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42 8 Teilchen im Kasten, TiK
Quantenmechanische Behandlung des Teilchens im Kasten (vgl. obiges Schema):
(a) Aufstellen des Hamiltonoperators H = T + V im gesamten Definitionsbereich:in diesem Fall muss zwischen den drei Bereichen unterschieden werden: HI , HII , HIII (Abbildung 8.2)
HI = HIII = −~2
2me
d2
dx2+∞
HII = −~2
2me
d2
dx2
(b) Bestimmung des Funktionstyps für die Wellenfunktion ψ durch Lösung der SchrödingergleichungHψ = Eψ
Im Bereich unendlich positiven (abstoßenden) Potentials hält sich das Elektron nicht auf.Dies wird in der Quantenmechanik dadurch wiedergegeben, dass die Wellenfunktion in den Bereichen Iund III zu Null wird.
(I, III) :d2ψ
dx2=
2me
~2(V − E)ψ
=⇒ ψ = Ce−
√
2me(V −E)
~2 x+De
√
2me(V −E)
~2 x
für V → ∞ >> E : ψ = 0 (erster Term Null, zweiter Term nicht normierbar und somit nicht erlaubt)
=⇒ ψI = ψIII = 0 (8.1)
Alternativ kann das Verschwinden der Wellenfunktion außerhalb des Intervalls [0, L] auch mit Hilfe derStetigkeitsforderung gezeigt werden:
d2ψ
dx2= ∞ψ unter der Annahme V >> E
=⇒ ψ =1
∞
d2ψ
dx2
Da gültige Wellenfunktionen ψ stetig differenzierbar sein müssen, hat die zweite Ableitung stets einenendlichen Wert.Damit folgt direkt ψI = ψIII = 0.
Innerhalb des Moleküls (im Intervall [0, L]) wird zunächst der allgemeine Ansatz für die Wellenfunktiongewählt.
ψII = A sin (kx) +B cos (kx)
mit k2 = 2mE~2 und E > 0.
Dies entspricht einer stehenden Welle für das gebundene System, im Unterschied zu laufenden ebenenWellen für freie Teilchen; alternativ wäre Ceikx+De−ikx möglich, dieser Ansatz wird hier nicht verwendet.
(c) Einschränkung von ψ durch Randbedingungen an erlaubte Wellenfunktion:
Normierbarkeit: erfüllt durch Beschränkung auf Intervall [0, L]
Stetigkeit: daraus ergibt sich die Forderung ψ(0) = ψ(L)!= 0
=⇒ B = 0.
Stetige Differenzierbarkeit: überall erfüllt, außer an den Rändern. Dort gilt aber eine Ausnahme, da Vdort Unendlichkeitsstellen (Unstetigkeiten) besitzt.
Aus der Randbedingung ψ(L)!= 0 ergibt sich die Bedingung
k =nπ
L(8.2)
46 8 Teilchen im Kasten, TiK
Der Term für T2D ergibt sich nach dem Korrespondenzprinzip I aus der Berechnung über den Impuls-operator:
~p =
(
~
i
∂
∂x,~
i
∂
∂y
)
T2D =1
2m~p · ~p
(b) Ansatz für die Lösung der Schrödingergleichung: Produktfunktion aus 1D-Lösungen.Dies folgt aus dem Aufbau von H2D als Summe zweier Einteilchenoperatoren. Daraus lassen sich dieVariablen x und y mit einem Produktansatz für ψ separieren (TdV):
ψ(x, y) = X(x)Y (y)
T2D = Tx + Ty
⇒ H2Dψ(x, y) = TxXY + TyXY
TdV:1
XTxX = −
1
YTyY = konstant
Analog zum eindimensionalen Kasten (TiK I) ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens ψ = 0(siehe Gl.8.1)Innerhalb des Kastens wird zunächst ein Produkt aus zwei allgemeinen eindimensionalen Wellenfunktio-nen angesetzt:
ψ(x, y) = [A sin(kxx) +B cos(kxx)] [C sin(kyy) +D cos(kyy)]
(c) Randbedingung: Analog zum TiK I muss die Stetigkeit für x = 0, x = Lx, y = 0, y = Ly sowie dieNormierung gefordert werden.Es resultieren analoge Beziehungen für A,B, kx und C,D, ky wie im eindimensionalen Fall (8.2).Daraus ergibt sich die Einteilchenwellenfunktion zu:
ψnm(x, y) =
√
2
Lxsin(
π
Lxnx)
√
2
Lysin(
π
Lymy) n,m = 1, . . . ,∞ (8.4)
Als allgemeingültiges Resultat ergibt sich, dass für zweidimensionale Systeme zwei Quantenzahlenauftreten, hier n,m.
(d) In diesem Fall hängen die Eigenschaften von beiden Quantenzahlen ab.Zum Beispiel die Gesamtenergie gemäß H2Dψnm = Enmψnm
−~2
2me
(
∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)
ψnm = −~2
2me
(
−π2n2
L2x
−π2m2
L2y
)
√
4
LxLysin(
π
Lxnx) sin(
π
Lymy)
Daraus folgt:
Enm =h2
8me
[
n2
L2x
+m2
L2y
]
(8.5)
8.3 TiK III: Endlich hohe Potentialwände, eindimensional 51
λI = λIII =2π
kI,III=
2π√
2m~2 · (V0 − E)
λII =2π
kII=
2π√
2m~2 · E
λI,III > λII
Ein anderer Erklärungsansatz ist über die Betrachtung von T = E − V möglich.
Aus Abbildung 8.11 ist ersichtlich, dass TII > TI,III ist. Wegen T ∼d2ψ
dx2 folgt, dass ψII stärkergekrümmt ist als ψI und ψIII .
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