92-268-1-PB

EquacoesDiferenciaisParciaiseoTeoremadeExistenciaeUnicidadeparaoProblemadeCauchy,casolinearCristianeC.F.Cintra1,LucianaB.Goecking21DiscentedocursodeMatematicaLicenciaturadaUniversidadeFederal deAlfenas.2DocentedoInstitutodeCienciasExatasdaUniversidadeFederal deAlfenas.Resumo: Seja de R2uma regiao aberta,Ium intervalo aberto e a equacao linear de primeiraordemnaohomogeneaemsuaformamaisgerala(x, y)ux +b(x, y)uy= c(x, y)eacondicaoini-cial u((t), (t)) =f(t) emquea, b e c saodeclasse C1emque contemacurvasuave=((t), (t)), t I, chamadacurvainicial doproblema. EstetipodeproblemaechamadoumProblemadeCauchy. PararesolvermosesteproblemadeCauchyseradeimportanciafun-damental oconceitodas curvas caractersticadaequacao, pois estas representamopontodepartidanabuscadasolucaoparaoproblema.Tambem,veremosqueaformacomoascurvasca-ractersticasintersectamacurvainicial ((t), (t))dadadeterminaseoproblematerasolucao unica,innitassolucoesouseasoluc aonaoexiste. VeremosoTeoremadeExistenciaeUnici-dadequenosdaascondicoesnecessariasparaaexistenciaeunicidadedasolucaodoProblemadeCauchymencionado.EimportanteobservarqueoTeoremadeExistenciaeUnicidadenosgaranteapenas resultados locais, jaqueocomportamentodas curvas caractersticas longedacurvainicial podetornar-sedemasiadocomplexo.Palavras-chave: Problemadevalorinicial,mudan cadevariaveis,curvacaracterstica.Abstract: Itof R2isaopenregion, I anopeninterval andthelinearequationof rstor-dernonhomogeneous inits most general forma(x, y)ux+ b(x, y)uy=c(x, y) andtheinitialconditionu((t), (t))=f(t)that a, bandcareC1classinthat containsthesmothcurve=((t), (t)), t I, initial curveof problem. Thistypeof problemiscalledaCauchyPro-blem. TosolvethisCauchyproblemisfundamental theconcept of characteristiccurvesof theequation,sincetheserepresentthestartingpointinthesearchforsolutiontotheproblem. Also,wewill seethatthewayinwhichthecharacteristiccurvesintersecttheinitial curve((t), (t))givendetermineswhethertheproblemwill haveuniquesolution, endlesssolutionsorif theso-lutiondoes not exist. We will see the Existence andUniqueness Theoremthat gives us thenecessaryconditionsfortheexistenceanduniquenessofsolutionofCauchyProblemcited. Itisimportant tonotethat theExistenceandUniquenessTheoremguaranteesusjust local results,since the behavior of the characteristic curves away from the initial curve can become to complex.Keywords: Initialvalueproblem,variablechanges,curvefeature.Correspondingauthor: cristiane.uai@oi.com.br.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 45IntroducaoAsEquacoesDiferenciaisParciais(EDPs)saoutilizadasparadescreveracontecimentosf-sicos,biologicos,entreoutros. Daagranderelevanciadeseuestudo.DeacordocomBassanezi eJ unior(1988, p. 2)...asEqua coesDiferenciaistalvezsejamoramodamatematicaquetenhamaiorproximidadeeinteracoescomoutrasciencias.Muitosfenomenosqueocorremnaotica, mecanica, biologia, entreoutros, podemsermo-delados por Equacoes Diferenciais Parciais. AElasticidade e aDinamicados Fluidos, [...]tiveramseudesenvolvimentoemcomumcomumagrandeeboapartedateoriamatematicadestasequacoes.(BASSANEZI;JUNIOR,1988,p. 469). Asolu caodein umerosproblemasdeimportancia pratica e cientca em Mecanica do Meio Contnuo depende do desenvolvimento dateoriadasEDPs.Considereaequa caolineardeprimeiraordemnaohomogeneaa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y), (x, y) u((t), (t)) = f(t), t Iemque R2eumaberto,a, b, c C1(),Irepresentaumintervaloabertoe= ((t), (t))eumaparametrizacaodeumacurvaqualquerem, denominadaCurvaInicial doproblema.Estetipodeproblema echamadoumProblemadeCauchy.OProblemadeCauchy eumproblemaclassicodentrodateoriadasEquacoesDiferenciais.A.L.Cauchy(1789-1857)demonstrourigorosamentepelaprimeiravez, eportres metodos diferentes, a existencia de solucoes para uma vasta classe deEqua coesDiferenciaisqueinclui essencialmentetodososmodelosconhecidos.(BASSANEZI;JUNIOR,1988,p. 9).Vamos ver como resolver problemas de Cauchy para equa coes lineares de primeira ordem comduas variaveis independentes. Para isto, estudaremos o Teorema de Existencia e Unicidade paraocasolinearparaoProblemadeCauchy. Esteteoremanosforneceraascondicoesnecessariasparaqueesteproblematenhasolu caoeparaqueestaseja unica.ConceitosFundamentaisNotacoesSeja Rnumabertoeu: Rumafun caodiferenciavel. Seu=u(x1, ..., xn)eumafun caodevariasvariaveis, usaremosdiferentesnota coesparaasderivadasparciaisdeu. Porexemplo,(i)ux1, ux1, x1u ou D1u denota a derivada parcial de u em rela cao a primeira variavel x1.(ii)2ux2x1, ux1x2, x2x1u ou D2D1udenotaaderivadadeuprimeiroemrelacaoax1edepoisax2.(iii)2ux2i, uxixi, 2xiu ou D2iu denota a derivada de segunda ordem de u com rela cao a mesmavariavelxi.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 46EquacaoDiferencialParcialUma Equa cao Diferencial Parcial (EDP) e uma equa cao que envolve variaveis independentesx1, x2, ..., xn e derivadas parciais de uma funcao (variavel dependente) u = u(x1, x2, ..., xn). UmaEDPemnvariaveisindependentesx1, ..., xneumaequacaodaformaF

x1, ..., xn, u,uxi,2uxixj, ...,muxi1...xim

= 0 (1)emquex=(x1, .., xn) , querepresentaumsubconjuntoabertode Rn, u: Reumafun caocomderivadasparciaisdeordemm.Obs.: Umsubconjuntode Rneabertose, dadoqualquerx0 , existeumabolaabertaderaior > 0centradaemx0inteiramentecontidaem.ExemplosdeEDPs:1) ut= uxxx + uux2) xux yuy= sen(xy)3) (ux)2x2+ ut= 0ClassicacaodeumaEDPUmaEDPpodeserclassicadasegundosuaordemelinearidade.AordemdeumaEDPedadapelasuaderivadaparcial demaiorordem. DizemosqueaEDP (1) e linearse Fe linear em relacao a u e a todas as suas derivadas parciais; caso contrarioaEDP editanaolinear.Oexemplo1)eumaEDPlineardeterceiraordem, noexemplo2), temosumaEDPlineardeprimeiraordemenoexemplo3),aEDP enaolineardeprimeiraordem.UmaEDPlineardeprimeiraordempossuiaformageraln

j=1aj(x)Dju + b(x)u + c(x) = 0, (2)emquealgumdoscoecientesajnao eidenticamentenulo.Janocasodeequacoesdesegundaordem,aformamaisgeraldeumaEDPlinear en

i,j=1aij(x)DiDju +n

j=1bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0, (3)emquealgumdoscoecientesaijnao eidenticamentenulo.CasoaEDPpossuaduas variaveis independentes x, y, as equacoes (2) e (3) podemserreescritas,respectivamente,A(x, y)ux + B(x, y)uy + C(x, y)u + D(x, y) = 0, (4)A(x, y)uxx + 2B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + D(x, y)ux + E(x, y)uy + F(x, y)u + G(x, y) = 0. (5)Obs.: Aequacao(5)naocontemotermocomuyx, poisprocuramossolu coesuquesaoduasvezescontinuamentediferenciaveisnaregiaodeinteressee,parataisfun coes,uxy= uyx.UmaEDPlinear e ditahomogenea se otermoque naocontemavariavel dependenteeidenticamente nulo. O exemplo 1) e de uma EDP linear homogenea e no exemplo 2) temos umaEDPlinearnaohomogenea.Asequacoes(4)e(5)setornamhomogeneasquandoasfun coesD(x, y)eG(x, y)saores-pectivamenteiguaisazero.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 47TresEDPsimportantes1) Aequacaode Laplace,2ux2+2uy2= 0,eumaequacaolineardesegundaordemhomogenea.2) Umaoutraequa caoimportante eaequacaounidimensional decalorut= 22ux2,ondeu=u(x, t), x R, t>0e2eumaconstante.Eumaequacaodesegundaordem,linearehomogenea.3) Aequacaounidimensional deonda2ut2= c22ux2.etambemlinear,homogeneaedesegundaordem.Obs.: Otermounidimensionalfazreferenciaaofatodexterdimensaoespacial1,enquantotrepresentaotempo.OOperadorDiferencialParcialLConsideremos uma EDPde primeira ousegunda ordemcomnvariaveis independentesx1, ..., xn. Considerandoumaequacaodotipon

i,j=1aij(x)DiDju +n

j=1bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0. (6)Denotaremosporkaordemdaequa c ao, k=1ouk=2. Notequesek=1, entaoaij 0quaisquerquesejami, j {1, ..., n}eexistej, 1 j n,talquebj 0.Podemoscolocaraequa cao(6)naformaLu = f, (7)emquef(x) = d(x)e(Lu)(x) =n

i,j=1aij(x)DiDju(x) +n

j=1bj(x)Dju(x) + c(x)u(x). (8)Acadafuncaoucorrespondeuma unicafun caoLu. Assim,denimosooperador outrans-formacaoL. Considere um subconjunto aberto de Rn, onde as fun coes aij, bje c, 1 i, j n,saocontnuasemetomamvaloresreais. Denimos,entaoL : Ck() C() (9)u LuondeLuedadopelaformula(8)eCk()eoconjuntodasfun coesu: Rquesaokvezescontinuamentediferenciaveis.OoperadorLrepresentaumexemplodeumoperadordiferencial parcial. Comoaequacao(6)elinear, temosqueooperadorLdenidopor(8)eumoperadorlinear, istoe, Llevaafun caoidenticamentenulanelamesmoeL(u + v) = Lu + Lv (10)paraquaisqueru, vnodomniodeLequalquerescalar R.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 48CurvasCaractersticasAseguir, vamos denir oconceitodeCurvas Caractersticas, jaqueestas desempenhamimportantepapelnaobten caodasolu caoparaoProblemadeCauchy. Paraisso,introduzimoso conceito do Metodo das Caractersticas cuja ideia principal para resolver equacoes de primeiraordem consiste em obter curvas ao longo das quais a EDP se reduz a um sistema de EDOs que saoas curvas caractersticas da equacao. Em seguida, a EDO obtida e integrada ao longo das curvascaractersticasparaseobterasolu cao. Podemosdizerqueaolongodascurvascaractersticas,aEDPsecomportacomoumaderivadatotalque,provavelmente,podeserintegrada.Vamos aumexemplosimples paraentendimentodoconceitoedecomoobter as curvascaractersticas.Considereaequa cao:ut + c(x, t)ux= 0 emR2()Se(x(t), t) eumacurvaarbitrariadoplanoxt,aderivadadeuaolongodestacurva edadaporddtu(x(t), t) = ut(x(t), t) + x

(t)ux(x(t), t)Por()temosquedudt= 0aolongodascurvasemquex

(t) = c(x, t).Dondepodemosconcluirqueueconstanteaolongodascurvasx

(t)=c(x, t), ouseja, aEDP()foi reduzidaaEDOu

=0aolongodecurvascaractersticasdaequa caoquesaoascurvas(x(t), t)quesatisfazemaEDOx

(t) = c(x, t).Paraobterasolu caoparaoproblema, bastaintegraraEDOaolongodessascurvascarac-tersticas. Dasegueadenicao.Denicao: Ascurvascaractersticasdaequacaout + c(x, t)ux=0saoascurvassolucoesdaEDOx

(t) = c(x, t).Considerandoagoraoproblemaa(x, y)ux + b(x, y)uy= 0, (x, y) u((t), (t)) = f(t), t I,temosadeni caoaseguir.Denicao: Seja um aberto de R2. As curvas caractersticas da equacao linear homogenea deprimeiraordema(x, y)ux + b(x, y)uy= 0coma, b C1()saoascurvasC(s) = ((s), (s)),solucoesdosistemadeEDOs

(s) = a((s), (s))

(s) = b((s), (s))Exemplo: Usandoometododascaractersticasencontreasolucaoparaoproblemanaoho-mogeneo3ux 4uy= x2, (x, y) R2u

t, 34t

=t39 , t RPrimeiramente, vamos encontrar as curvas caractersticas da equacao homogenea correspondente3ux 4uy= 0.Temosque

(s) = 3Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 49

(s) = 4DestesistemadeEDOs,vemosqueascurvascaractersticassaoasretas(s) = 3s + x0(s) = 4s + y0Denotando por (t) =((t), (t)) =(t,34t) a curva inicial dada, vemos que os vetores(

(t),

(t))e(a((t), (t)), b((t), (t)))saoLinearmenteIndependentes, paratodot R, oquesignicaqueuma unicacurvacaractersticapassapeloponto((t), (t)).Entao, podemoscobrirumavizinhancadacurvacomessascurvascaractersticasefazerasmudancasdevariaveisde(x, y)para(s, t),t I,demodoquetenhamos(s) = x(s, t)(s) = y(s, t)tomandocomopontosiniciaisparaestasretascaractersticasospontosaolongodaretainicialy=34tdadanoproblema,temosx(s) = 3s + ty(s) = 4s +34tIntegrandoddsu(x(s), y(s)) = uxx

(s) + uyy

(s) = x2= (3s + t)2de0ates,obtemosu(x(s), y(s)) u(x(0), y(0)) =(3s + t)39t39u(x(s), y(s)) =(3s + t)39t39+ u(x(0), y(0)) =x3(s)9t39+t39=x3(s)9Portanto,asolu caoparaoproblema ex39.OProblemadeCauchyNesta se cao, estudaremos equacoes lineares de primeira ordem. Primeiramente sera mostradooestudodeproblemasdeCauchyparaequacoeslinearessemdependenciaexplcitanavariaveldependente. Depois,discutiremosocasogeraldesolucoesdeequa coeslineares.OProblemadeCauchyEstamosestudandooproblemadeCauchyparaaEDPlineardaformaa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y), (11)emqueaincognitauapareceapenasnaparteprincipalde(11).Existe uma relacao entre a curva inicial e a regiao aberta R2, onde queremos que existasolucao e que ela seja unica: deve ser coberta por caractersticas planas que intersectam emapenasumponto.Parametrizandopor((t), (t)),t I,nossoproblemaca:a(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y), (12)u((t), (t)) = f(t), t I, R2emque eumabertoquecontem.HipotesessobreesteProblemadeCauchy:Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 50(i) eumacurvasuave.(ii) f C1(I)(iii) a, b, c C1()eaebnaoseanulamsimultaneamenteem.Paragarantiraexistenciaeunicidadedoproblema(12)precisamos: Acharascurvascaractersticasplanasde(12). Garantirqueascurvascaractersticasintersectamacurvainicialemum unicoponto. Fazeralgumasmudancasdevariaveisquetransformemoproblema(12)emumproblemadevalorinicial paraumaEDOdeprimeiraordemque, podeentao, serresolvidacomastecnicasderesolu caoparaEDOs.Para resolver o problema (12) devemos, primeiramente, achar as curvas caractersticas planasdaequacao(11).Se Ce uma curva caracterstica plana parametrizada por ((s), (s)), entao a derivada totaldeuaolongoseCedds[u((s), (s))] =

(s)ux((s), (s)) +

(s)uy((s), (s)); (13)eaEDP(11)aolongodeCcaa((s), (s))ux((s), (s)) + b((s), (s))uy((s), (s)) = c((s), (s)). (14)Logo, paraqueoladoesquerdodaequacao(14)sejaigual aqualquerumadasexpressoesem(13), eprecisoque,existaumn umeroreal(s) = 0,paracadas,talque

(s) = a((s), (s))(s), (15)

(s) = b((s), (s))(s);Assim,aequa caocadds[u((s), (s))] = (s)c((s), (s)). (16)Ascondicoes(15)signicamqueovetortangente curvaCnoponto((s), (s))epara-leloaovetor(a((s), (s)), b((s), (s))). Ecomumareparametrizacaoconvenienteascurvascaractersticasplanasde(11)satisfazem

(s) = a((s), (s)), (17)

(s) = b((s), (s)).que eumsistemadeEDOsdeinnitassolu coes.Dado(x0, y0) edadoumpardecondi coesiniciais,osistema(17)setorna

(s) = a((s), (s)), (18)

(s) = b((s), (s)).(s0) = x0, (s0) = y0.OTeoremade PicardparaEDOs garante solucao unicapara(18). Asolu caoe obtidaintegrando-seaolongodascurvascaractersticasplanasencontradasem(17).Aexistenciaeunicidadedoproblema(12)dependedecomoascaractersticasencontradasacimaintersectamacurvainicial.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 51Senuncaetangente`ascurvascaractersticasplanas, ouseja, seosvetores(,(t), ,(t))e(a((t), (t)), b((t), (t))) nuncasaoparalelos, issogaranteuma unicacurvacaractersticapassandopeloponto((t), (t)),que easolucaode(18).Se uma unica caracterstica intersecta no ponto ((t), (t)), podemos cobrir uma vizinhancadacurvaemexatamenteumponto.Issonospermitefazerumamudan cadevariavelde(x, y)para(s, t).Denotandoacurvacaracterstica((s), (s))por(x(s, t), y(s, t)),reescrevemos(18):xs(s, t) = a(x(s, t), y(s, t)), (19)ys(s, t) = b(x(s, t), y(s, t)),x(0, t) = (t),y(0, t) = (t)alemdisso,comoosvetores(

(t),

(t)) e (a((t), (t)), b((t), (t)))saolinearmenteindependentes,amudan cadevariavelsera(s, t) = u(x, y), (20)obtemos,pelaregradacadeia,s(s, t) =ux(x(s, t), y(s, t))xs+uy(x(s, t), y(s, t))ys== a(x(s, t), y(s, t))ux(x(s, t), y(s, t)) + b(x(s, t), y(s, t))uy(x(s, t), y(s, t)). (21)SubstituindoaEDP(11)em(21),obtemoss= c(x(s, t), y(s, t)).Alemdisso,acondicaoinicialdoproblema(12)ca(0, t) = f(t), t I,Entao,oproblemaquesatisfaz es= c(x(s, t), y(s, t)), (22)(0, t) = f(t), t I.Paracadat I xo, oproblema(22)eumproblemadevalorinicial paraumaEDOdeprimeiraordem,cujasolu cao eobtidaintegrandodiretamentede0as. Assim,obtemos(s, t) =

s0s(, t)d + (0, t) =

s0c(x(, t), y(, t))d + f(t) (23)Logo,asolucaonoponto(x0, y0) = (x(s0, t0), y(s0, t0)) eobtidaintegrandoaEDPaolongodacaractersticaplanaquepassapor(x0, y0)des = 0ates = s0.Como zemos uma mudan ca de variavel, para voltar para u, dado (x0, y0), seja t0= t(x0, y0)es0= s(x0, y0),ouseja,x0= x(s0, t0)ey0= y(s0, t0);substituindo(20)em(23),obtemosu(x0, y0) = f(t0) +

s00c(x(s, t0), y(s, t0))ds. (24)Se u e solucao de (12), entao u satisfaz (24), que por sua vez, e solucao de (12), logo a solu caoe unica.Assim,acabamosdeprovaroteoremaaseguir.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 52TeoremadeExistenciaeUnicidadeSejam R2aberto, I Rumintervaloaberto, umacurvasuaveemparametrizadapor(t)=((t), (t)),t I,f C1(I)ea, b, c C1(). Suponhaquea(x, y)2+ b(x, y)2=0,(x, y) ,e

a(((t), (t)) b((t), (t)),(t) ,(t)

= 0, t I.Entaooproblema(12)temuma unicasolucaodeclasseC1emumavizinhancadacurvaemdadapor(24).Obs.: Normalmente e mais facil achar as curvas caractersticas planas diretamente e integrar aolongodessascurvasdoqueutilizaraf ormula(24).Exemplo:ux 3uy= sen(x) + cos(y) (25)u(t, t) = p(t),comt Repumafuncaodada.Primeiramente,vamosencontrarascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(25). Pro-curamos,entao,curvass ((s), (s))satisfazendo

(s) = 1

(s) = 3Assim,obtemos(s) = s + c x = s + c(s) = 3s + c y= 3s + cPortanto, ascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(25)saoasretasy= 3x + c.Comoacurvainicial earetay= x,elaintersectacadacaractersticaplanaemexatamenteumponto. Estamos,portanto,nascondicoesdoTeoremadeExistenciaeUnicidade.Dadoqualquerponto(x1, y1) R2, eleestanaretay= 3x + condec=y1 + 3x1, eestaretaintersectaacurvainicialnoponto(x0, y0)ondex0=y1 + 3x14Parametrizandoentaoaretapors (s, 3s + c),obtemos:u(x, y) u(x0, y0) =

xy1+3x14(sen(s) + cos(3s + c)) ds u(x, y) =

xy1+3x14(sen(s) + cos(3s + c))ds + p(x0)Comastecnicasderesolu caodeintegrais,chegamosaseguintesolucao:u(x, y) = cos(x) + cos

y + 3x4

13

sen(y) sen

y + 3x4

+ p

y + 3x4

.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 53SolucaoGeralAgora,afuncaoincognitaunaoapareceapenasnaparteprincipaldaequa caoa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y)ConsidereooperadordiferenciallineardeprimeiraordemL = a(x, y)x+ b(x, y)y+ c(x, y)isto e,Lu = a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)uevamosestudaraequa caoLu = d(x, y) (26)coma, b, c, dconstantesepertencentesaC().Para resolver a equacao (26), vamos procurar uma mudanca de variavel (s, t) que transformeesta EDP em uma equacao onde so apare ca a derivada em relacao a uma das variaveis (no caso,s). Assim,poderemosresolveraequa caocomosefosseumaEDO,xandoaoutravariavel.Vamosprocurarasolucaogeraldaequa cao:ax + by + c= d (27)ondea, b, c, d Rea2+b2= 0. Vamos fazer a mudan ca de variavel s = s(x, y), t = t(x, y),comtconstanteaolongodascaractersticasplanas,demodoqueaequa cao(27)queemumaformamaissimples.Assim,ascaractersticasplanasparaaequacaoacimasatisfazemx

(s) = a x(s) = as + c1y

(s) = b y(s) = bs + c2Portanto,ascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(27)saoasretasay bx = k1,k1constanteeasretasortogonaisaestassaoasretasby +ax = k2,k2constante. Tomandot = k1es = k2,obtemos:s = ax + by (28)t = bx + ayIsolandoxeyem(28),obtemos:x =as bta2+ b2y=bs + ata2+ b2exs=aa2+ b2ys=ba2+ b2Comamudan cadevariavelw(s, t) = (x, y),temos:ws (s, t) = xxs + yys(29)Substituindoosvaloresdexseysem(29),aequa cao(27)ca(a2+ b2)ws + cw = d. (30)Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 54Paracadatxo,aequa cao(30) eumaEDOdeprimeriaordemcomfatorintegrante1a2+ b2exp

csa2+ b2

; (31)multiplicando(30)por(31),obtemos,s

w exp

csa2+ b2

=da2+ b2exp

csa2+ b2

.Sec = 0,asolucaogeralde(30) ew(s, t) =dc+ f(t) exp

csa2+ b2

easolu caogeralde(27) e(x, y) =dc+ f(bx + ay) exp

ca2+ b2(ax + by)

.Agora,sec = 0,asolucaogeralde(30) ew(s, t) =da2+ b2s + f(t)easolu caogeralde(27) e(x, y) =da2+ b2(ax + by) + f(bx + ay)ondef C1(R) earbitraria.DiscussaodosResultadosNestasecao, seraodiscutidassitua coesnasquaisoTeoremadeExistenciaeUnicidadenaoevalidoparaProblemasdeCauchy.Voltandoaoproblema(12)a(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y),u((t), (t)) = f(t), t I,(i)Veremosoqueaconteceseacurvainicialeumacurvacaractersticaplana.Paratanto, primeiramentedeniremos oqueeumacurvacaractersticaespacial eoquee a superfcie solu cao. Uma curva caracterstica para o problema (12) e uma curva suaves((s), (s), (s))R3que temtangente no ponto ((s), (s), (s)) paralela ao vetor(a((s), (s)), b((s), (s)), c(((s), (s)));ouseja,, , satisfazem

(s) = a((s), (s)),

(s) = b((s), (s)),

(s) = c((s), (s)).Quando a curva inicial nao e tangente `as curvas caractersticas planas, a superfcie solucaoe geradapelacurva: t I((t), (t), f(t)) e pelas curvas caractersticas emR3queintersectam.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 55Suponha que e uma caracterstica plana. Discutiremos o caso em que e uma caractersticaeocasoemquenao ecaracterstica.Discutiremosprimeiroocasoemque eumacurvacaractersticaparaaEDP(12). Sejaumacurvaplanaqualquerquenuncaetangente`ascaractersticasplanasequeintersectanoponto((s0), (s0)),sejat (p(t), q(t))umaparametriza caodecom(p(0), q(0)) = ((s0), (s0)) (32)esejarumafuncaoarbitrariadeclasseC1satisfazendor(0) = f(s0). (33)Comojavimos,oproblemaa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y) (34)u(p(t), q(t)) = r(t)temuma unicasolucaouemumavizinhan cade; alemdisso, asuperfciesolucaocontemacurva : t (p(t), q(t), r(t)) e contem todas as caractersticas da EDP que intersectam . Emparticular,asuperfciesolu caocontempois(p(o), q(0), r(0)) = ((s0), (s0), f(s0)) por(32)e(33).Portanto u e solucao de (12). O problema tem innitas solucoes, pois existem uma innidadedeescolhaspossveisparaacurvaeparaafun caor.Veremos,agora,ocasoemquen ao eumacaractersticapara(12).Suponha, por absurdo, que o problema (12) tem solucao nesse caso: se u e solucao, qualquerquesejat I,derivandoacondicaoinicialobtemos

(t)ux((t), (t)) +

(t)uy((t), (t)) = f

(t); (35)poroutrolado,aEDP(12)noponto((t), (t))caa((t), (t))ux((t), (t)) + b((t), (t))uy((t), (t)) = c((t), (t)); (36)comparando(35)e(36)eusandoofatoqueosvetores(

(t),

(t))ea((t), (t)), b((t), (t))saoparalelos(poisecaractersticaplana),obtemosqueosvetoresem R3(

(t),

(t)) e (a((t), (t)), b((t), (t)), c((t), (t)))tambemsaoparalelos,isto e, eumacaracterstica,oquecontradizahipotese.Portanto,oproblema(12)naotemsolucaonestecaso.(ii)Veremosagoraoqueacontecequandoetangente curvacaractersticaplana.Vamosresolveroproblema:ux(x, y) = x2(37)u(x, x3) = f(x), x R.Nestecaso, as caractersticas planas saoas retas y=c, c R, e, emboraacurvainicial: t R (t, t3)sejatangente retay=0emt=0, cadacaractersticaplanainterceptaemapenasumponto. Entao, paraobterasolucao, podemosintegraraolongodascurvascaractersticasplanas:u(x, y) =

x3yt2dt + f(x) =x33y3+ f(x).Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 56Mesmonocasoemquecadacaractersticaplanaintersectaemexatamenteumponto,podeocorrerqueamudan cadevariavel(s, t) (x, y)naosejamaisdiferenciavele, portanto,asolucaoencontradaintegrandoaolongodascaractersticasnao edeclasseC1. Modicandooproblema(37):ux= 1u(x, x3) = f(x), x R;Asolucao eu(x, y) =

x3ydt + f(x) = x 3y + f(x).Note que as caractersticas planas sao as mesmas, mas essa solucao nao e diferenciavel em y= 0.ReferenciasBASSANEZI,R.C.;JUNIOR,W.C.F.EquacoesDiferenciaiscomAplicacoes. SaoPaulo:Ed. HarbraLtda.,1988.BIEZUNER,R.J.Introdu cao`asEquacoesDiferenciaisParciais. Notasdeaula. Disponvelem: http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/iedp.pdf. Acessoem: 05out2012.CULLEN,M.R.;ZILL,D.G.EquacoesDiferenciais. Vol. 2,3. ed.,SaoPaulo: Ed. Pearson,2001.FERREIRA,A.P.ProblemadeCauchyparaEqua coesDiferenciaisOrdinarias. In: XIEncontroAnual deIniciacaoCientca,Maringa,PR:UniversidadeEstadualdeMaringa,2002.IORIO,V.EDP-UmcursodeGraduacao. ColecaoMatematicaUniversitaria,2.ed.,RiodeJaneiro: IMPA,2007.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.