View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
YAPISAL ANAL İZ
DOÇ.DR. KAM İLE TOSUN FELEKOĞLU
2
Basit Kafes Sistemler• Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan
oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları ve metal çubuklardan oluşmaktadır.
• Düzlem kafes sistemler, tek bir düzlem içinde yer alırlar ve sıklıkla çatı ve köprülerde taşıyıcı sistem olarak kullanılır.
• Şekilde gösterilen kafes sistem, tipik bir çatı taşıyıcı kafes sistem örneğidir.
• Çatı makasında, çatı yükü bir dizi aşık aracılığıyla düğüm noktalarında kafes sisteme aktarılır. Uygulanan yük, kafes sistemin düzleminde etkidiğinden, çubuklarda oluşan kuvvetlerin analizi iki boyutludur.
3
• Şekildeki gibi bir köprüde ise, yüklerin kafes sisteme aktarılması şu şekilde olur: yükler, önce boyuna kirişler (stringer) üzerinden taban kirişlerine (floor beam), oradan da kafesin iki yanında bulunan düğüm noktalarına aktarılmaktadır. Köprü kafes sistemi de çatı kafes sisteminde olduğu gibi düzlemseldir.
• Köprü veya çatı kafes sistemlerinin, uzun mesafeleri geçmelerini gerektiren durumlarda, bir taraftaki mesnet için, sallanan (rocker) veya kayar-hareketli (roller) mesnet kullanılır. Bu tür bir mesnetleme, sıcaklığa ve yüke bağlı olarak kafes sistemin genleşmesi ve büzülmesine karşı serbestlik sağlar.
4
Tasarımda Kullanılan Varsayımlar• Bir yüklemeye maruz bir kafes sistemin hem çubuklarını hem de
bağlarını dizayn etmek için, önce her bir çubukta oluşan kuvveti belirlemek gerekir. Bu noktada iki önemli varsayım vardır: – Tüm yüklemeler dü ğüm noktalarına uygulanır . Köprü veya çatı kafes
sistemlerinde olduğu gibi genellikle bu varsayım doğrudur. Çoğu zaman kuvvet analizinde çubukların ağırlıkları ihmal edilir, çünkü taşınan kuvvetler, çubuk ağırlıklarına göre çok büyüktür. Çubuğun ağırlığıdikkate alınacaksa, elemanın iki ucuna eşit olarak paylaştırılır.
– Elamanlar birbirine pürüzsüz mafsallar (pinler) ile bağlanmı ştır . Düğüm noktaları genellikle perçinlerle veya kaynaklı olarak oluşturulurlar. Elemanlar ortak bir plaka olan Gusset plakası üzerinde birleştirilirler veya uzun bir cıvata kullanılarak bu düğüm noktasından geçen tüm elemanlar birleştirilir. Böylece aynı noktadan geçen kuvvetler sistemi oluşur.
5
• Bu iki varsayım nedeniyle, kafes sistemdeki her bir eleman iki kuvvetli eleman gibi davranır ve bu yüzden elemanın uçlarındaki kuvvetler, ekseni doğrultusunda olmalıdır.
• Kuvvet, elemanı uzatma eğiliminde ise çekme kuvveti (T-tension), kısaltma eğilimde ise basınç kuvvetidir (C-compression).
• Bir kafes sistemin tasarımını yaparken, kuvvetlerin çekme mi yoksa basınç mı olduğunu belirtmek önemlidir. Bir çubuk basınçaltındayken oluşan burkulma veya kolon etkisi nedeniyle, basınççubukları genellikle çekme çubuklarından daha kalın olmalıdır.
çekme basınç
6
Basit Kafes Sistem• Çökmeyi önlemek için, kafes sistemlerin formu rijit olmalıdır. Rijit
veya kararlı en basit form bir üçgendir. Üç kafes elemanı üçgen oluşturacak şekilde uçlarından birleştirilerek biraraya getirilirse rijit bir form oluştururlar.
• Basit kafes sistem oluşturulurken, ABC gibi bir temel üçgen eleman ile başlanır ve ek bir eleman oluşturmak için AD ve CD elemanlarıbağlanır. Buna göre, bir basit kafes sisteme yerleştirilen, iki çubukla oluşturulan her yeni eleman için düğüm noktası sayısı bir artar.
• A rigid truss will not collapse under the application of a load.
• In a simple truss, m = 2n - 3 where m is the total number of members and n is the number of joints.
Basit Kafes Sistem
7
8
9
Düğüm Noktaları Yöntemi• Bir kafes sistem dengedeyse, her bir düğüm noktası da dengede
olmalıdır. Düğüm noktaları yöntemi bu esasa dayanır, çünkü bu yöntem, kafes sistemin her bir dü ğüm noktasına etkiyen kuvvetler için denge ko şullarının sa ğlanmasından ibarettir.
• Kafes sistemin çubuklarının hepsi, aynı düzlem içinde yer alan iki kuvvetli elemanlar olduğundan, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemsel dir ve aynı noktadan geçer .
• Bunun sonucunda, düğüm noktasında, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır ve yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için ΣΣΣΣFx=0 ve ΣΣΣΣFy=0 denklemlerini sağlamak gereklidir.
• Düğüm noktaları yöntemini kullanırken, denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramını çizmek gerekir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır.
10
B noktasına etkiyen 500 N’luk kuvveti düşünerek, B noktasının serbest cisim diyagramını çizelim:
BA çubuk elemanı çekme kuvveti, BC çubuk elemanı basınç kuvveti etkisindedir.
Basit kafes analizinde, en az bir bilinen kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete sahip bir
düğüm noktasından başlanmalıdır. Bu şekilde, ΣFx=0 ve ΣFy=0
denklemlerinin uygulanması, iki bilinmeyenin çözülebildiği iki
cebirsel denklem verir.
Aynı düzlemdeki kuvvet sistemi :
11
• Kafes elemanlarda, oluşan bilinmeyen kuvvetlerin doğru yönleri iki farklı yöntemle kullanılabilir: – Serbest cisim diyagramındaki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin
çekme olduğu varsayılır. Denge denklemlerinde, çekme etkisindeki çubuklar için pozitif skaler ve basınç etkisindeki çubuklar için negatif skaler verir. Denklemlerin sonucunda, çözüm pozitif çıkarsa elaman çekme, negatif çıkarsa basınçkuvveti etkisi altındadır. Bilinmeyen kafes elemanı kuvvetlerinin şiddetleri ve doğru yönleri, sonraki düğüm noktası serbest cisim diyagramlarında kullanılır.
– Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü, “tetkik” yoluyla belirlenebilir. Örneğin, B noktasındaki denge düşünüldüğünde, FBC’nin yatay bileşeni 500 N’luk kuvveti dengelemelidir (ΣFx=0). Aynı şekilde, FBC’nin düşey bileşenini FBA dengelemektedir (ΣFy=0).
12
13
Örnek 63Şekildeki kafes sistemde her elemanda oluşan kuvvetleri (çekme? veya basınç ?) belirleyiniz.
B düğüm noktası
Basınç
Çekme
14
C düğüm noktası
A düğüm noktası
15
16
Örnek 64
Çubuk kuvvetlerini bulunuz, basınç veya çekme olduğunu belirtiniz.
Önce mesnet tepkileri bulunmalıdır. Bunun için kafes sistemin serbest cisim diyagramını çizelim:
17
a-d-c
18
A düğüm noktasıbasınç
çekme
D düğüm noktası
çekme
basınç
19
C düğüm noktası basınç
20
Sıfır kuvvet elemanları• Kafes sistemlerin düğüm noktaları yöntemi kullanılarak yapılan
analizi, hiç yük almayan çubuklar belirlendiği takdirde oldukça basitleşir.
• Sıfır kuvvet elemanları, yapım sırasında kararlılığı arttırmak veya uygulanan yükleme değiştiğinde destek sağlamak amacıyla kullanılır.
• Kafes sistemde, sıfır kuvvet elemanları, genellikle düğüm noktalarının tetkiki ile belirlenebilir.
21
A düğüm noktası
D düğüm noktası Kafesin taşıyıcı kısmı :
22
• Sıfır kuvvet elemanlarında genel kural: – Sadece iki çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturuyorsa
ve bu düğüm noktasına hiçbir dış yük ve mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bu çubuklar sıfır kuvvet çubukları olmak zorundadır.
D ve C noktalarına bakalım ?
23
D Noktası:
C Noktası:
24
Genel olarak;
İki tanesi aynı doğru üzerinde olan üç çubuk bir kafes sistemi düğüm noktasıoluşturduğunda, üçüncü çubuk, düğüm noktasına hiçbir dış kuvvet veya mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bir sıfır kuvvet çubuğudur. Bunun geçerli olması için bu düğüm noktasına dış kuvvet etkimemesi ve mesnet reaksiyonları bulunmamasıgerekir.
P yükünü taşımak için AEB kafes sistemi de uygundur.
25
Örnek 65
Tüm düğüm noktalarının mafsallı birleşim olduğu kabulü ile, şekilde gösterilen Fink çatı kafessisteminin sıfır kuvvet elemanlarını bulunuz.
İdealize edilmiş model:
26
Slayt 22’deki D noktasına benzer olan G noktasından başlayalım:
Not: C noktasından başlasaydık bu sonuca direkt ulaşamazdık. FGC’nin sıfır kuvvet çubuğu olması, 5 kN’luk yükün CB, CH, CF ve CD çubuklarıtarafından taşındığı anlamına gelir.
D noktasında da aynı prensip geçerli :
27
F düğüm noktası:
B noktasını analiz etseydik :
(basınç)
Buradan, FHC’nin sayısal değeri ΣFy=0’ı sağlamalıdır. Dolayısıyla HC bir sıfır kuvvet çubuğu değildir.
28
Kesit (Kesim) Yöntemi• Kesit yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu
yöntem dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olmasıilkesine dayanır.
• Bir kafes sistemini analiz ederken, bazen sadece belirli elemanların kuvvetlerini bulmamız gerekebilir. Bu durumda kesit yöntemi kullanılır.
• Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesite etkiyen yükleri içermelidir. Kesitteki yükü belirlemek için parçaya denge denklemleri uygulanır.
29
Çekme çubuğu
Basınççubuğu
Örneğin, şekilde gösterilen iki kafes sistem elemanını göz önüne alalım:
Mavi çizgiyle gösterilen kesitteki iç yükler, sağdaki serbest cisim diyagramlarından biri kullanılarak bulunabilir. Dengenin, çekme etkisindeki çubuğun kesitte T “çekme”sine, basınç etkisindeki çubuğunsa C “itme”sine maruz kalmasını gerektirdiği açıktır.
30
• Kesit yöntemi, bir kafes sistemin elemanlarını kesmek için de kullanılabilir. Kafes sistemin iki parçasından biri serbest cisim diyagramı olarak soyutlanırsa, kesilen elemanların iç kuvvetleri ortaya çıkar ve “kesit”teki çubuk kuvvetlerini belirlemek için bu parçaya denge denklemleri uygulanır. Kafes sistemin soyutlanmışparçasına sadece üç bağımsız denge denklemi (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMO=0) uygulanabildiği için, kafesi kestiğimiz yerde eleman kuvvetlerini bilmediğimiz maksimum üç eleman olmak zorundadır.
• Örnek olarak, aşağıdaki kafes sistemini ele alalım: – GC çubuğundaki kuvvet belirlenecekse “a-a” kesiti uygun olacaktır.
31
İki parçanın serbest cisim diyagramları aşağıda görülmektedir:
32
Her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünküçubuktaki kuvvet çubuk ekseni doğrultusundadır.
Ayrıca, kafes sistemin bir parçası üzerine etkiyen çubuk kuvvetleri diğer parçaya etkiyenlere eşit, fakat zıt yönlüdür (Newtonun 3. kanunu).
BC ve GC elemanları “çekme”ye, GF ise basınca çalışmaktadır.
BC, GC ve GF elemanlarındaki bilinmeyen kuvvetler, serbest cisim diyagramlarından herhangi biri kullanılarak bulunabilir.
Ancak, sağdaki serbest cisim diyagramıkullanılırsa, önce Dx, Dy ve Ex mesnet tepkileri bulunmalıdır. Çünkü sadece üçdenge denklemi bulunmaktadır.
33
• Denge denklemleri uygulanırken, bütün denklemlerin ortak çözümünü bulmak yerine, denklemleri, bilinmeyenlerin her birini doğrudan elde edecek şekilde yazmanın yolları aranmalıdır. Örneğin,
• Sol kesitte, C noktasına göre momentler toplamından FGF doğrudan elde edilir, çünkü FBC ve FGC C’ye göre sıfır moment üretir.
• Aynı şekilde FBC G’ye göre momentler toplamından elde edilir. FGCise düşey yöndeki kuvvetler dengesinden bulunur.
NOT: GC çubuğundaki kuvveti belirlemek için düğüm noktaları yöntemi kullanılsaydı, A, B ve G düğüm noktalarında denge denklemlerinin yazılmasıgerekirdi.
34
• Düğüm noktaları yönteminde olduğu gibi, kesme yönteminde de bilinmeyen çubuk kuvvet yönünün belirlenmesinde iki yol vardır: – Daima kesitteki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme etkisinde
olduğu, yani çubuğu çektiği varsayılır. Böylece, sayısal çözüm, çekme elemanları için pozitif, basınç elemanları için negatif sonuç verir.
– Bilinmeyen çubuk kuvvetinin yönü, tetkik yöntemiyle de bulunabilir. Örneğin, şekilde BC elemanında oluşan kuvvet çekme olarak gösterilmiştir. Çünkü G noktasına göre moment dengesi, 1000 N’luk kuvvetin oluşturduğu moment etkisini dengeleyecek şekilde olması gerekir.
35
Örnek 66Şekildeki kafes sistemin, GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri belirleyiniz. Çubukların çekme mi, yoksa basınç etkisinde mi olduklarınıbelirtiniz. (kesim yöntemi ile)
Kesim yöntemini kullanmak için önce, A veya D mesnedindeki tepkilerin belirlenmesi gerekir. Bunun için tüm sistemin serbest cisim diyagramınıçizelim:
36
Daha az sayıda bilinmeyen içerdiği için sol kesitin serbest cisim diyagramıkullanılacaktır:
G noktasına göre moment alırsak, FGEve FGC hesaba girmez, ve FBC için doğrudan çözüm elde edilir.
C noktasına göre moment alırsak, FBCve FGC hesaba girmez, ve FGE için doğrudan çözüm elde edilir.
(çekme)
(çekme)
(basınç)
37
Örnek 67
EB elemanında oluşan kuvveti, ve türünü (çekme veya basınç) bulunuz.
38
basınç
basınç
çekme
39
Örnek 68
Şekildeki köprü kafes sisteminin CF çubuğundaki kuvveti belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz.
40
kNEE
mEmkNmkN
M
yy
y
A
75.47616
01612385
0
=⇒=
=×+×−×−=Σ
41
mxxx
48
6
4
4 =+
=+
)(589.0
0)4)(75.4()8)(3()12(45sin
0
BASINÇkNF
mkNmkNmF
Mo
CF
oCF
==−+−
=Σ+
42
Örnek 69
6 m 6 m 6 m
300 N 300 N
EF, BC ve CF elemanlarında oluşan kuvvetleri ve türünübulunuz.
43
6 m 6 m 6 m
300 N 300 N
o
m
m60732.1
3
30tan9tan =⇒=×= φφ
6 m 6 m 6 m
300 N 300 N
44
Ax
AyDy
300 N 300 N
45
6 m 6 m 6 m
300 N 300 N
FEFsin30
FCFsin60
49
Örnek 70
300 N
2 m 2 m
3 m
Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz. (Düğüm Noktası)
50
51
Örnek 71
Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz.
450 N
4 m 4 m
4 m
52
450 N
4 m 4 m
4 m
53
Örnek 72
Şekildeki kafes sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınçkuvveti olduğunu belirtiniz. (düğüm metodu ile)
54
( )( ) ( )( ) ( )ft 6ft 12lb 1000ft 24lb 2000
0
E
M C
−+==∑
↑= lb 000,10E
∑ == xx CF 0 0=xC
∑ ++−== yy CF lb 10,000 lb 1000 - lb 20000
↓= lb 7000yC
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:
55
lb 7000−=yC
534lb 2000 ADAB FF == BF
ÇF
AD
AB
lb 2500
lb 1500
==
( ) DADE
DADB
FF
FF
532=
= BF
ÇF
DE
DB
lb 3000
lb 2500
==
↑= lb 000,10E
0=xC
↓= lb 7000yC
A Noktası
D Noktası
56
( )lb 3750
25001000054
54
−=
−−−==∑
BE
BEy
F
FF
BFBE lb 3750=
( ) ( )lb 5250
3750250015000 53
53
+=
−−−==∑
BC
BCx
F
FF
ÇFBC lb 5250=
( )lb 8750
37503000053
53
−=
++==∑
EC
ECx
F
FF
BFEC lb 8750=
B Noktası
E Noktası
57
( ) ( )( ) ( )kontrol 087507000
kontrol 087505250
54
53
=+−=
=+−=
∑
∑
y
x
F
F
C Noktası
58
59
Örnek 73
DE, EH ve HG çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile)
60
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:
61
FH, GH, ve GI çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile)
Örnek 74
62
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
↑=
++−==↑=
+−−−−−==
∑
∑
kN 5.12
kN 200
kN 5.7
m 25kN 1m 25kN 1m 20
kN 6m 15kN 6m 10kN 6m 50
A
ALF
L
L
M
y
A
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım:
63
AL
Ax=0
• FH, GH ve GI elemanlarını kesen bir kesit alıp, sağ parçayı ele alalım.
( )( ) ( )( ) ( )kN 13.13
0m 33.5m 5kN 1m 10kN 7.50
0
+==−−
=∑
GI
GI
H
F
F
M
kN 13.13=GIF
64
kN
kN
çekme
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
kN 82.13
0m 8cos
m 5kN 1m 10kN 1m 15kN 7.5
0
07.285333.0m 15m 8
tan
−==+
−−=
°====
∑
FH
FH
G
F
F
MGL
FG
α
αα
CFFH kN 82.13=
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )kN 371.1
0m 15cosm 5kN 1m 10kN 1
0
15.439375.0m 8
m 5tan
32
−==++
=
°====
∑
GH
GH
L
F
F
M
HI
GI
β
ββ
CFGH kN 371.1=
basınç
basınç
Recommended