View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
สอการสอน เรอง
จดท าโดย
ผงมโนทศน
ผลการเรยนรทคาดหวง
ผลคณคารทเซยน ความสมพนธ
โดเมนและเรนจของความสมพนธ
กราฟของความสมพนธ ตวผกผนของความสมพนธ
ฟงกชน
การด าเนนการของฟงกชน ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนผกผน
เทคนคการเขยนกราฟ
--- --- ---
--- --- --- ---
● มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชน เขยนกราฟ ของฟงกชน และสรางฟงกชนจากโจทยปญหา ทก าหนดใหได
● น าความรเรองฟงกชนไปใชแกปญหาได
สงหนงทเปนพนฐานส าคญในเรองของความสมพนธคอ คอนดบ การเปนคอนดบกคอจะตองเปนคและมอนดบ ใน คณตศาสตรจะเขยนคอนดบในรป (a , b) โดยท a เปนสมาชก
ตวหนา และ b เปนสมาชกตวหลง ซง (a , b) (b , a) แต (a , b) = (b , a) เมอ a = b เทานน หรอ (a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d
บทนยาม ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A B
ดงนน A B = {(a , b)/a A และ b B}
วธท า
ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {0 , 1} , B = { 2 , 4 , 7} จงหา A B และ B A
A B = {(0 , 2), (0 , 4), (0 , 7), (1 , 2), (1 , 4), (1 , 7)} B A = {(2 , 0), (2 , 1), (4 , 0), (4 , 1), (7 , 0), (7 , 1)} จากตวอยางสงเกตเหนวา 1. A B B A 2. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)
ตวอยางท 2 ก าหนดให A = {0} , B = {– 3 , 5} จงหา A B , B A , A A , B B วธท า A B = {(0 , – 3), (0 , 5)} และ n(A B) = 1 2 = 2 B A = {(– 3 , 0), (5 , 0)} และ n(B A) = 2 1 = 2 A A = {(0 , 0)} และ n(A A) = 1 1 = 1 B B = {(– 3 , – 3 ), (– 3 , 5), (5 , – 3), (5 , 5)} และ n(B B) = 2 2 = 4
ตวอยางท 3 ก าหนดให A = {3} , B = {}
จะได A B = {(3 , )} B A = {( , 3)} A A = {(3 , 3)} B B = {( , )}
ตวอยางท 4 ก าหนดให A = , B = {1 , 4}
จะได A B = B A = A A =
B B = {(1 , 1), (1 , 4), (4 , 1), (4 , 4)}
จากทกลาวมาแลววา ผลคณคารทเซยนของเซต A กบเซต B คอเซตของคอนดบ (a , b) ทงหมดโดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B ถาแทนความสมพนธดวย r จะกลาวไดวา ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซต หรอ r A B และเรยก r A A วาความสมพนธใน A
บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A B ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {3 , 4} , B = {6 , 8 , 9} A B = {(3 , 6), (3 , 8), (3 , 9), (4 , 6), (4 , 8), (4 , 9)} ให r1 เปนความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B
r1 = {(3 , 6), (3 , 9), (4 , 8)}
ให r2 เปนความสมพนธ “เปนครงหนง” จาก A ไป B r2 = {(3 , 6), (4 , 8)}
ตวอยางท 2 ก าหนดให A = {2 , 4} , B = {2 , 4 , 6 , 8}
ให r1 เปนความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B r1 = {(2 , 2), (2 , 4), (2 , 6), (2 , 8), (4 , 4), (4 , 8)} ให r2 เปนความสมพนธ “เปนสองเทา” จาก A ไป A r2 = {(4 , 2)}
ให r3 เปนความสมพนธ “เปนครงหนง” จาก B ไป B r3 = {(2 , 4), (4 , 8)}
ตวอยางท 3 ก าหนดให A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
ให r1 = {(x , y) A A / x + y = 6} r1 = {(1 , 5), (2 , 4), (3 , 3), (4 , 2), (5 , 1)}
r2 = {(4 , 5), (5 , 5)}
r3 = {(1 , 2)}
ให r2 = {(x , y) A A / x > 3 และ y = 5}
ให r3 = {(x , y) A A / y = 2x2}
ถา r เปนความสมพนธ จะเขยนแทน (x , y) r ดวย x r y
บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมน (Domain) ของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของทก คอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr ซง Dr = {x / (x , y) r} เรนจ (Range) ของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของทก คอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr ซง Rr = {y / (x , y) r}
ตวอยางท 1 r = {(1 , 2), (2 , 3), (3 , 4), (4 , 5)} Dr = {1 , 2 , 3 , 4} Rr = {2 , 3 , 4 , 5}
ตวอยางท 2 r = {(x , y) A A / x < y}, A = {1 , 2 , 3} Dr = {1 , 2} Rr = {2 , 3}
ตวอยางท 3 A = {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3}
Dr = {-1 , 0 , 1} Rr = {0 , 1}
r = {(x , y) A A / y = x2} = {(-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1)}
ตวอยางท 4 r = {(x , y) A A / x + y = 8}
Dr = {2 , 3 , 4 , 5 , 6}
Rr = {2 , 3 , 4 , 5 , 6}
เมอ A = {x/x N , x < 6 } จงหา Dr และ Rr
r = {(2 , 6), (3 , 5), (4 , 4), (5 , 3), (6 , 2)} วธท า
การหาโดเมน 1. เขยนเงอนไขทใหอยในรป y ในเทอมของ x 2. พจารณาคา x ทท าให y หาคาไมได 3. โดเมนคอเซตของคา x ทงหมดทท าให y หาคาได
การหาเรนจ 1. เขยนเงอนไขทใหอยในรป x ในเทอมของ y 2. พจารณาคา y ทท าให x หาคาไมได 3. เรนจคอเซตของคา y ทงหมดทท าให x หาคาได
ตวอยางท 5 r = {(x , y) R R / y = x + 3} จงหา Dr และ Rr
จากโจทย 1. y = x + 3
3. Dr = {x / x R}
วธท า หา Dr
2. พจารณาคา x จะพบวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา y ไดเสมอ
จากโจทย 1. y = x + 3
4. Rr = {x / x R}
หา Rr
3. พจารณาคา y จะพบวา y เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา x ไดเสมอ
2. x = y – 3
ตวอยางท 6 r = {(x , y) R R / y = x2 + 1} จงหา Dr และ Rr
จากโจทย 1. y = x2 + 1
3. Dr = {x / x R}
วธท า หา Dr
2. พจารณาคา x จะพบวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา y ไดเสมอ
จากโจทย 1. y = x2 + 1 x2 = y – 1
4. Rr = {y / y > 1}
หา Rr
3. พจารณาคา y จาก 2. 1 yx
1 y คา y – 1 > 0 เสมอ
ตวอยางท 7
จากโจทย 1.
3. Dr ={x / x -2}
วธท า หา Dr
2. พจารณาคา x จะพบวา x + 2 0 x -2 เทานน จะหาคา y ไดเสมอ ไมวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ กตาม
จงหา Dr และ Rr
2),(
xx
yRRyxr
2xx
y
จากโจทย 1.
3. Rr ={y / y 1}
หา Rr
2xx
y
xyxy 2 yxxy 2
yyx 2)1( 1
2
y
yx
2. พจารณาคา y จะพบวา y – 1 0 y 1 เทานน จะหาคา x ไดเสมอ ไมวา y เปนจ านวนจรงใด ๆ กตาม
ตวอยางท 8
จงหา Dr และ Rr
}216/),{( xyyxr
จาก
นนคอ Dr = [-4 , 4]
วธท า หา Dr พจารณาคา x จะพบวา 16 – x2 > 0
216 xy
ดงนน x [-4 , 4]
เนองจาก
นนคอ Rr = [0 , 4]
หา Rr 0216 xyy มคานอยทสด เมอ x2 = 16 ซง y = 0 y มคามากทสด เมอ x2 = 0 ซง 416 y
บทนยาม R เปนเซตของจ านวนจรง และ r R R กราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดในระนาบ โดย ทจดแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r
ตวอยางท 1 A = {– 1, 0, 1} จงเขยนกราฟของ A A วธท า A A = {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}
X
Y
(0,0) (1,0) (-1,0)
(0,1)
(0,-1)
(1,1)
(1,-1)
(-1,1)
(-1,-1)
ตวอยางท 2 วธท า
X
Y
O
จงเขยนกราฟของ r }1/),{( xyyxr
x -2 -1 0 1 y = x + 1 -1 0 1 2
ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟของ วธท า
X
Y
O
}2/),{( xyyxr
x -2 -1 0 1 2 y = x2 4 1 0 1 4
ดงนน ถา r = {(x , y) / (x , y) r}
บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจาก การสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบท เปนสมาชกของ r เขยนแทนตวผกผนของความสมพนธ r ดวย r-1
แลว r-1 = {(y , x) / (x , y) r} จะเหนวา 1 rRrD และ 1 rDrR
ตวอยางท 1
จงหา
)}9,3(),8,2(),4,1{( r
วธท า
11 ,1
rRและrDr
)}3,9(),2,8(),1,4{(1 r
rRrD }9,8,4{1
rDrR }3,2,1{1
ตวอยางท 2 จงหา }2/),{( xyyxr
วธท า
11 ,1
rRและrDr
}2/),{(1 yxyxr}/{1 RxxrRrD }/{1 RxxrDrR
พรอมทงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกนมมฉากเดยวกน
หรอ }2/),{(1 xyyxrและ
X
Y
O r
y = x r-1
ตวอยางท 3 จงหา }3/),{( xyyxr
วธท า
11 ,1
rRและrDr
}0,3/),{(1 xyxyxr
}0/{1 xxrRrD
}3/{1 xxrDrR
พรอมทงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกนมมฉากเดยวกน
หรอ }0,32/),{(1 xyxyxr
และ
}0,32/),{(1 xxyyxr
ดงนน
เขยนกราฟของ r และ r-1 ไดดงน
X
Y
O
r
r-1
y = x
บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธในสองคอนดบใด ๆ ของ ความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลง ตองเทากน จากบทนยามกลาวไดวา ฟงกชน f คอ ความสมพนธ ซงส าหรบ x , y และ z ใด ๆ ถา (x,y) f และ (x,z) f แลว y = z ดงนน ถาม x , y และ z ซง (x,y) f และ (x,z) f แต y z จะไดวา f ไมเปนฟงกชน
ตวอยางท 1 จงพจารณาวาความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1. {(1 , a), (1 , b), (2 , a), (3 , c)} 2. {(1 , b), (5 , b), (10 , b)} 3. {(4 , 10), (8 , -10), (12 , 10), (8 , 10)}
วธท า ขอ 1 ไมเปนฟงกชน เพราะวา (1 , a), (1 , b) มสมาชก ตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงตางกน ขอ 2 เปนฟงกชน เพราะวาไมมสมาชกตวหนาซ ากน
ขอ 3 ไมเปนฟงกชน เพราะวา (8 , -10), (8 , 10) มสมาชก ตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงตางกน
ตวอยางท 2 จงพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชน
วธท า 1. ให (x , y), (x , z) f จะได y = x2 – 5 และ z = x2 – 5 ดงนน y = z เสมอ ดงนน f เปนฟงกชน 2. จาก x = y2 + 1 ให x = 5 จะได 5 = y2 +1
}52/),{( .1 xyyx}12/),{( .2 yxyx
}/),{( .3 xyyx
จะได y2 = 4 ดงนน y = –2 , 2 แสดงวา f ไมเปนฟงกชน 3. ให (x , y), (x , z) f จะได xzและxy
ดงนน y = z เสมอ ดงนน f เปนฟงกชน
การพจารณาวา ความสมพนธทเปนกราฟวาเปนฟงกชน หรอไม ใหลากเสนตรงขนานกบแกน Y ใหผานกราฟ ถา เสนตรงตดกราฟของความสมพนธทก าหนดใหไมเกน 1 จด จะสรปไดวาความสมพนธนนเปนฟงกชน แตถาเสนตรง ตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนจะไมเปนฟงกชน เชน
X
Y
O
จากรปขางตน จะไดวากราฟของความสมพนธนเปนฟงกชน
เสนขนานกบแกน Y ตด กราฟเพยงจดเดยว
ตวอยาง จงพจารณากราฟจากขอตอไปนเปนฟงกชนหรอไม
วธท า
}12/),{( .1 xyyxr}2/),{( .2 xyyxr
}/),{( .3 yxyxr
เขยนกราฟไดดงน }12/),{( .1 xyyxr
X
Y
O
ดงนน r เปนฟงกชน
}2/),{( .2 xyyxr
}/),{( .3 yxyxr
เขยนกราฟไดดงน
X
Y
O
ดงนน r ไมเปนฟงกชน เขยนกราฟไดดงน
X
Y
O ดงนน r ไมเปนฟงกชน
ตดกราฟมากกวา 1 จด
ตดกราฟมากกวา 1 จด
ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ
บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชน ทมโดเมน คอ A และมเรนจเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย f : A B เมอ Df = A และ Rf B
ในกรณทความสมพนธ r เปนฟงกชนจะเขยน y = f(x) แทน (x , y) f และเรยก f(x) วาเปนคาของฟงกชน f ท x อานวา เอฟของเอกซ หรอ เอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ
โดยทวไปเมอกลาววา f เปนฟงกชนจะหมายถงฟงกชนจาก สบเซตของ R ไป R
ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,8), (15,4), (20,4), (25,8)}
จะไดวา
g = {(2,10), (4,10), (6,15), (8,25)}
Df = {10, 15, 20, 25} = A และ Rf = {4, 8} B
ดงนน f : A B
และถา
จะไดวา Dg = {2, 4, 6, 8} = B และ Rg = {10, 15, 25} A
ดงนน g : B A
บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปน ฟงกชนทมโดเมน คอ A และมเรนจคอ B เขยนแทนดวย f : A B เมอ Df = A และ Rf = B ทวถง
ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)}
จะไดวา Df = {10, 15, 20, 25} = A และ Rf = {2, 4, 6, 8} B
ดงนน f : A B ทวถง
บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ทส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 เขยนแทนดวย f : A B 1 – 1
ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8, 10} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะไดวา
ดงนน f : A B
10152025
2 4 6 8 10
A B
1 – 1
บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ทส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 เขยนแทนดวย f : A B 1 – 1
ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะไดวา
ดงนน f : A B
10152025
2 4 6 8
A B
1 – 1
ทวถง
ทวถง
ตวอยาง จงตรวจสอบวา ฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปน ฟงกชนหนงตอหนงหรอไม
วธท า
1. f(x) = mx + b เมอ m 0 2. f(x) = x2 + 2x + 1 1. จาก f(x) = mx + b เมอ m 0 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ สมมต f(x1) = f(x2)
จะได mx1 + b = mx2 + b mx1 = mx2 เนองจาก m 0
ดงนน x1 = x2 นนคอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง
2. f(x) = x2 + 2x + 1 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ สมมต f(x1) = f(x2) จะได (x1)2
+ 2x1 +1 = (x2)2 + 2x2 +1
จะเหนวา มกรณท x1 x2 แต f(x1) = f(x2)
นนคอ f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง
(x1)2 - (x2)2 + 2x1 - 2x2 = 0
(x1 - x2)(x1 + x2 + 2) = 0 นนคอ x1 = x2 หรอ x2 = - x1 - 2
เชน x1 = -2 จะได x2 = - (-2) – 2 = 0 ซง f(x1) = f(x2)
จากการตรวจสอบฟงกชนในตวอยางขางตน ฟงกชน f(x) = mx + b เมอ m 0 เปนฟงกชนหนงตอหนง และ ฟงกชน f(x) = x2 + 2x + 1 ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เมอพจารณากราฟของฟงกชนทงสอง จะพบวา
ถาลากเสนตรงขนานกบแกน X ตดกราฟ แลวตดกราฟ เพยงจดเดยว จะสรปวากราฟนนเปนฟงกชนหนงตอหนง แตถาตดกราฟมากกวาหนงจดกราฟนนจะไมเปนฟงกชน หนงตอหนง
เนองจาก f(x1) = f(x2) แต x1 x2
จาก f(x) = mx + b เมอ m 0 เขยนกราฟไดดงน
X
Y
O
y = mx + b
จะเหนวาเสนตรงทขนานกบแกน X ตดกราฟเพยงจดเดยว ดงนนกราฟนเปนฟงกชนหนงตอหนง
จาก f(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 เขยนกราฟไดดงน
X
Y
O
จะเหนวาเสนตรงทขนานกบแกน X ตดกราฟมากกวาหนงจด ดงนนกราฟนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง
ฟงกชนแบงออกเปน 2 ชนด คอ ฟงกชนพชคณต (Algebraic function) และฟงกชนอดสย (Trancendental function)
ฟงกชนพชคณต คอ ฟงกชนทมนพจนประกอบดวยคาคงท ตวแปร และเครองหมายบวก ลบ คณ หาร ยกก าลง หรอราก
1. ฟงกชนเชงเสน (Linear function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a , b R เชน f(x) = 3x – 5 , f(x) = 2 – 4x
2. ฟงกชนคงตว (Constant function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = b เมอ b R เชน f(x) = 3 , f(x) = 2
3. ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute value function) คอ ฟงกชน ทมเครองหมายคาสมบรณ เชน f(x) = /3x – 5/ , f(x) = – /x/ + 4 4. ฟงกชนขนบนได (Step function) คอ ฟงกชนทมคาคงตว เปนชวง ๆ กราฟของฟงกชนนมรปคลายขนบนได
เชน
15 8
153 5
3 0
)(
xเมอ
xเมอ
xเมอ
xf
5. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic function) คอ ฟงกชนทอยใน รป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a,b,c R และ a 0 เชน f(x) = 2x2 , f(x) = x2 + 3 , f(x) = 2 – 5x – x2
6. ฟงกชนพหนาม (Polynomial function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = anxn+an-1xn-1+ ... +a2x2+a1x+a0 โดยท an,an-1,...,a2,a1,a0 R
เชน f(x) = x3 + x2 – 2x +1 , f(x) = x4 – 2x2 + x – 1
7. ฟงกชนทเปนคาบ (Periodic function) คอ f เปนฟงกชนทเปน คาบกตอเมอมจ านวนจรง p ซง f(x + p) = f(x) ส าหรบทกคาของ x และ x + p ทอยในโดเมนของ f
เชน
21 ; 1
10 ; 1)( xx
xxxf
ฟงกชนอดสย คอ ฟงกชนใด ๆ ทไมใชฟงกชนพชคณต 1. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential function) คอ ฟงกชน ทอยในรป f(x) = ax เมอ a > 0 และ a 1 เชน f(x) = 2x , f(x) = 32x 2. ฟงกชนลอการทม (Logarithm function) คอ ฟงกชนทอยใน รป f(x) = logax เมอ a > 0 และ a 1 เชน f(x) = log2x , f(x) = log35x 3. ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric function) คอ ฟงกชนทอย ในรปตรโกณมต เชน f(x) = sin x , f(x) = 2cos 3x 4. ฟงกชนตรโกณมตผกผน เชน f(x) = arctan x , f(x) = arcsin x 5. Hyperbolic function
ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ เซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน 1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2) 2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)
X
Y
O X
Y
O x1 x1 x2 x2 f(x1)
f(x1) f(x2) f(x2)
ฟงกชนเพม
ฟงกชนลด
ตวอยาง จงพจารณาวา ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอ ฟงกชนลดบนเซต R
วธท า
1. f(x) = 3x + 2 2. g(x) = –x3 +1 1. จาก f(x) = 3x + 2 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2 จะได 3x1 < 3x2
ดงนน f(x1) < f(x2) นนคอ f เปนฟงกชนเพม
3x1 + 2 < 3x2 + 2
2. จาก g(x) = –x3 +1
ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2
จะได (x1)3 < (x2)3
นนคอ g เปนฟงกชนลด
-(x1)3 > -(x2)3 -(x1)3 +1 > -(x2)3 +1
ดงนน g(x1) > g(x2)
บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซต ของ R ผลบวก (sum) ผลตาง (difference) ผลคณ (product) และ ผลหาร (quotient) ของ f และ g เขยนแทนดวย f + g, f – g, fg และ ตามล าดบ เปนฟงกชนทก าหนดคาโดย
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) gf
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) 3. (fg)(x) = f(x)g(x)
4. )()(
)(xgxf
xgf
เมอ g(x) 0
ซง Df + g= Df – g= Dfg= Df Dg และ }0)(/{)( xgxgDfD
gfD
ตวอยางท 1 ก าหนดให f = {(2,5),(4,10),(6,12),(8,20)} และ g = {(2,1),(4,2),(5,3),(6,4)} จงหา f + g,f – g,fg,
วธท า ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df/g = Df Dg = {2, 4, 6}
จากโจทย Df = {2, 4, 6, 8} และ Dg = {2, 4, 5, 6} gf
นนคอ f + g = {(2,6),(4,12),(6,16)} f - g = {(2,4),(4,8),(6,8)} fg = {(2,5),(4,20),(6,48)}
)}3,6(),5,4(),5,2{(gf
ตวอยางท 2 ก าหนดให f(x) = x + 2 , g(x) = x2 จงหา f + g , f – g , fg ,
วธท า gf
จากโจทย Df = Dg = R ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = R
f + g = {(x , y)/ y = x + 2 + x2} f - g = {(x , y)/ y = x + 2 - x2} fg = {(x , y)/ y = (x + 2)x2}
0,22
/),( xx
xyyx
gf
และ Df/g = (Df Dg) – {x/g(x) = 0} = R – {0}
ตวอยางท 3 ก าหนดให f(x) = 2x + 1 , g(x) = x2 – 1 จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) , วธท า
)(xgf
จากโจทย Df = Dg = R
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 2x (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (2x + 1) – (x2 – 1) = –x2 + 2x + 2 (fg)(x) = f(x)g(x) = (2x + 1)(x2 – 1) = 2x3 + x2 – 2x – 1
012,1212
)()(
)(
x
x
xxgxf
xgf
ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = R และ Df/g = (Df Dg) – {x/g(x) = 0} = R – {–1 , 1}
ตวอยางท 4 ก าหนดให f(x) = x3 + 1 , จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) , วธท า
)(xgf
จากโจทย Df = R และ Dg = [0 , )
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (fg)(x) = f(x)g(x) =
xx
xgxf
xgf 13
)()(
)(
ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = [0 , ) และ Df/g = [0 , ) – {0} = (0 , )
xxg )(
xx 13
xx 13
xx )13(
ตวอยางท 5 จากตวอยางท 4 จงหา (f + g)(1) , (f – g)(-2) , (fg)(2) , วธท า
)4(
gf
จาก (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
จาก (f – g)(x) = f(x) – g(x) =
จาก (fg)(x) = f(x)g(x) =
xx
xgxf
xgf
จาก13
)()(
)(
xx 13
xx 13
xx )13(
จะได (f + g)(1) = f(1) + g(1) = (13 + 1) +1 = 3
จะได (f - g)(-2) หาคาไมได เนองจาก -2 [0 , )
จะได (fg)(2) = f(2)g(2) = 292)132(
265
4134
)4()4(
)4(
gf
gf
จะได
ให f และ g เปนฟงกชน ดงแผนภาพ A B C
1
2
3
a
b
c
p
q
r
f g
จากแผนภาพจะได f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, g(a)=p, g(b)=p, g(c)=q
ดงนน g(f(1)) = p, g(f(2)) = q, g(f(3)) = p
จะเหนวาฟงกชนทสรางขนใหมเปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต C เขยนแทนฟงกชนนวา gof (อานวา จโอเอฟ) และเรยกวาฟงกชนประกอบของ f และ g
จาก (gof)(1)=g(f(1))=p, (gof)(2)=g(f(2))=q, (gof)(3)=g(f(3))=p A B C
f g x y=f(x) z=g(y)=g(f(x))
gof
บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf Dg
ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชน ทมโดเมนคอ Dgof = {x Df / f(x) Dg} และก าหนดคาโดย gof (x) = g(f(x)) ส าหรบทก x ใน Dgof
ตวอยางท 1 ให f = {(1,3),(2,4),(3,5)} และ g = {(3,2),(4,3),(5,5)} จงหา gof และ fog
วธท า จะหา gof ตองหา Rf Dg = {3,4,5} {3,4,5}
ดงนนมฟงกชน gof ซง gof = {(1,2),(2,3),(3,5)}
จะหา fog ตองหา Rg Df = {2,3,5} {1,2,3}
ดงนนมฟงกชน fog ซง fog = {(3,4),(4,5)}
ขอสงเกต fog gof
ตวอยางท 2 ให g(x) = 2x – 3 และ h(x) = x + 1
วธท า
จงหา h(g(2)) และ g(h(2))
จากโจทยจะได Dg = R , Rg = R และ Dh = R , Rh = R
ดงนน Rg Dh และ Rh Dg
นนคอ h(g(2)) =
g(h(2)) =
h(4 – 3) = h(1) =
g(2 + 1) = g(3) =
1 + 1 = 2
6 – 3 = 3
ตวอยางท 3 ให f(x) = –2x และ g(x) = x2
วธท า จากโจทยจะได Df = R , Rf = R และ Dg = R , Rg = [0 , )
ดงนน Rf Dg และ Rg Df
นนคอ g(f(x)) =
f(g(x)) =
g(–2x) = (–2x)2 =
f(x2) = –2x2
4x2
จงหา g(f(x)) และ f(g(x)) พรอมทงหาโดเมนและเรนจ
Dgof = R และ Rgof = [0 , )
Dfog = R และ Rfog = (– , 0]
ตวอยางท 4 ให f(x) = x + 1 และ
วธท า จากโจทยจะได Df = R , Rf = R และ Dg = [0 , ) , Rg = [0 , )
ดงนน Rf Dg และ Rg Df
นนคอ g(f(x)) =
f(g(x)) =
g(x + 1) =
จงหา g(f(x)) และ f(g(x)) พรอมทงหาโดเมนและเรนจ
Dgof = [–1 , ) และ Rgof = [0 , )
Dfog = [0 , ) และ Rfog = [1 , )
xxg )(
1x
)( xf 1x
ตวอยางท 5 ให g(x) = 2x + 1 และ h(x) = 4x2 + 4x + 7
วธท า จากโจทย f(g(x)) = h(x)
f(2x + 1) = 4x2 + 4x + 7
= 4x2 + 4x + 1 + 6
จงหา f(x) ซง f(g(x)) = h(x)
= (2x + 1)2 + 6 f(x) = x2 + 6
ตวอยางท 6 ให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x + 2
วธท า จากโจทย f(x) = 3x + 5
(1) = (2) 3g(x) = 3x2 + 3x – 3
จงหา g(x) ซง f(g(x)) = h(x)
(1)
g(x) = x2 + x – 1
และ f(g(x)) = h(x) จะได f(g(x)) = 3g(x) + 5
(2) จะได 3g(x) + 5 = 3x2 + 3x + 2
ทฤษฎบท ให f เปนฟงกชน f มฟงกชนผกผน กตอเมอ f เปนฟงกชน 1 – 1
นนคอ f -1 เปนฟงกชน ตวอยางท 1 ให f = {(x , y) / y = 2x + 1} จงหา f -1 วธท า จาก f = {(x , y) / y = 2x + 1} ดงนน f -1 = {(y , x) / y = 2x + 1} หรอ f -1 = {(x , y) / x = 2y + 1}
หรอ
21
/),(1 xyyxf
ตวอยางท 2 ให f(x) = x3 จงหา f -1(x) วธท า จาก f(x) = x3 ดงนน x = y3
จะได y = x3 นนคอ 3 xy
3)(1 xxf
ตวอยางท 3 ให f(x) = x2 จงหา f -1(x) วธท า จาก f(x) = x2 ดงนน x = y2
จะได y = x2 นนคอ xy
xxf )(1 ซงไมเปนฟงกชน การหากราฟของฟงกชนผกผนใชวธเดยวกบการหาความสมพนธผกผน
X
Y
O
–1
0
1
y = x2
y = x2 + 1
y = x2 – 2
การเลอนกราฟในแนวตง
1. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟขนขางบน c หนวย
จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x) + c เมอ c > 0
2. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟลงขางลาง c หนวย
จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x) – c เมอ c > 0
การเลอนกราฟในแนวตง จะท าใหสมการของกราฟ เกดการเปลยนแปลง ดงน
X
Y
O –1 0 1
y = x2 y = (x + 1)2 y = (x – 1)2
การเลอนกราฟในแนวนอน
1. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟไปทางขวา c หนวย
จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x – c ) เมอ c > 0
2. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟไปทางซาย c หนวย
จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x + c) เมอ c > 0
การเลอนกราฟในแนวนอน จะท าใหสมการของกราฟ เกดการเปลยนแปลง ดงน
ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟตอไปน 1. y = /x/ + 3 2. y = /x/ – 2
วธท า พจารณากราฟของ y = /x/
X
Y
O
y = /x/
y = /x/ + 3
y = /x/ – 2
ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟตอไปน 1. y = /x + 1/ 2. y = /x – 2/ 3. y = /x – 3/ + 1
วธท า พจารณากราฟของ y = /x/
X
Y
O
y = /x/ y = /x + 1/ y = /x – 2/ y = /x – 3/ + 1
y = /x – 3/
Recommended