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A. B. C. 全等三角形. 相似三角形. 等腰三角形. 8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題. 目錄. A. B. 三角形不等式. 三角形中特殊線的關係. 8.3 三角形中各線之間的關係. 目錄. 8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題. 例題演示. A). 全等三角形. ‧ 根據全等三角形 、 相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件,我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果 。. 目錄. 目錄 8.1. 習題目標. 涉及全等三角形的證明。. 8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題. - PowerPoint PPT Presentation
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3B_Ch8(1)
3B_Ch8(2)
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
A 全等三角形
目錄
B 相似三角形C 等腰三角形
3B_Ch8(3)
三角形不等式A
三角形中特殊線的關係B
目錄
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(4)
目錄 8.1 目錄
例題演示
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
‧ 根據全等三角形、 相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件,我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。
A) 全等三角形
3B_Ch8(5)
在四邊形 OABC 中, OA = OC 及 AB = BC 。 證明 OAB = OCB 。
目錄
連接 OB ,得 △ OAB 和 △ OCB ,如圖所示。
OA = OC 已知
AB = CB 已知
OB = OB 公共邊
∴ △OAB △OCB SSS
∴ OAB = OCB 全等 △ 的對應角
習題目標
涉及全等三角形的證明。
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
重點理解 8.1.1
3B_Ch8(6)
在圖中, AN OB , BM OA , BM 和 AN 相交於 P 。如果 OM = ON ,證明
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(a) △OAN △OBM,(b) AM = BN。
3B_Ch8(7)
返回問題
目錄
(a) 在 △ OAN 和 △ OBM 中,
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
ANO = BMO = 90° 已知
ON = OM 已知
AON = BOM 公共角
∴ △OAN △OBM ASA
AM = OA – OM
BN = OB – ON
∴ AM = BN
(b) ∵ △OAN △OBM 在 (a) 已證
∴ OA = OB 全等 △ 的對應邊
又 OM = ON 已知習題目標
涉及全等三角形的證明。
重點理解 8.1.1
3B_Ch8(8)
在 △ ACD , BD AC 。 E
是 BD 上的一點,且 AE =
DC 及 BE = BC 。
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(a) 證明 BA = BD 。(b) 證明 DAE = BCD – 45° 。
(a) 在 △ ABE 和 △ DBC 中,ABE = DBC = 90° 已知
AE = DC 已知
∴ △ABE △DBC RHS
∴ BA = BD 全等 △ 的對應邊
BE = BC 已知
3B_Ch8(9)
返回問題
目錄
(a) 在右圖所示,設未知角 x 和 z 。在 △ ABD 中,
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
∵ BA = BD 在 (a) 已證
∴ x = z 等腰 . △ 底角
∴ BCD = BEA 全等 △ 的等應角
x + z = 90° △ 外角
∴ x = z = 45°
∵ △DBC △ABE 在 (a) 已證
= z + DAE △ 外角
= 45° + DAE
即 DAE = BCD – 45°
習題目標
涉及全等三角形的證明。
重點理解 8.1.1
3B_Ch8(10)
目錄
‧ 根據相似三角形的性質及判定條件( AAA,三邊成比例,兩邊成比例且夾角相等)我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。
例題演示
B) 相似三角形
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
目錄 8.1
3B_Ch8(11)
在圖中, AEC 和 BED 都是直線。若 AB = 4 , B
C = 6 , CD = 9 , AC = 8 和 BD = 12 ,證明(a) △ABC ~ △BCD ,(b) ABC = BCD 。
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
3B_Ch8(12)
返回問題
目錄
(a) 考慮 △ ABC 和 △ BCD 。
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
三邊成比例∴ △ABC ~ △BCD
4 26 3
ABBC
8 212 3
ACBD
6 29 3
BCCD
∴AB AC BCBC BD CD
3B_Ch8(13)
返回問題
目錄
(b) ∵ △ABC ~ △BCD
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
∴ ∠ABC = ∠BCD
在 (a) 已證
相似 △ 的對應角
習題目標
涉及相似三角形的證明。
3B_Ch8(14)
在圖中, BCD 是一條直線。若 AB = 24 cm ,BC = 18 cm , CD = 14 cm 及 AC = 21 cm ,
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(a) 證明 △ ABC ~ △DBA ;
(b) 求 AD 的長度。
3B_Ch8(15)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
公共角
兩邊成比例且夾角相等
(a) 在 △ ABC 和 △ DBA 中,
ABDB
24 cm(18 14) cm
2432
34
BCBA
18 cm24 cm
34
∴AB BCDB BA
∠ABC = ∠DBA
∴ △ABC ~ △DBA
3B_Ch8(16)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(b) ∵ △ABC ~ △DBA
3 21 cm4 AD
AB ACDB DA
∴
421 cm
3AD
28 cm
習題目標
涉及相似三角形的證明及求未知量。
在 (a) 已證
在相似△的對應邊
3B_Ch8(17)
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
在圖中, M 和 N 分別是 AB 和 AC 的中點。 M
C 和 NB 相交於 G 點。 證明(a) △AMN ~ △ABC;
(b) △GMN ~ △GCB;
(c)1
.2
MG NGCG BG
3B_Ch8(18)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(a) 在 △ AMN 和 △ ABC 中,已知M 是 AB 的中點。
即 12
AMAB
已知N 是 AC 的中點。
即 12
ANAC
AM ANAB AC
∴
公共角
兩邊成比例且夾角相等
∠MAN = ∠BAC
∴ △AMN ~ △ABC
3B_Ch8(19)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(b) ∵ △AMN ~ △ABC
相似 △ 的對應角 ∴ ∠AMN = ∠ABC
∴ MN // BC
在 △ GMN 和 △ GCB 中,
AAA∴ △GMN ~ △GCB
在 (a) 已證
同位角相等
∠MGN = ∠CGB 對頂角
∠GMN = ∠GCB 內錯角, MN // BC
∠GNM = ∠GBC 內錯角, MN // BC
3B_Ch8(20)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(c) ∵ △AMN ~ △ABC
相似 △ 的對應邊
在 (a) 已證
∴ MN AMBC AB
12
∵ △GMN ~ △GCB 在 (b) 已證
∴ MG NG MNCG BG CB
即 12
MG NGCG BG
相似 △ 的對應邊
習題目標
涉及相似三角形的證明。
重點理解 8.1.2
3B_Ch8(21)
目錄
例題演示
C) 等腰三角形
目錄 8.1
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
‧ 根據等腰三角形的性質或判定條件:i. 等腰三角形的兩個底角相等,ii. 若一個三角形有兩個角相等,則這兩角的對邊亦相等,即該三角形是等腰三角形,
我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。
3B_Ch8(22)
在 △ ABC 中, AB = AC 。 D 是 A
C 上的一點,使 BD AC 。 證明 ∠ BAC = 2∠DBC 。
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
即 ∠ ACB = 90° – x
設 ∠ DBC = x 。∠BDA = 90° 已知
在 △ BCD 中,∠DCB + x = 90° △ 外角
∠DCB = 90° – x
3B_Ch8(23)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
在 △ ABC 中,AB = AC 已知
∴ ∠ABC = ∠ACB
∴∠BAC = 2∠DBC
等腰 △ 底角
即 ∠ ABC = 90° – x
∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° △ 內角和
∠BAC + (90° – x) + (90° – x) = 180°
即 ∠ BAC = 2x
習題目標
涉及等腰三角形的證明。
3B_Ch8(24)
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
在圖中, D 是 AB 上的一點, AD = 12.5 cm , DB = 10 cm 及 BC = 15 cm 。(a) 證明 △ ABC ~ △CBD 。(b) 若∠ CBD = ∠CDB ,證明 △ ABC 是等腰
三角形。
3B_Ch8(25)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(a) 考慮 △ ABC 和 △ CBD 。
ABCB
(10 12.5) cm15 cm 22.5
15 1.5
BCBD
15 cm10 cm
1.5
∴ AB BCCB BD
∠ABC = ∠CBD 公共角
∴ △ABC ~ △CBD 兩邊成比例且夾角相等
3B_Ch8(26)
返回問題
目錄
8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題
(b) 在 △ CBD 中,
∠CBD = ∠CDB 已知
∴ CB = CD 等角對邊相等
∵ △ABC ~ △CBD 在 (a) 已證
∴AB ACCB CD
相似 △ 的對應邊
即 AB = AC
∴ △ABC 是等腰三角形。
習題目標
涉及等腰三角形的證明。 重點理解 8.1.3
3B_Ch8(27)
目錄
‧ 參看各圖中的 △ ABC :三角形內一些特殊的線
8.2 三角形內一些特殊的線
i. 角平分線 是將一個內角平分的線段。 例如:圖中的 AD 是∠ A 的角平分線。
3B_Ch8(28)
目錄
三角形內一些特殊的線
8.2 三角形內一些特殊的線
ii. 垂直平分線 是垂直且平分一條邊的直線。 例如:圖中的 DE 是 AC
的垂直平分線。
iii. 中線 是連接頂點與它對邊中點的線段。 例如:圖中的 BD 是一條中線。
3B_Ch8(29)
目錄
三角形內一些特殊的線
8.2 三角形內一些特殊的線
例題演示
iv. 頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。 例如:圖中的 BD 是一條頂垂線。
3B_Ch8(30)
目錄
8.2 三角形內一些特殊的線
如圖中, P 、 Q 、 R 分別是 △ ABC 中 AB 、 B
C 、 CA 上的點。已知 PQ = PR ,且 PQ BC
及 PR CA ,證明 CP 是 ∠ BCA 的角平分線。
3B_Ch8(31)
返回問題
目錄
在 △ CPQ 和 △ CPR 中,
PQ = PR 已知
∠PQC = ∠PRC = 90°
全等 △ 的對應角
習題目標
涉及三角形內特殊線的證明。
8.2 三角形內一些特殊的線
即 CP 是 ∠ BCA 的角平分線。
已知
PC = PC 公共邊
∴ △CPQ △CPR RHS
∴ ∠QCP = ∠RCP
3B_Ch8(32)
在圖中, AC 與 BD 相交於 E ,且 AB = BC = CD 。若 BE 是∠ ABC 的角平分線,證明 E 是 BD 的中點。
目錄
8.2 三角形內一些特殊的線
已知
在 △ BAC 中,AB = BC
即 △ BAC 是等腰三角形。 ∵ BE 是∠ ABC 的角平分線。 ∴ BE AC 等腰 △ 性質
已知
3B_Ch8(33)
返回問題
目錄
在 △ CBD 中,BC = CD 已知
即 △ CBD 是等腰三角形。
習題目標
涉及三角形內特殊線的證明。
8.2 三角形內一些特殊的線
∵ ∠BEC = 90°
即 CE 是由 C 至 BD 的頂垂線。 ∴ CE 是由 C 至 BD 的中線。 等腰 △ 性質
即 E 是 BD 的中點。
重點理解 8.2.1
3B_Ch8(34)
目錄 8.3 目錄
例題演示
A) 三角形不等式‧ 在三角形中,任何兩邊長度之和必大於第三條邊
的長度。 例如:在圖中,
a + b > c,
b + c > a,
c + a > b.
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(35)
已知三條分別長 3 、 4 及 5 單位的線段,這些線段可以構成一個三角形嗎?
目錄
由於 3 + 4 > 5 , 4 + 5 > 3 和 5 + 3 > 4 , 所以 這三條線段可以構成一個三角形。
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(36)
已知三條分別長 15 、 4 及 7 單位的線段,這些線段可以構成一個三角形嗎?
目錄
由於 15 + 4 > 7 , 15 + 7 > 4 ,但 4 + 7 < 15 , 所以 這三條線段不可以構成三角形。
重點理解 8.3.1
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(37)
目錄
B) 三角形中特殊線的關係1. 三角形的三條角平分線必定共
點,它們的交點稱為三角形的內心。以內心為圓心,可作一圓(內切圓)與三角形各邊只相交於一點。
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(38)
目錄
B) 三角形中特殊線的關係2. 三角形三條邊的垂直平分線必
定共點,它們的交點稱為三角形的外心。 以外心為圓心,可作一圓(外接圓)通過三角形的各個頂點。
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(39)
目錄
B) 三角形中特殊線的關係3. 三角的三條中線必定共點,
它們的交點稱為三角形的形心。 形心將每條中線分為兩段,它們的比是 2 : 1 。
4. 三角形的三條頂垂線必定共點,它們的交點稱為三角形的垂心。
目錄 8.3
例題演示
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(40)
目錄
在圖中, AI 、 BI 及 CI 是 △ ABC 的三條角平分線,三線的交點 I 便是 △ ABC 的內心。
8.3 三角形中各線之間的關係
3B_Ch8(41)
目錄
在圖中, PO 、 QO 及 RO 是 △ ABC 三邊的垂直平分線,三線的交點 O 便是外心。
在圖中, L 、 M 及 N 是 △ ABC 三邊的中點,而 AL 、 BM 及 CN 是中線,三線的交點 G 便是形心。
重點理解 8.3.2
8.3 三角形中各線之間的關係
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