1

CES は、 Constant Elasticity of Substitution で、代替の弾力性が一定の意味

偏微分 (Partial derivative)

• 多変数の関数で、他の変数を定数として、一つの変数のみについて、微分する

• d のかわりに∂を 使う

1

1 1 1 1 1 10

,...,

,..., , , ,...., ,..., , , ,....,lim

n

i

i i i n i i i n

f x x

x

f x x x x x f x x x x x

• 極限は上から取っても下から取っても一致

• そうでないときは、偏微分できない ( 偏微分不可能である )

1

1 1 1 1 1 10

,...,

,..., , , ,...., ,..., , , ,....,lim

n

i

i i i n i i i n

f x x

x

f x x x x x f x x x x x

1,..., n

i

f x x

x

関数としては偏導関数

1,...,i nf x x

一次近似

• 一方向

1 1 1 1 1 1

1

,.., , , ,., ,.., , , ,.,

,...,

i i n i i i ni

n

iii

f x x x x x f x x x x x

f x xx x

x

¥

11

11

,..., ,...,:

,..., ,...,

nn

i i

nn

f x x f x x

x x

x x x x

を

で評価

一次近似• すべての方向

11

1 1

111

,..., ,...,

,..., ,...,....

nn

n n

nnn

f x x f x x

f x x f x xx x x x

x x

¥

1 1

1 11

1 1

,..., ,...,,..., ....

....

n n

n nn

n n

f x x f x xdf x x dx dx

x x

df f dx f dx

• 略して全微分表現

一次近似が成立しない例

0

, 0

0 0, 0

x y

f x y y x

x y

0,0 , , 1x yf x y f x y で評価すると

, 0x y f x y は両軸以外では、

のいい近似ではない

全微分 ( 可能 )

• すべての方向でいい近似

2 2

11

1 1

1 11 11

2

11

0, 0, ...

,..., ,...,,..., ,..., ....

...

nn

n n

n nn nn

nn

x x x x

f x x f x xf x x f x x x x x x

x x

x x x x

2 2

2 2

0, 2

0 02

x y x y x x y y

x y

x y

まえの例では、 とすると なら

は、 が小さくなっても小さくならない

比較静学

• 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決まっているとき、その未知数以外の方程式の変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がどんなふうにちょっと変化するかを考える問題

• 全微分 ( 一次近似 ) して、連立方程式を解く

•

例　生産関数

,F K L 生産関数

K 資本の投入

L 労働の投入

限界生産物 ,F K L

K

資本の限界生産物

,F K L

L

労働の限界生産物

一単位投入を増やしたとき産出がどれだけ増えるか

, , ,K LF K L F K L

,K LF F 独立変数を省略

生産関数の全微分

,Y F K L 資本の限界生産物

K LdY F dK F dL

ß 両辺を全微分

変化率と弾力性による表現K LdY F dK F dL

ß 両辺を Y=Fで割る

K LKF LFdY dK dL

Y F K F L

, ,dY dK dL

Y K L変化率

時間についての変化率と似ているが違う

変化率と弾力性による表現（ 2)

K LKF LFdY dK dL

Y F K F L

変化率を変化率で割ったもの弾力性・・生産の資本に対する弾力性

K

FKF F

KFK

変化率と弾力性による表現（ 3)

K LKF LFdY dK dL

Y F K F L

,K LK L

KF LF

F F

ˆ, ,dY dK dL

Y K LY K L

Rochester ハット

ˆ ˆ ˆK LY K L 慣れれば本能的に瞬時に出る

Cobb-Douglous のケース

1

1

1 1

'

1 ,

Y K L

x x

Y YK L K L

K L

1 1 1

K LdY F dK F dL

K L dK K L dL

ˆ ˆ ˆ1Y K L

偏微分の積の公式• 以下では、微分可能性などは仮定

, , , ,, ,

, , , ,x x

f x y g x y f x y g x yg x y f x y

x x xf x y g x y g x y f x y

1 1

1 11 1

1 1 1 1

,..., ,...,

,..., ,...,,..., ,...,

,..., ,..., ,..., ,...,

n n

i

n nn n

i i

i n n i n n

f x x g x x

x

f x x g x xg x x f x x

x x

f x x g x x g x x f x x

2 変数

多変数

合成関数微分の公式 ( チェイン・ルール )

• パスを全部通す• d と∂のどちらを使うかは、文脈による

チェイン・ルールの例 1

, , ,f x y x t u g t uで の値が に依存し となる

1 1

1 1

1 1

, , , , ,

,, ,

, , ,

, , ,

, ,

x

x t

f g t u y f g t u y g t u

t x tg t u

f g t u yt

f g t u y g t u

f g t u y g t u

f x y g t u

f g

チェイン・ルールの例 2

, , ,f x y x t u g t uで の値が に依存し となる

1 2

, , , , ,

,, ,

, , ,

, ,

x

x u

x u

f g t u y f g t u y g t u

u x ug t u

f g t u yu

f g t u y g t u

f x y g t u

f g

パスを全部通す例

1 1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1

, , , , , , , , ,, ,

, ,, , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , ,

x y

x t y t

f g t u h t u f g t u h t u f g t u h t ug t u h t u

t x t y t

g t u h t uf g t u h t u f g t u h t u

t t

f g t u h t u g t u f g t u h t u h t u

f g t u h t u g t u f g t u h t u h t u

f x y g t u f x y h t u

f g f h

, , ,

, ,

f x y x t u g t u

y t u h t u

で の値が に依存し

の値が に依存し となる

上の例の導出

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0

0 0 0

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,, ,

, ,

, , , , , ,, ,

, ,

f g t u h t u f g t u h t u

f g t u h t u f g t u h t u

f g t u h t u f g t u h t u

f g t u h t u f g t u h t ug t u g t u

g t u g t u

f g t u h t u f g t u h t uh t u h t u

h t u h t u

0 0t t t t で割り

, , , , , , , , ,, ,f g t u h t u f g t u h t u f g t u h t ug t u h t u

t x t x t

,f x y x t g t

y t h t

で の値が のみに依存し

の値も のみに依存し のとき

1 2

, , ,' '

' '

df g t h t f g t h t f g t h tg t h t

dt x y

f g f h

tが時間のとき

1 2f f g f h

微分方程式でよく使う

例 2Cobb Douglas 生産関数の時間微分

1Y K L Cobb Douglas 生産関数

K と L で微分

1 1YK L

K

1Y

K LL

K と L ともに時間の関数だとする

1Y t K t L t

t で微分

1 1

' ' '

' 1 '

Y YY t K t L t

K L

K L K t K L L t

1 1

' ' '

' 1 '

Y YY t K t L t

K L

K L K t K L L t

1 1 1Y K L K K L L

1Y K L 両辺を で割る

1 1

1 1

1 1

1

1

1

K L LY K L K

Y Y Y

K L LK L K

K L K L

K L

K L

1Y K L

Y K L

, .Y K L

Y K L

生産、資本、労働の成長率

1Y K L 両辺の対数を取る

1ln lnY K L

ln ln ln , ln lnxy x y x x

ln ln 1 lnY K L ln ln ln 1

, ,d Y d Y dY d x

dt dY dt dt x

ln ln 11

d Y d Y dY Y K LY

dt dY dt Y Y K L

数 III を少しやっていると見た瞬間にわかる

一般の生産関数

ˆ ˆ ˆ

K L

K L

KF LFdY dK dL

Y F K F L

Y K L

とパラレルに

K L

Y K L

Y K L

例 3 　オイラーの法則

1 1,..., ,...,kn nf ax ax a f x x 1,..., nf x x kが 次同次

ixで微分

1 1

11 1

,..., ,...,

,..., ,...,

ki n i n

ki n i n

af ax ax a f x x

f ax ax a f x x

1k 偏導関数は 次同次

1 1,..., ,...,kn nf ax ax a f x xaで微分

11 11,..., ,...,

n ki i n ni

x f ax ax ka f x x

1a で評価

1 11,..., ,...,

n

i i n nix f x x kf x x

オイラー法則

1 11,..., ,...,

n

i i n nix f x x kf x x

一次同次 1 11,..., ,...,

n

i i n nix f x x f x x

0 次同次 11,..., 0

n

i i nix f x x

例　一次同次生産関数

, ,,

F K L F K LF K L K L

K L

, ,,

F K L F K L

K L

資本と労働の限界生産物

これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総賃金で払いつくされ、超過利潤はない

1 11,..., ,...,

n

i i n nix f x x f x x