7. Números racionales e irracionales

1

Números racionales e irracionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por

.

Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

2

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Multiplicación de números racionales

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

4

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

5

.

Operaciones con números racionales

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de números racionales:

1

6

2

3

Realiza las operaciones con números racionales:

1

2

Efectúa las operaciones con números racionales:

7

Potencias de números racionales

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base:

8

4. División de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

9

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Opera:

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Efectúa operaciones combinadas

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Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

φ=1+√52

=1 .618033988749. . .