Adição de pólos e zeros ao LGR O Contorno das raízes O LGR de um sistema de segunda ordem...

• Adição de pólos e zeros ao LGR • O Contorno das raízes• O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão de amortização• Projecto de Controladores pelo metodo do LGR

Aula Teorica 8

LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES

Efeitos de adicionar pólos e zeros ao GH

Em aulas posteriores aprenderemos a desenhar controladores usando o LGR e esse é um problema de modificar o lugar com adição de pólos e zeros por isso na aula de hoje veremos estes efeitos

A adição de pólos

(Explicaremos através de um exemplo)

Considere a função

0 )(

)(

aaSS

KsGH

LGR

Se agora introduzir um polo aondebs ab

))(()(

bSaSSKsGH

Mudanças que se produzem:

O ângulo das assíntotas troca de até o90 o60

A intercessão das assíntotas se move desde até sobre o eixo real2a

2

)( ba

Observe que

O sistema antes era estável para qualquer valor de K

Agora há um valor crítico de K que pode fazê-lo instável

Se agora introduzir um polo aondecs bc

))()((

)(cSbSaSS

KsGH

O ângulo das assíntotas troca até o45

Concluindo

A adição de pólos ao GH(s) tem o efeito de mover a porção dominante do LGR para a direita

A adição de zeros

(Explicaremos através de um exemplo)

Se sobre o mesmo sistema anterior colocamos agora um zero em bs ab

)()()(aSSbSKsGH

As partes conjugadas do LGR se movem para as esquerda e formam um círculo

Se se colocarem um par de ceros complexos

Muito útil para desenhar PID

Concluindo

A adição de zeros ao GH(s) tem o efeito de mover a porção dominante do LGR para a esquerda

variante 1 2 3 4 5 6

b 10 8 6 4 2 1

)()1()( 2 bSS

SKsGH

12 3 4 5 6

efeito de mover um pólo

variante 1 2 3 4 * *

a 5 2 0.5 0.2 * *

)1()()( 2

SSaSKsGH

1234

efeito de mover um zero

Contorno das raízes

Até agora so vimos o LGR variando um parâmetro somente

No desenho de controladores muitas vezes terá que se analisar a variaçãode mais de um parâmetro

Isso se chama Contorno das Raízes

Suponha uma equação característica P e Q são polinômios

K1 e K2 são parâmetros variáveis entre zero e infinito

Primeiro faz um dos dois parâmetros zero K2=0

O procedimento é

Dividindo tudo por P

Logo traça o LGR variando K1(0→α) e estabelece dentro do lugar o valor que deseja que tenha K1

Depois restaura o valor de K2 enquanto considera que K1 está fixo traça o LGR variando K2 (0→α)

(Explicaremos através de um exemplo)

Considere que a equação característica de um sistema é:

Considere primeiro que K2 é zero e ficará

onde K1 e K2 são os parâmetros variáveis

Suponha que escolhe um valor de K1

A equação é agora

K1 é o valor que escolhemos (é um número)

A seguir mostraremos o LGR e o CR com várias seleções de K1

1 2 311

3

22)(

KSKSSKsGH

25.01 K 11 K 31 K

1

2

3

12

3

Assim o pode ver mais claro se o obtiver no MATLAB

Um sistema de segunda ordem típica como este tem dois parâmetros que podem variar

Wn

Analisemos a variação das raízes quando varia

0)2(

12

WnSS

Wn

Arrumando para ter a forma 0)()(1 SPsQ

O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão de amortização

021

02

0)2(

0)2(

)2(

0)2(

1

22

22

2

2

2

WnSWnS

WnWnSS

WnWnSS

WnSSWnWnSS

WnSSWn

Esta é a equação com que faremos o LGR com

variando entre zero e infinito

021 22

WnS

WnS

zero 0S

polosjWnS jWnS

LGR sobre o eixo real

Número de ramos

Numero de assíntotas

2

P-Z=1 em 180o

Ponto de chegada ao eixo real

04

22

4224

42)()2(2

2

12

021

22

32

22

322

22

22

22

22

22

SWnWnWnSSWn

WnWnSWnSSWn

WnWnSSWnSdSd

WnSWnS

WnSWnS

WnSWnS

WnSWnSWnSWn

WnWnS

23

32

22

022

LGR com variando entre zero e infinito

Quanto vale aqui?

Substituindo o valor de S na equação de

12

22

WnSWnS

WnS

Uma raiz complexa qualquer se pode representar assim sobre o lugar

21 jWnWnP

1cos

Este conteúdo é útil no desenho de controladores que posteriormente veremos

Concluindo

Nunca faremos estes traços à mãos, aprenderemos a fazê-lo noMATLAB

Intervalo

Recordar que

Suponha

graficamente

Quando desejamos modificar o desempenho transitivo do sistema, as raízes da equação

característica devem trocar portanto terá que modificar o LGR para que passe pelo ponto

indicado conforme sejam as especificações

Quando desejamos modificar o desempenho em estado estável, so utilizaremos o ganho do

controlador sem variar muito o LGR

Observações importantes

Só coloca um zero no LGR

Projetar um PD é colocar adequadamente um zero

Estabelecimento

≥2.17

2.40z

1)29.54tan(

1.95z

)29.54tan(1

95.1

29.541

95.1tan

180)71.125(1

95.1 tan

1808025.2

9.3tan1

95.1 tan

180)95.11(95.11

180)()(2

180)(

1-

1-

1-1-

2

95.11

295.11

95.112

95.11

z

z

z

z

jzj

szss

zsK

sGH

jjj

oj

Aplicando a condição de fase

)41.2( sKcGcQue valor tomará Kc?

Aplicando a condição de magnitude

1

19.38025.2

95.140.12

1)95.11(

40.295.112

12

1)(2

22

22

2

2

2

95.11

95.11

95.11

Kc

Kc

jjKc

s

zsKc

szsKc

j

j

j

)41.2( sGc

Agora

Como fazer isto com o Matlab?

G=tf(2,[1 0 0])

pd=-1+1.95*j

angcero=pi+angle(pd^2)

zero=imag(pd)/tan(angcero)-real(pd)

G1=tf(2*[1 zero],[1 0 0])

rlocus(G1)

para achar o zero

para achar Kd

)41.2( sGc

)(KdKpsKdGc

41.21*41.2

2.41

KpKpKdKp

Verificando se se satisfazem os requisitos

Não satisfaz

Kd=1

Lc=feedback(Kd*G1,1)

step(Lc)

Aumentando Kc a um valor ligeiramente maior que 2.5 se obtêm os requisitos

3Kc

Coloca um pólo na origem

e um zero em

KpKiS

Sobre a origem não temos alternativas portanto o projeto se apóia em se localizar o zero

Para que o estado transitório não se afete muito os pólos de laço fechado dominantes devem

manter-se

Tenha em conta que:

Quais são?

222

)2(21

)2(2

)()(

2

SS

SS

SSsRsCDevido a que

jP 12,1DEVEM

MANTER-SE

Este é o LGR do sistema antes de pôr o PI

)2()(2)( 2

SSzSKcsGHAgora

O pólo do sistema está em - 2 portanto uma primeira aproximação pode ser colocar o zero do

controlador em -0.2

)2()2.0(2)( 2

SSSKcsGH

LGR antes

LGR agora

Não passa por -1+j portanto se o

deixarmos assim o

comportamento transitório pode

variar com respeito ao anterior

Uma segunda aproximação pode ser colocar o zero do controlador em -0.1

)2()1.0(2)( 2

SSSKcsGHAgora

LGR antes LGR agora

Não se consegue acontecer exatamente por -1+j mas pode aceitar-se essa aproximação -

0.95+0.95jou continuar afastando

o zero

SSsGc )1.0()(

Ess=0

Resposta a entrada rampa

Resposta a entrada rampa

agora

antes

resposta ao degrau unitário

antes

agora

Se o mas importante era

o zero erro em regime

esta variação não é importante

Coloca um pólo na origem e dois zeros

Não é a única

)1()()( 2

2

SS

asKcsGH

8.0

180)1()(

180)(

312

2

31

z

sszsK

sGH

j

oj

37.2

1)1()(

1)(

312

2

31

Kc

sszsK

sGH

js

js

ssssGc )8.0)(8.0(37.2)(

Em próxima atividade continuaremos com este tema mas em aula prática.

Tragam os vossos computadores com MATLAB instalado