View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
A csapos gerenda mennyezet teherbírása.
Irta: M e z e y R e z s ő .
A z összes építési anyagok közül a legközelebb áll hozzánk és minket a legközvetlenebbül érdekel az „épületi fa".
Az épületi fa fontosságát és nélkülözhetetlenségét nemcsak a régi, de a rohamosan fejlődő, jelenlegi gyakorlat is bizonyítja. A z egyre inkább használatos vas- és vasbetonszerkezetek nemcsak hogy nem szorítják háttérbe, de igénybe is veszik. Ezenkívül — nem is említve az építőasztalosmunkákat — a fedélszékek, még a díszesebb kivitelűek is, kevés kivétellel, fából készülnek. Ugyanezt lehet mondani — különösen a legfelső emeletek — födémszerkezeteiről is, a mennyezetekről, amelyek közül az egyiket, és pedig úgy tűzbiztonság, mint szilárdság szempontjából a legmegbízhatóbbat akarom az alábbiakban szóvátenni.
Ez a „csapos"- vagy „köldökölt"-gerendamennyezet. Teherbíró képességéről itt lesz szó, tűzbiztonságával pedig
a szakirodalom már eléggé foglalkozott idáig is. E tekintetben a vélemény általános és úgyszólván végleges. Ezúttal elegendő megemlíteni annyit, hogy míg a fa — és pedig sokkal lassabban, mint a vas — ha átmelegszik is, vagy meg is pör-kölődik, szilárdságát és ellentállóképességét nem veszíti el. Ha a tűz a fedem alatt, vagyis a lakott helyiségben üt ki, a bevakolt és egészen egymás mellé helyezett gerendák sima felületét legfeljebb megpörköli, de — mert oldalaihoz a láng nem igen férhet, az sokáig bír ellentállani és mert időt ad az oltásra, rendszerint nem is szakad be. A vasszerkezetű fedémeknél ellenben az áthevülés hamar bekövetkezik, az erősebben átmelegedett, vagy éppen áttüzesedett traverzek meglágyulnak és a közönségesen viselt terhelést nem bírják el.
Hogy pedig miért kerül éppen ez a fagerenda szóba, annak oka is van.
Valahányszor egy gerenda oly módon van igénybe véve, hogy esetleg meghajolhat, az ellentálló képesség meghatározására szolgáló egyenletek legfontosabb tényezője: a keresztszelvény „tehetetlenségi nyomatéka" ( inertia). ,
Munka- és időmegtakarítás végett a különböző keresztszel-
vények tehetetlenségi és ellentálló nyomatékai már régóta táblázatokba vannak foglalva, de ennek a gerendának a keresztszelvényét egyik sem tartalmazza.
Ki kell számítanunk tehát az „ellenálló nyomatékot", az ennek a meghatározásához szükséges adatokat külön-külön és ezek közül elsősorban az inertiát '(I), vagyis a:
a) Tehetetlenségi nyomatékot.
Ha egy tömegnek, vagy egyáltalában „anyagi pontrendszernek" egyes tömegrészecskéit egyenként megszorozzuk azok — egy előre meghatározott tengelyből való — távolságának a négyzetével, akkor ezen szorzatok összege adja az egész pontrendszer „tehetetlenségi nyomatékát". Ha ezt J x-el jelezzük, akkor:
J x = l ( m p 2 ) 1.)
ahol „ m " a végtelen kis résznek, mondjuk anyagi pontnak a tömegét, „ P " pedig annak az x tengelytől való távolságát jelenti. Tisztán mechanikai definició, mint ahogy a:
I (m p°) = maga a tömeg. I (mp1) = statikai nyomaték. I ( m p 2 ) = tehetetlenségi nyomaték stb.
A harmadik és magasabbrendű nyomatékoknak elméleti, mechanikai értelmük van, de a gyakorlatban nem fordul elő.
A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer alatt érthetünk „testet", síkot (vékony lemez), vagy vonalat (vékony rúd) . •
Minthogy pedig az erőműtan a számítások folyamán — hacsak külön megmondva nincsen (vasbetonszerkezetek) — mindenkor egyenletesen elosztott szövetű, homogén anyagokat tételezünk fel, a tömegeket és tömegegységeket a köbtartalom, a terület, illetőleg hossz egységei helyettesíthetik.
A z 1. egyenlet egyúttal azt is kifejezi, hogy ha a tömegrészeket nem képzeljük végtelen kicsinyeknek, hanem pl. részletekben való summázás után több tömegrész összegének, ha egyébként a részek között a változatlan összeköttetés fennmarad, akkor valamely kombinált pontrendszer tehetetlenségi nyomatékainak összegével (vagy különbségével) egyenlő. Az 1. egyenlet így is írható:
J X = J ^ + J » + J ^ ± . . . J ; 2 . )
Tudjuk azt, hogy a gerendák szilárdsága technológiai szempontból is nagyobb, ha a fa bele nincs átmetszve. Csakhogy ez anyagpazarlással jár, mert így egy darab gerendához egy egész szálfát kell felhasználni, tehát drágább. Megelégszünk ennélfogva a középen kettéfűrészelt gömbfából készült és lefaragás előtt félkör keresztmetszetű gerendával.
+y
S
1. ábra.
Ha az 1. ábrán a szelvényt végtelen sok keskeny szalagra , osztjuk az x tengellyel párhuzamosan, amelyeknek változó hossza: x, a szélessége: dy, akkor az x tengelytől y távolságban fekvő egy ilyen területelemnek a tehetetlenségi nyomatéka az x tengelyre:
= 2 x. dy. y 2
és az egész felületé:
Jx = 2 Í x . y 2 . dy.
A kör központi egyenletéből: x = V r 2 — y 2
Jx = 2J f F 2 - y 2 y 2 dy.
Ez az integrál azonban nem adhatja közvetlenül az egész felvett keresztszelvény tehetetlenségi nyomatékát azért, mert -— amint az 1. ábrából is kivehető — a függvény folytonossága a
húrnak és a körívnek a metszéspontjainál úgy az x-re, mint az y-ra nézve megszűnik. Adja azonban a körszegmentét, amit a 2. egyenlet segítségével utólagosan ki lehet egészíteni az egész keresztszelvényre.
f r - — y 2 -e l szorozva és osztva:
„r(r«-y«)y«dy o f y 2 d y „ f y 4 d y J x = 2\-—————— = 2 r 2
azok mindig az
j A r 2 _ y 2 Jy r2__y2 J f r 2 — y I. II.
xn d x
Va ± C X 3
d x
( X " UA
a priori alakra hozhatók. Ez lesz az eredmény í a X c x 2
utolsó tagja, a megelőző tagok pedig közönséges algebrai alakok.
A bizonyítás céljából differenciáljuk a x 1 1 — 1 . W sorozatot x sze
rint és legyen egyszerűsítés kedvéért V a - 4 - c x 2 = W , a mikor d W =
cxdx
f a + c x 2
v n—1 cx dx d [ x » - i . W] = (n -1 ) xn -2 . w dx + ^ — Szorozzuk és osszuk a jobb oldal első tagját W = V a - f - c x 2 e l :
n—1) x ° - 2 . dx - f c (n—1) x". d
W a (n—1) xn -2 . u x -f- cn xa dx
d Tx" - i W l = a (n—1)xn-2. d x - f c ín—1) x". dx - f ex" d x . 1 W
w az utolsó tagot különválasztva, egyúttal mindkét oldalt integrálva és
„cn"-el átosztva:
f x " dx _ x ° - ' W a (n—11 Pxn-2 dx 4 1
J W ~~ cn ~ cn J W
Ugyanezen íorma szerint integráljuk tovább az utolsó tagot:
(n—1) fxn cn J
a (n—1) ( xn -2 . dx _ a (n—1)
W cn c (n—2) c (n—2JJ W
x n - 3 . W a f n - 3 ) í x n - 4 . d x . . b e h e l y e ( l e s i ( í e
x" d x _ x " - i . W a ( n - l ) xn- -3 .W a 2 ( n - 1 ) ( n - 3 ) x ^ dx
W cn cn c ( n — 2 ) ^ c 2 n ( n - 2 ) J W
n - 1 ) ( n - 3 ) í*3 : 2 n ( n - 2 ) _ "
-.W x " - i a (n—1) . x n - 3 a 2(n—1) ( n — 3 ) . x n - 5 . . . cn c 2 n (n—2)
+ c 3 (n) (q—2) (n—4) • I
d-5....5.)
így kell tehát folytatnunk az eljárást mindaddig, amíg az utolsó tagban az n elfogy és az utolsó tag tényleg: 'dx
W
alakú lesz. A z eredmény előző tagja egy szorzat, melynek egyik tényezője W, a másik pedig a változónak eggyel kisebbített hatványával kezdődő és azután egyre fogyó hatványaiból álló sor, különböző értékű és változó előjelű együtthatókkal. A nehézkes számítások elkerülése végett ezen együtthatókat a gyakorlatban sokkal egyszerűbben és könnyebben a „határozatlan együtthatók" elméletével számítjuk ki. Az utolsó tag együtthatója máris így van beállítva az 5.-ben.
Ez, mint a fentiekből látszik, csak arra az, esetre vonatkozik, ha az „ n " páros szám.
M i v e l p e d i g a x n d x a l a k b a n a j e l e n t á rgya lá s f o l y a m á n a z ,,n',
m i n d i g p á r o s s z á m ú lesz , azér t a pá ra t l an k i t e v ő j ű f o r m á n a k k ü l ö n f e j t e g e t é s e f ö l ö s l e g e s .
Az 5. egyenlet utasításait követve, a felvett integrálokai most már megoldhatjuk.
"dy f y2 (Jv , I. t a g : 2r 2
- £ b = = = K y + « o ] Vt*-y2 + P
J 7 r 2 - y 2
Mindké t o l d a l o n d i f f e r e n c i á l v a é s 2r 3-el v a l ó s z o r z á s t a v é g é r e
t . i . a Í J r 2 — y s ) = — 2y d y
= a i y r 2 - y 2 -[ a , y + a o ] y
2 f r 2 — y a
h a g y v a :
_ í
.az e g y e n l e t m i n d k é t o lda l á t a W - v e l s z o r o z v a
y 2 = a i r 2 — a i y 2 — a x y 2 — a 0 y + P = — 2 o , y 2 - a o y + a ^ a + p
Két egyenlet között az egyenlőség jele csak akkor állhat fent, ha az egyenlő kitevőjű ismeretlenek együtthatói egyenlők. így nyerjük:
1 = — 2 a ,
- 1 a n = 0 a x r 2 - ^ B = 0:
r 2
2 ' b e h e l y e t t e s í t v e :
I. tag = 2 r 2 y 2 d y
= 2r* — _y y r 2 _ y 2 _ L . r _ I . a r c . s in-5-2 T- 2 2
a felső é s a l só h a t á r o k a t b e h e l y e t t e s í t v e :
2r 2 JL e = — a rc . sin 1 — ( — y " r 2 - a 2 + _ a r c . s in — ) 2 2 v 2 ' 2 r '
A z ábrából látható, hogy Vr3— a2 = h és -y = sin [ y — cp]
= 2 r 2 £! . JL + ^ h - £ ! ( ^ - ( p ) l = 2 r 2 (£ Í í + ^ - I ^ t + 1 ^ ) . 2 2
I. t a g : 2 r 2
2
y 2 d y
V r " - y
U g y a n e z e n e l j á r á s sa l :
r4 cp + r ah 6.)
II. tag: 2 fZigy _ [ a 3 y 3 + a 2 y 2 + a i y + a ( ) ] y r 2 _ y 2 + p f
J yr 2 -y 2 J
ismét mindkétoldalon differenciálva, 2-vel utólag szorozva
d y
V ; r«-y f
: [ 3 a 3 y 2 + 2 a 2 y + a 1 ] y r 2 - y 2 5 [ a 3 y 3 + a 2 y 3 + a i y + a o ] y . i _
y P 2 _ y 2 f r 2 - y 2 y r 2 _ y 2 :
y * = 3 a 3 r 2 y 2 + 2a 3 r2 y - f a, r 2 — 3 a : i y4 - 2 a , y 3 - a j y 2 - a 3 y 4 —
— a 2 y s — a i y 2 — a 0 y + p
H a t v á n y k i t e v ő k szer int r e n d e z v e :
y 4 = y 4 [ - 3 a 3 - a 3 ] + y 3 [ - 2 a 2 - a 2 ] - 4 - y 2 [ 3 a 3 r 2 - a 1 - a 1 ] +
+ y [ 2 a 2 r 2 - a „ ] + a i r 2 + p
3 = _ 4 a 3 0 = — 3 a 2 ü = 3 a 3 r 2 ~ - 2 a 1 = ~ - x r 2 ~ 2 a i = ° ao = 0 '
a 3- , = 0 ¥ r 2
a r 2 - f - / * = 0 = —-g-r* + / ? .
3 _ r 4
8 r
a i
f r 2 — y 2 J 2.
a a31 - ' t i V r 2-r 2 - e + ^ • arc. sin -L - ( - ^ yr2-a3
4 8 8 r v 4
3r 2 a r 2-a 2 + 3 r 4
arc. sin —)
3 r 4 TT , a 3 h , 3 r 2 a h _ 3 r 4 r u _ , 6 2 i " 4 " 1 ~ 8 8 1 2 ^
3r4ir > a 3 h i 3 r 2 a h 3r 4 Tt r 3r4cp 3r4cp • 3 r 2 a h t _ a 3 h jj ^ " 8 2 + 4 8 _ t ~ 4 4 - 4 V 2
A 6.) és 7.) ö s s z e v o n á s á b ó l : s e g m , 3r 4cp Sraah a 3 h
J x
s = I - I I --= r* <p + rsah - - j ^ • - — j — - ~ ~
4r"(p + 4 r 2 a h — 3r 4 cp — 3 r 2 a h — a 3 h 5 4
s e g m r 4 cp r 8 a h a 3 h J x = 8 - )
Ez tehát tisztán csak a segment tehetetlenségi nyomatéka, x = r, x = a határok között, ameddig az integrált függvény folytonos és állandó.
TU Ha a 8. képletben 9 = - g ; h = r; a = o, akkor a félkörlap tehetet
lenségi nyomatéka, külön levezetés helyett: (íélkör) _ r%
J x = 8 9:) Hogy ezekután az egész keresztszelvényre megkaphassuk
az Ix értéket, a 8. egyenlethez még hozzá kell adnunk a segment alatt álló derékszögű négyszög nyomatékát. Ha e végből az 1. ábrán minden külön kirajzolás nélkül a dy szélességű és 2h hosszúságú sávot a négyszögben vesszük fel és pedig valamely
o között változó y magasságban, akkor ezen területelem tehetetlenségi nyomatéka szintén ugyanazon x tengelyre vonatkoztatva:
= 2 h d y . y 2 és az egész négyszögé: a a
: = 2 h j; J x = 2 h | y 2 d y = ^ = Jnégyszög _ 2 a 3 h 1 0 . x 3
o o Ha tehát ezt hozzáadjuk a 8.) számú egyenlethez:
r4cp r 2 ah a 3 h 2 a 3 h r4cp r 2 ah a 3 h ~T~ + ~ ~ 2 ~ + ~~3~~ = ~ 4 ~ + ~ T ~ + ~fT [—3 + 4 J kapjuk az egész csaposgerenda tahetetlenségi nyomatékát az x tengelyre vonatkoztatva:
gerenda r4qp r 2 ah a 3 h J x = ~T~ + ~T~ + "6~
Igen fontos képlét, mely nélkül a súlyponttengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi és ebből megint az „ellentálló" nyomatékot külön kiszámítani nem lehet.
A csaposgerenda-mennyezethez szükséges faanyagot a fenyőerdőktől távolabb eső vidékeken, így a fővárosban és kör-
nyékén is, még a háború előtti békeidőkben is, csak a fakeres-kedőknél és famegmunkáló telepeken lehetett beszerezni, az eladás pedig nem köbméterenként, hanem majdnem általában négyzetméterenként történt és történik, a magasság megrendelése mellett. így azután nagyon sűrűen fordulnak elő olyan darabok, amelyek jóval nagyobb sugarú gömbfából készültek, mint amekkora a megrendelt és kialkudott magasság és így a keresztszelvény talpa nem esik a körlap átmérőjébe, hanem föléje.
Tekintettel a gerendáknak ilyenképen való előállítására, foglalkoznunk kell az efajta gerendának a tehetetlenségi nyomatékával is. Megkapjuk: ha az átmérőig faragott gerenda tehetetlenségi nyomatékából a 2. képlet értelmében, a visszamaradó „ b " magasságú gerenda nyomatékát levonjuk.
2. ábra.
A 2. ábra jelzéseit használva: a négyszög alapja 2h, a magasság „ b " , akkor a levonandó rész tehetetlenségi nyomatéka a 10. egyenlet szerint:
( n é g y s z ö g ) 2 b 3 h p
J x ^ • • • ' • ; W Levonva ezt a 11. egyenletből, a „csonkának" is nevezhető csaposgerenda tehetetlenségi nyomatéka:
( c s o n k a ) r 4 cp r 2 a t i a 3 h 2 b 3 l i
Ha pedig az a ritkábbik eset adódik elő, hogy nagyobb szilárdság elérése végett a gerendát az átmérő alatt fűrészelt gömbfából kell előállítani és egy gerendára egy egész szálfát használunk fel, akkor a 16. képletet levonás helyett a 11.-hez hozzáadjuk, azon az ilyen — mondjuk — „bővített" gerendára:
(bóv. q) r 4 <p r 2 ah ; a 3 ti 2b 3 h J x ~4~ + 4 + T~ — 3 ~ l 8 - > Ezen „csonka" és „bővített" jelzők nincsenek általánosság
ban elfogadva és ezúttal is csak fenntartással és csakis a hosz-szadalmasabb körülírások elkerülése végett alkalmazzuk.
A vízszintesen fekvő és két végén alátámasztott gerendára ható külső erők, nevezetesen a felülről lefelé ható terhelés és egyidejűleg az alátámasztó falaknak alulról felfelé működő ellennyomása a gerendát és annak ellentállóképességét olyképen veszik igénybe, hogy annak alsó rostszálait megnyújtani vagy elszakítani, felső rostszálait pedig összeroppantam igyekeznek. Ilyképen tehát ezek az egymással merőben ellenkező irányú feszültségek a gerenda bármely szelvényén a legfelső és legalsó szélén a legnagyobbak és minél inkább közelednek a rostszálak a keresztszelvénynek egy bizonyos vonalához, folytonosan csökkennek. Kell tehát a keresztszelvényen egy egyenesnek lennie, ahol ezek kölcsönösen meg is semmisülnek. Hogy ez az egyenes hol fekszik, azt az itt következő, a súlypont helyének meghatározására szolgáló tételekből állapítjuk meg.
B) S Ú L Y P O N T
A mechanikának egyik sarkalatos tétele így hangzik: A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszerre ható
erők akkor vannak egyensúlyban:
először: ha a derékszögű, térbeli tengelyrendszerben ' az
erőknek mind a három tengely irányábam eső vetületeink egy
mást megsemmisítik, vagyis azokriak (algebrai összege null ér
tékű és egyidejűleg:
; másodszor: ha valamennyi erőnek ez\en téngébgek bármelyi
kére vonatkoztatott „statikai" nyomaték-összege szintén nulla
értékű.
Ez a tétel szolgál a súlypont értelmezésére és helyének a megkeresésére is.
Esetünkben egy határolt síkfelület súlypontjáról van szó. Minthogy a tétel általános érvényű, a derékszögű tengely
rendszer kezdő „ 0 " pontját, valamint a tengelyek irányát is egészen szabadon választhatjuk. Egyszerűsítés kedvéért ennélfogva a vizsgálandó, bármilyen alakú, zárt síkot — mondjuk egy bizonyos súllyal bíró (homogén) vékony lemezt — az x, y tengelyek síkjába, a rajzlap síkjába helyezzük. (Lásd 3. ábra.)
5 o
! A i i
o Z
3. ábra.
Az i'i h h • • • in tömeg, illetőleg felületrészecskék legyenek a felvett síknak részei, amelyek a nehézség törvényéből származó erők hatásának vannak kitéve. Ezek az erők tehát kizárólag az x, y tengelyekre és az azok síkjára merőleges „ z " tengely irányában működnek. Ha még megállapodunk abban is, hogy a „ z " tengelynek a plus iránya a 0 ponttól a szemlélő felé tart, továbbá, hogy az erők előjele ugyanezen irányt követi, belátható, hogy az ii i . . . in területrészecskékben működő erők a 0 ponttól lefelé, vagyis z irányban hatnak, tehát kivétel nélkül mind minus előjelűek. Ezen erőknek az eredője nem lehet egyéb, mint az egyes erők összege:
i (i) = s = maga a zárt idom területe — előjellel.
A törvény szerint ezen lefelé ható erők hatását csakis hasonló nagyságú és a z tengely irányában ható, ellenkező előjelű erők tarthatják egyensúlyban, vagy pedig ezek helyett egy erő, amely az erők eredőjével egyenlő nagyságú, de ellenkező irányú.
Ennek az erőnek a támadópontját, a súlypontot", illetőleg annak l és n rendszálait a törvény második bekezdése definiálja.
A statikai nyomaték:
M = erő X kar (tengelytávolság). A z adott erők a „ z " tengellyel párhuzamosak, tehát a z tengely körül forgatás nem lehetséges, csakis az x és y tengelyek körül.
A z y tengelyre vonatkozó statikai nyomatékok összegének egyenlőnek kell lennie az eredőnek a nyomatékával, azaz S tömegének és E tengelytávolságnak (súlypontabscissának) a szorzatával, ellenkező előjellel, vagyis:
- X ( Í ) — (i, X , + Í 2 X , + Í 3 X 3 - j - . . . ] ' n X n ) = ()
az x tengely körül való forgatásnál pedig:
nzfi) - O'i y i + i 2 y 2 + i 3 y s + • • - i n X n ) = o (Megjegyzendő, hogy általánosan elfogadott megállapodás az is, hogy bármelyik tengely körül a plus irányú forgatás az, amelyik az óramutató irányát követi.)
A súlypont rendszálai ennélfogva:
Í t X t + Í2 x 2 + h X 3 + • • • Ín Xu j S _ X ( Í ) = S ' (
i i y i + Í 2 y ? + i 3 y 8 + • • • i n y n ( 1 H J
n — I ( i ) = S . )
A 3. ábra mérce szerint van szerkesztve, n = 5 pontból. Ha történetesen az S súlypont a közeli x tengelybe esett volna, vagy — ami egyre megy — a mindenkor szabadon választható tengelyrendszert az £ tengelyében vettük volna fel, akkor 11 = 0.
Ha pedig magát a 0 kezdőpontot tettük volna S pontba, akkor úgy 5 = o, mint n . = o. Csakhogy akkor a jobboldal számlálói is megsemmisülni tartoznak és ebből közvetlenül is leolvasható egy szintén igen fontos tétel:
A változatlanul összekötött, anyagi pontrendszer összes elemeinek a súlypontra, vagy a súlypont te&szés&zerinti tengelyére vonatkoztatott statikai nyomatékainak az öslszege nulla< értékű.
A 3. ábrán felvett i M i 2 . . . i 5 felületrészecskék súlyai mind lefelé, a rajzlap síkja alá működnek, megérthető tehát, hogy az x tengely fölött az I. negyedben elhelyezett erők a lemezt az x tengely körül plus irányban forgatnák, míg az x tengely alattiak az ellenkező, vagyis minus irányban és a 3. ábra jelenlegi állapotában az eredmény — ellenkező erő működése nélkül — egy plus-irányú forgatás volna. Ha azonban az x tengely az S ponton menne keresztül, akkor forgatás nem történhetik.
ígéret szerint most vissza kell térnünk az előző a) pont legutolsó bekezdésére.
Megállapítottuk, hogy a vízszintesen elhelyezett gerenda bármely függőlegesen álló keresztszelvényén kell egy szintén vízszintes tengelynek lennie, amelyre nézve a keresztszelvény minden részecskéjére ható erők nyomatékainak összege egyensúly esetén null értékű. Ez a tengely; „semleges tengely".
A 19. egyenletben az erők a nehézségből keletkeztek, míg a gerenda keresztszelvényén azok a megterhelés folytán beálló feszültségek, ami azonban a statikai, nyomatékok egyensúlyi törvényének érvényességén semmit sem változtat. Az egyenlet jobboldala, vagyis az egyes részek statikai nyomatékainak ösz-szege bármikor helyettesíthető ugyanezen egyenlet baloldalán álló szorzattal, aminek az egyik tényezője az állandó felület, a másik pedig a felület súlypontjának a kérdéses tengelytől való-távolsága. Ha tehát — egyensúly esetén — a jobboldal megsemmisül, akkor a baloldalon i = n = o
a keresztszelvény súlypontja beleesik a semleges tengielkjbe. Ami továbbá a 2. képletnél mondva van, az a 19.-re is
fenntartható, t. i. az h U . . . in alatt nagyobb területrészek is érthetők, ha azok súlypontja ismeretes. Ennélfogva egy kombinált felület idomsúlypontjának a rendszálai, ha t. i. az egyes részek között a változatlan Összekötöttség fennáll:
' Sig1 + S , £ 2 + S 3 S 3 ± • • • Y
( S l + S2 + S3 . . .) = S _ S 1 M 1 + S 2 n 2 ± S 3 n 3 ± - • • ( ' ' : . ' . ' . ' ' ' • '' • I
f ~ ( S t + S 2 + S3 . . .) = S- l
Az összetett síkidomok súlypontjának a meghatározásához
tehát az egyes területrészek súlypontjainak az ismerete szüfe
séges.
Külön bizonyítás nélkül belátható, hogy a véges egyenes súlypontja annak a felezőpontjában van.
Tudva ezt, a négyszög és a háromszög súlypontját analitikai elemzések nélkül is meghatározhatjuk.
A párhuzamos oldalú, négyszög súlypontja a magasSiág felében van.
Ha pedig a háromszöget oly — végtelen keskeny — szalagokra bontjuk, amelyek bármely, alapul választott oldallal párhuzamosak, akkor, tudva azt, hogy a szalagok súlypontja azoknak a közepén van, a háromszök súlypontja mindenesetre azon az egyenesen fekszik, amelyik a szemközt lévő oldal felezőpontjával összeköti. Már pedig a geometria szerint: a háromszög csúcspontjait a szemközt fekvő oldalak felezőpontjaival
4. ábra.
összekötő egyenesek egymást egy közös pontban metszik. A súlypont helye tehát itt is kétségtelen és rövid szemléltetés után:
a háromszög súlypontja a magasságnak az alapvonaltól számított y^-ában van.
Ezen — különben közismert — tételek hangsúlyozása azért történik, mert az alábbiakban több ízben fordulnak elő.
Következnék a segment súlypontja, ami annyiban érdekes, mert a szóban lévő gerendaszelvény kiegészítő része és mert egyúttal a félkör súlypontjához is vezet.
A 19. egyenletek szerint a súlypont rendszálait egy hánya-
dos adja, amelynek a nevezője, mindkét rendszálra a felvett síkidom területe. — Először ez tárgyalható.
A 4. ábrából is láthatólag a segment egy körnek és egy egyenesnek a metszéséből keletkezett zárt idom.
A k ö r : x 2 + y - - r 5 o központi egyenletéből
fF2 — x 2 y = í ( x ) = az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete pedig:
y | = c p ( x ) = a
Ha most ezt a bezárt területet az x tengelyre merőleges és dx szélességű szalagokra osztjuk, úgy egy-egy ilyen szalagnak a hosszúsága a változó ( y — y ^ és egy ilyen elemnek vagy közvetlenül az egész bezárt segmentnek a területe így írható fel:
-f-h -f-h
T = j ( y - y 1 ) d x = ( y : P x 2 d x a d x
h II,
I. tag a 6. egyenlet megoldásához hasonlóan:
J y r 3 - x 2 . d x = J - = d x = x 2 + p — a x
J y r 2 — x 2
mindkét oldalon differenciálva:
r 2 — x 2
y r 2 - x 2
-- — a1 y . r 2 - x 2 - a, X Cin — X f r 2 - x 2 y r 2 — x 2
r 2 — x 2 = — a ^ 2 - } - a iX 2 -f-ajX 2 -}- a 0 x -= 2 a 1 X 2 - r - a 0 X - a ! r 2 - f p
— l = 2 a t a 0 = o r 2 = — a ^ + p _ 1 _ j . 2
2 + P 2
-f-h 4 - n
y r 2 - x 2 . dx = ^ y r 2 — x 2 - f - y a rc . t in *
= " - K r 2 - h 2 + ^ . a rc . sin fi--£ c. r
y r 2 — h 2 - L- — a r c . sin
. h d e y r a _ h 2 = a ; ^ sin cp
+ h
I. tag = f r 2 — x 2 • dx=ah-f-r2qp
II. tag =aj*ax = ax
— h
ah — ( — ah) = 2 a h
T (terület.) = (y — dx = I — H = r > + ah - 2 a h
T=r2(p—ah 22.)
( A körsector területéből levonjuk a 2 h alapú és „ a " magasságú háromszög területét.)
A £ számlálója a 1 9 . egyenlet szerint: My, azaz az y ten
gelyére vonatkoztatott statikai nyomaték: az elem területének
és az y tengelytől való távolságának szorzata. Az egész felület nyomatéka pedig:
My: x . v d x x \v- — x 2 • d x
Ezt az integrált az imént alkalmazott módon is meg lehet oldani, de rövidebben érünk célhoz új változó behozatalával.
Legyen : V r 2 — x 2 = t; r 2 — x 2 = t 2 : x 2 = r 2 — t 2;
;= Vr 2 —t2
dx - t . dt Vr2 —t 2
ezeket behelyettesítve:
"l/r 2=t 2.t . - t . dt •\f~
+ h + h t 3
M y _ 23.)
Önként jelentkezik a statikai nyomatékok törvénye, t. i. az í abscissa megsemmisül, tehát a súlypont beleesik az y tengelybe, ami egyébként előre volt látható, hiszen az y tengely a segmen-tet symmetrikusan osztja ketté. — A másik rendszál:
Mx
ahol a számláló a segment statikai nyomatéka az x tengelyre.
Az (y — y x ) hosszúságú elem súlypontja, annak felezőpontjában
van, a x tengelyből való távolsága tehát = ^ y * és így a E számlálója:
Mx ^ - ( y + y i ( y - y i ) dx t
= - i j \ r 2 - x2) dx - y j a 2 dx = -íjdx - A . x2 dx - ^ J d x ;
2 " J f y a - y í l d x j - y
x 2 d x
h
fx 2 - <P (x) 2 dx
(--h és+ h között)
M x _ _ r 3 „ X 3 a 2 „ _ X r „ < , „ o ! X 3
-x— : i _ _ ^ _ x = — [r 2 — a 2 ] 2 6 2 2 L , ahol r 2 a 2 = h 2
,h . h 2 _ h 3
2 6
Mx 2 h 3
| h 2 + h_3
2 o • h 3
- h
2 h 3 3 h 3 — h 3 . 2 h 3
6 ' M x = - g -
24.) T 3 (r2
CP — ah)
Ez tisztán csak a segment súlypontjának a magassága az x tengely fölött.
Ha ezen egyenletben: = h [félhúr] = r ; a = o ; <P = -~
akkor a félkör súlypontja:
2r 3 4r 5 - 5 = n = Ö - = 0.4244r 25.)
n = oiT 2 ír ' ÓTt '•
2
A segment alatt álló négyszög területe = T = 2 ha
; a •
rj = 2
ha ezt belekapcsoljuk a 20. egyenletbe, azzal az egész gerendaszelvény súlypontjának az ordinátáját is megkaphatjuk.
Legyen az egész szelvény súlypontjának ordinátája: no. a segment és négyszög területe: T,, illetőleg T 2 , az ordináták pedig m és ns. akkor a 20. képlet szerint:
Titii -J-T 2 n 3
no— Ti + Ts
Könnyebb kezelés és áttekintés céljából helyesebb lesz a kifeje-izést tagonként kifejteni. — A 22. és 24. alakokból:
(r2cp —ah) .2h 3 2h 3
Ti.ni == 3 ( r 2 cp—ah) 3
„ 2ha .a T 2 n 2 = 2
= _____
T 2 + T 2 = r 2 cp — ah-f- 2ah = r 2 c p + ah
ezek összevonásával:
2t]3
no + a 2 h 2hs -f- 3 a 2 h h [2h 2 + 3a 2 ] no • • • 26.)
r 2 p + ah — 3 ( r 2 c p X ah) " 3 [ r 2 c p + ah]
Ez az egyenlet azonban a 4. ábrát követve, gyorsabban, közvetlenül is levezethető.
(Folytatjuk.)
Recommended