View
213
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
OLP
Citation preview
LIJEVA ALGEBRA an
Definicija 1. an = {X ∈ gln+1(C) | trX = 0} = sln+1(C)
Lema 1. Neka je B – Kilingova forma od an. Tada:
(∀X,Y ∈ an) B(X,Y ) = 2(n+ 1)tr(X · Y )
Dokaz 1. an / gln+1(C) ⇒ Kilingove forme su im iste. Neka su X,Y ∈ gln+1(C), tada:
B(X,Y ) =n+1∑i,j=1
〈(adXadY )(Eij), Eij〉 =n+1∑i,j=1
〈[X, [Y,Eij ]] , Eij〉 =n+1∑i,j=1
〈[X, Y Eij − EijY ] , Eij〉 =
=n+1∑i,j=1
〈XY Eij −XEijY − Y EijX + EijY X,Eij〉 =n+1∑i,j=1
{(XY )ii −XiiYjj − YiiXjj + (Y X)jj} =
= 2(n+ 1)tr(XY )− 2(trX)(trY )
X,Y ∈ an ⇒ trX = trY = 0 ⇒ B(X,Y ) = 2(n+ 1)tr(XY ) u
Posledica 2. an je poluprosta.
Dokaz 2. Treba pokazati da je B – nedegenerisana.
X ∈ an ⇒ X∗ ∈ an
B(X,X∗) = 2(n+ 1)tr(XX∗) = 2(n+ 1)n+1∑i,j=1
Xij(X∗)ji = 2(n+ 1)
n+1∑i,j=1
XijXij = 2(n+ 1)n+1∑i,j=1
|Xij |2
X 6= 0 ⇒ B(X,X∗) 6= 0 u
Lema 3. Kartanova podalgebra od an je h(an) = {H ∈ an | H − dijagonalna}
Dokaz 3. Treba pokazati da je h(an) maksimalna Abelova i da je za svako H ∈ h(an) : adH – poluprosta.
1) Dijagonalne matrice komutiraju ⇒ h(an) – Abelova
2) Neka je X ∈ an : Xij 6= 0 za neko i 6= j i neka je H ∈ h(an) : Hii 6= Hjj . Tada je:
0 = [H,X] = ((Hii −Hjj)Xij) 6= 0 ⇒ h(an) – maksimalna.
3) H ∈ h(an) : (adH)(Eij) = [H,Eij ] = (Hii −Hjj)Eij
adH – dijagonalizabilan i njegova matrica u bazi {Eij} Kartanove podalgebre h(an) je dijagonalna matrica
⇒ adH – poluprosta u
Lema 4. Ako je ωi : h(an) → C, ωi(H) = Hii, i = 1, . . . , n + 1, onda je ∆(an) = {ωi − ωj | i 6= j } skup nenula korenova odan u odnosu na h(an).
Dokaz 4.
(adH)(Eij) = HEij − EijH = HiiEij −HjjEij = (Hii −Hjj)Eij = (ωi − ωj)(H)Eij
i 6= j ⇒ ωi − ωj – nenula koren od an
broj korenova: dim an − rang an = dim an − dimh(an) = (n+ 1)2 − (1 + n) = n2 + n
⇒ ωi − ωj – svi korenovi od an u
Lema 5. Prost sistem korenova od an je {α1, . . . , αn}, gde je αi = ωi − ωi+1, i = 1, . . . , n
Dokaz 5.
ωi − ωj =j−1∑k=i
αk, i < j, ⇒ ∆(an) = 〈α1, . . . , αn〉 αi – prosti u
Lema 6. Hωi = Eii2(n+1)
Dokaz 6.
B(Hωi , H) = ωi(H), H ∈ h(an) i B(Hωi , h) = 0 kad je B(X,h) = 0 ⇒ Hωi = λEii, λ ∈ C
1 = ωi(Eii) = B(Hωi , Eii) = 2(n+ 1)tr(λEii, Eii) = 2(n+ 1)λ ⇒ λ = 12(n+1)
⇒ Hωi = Eii2(n+1)
u
Lema 7. Dinkinov dijagram za an je• • . . . • •
Dokaz 7. 1 ≤ i < j ≤ n+ 1
B(αi, αj) = B(Eii − Ei+1 i+1, Ejj − Ej+1 j+1) = −B(Ei+1 i+1Ejj) = −2(n+ 1)tr(Ei+1 i+1Ejj) = −2(n+ 1)δi+1 j
1
B(αi, αi) = B(Eii − Ei+1 i+1, Eii − Ei+1 i+1) = B(Eii, Eii) +B(Ei+1 i+1, Ei+1 i+1) = 4(n+ 1)
aij = 2B(αi,αj)
B(αi,αi)=
−4(n+1)δi+1 j
4(n+1)= −δi+1 j , i < j
aji = 2B(αi,αj)
B(αj ,αj)= −δi+1 j , i < j
⇒ aijaji = δi+1 j , i < j – broj linija izmedju αi i αj
Takodje, svaki cvor istu tezinu (mozemo uzeti da je jednaka 1) u
Lema 8. Realna Lijeva algebra su(n + 1) = {X ∈ an | X = −X∗ } je kompaktna realna forma od an = sln+1 i τ : an → an
definisano sa τ(X) = −X∗ je konjugacija koja fiksira skup su(n+ 1).
Dokaz 8.
X,Y ∈ su(n+ 1) : [X,Y ]∗ = (XY )∗ − (Y X)∗ = Y ∗X∗ −X∗Y ∗ = Y X −XY = − [X,Y ]
⇒ su(n+ 1) – podalgebra algebre an
X ∈ su(n+ 1) : B(X,X) = 2(n+ 1)tr(X2) = −2(n+ 1)tr(XX∗) = −2(n+ 1)∑i,j
|Xij |2
⇒ B – negativno definitna na su(n+ 1) ⇒ su(n+ 1) – kompaktna realna forma od an
Dokaz tvrdjenja za τ je trivijalan: X ∈ su(n+ 1) ⇒ τ(X) = −X∗ = X u
Lema 9. Realna Lijeva algebra sln+1(R) = {X ∈ gln+1(R) | tr(X) = 0} je podeljena realna forma od an = sln+1(C) iσ : an → an definisano sa σ(X) = X je involucija od an koja fiksira skup sln+1(R). Kartanova dekompozicija od sln+1(R) je:
sln+1(R) = so(n+ 1)⊕ {sηn+1(R) ∩ sln+1(R)},
gde su
so(n+ 1) ={X ∈ gln+1(R)
∣∣X = −Xt}
i sηn+1(R) ={X ∈ gln+1(R)
∣∣X = Xt}
Dokaz 9. Jasno je da su sln+1(R), so(n + 1), sηn+1(R) ∩ sln+1(R) sadrzane u sln+1(C), pri cemu su prve dve podalgebre.Trivijalno, σ fiksira skup sln+1(R).
sln+1(R) =n∑
i=1
(Eii − Ei+1 i+1)R⊕∑i6=j
EijR
{Eii − Ei+1 i+1 | 1 ≤ i ≤ n} – baza Kartanove podalgebre h(an)
{Eij | i 6= j } – koreni od (an, h(an))
⇒ sln+1(R) – normalna realna forma od an
sln+1(R) ∩ su(n+ 1) ={X ∈ sln+1(R)
∣∣ X = X ∧ X = −X∗}=
{X ∈ sln+1(R)
∣∣ X = −Xt}
= so(n+ 1)
sln+1(R) ∩ i su(n+ 1) ={X ∈ sln+1(C)
∣∣X = X ∧ iX = −iX∗}=
{X ∈ sln+1(R)
∣∣X = Xt}
= sηn+1(R) ∩ sln+1(R)
X ∈ su(n) : −(σ(X))t = −Xt = −Xt = σ(−Xt) = σ(X)
⇒ σ(X) ∈ su(n) ⇒ σ(su(n)) = su(n)
⇒ sln+1(R) = so(n+ 1)⊕ {sηn+1(R) ∩ sln+1(R)} – Kartanova dekompozicija u
Lema 10.
su∗(2n) =
{(w z-z w
)∣∣∣∣ w, z ∈ glnC, Re(trw) = 0
}je realna forma od a2n−1 = sl2nC. Takodje, ϕ : a2n−1 → a2n−1 definisana sa ϕ(X) = −JXJ , gde je
J =
(0 I−I 0
),
je involucija od a2n−1 koja fiksira skup su∗(2n). Kartanova dekompozicija od su∗(2n) je:
su∗(2n) = sp(n)⊕ p,
gde su
sp(n) =
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w ∈ su(n), z ∈ sηn(C)
}sηn(C) =
{z ∈ gln(C)
∣∣ z = zt}
p =
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w ∈ sηhn(C), Re(tr w) = 0, z = −zt
}sηhn(C) =
{w ∈ gln(C)
∣∣ w = wt}
2
Dokaz 10. Jasno je da su su∗(2n), sp(n), p sadrzane u a2n−1 = sl2n(C), pri cemu su prve dve podalgebre.(A BC D
)∈ sl2n(C) : ϕ
(A BC D
)= −
(0 I−I 0
)(A BC D
)(0 I−I 0
)=
(D −C−B A
)ϕ
(A BC D
)=
(A BC D
)⇔ A = D ∧ B = −C
⇒ su∗(2n) – fiksna tacka preslikavanja ϕ
su∗(2n)∩su(2n) =
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,w = −w∗, −z = −z∗
}=
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w ∈ su(n), z = zt ∈ gln(C)
}= sp(n)
su∗(2n)∩isu(2n) =
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,
w = iwt, −iz = −izt
}=
{(w z−z w
)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,w = −w∗, −z = −z∗
}= p
X ∈ su(2n) : (−ϕ(X))∗ = (JXJ)∗ = J tX∗J t = (−J)X∗(−J) = JX∗J = ϕ(−X∗) = ϕ(X)
⇒ ϕ(su(2n)) = su(2n)
⇒ su∗(2n) = sp(n)⊕ p – Kartanova dekompozicija uLema 11. Za svako p, q:
su(p, q) =
{(w zz∗ v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0, z ∈Mp×q(C)
}je realna forma od ap+q−1 = slp+q(C) i ψpq : ap+q−1 → ap+q−1 definisana sa ψ(X) = −IpqX
∗Ipq, gde je
Ipq =
(−Ip 00 Iq
),
je involucija od slp+q(C) koja fiksira skup su(p, q). Kartanova dekompozicija od su(p, q) je:
su(p, q) = s(u(p)⊕ u(q))⊕ s,
gde su
s(u(p)⊕ u(q)) =
{(w 00 v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0
}s =
{(0 zz∗ 0
)∣∣∣∣ z ∈Mp×q(C)
}Dokaz 11. Jasno je da su su(p, q), s(u(p)⊕ u(q)), s sadrzane u ap+q−1 = slp+q(C), pri cemu su prve dve podalgebre.(
A BC D
)∈ slp+q(C), A ∈ glp(C), D ∈ glq(C), B ∈Mp×q(C)
ψpq
(A BC D
)= −
(−Ip 00 Iq
)(A∗ B∗
C∗ D∗
)(−Ip 00 Iq
)=
(−A∗ C∗
B∗ −D∗
)ψ
(A BC D
)=
(A BC D
)⇔ A = −A∗ , D = −D∗, C = B∗
⇒ su(p, q) – fiksna tacka preslikavanja ψpq
su(p, q) ∩ su(p+ q) =
{(w zz∗ v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0z = −z∗, z ∈Mp×q(C)
}=
{(w 00 v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0
}= s(u(p)⊕ u(q))
su(p, q) ∩ i su(p+ q) =
{(w zz∗ v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0
−i wt = i w, −i vt = i v, z ∈Mp×q(C)
}=
{(w zz∗ v
)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0w∗ = w, v∗ = v, z ∈Mp×q(C)
}=
{(0 zz∗ 0
)∣∣∣∣ z ∈Mp×q(C)
}= s
X ∈ su(p+ q) : (−ψpq(X))∗ = (IpqXIpq)∗ = IpqX
∗Ipq = ψpq(−X∗)
⇒ su(p+ q) = ψpq(su(p+ q))
⇒ su(p+ q) = s(u(p)⊕ u(q))⊕ s – Kartanova dekompozicija uLema 12. Centar grupe SU(n) je
Z(SU(n)) = {ωI | ω ∈ C, |ω| = 1, ωn = 1} = Zn
Takodje, τ : SU(n) → SU(n) definisan sa τ(X) = X je spoljni automorfizam od SU(n), n > 2.
Dokaz 12. Prvo tvrdjenje je ocigledno, a drugo sledi iz cinjenice da restrikcija τ na Z(SU(n)) nije identiteta. u
3
Recommended