6.3 平面自治系统的基本概念

6.3 平面自治系统的基本概念

一 相平面、相轨线与相图

二 平面自治系统的三个性质

三 常点、奇点与闭轨

一 相平面、相轨线与相图定义 6.3.1 考虑系统

),(

),(

yxQy

yxPx

（6.3.1）

其 中 tytx 、 是 以 t 为 自 变 量 的 未 知 函 数 ，

yxyxP ，、Q, 在区域 HHyHxR ,: 、

连续并满足解的存在唯一性条件。我们把这种右端函数不显含

自变量 t的方程组(6.3.1)称为平面自治系统．

相应地，我们把右端函数显含自变量 t的方程组(6.3.2)．

yxtQy

yxtPx

,,

,, （6.3.2）

称为平面非自治系统

定义 6.3.2 把 xOy平面称为平面自治系统

),(

),(

yxQy

yxPx

（6.3.1）

的相平面。把(6.3.1)式的解 x = x(t), y = y(t)在

xOy平面上的轨迹称为(6.3.1)式的轨线或相轨线。

轨线族在相平面上的图象称为(6.3.1)式的相图.

注意：在上述概念中，总是假设(6.3.1)式中的函数

P(x,y),Q(x,y)在区域

)(||,|:| HHyHxD

上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件。

(6.3.1)式的解 x = x(t),y = y(t)在相平面上的轨线，正

是这个解在(t,x,y)三维空间中的积分曲线在相平面上的

投影。

例 1 讨论平面自治系统

xy

yx

很明显，方程组有特解 tytx sin,cos ， 它在

yxt ,, 三维空间中的曲线是一条螺旋线 如图 6.3.1

（a），它经过点 0,1,0 ．当 t 增加时，螺旋线向上方盘

旋．上述解在 xoy平面上的轨线是圆 122 yx ，它

恰为上述积分曲线在 xoy平面上的投影。当 t 增加时，轨线的方向如图 6.3.1（b）所示．

另外，易勿对于任意常数 ，函数：

tytx sin,cos

也是方程组的解．它们的积分曲线是经过点 0,1, 的

螺旋线．但是，它们与解：

tytx sin,cos

有同一条轨线 122 yx ．

同时我们可以看出，

tytx sin,cos

的积分曲线可以由 tytx sin,cos 的积分曲线沿

t轴向下平移距离 而得到。由于 的任意性，可知

轨线 122 yx 对应着无穷多条积分曲线。

为了画出方程组在相平面上的相图，我们求出方程组的通解

tAy

tAx

sin

cos

其中人 、A 为任意常数．于是，方程组的轨线就是圆族

(图 6.3.1（b）

222 Ayx (A为任意常数)．

特别， 0,0 yx 是方程的解，它的轨线是原点 0,0O ．

自治系统轨线的特点

自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线

均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的

轨线则不一定相同 .

例 2 求自治系统

1

dxx y

dtdy

dt

当 时过点 的轨线方程 .0t t 0 0( , )x y

解 : 求该初始值问题的解得0( )

0 0 0 0

0 0

( 1) 1t tx x y e t t y

y t t y

消去解的表达式中的参数 t 得轨线的方程为

0( )0 0( 1) 1y yx x y e y

由此可见，该自治系统在任意时刻 从0t

出发的解在相空间的轨线均相同。而非0 0( , )x y

自治系统就不一定具有这样的性质 .

例 3 求解下面两个初始值问题，并分析它们

的轨线0

0

, ( ) 1,

, ( ) 2,

dxx x t

dtdy

y y tdt

(1)

2)(,

1)(,

0

0

tyydx

dy

txt

x

dt

dx

(2)

解 初值问题（ 1 ）的解为

0

00

0

( , )

( , ) 2 t t

tx t t

t

y t t e

其轨线为 ，初值问题（ 2 ）的解为2y x

0

00

0

( , )

( , ) 2 t t

tx t t

t

y t t e

其轨线为 0 ( 1)t xy e

显然自治系统（ 1 ）所描述的质点无论何

时从点 出发都会沿同一条曲线运动。非自0 (1,2)P

治系统 (2) 所描述的质点运动的轨迹取决于它

从点 出发的初始时刻 。0 (1,2)P 0t

二 平面自治系统的性质 性质 1. 积分曲线的平移不变性

设 tyytxx , 是自治系统(6.3.1)

式的一个解，则对于任意常数 ，函数

tyytxx ,

也是(6.3.1)式的一个解.事实上，我们有

tytxPtd

tdy

dt

tdy

tytxPtd

tdx

dt

tdx

,

,

由此可知，将(6.3.1)式的积分曲线沿 t 轴作任意平移后，仍然是

(6.3.1)式的积分曲线. 从而它们所对应的轨线也相同. 于是，自治

系统(6.3.1)的一条轨线对应着无穷多个解.

性质 2 轨线的唯一性

一性条件，则过相平面上任一点 系统0 0( , )x y

(6.3.1) 有且只有一条轨线经过。换句话说，如果

有一个公共点，则相平面上这两个解的轨线完全重合

(6.3.1) 两个解 tytxtYtytxtX 2211 ,, 、

设 关于 满足解的存在惟,x y yxQyxP ,, 、

证 设 ，由解的存在惟一性定理系统20 0( , )x y R

(6.3.1) 的满足 的解0 0 0 0( ) , ( )x t x y t y

1 1( ) ( ( ), ( ))X t x t y t

是存在的。

假设系统另一条轨线 也经2 2( ) ( ( ), ( ))Y t x t y t

过点 ，即存在 使得0 0( , )x y 1 0t t

2 1 0 2 1 0( ) , ( ) ,x t x y t y

且 满足（ 6.3.1 ），则由性质 1 知，2 2( ), ( )x t y t

2 1 0 2 1 0( ) ( ( ( )), ( ( )))Z t x t t t y t t t

仍然为系统 (6.3.1) 的解。显然解 与( )X t ( )Z t

1 2 1 0

1 2 1 0

( ) ( ( )),

( ) ( ( ))

x t x t t t

y t y t t t

这就说明了解 与 在相平面上的轨线是重合的 .

( )X t ( )Y t

在 时候有相同的值，因此由解的存在惟0t t

一性定理得出对于所有的 都有 ，t )()( tZtX

即：

P0

1 2

1t 2t tO

1l2l

空间yxt ,,

2~

1

0 0t

0 0

0 0

( ; , )

( ; , )

x t x y

y t x y

从而有下边的性质 3 。

性质 2 它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不相交的。由性质 1 ，性质 2 知我们在 6.3.1 的解中，只需要讨讨论初始时刻 的解并简记为

性质 3 对于任意的 有1 2,t t

1 2 0 0 2 1 1

1 2 0 0 2 1 1

( ; , ) ( ; , )

( ; , ) ( ; , )

t t x y t x y

t t x y t x y

其中 ， 。1 1 0 0( ; , )y t x y),,( 0011 yxtx

三 常点、奇点与闭轨

自治系统 (6.3.1) 式的一个解 x = x(t),y = y(t) 所对应的轨线可分为两种情形：自身不相交和自身相交的 .

轨线自身相交是指，存在不同时刻 t １， t ２，使得

)()(),()( 2121 tytytxtx

这样的轨线又有以下两种可能形状：

(1) 若对一切 ,t 有

Dyxytyxtx ),(,)(,)( 0000 ，则称 0xx ， 0yy 为(6.3.1)

式的一个定常解.它所对应的积分曲线是(t, x, y)空间中

平行于 t轴的直线 00 , yyxx . 对应此解的轨线是相平

面中一个点( 00 , yx ). 我们称( 00 , yx )为奇点(或称平衡点).

显然( 00 , yx )是(6.3.1)式的一个奇点的充分必要条件是

0),(),( 0000 yxQyxP

不是奇点的相点称为常点．

（2）若存在 T＞0，使得对一切 t有

)()(),()( tyTtytxTtx ,

则称 )(),( tyytxx 为(6.3.1)式的一个

周期解，T 为周期. 它所对应的轨线显然是相

平面中的一条闭曲线，称为闭轨.

• 由此，我们有结论：自治系统 (6.3.1) 式的一条轨线只可能是下列三种类型之一：

• (1) 奇点， • (2) 闭轨，• (3) 自不相交的非闭轨线 .

例 4 描出下列单摆方程的轨线。

sin

dxy

dtdy g

xdt l

(6.3.5)

解 (6.3.5) 是一个自治系统，且可以消去 后将t

其化为：sindy g x

dt ly (6.3.6)

容易求（ 6.3.6 ）的解为 。2 2 cosg xy C

l

这是 (6.3.5) 的轨线所满足的方程，由此即可画出

其轨线。 ( 见下图 5.6) 。

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

5.5

5 4

.5 4 3

.5 3 2

.5 2