View
23
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ALGEBRACLASA XII -a
Pag. 1 din 12
Polinoame
Fie polinoamele:
f(x) = anxn + an-1xn-1 +..... + a2x2 + a1x + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 +..... + b2x2 + b1x + b0
Gradul unui polinom – este dat de puterea cea mai mare a necunoscutei x.
Polinomul f(x) = a0 - se numeste polinom constant
Polinomul f(x) = 0 – se numeste polinom nul
an + an-1 +..... + a2 + a1 + a0 - se numesc coeficienti polinomului
akxk – se numesc termenii polinomului
Operatii cu polinoame
a. Egalitatea a 2 polinoame
f(x) = g(x) => an = bn
an-1 = bn-1
::a0 = b0
b. Polinomul nul
f(x) = 0 daca an = 0 an-1 = 0 : : a0 = 0
c. Adunarea polinoamelor
f(x) + g(x) = (an + bn)xn + (an-1 + bn-1)xn – 1 + …............+ a0 + b0
d. Inmultirea polinoamelor
f(x) · g(x) = a0 · b0 + ( a1 b0 + a0 b1)x + ( a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2 + …................
e. Inmultirea cu scalari a polinoamelor (k ЄR)
k·f(x) = kan xn + k an-1xn – 1 + …...................+ka1 x + ka0
Proprietatile adunarii polinoamelor
1. Comutativitatea
f + g = g + f
Pag. 2 din 12
2. Asociativitatea
(f + g) + h = f + (g + h)
3. Element neutru
f + 0 + 0 + f = f
4. Elementul opus
f + (-f) = -f + f = 0
Proprietatile inmultirii polinoamelor
1. Comutativitate
f · g = g · f
2. Asociativitate
( f · g)h = f(g· h)
3. Element neutru la inmultire
f · 1= 1 · f = f
4. Distributivitatea inmultirii fata de adunare
f·(g + h) = f · g + f · h
Proprietatile gradului unui polinom
a. grad (f + g) ≤ max (grad f, grad g)
b. grad (f · g) = grad f + grad g
Valoarea unui polinom
Valoarea polinomului f in x = α este:
f(x) = anαn + an-1 αn-1 + …...+ a2α2 + a1α + a0
Radacina unui polinom
x = α este radacina a polinomului f daca: f(α) = 0
Teorema impartirii cu rest
f : g = C si restul r
unde: f = deimpartitorul g = impartitorul c = catul r = restul
Pag. 3 din 12
Teorema impartirii cu rest
f = g · c + r
Daca r = 0 spunem ca g devide f
f = g · c
Exemplu:
3x3 + 2x2 - x + 5 | x2 – x …................................................ -3x3 + 3x2 | 3x + 5 = c
…......................... .|/ 5x2 - x + 5 |….......................... -5x2 +5 x ….......................... / 4x + 5 = r
Teorema impartirii cu rest
3x3 + 2x2 - x + 5 = (x2 - x)(3x + 5) + 4x + 5
Exemplu:Impartirea polinoamelor in Z6
Stiind ca: (din tabla impartirii in Z6
| ….........................................................
|
|
| …................................
Teorema lui Bezaut
Daca a este radacina a unui polinom atunci polinomul se devide cu x – a
Teorema restului
Restul impartirii unui polinom cu (x – a) este egal cu f(a)
Radacini multiple a unui polinom
Daca “a” este radacina multipla de ordin “p” pentru polinomul f atunci polinomul “f” se divide cu (x – a)p
Deci: daca “a” este radacina de ordin p = 1 (radacina simpla) atunci f se divide la (x – a); daca “a” este radacina de ordin p = 2 (radacina dubla) atunci f se divide la (x – a)2.
Pag. 4 din 12
Teorema
Daca a este radacina multipla de ordin “p” atunci:
f(a) = f'(a) = ….= f(p-1)(a) = 0 si f(p)(a) ≠ 0.
Deci:
daca f este radacina de ordin p = 1 (radacina simpla) atunci f(a) = 0 si f'(a) ≠ 0. daca f este radacina de ordin p = 2 (radacina dubla) atunci f(a) = f'(a) = 0 si f”(a) ≠ 0.
Descompunerea unui polinom in factori
Fie f(x) = anxn + an-1xn -1 + ...+ a1x + a0 care are radacinile x1, x2 ….. xn atunci
f(x) = an(x - x1)(x – x1) ….(x – xn)
Cel mai mare divizor comun a polinoamelor f si g (notat (f,g)
a. - Se descompun polinoamele f si g in produse de factori primi; - c.m.m.d.c. Este produsul factorilor primi, comuni, luati o singura data, la puterea
cea mai mica;
b. Se aplica algoritmul lui EuclidEtape:
se imparte f : g = c1 si restul r1
se imparte g : r1 = c2 si restul r2
se imparte r1 : r2 = c3 si restul = 0atunci c.m.m.d.c. = r2 (ultimul rest ≠ 0)
Exemplu: Sa se afle c.m.m.d.c. Pentru polinoamele:f(x) = x4 + x3 + 7x2 - x+ 6g(x) = x3 - x2 – 4x + 4
x4 + x3 + 7x2 - x+ 6 │x3 - x2 – 4x + 4….......................................................
-x4 + x3 + 4x2 – 4x │x + 2 …...........................
/ 2x3 - 3x2 - 5x+ 6│ - 2x3 + 2x2 +8x -8|…...........................│ - x2 + 3x – 2
x3 - x2 – 4x + 4 │-x2 + 3x – 2…..............................................
-x3 + 3x2 – 2x │-x - 2….....................│/ 2x2 – 6x + 4│ -2x2 +6x - 4….................... / / /
c.m.m.d.c. = x2 – 3x -2 (ultimul rest ≠ 0)
Polinoamele f si g sunt prime intre ele daca c.m.m.d.c.(f,g) =1
Pag. 5 din 12
Radacinile comune ale polinoamelor f si g sunt radacinile celui mai mare divizor comun al polinoamelor f si g.
Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f si g (notat [f,g])
a. - se descompun polinoamele f si g in produse de factori primi; - c.m.m.m.c. Este produsul factorilor primi comuni si necomuni, luati o singura data la
puterea cea mai mare.
b. [f,g] =
Radacinile complexe a unui polinom
Daca un polinom are o radacina complexa x1 = a + bi atunci are radacina si conjugata lui x1 adica x2= a - bi
Daca functia are radacinile complexe x1 = a + bi si x2= a - bi atunci functia de divide cu (x - x1)((x – x2) = (x – (a – bi)(x – (a + bi) = (x – a + bi)(x – a – bi) =(x – a)2 -(bi)2 = x2 – 2ax + a2 + b2
Orice polinom cu coeficienti reali, de grad impar, are cel putin o radacina reala.
Radacinile irationale a unui polinom
Daca un polinom f are radacini el va avea o radacina si pe conjugata lui x1
Daca un polinom are radacinile si el se divide cu
(x - x1)·(x – x2) = = (x – a)2 - = x2 -2ax + a2 – b
Radacinile rationale si intregi ale unui polinomFie f(x) = anxn +an-1xn-1 +...............+.a1x +a0
Radacinile intregi ale polinomului f se gasesc printre divizorii termenului liber “a0”.
Radacinile rationale ale polinomului f sunt de forma unde: p este divizorul termenului liber a0
q este divizorul coeficientului puterii celei mai mari “an”.
Schema lui HORNER
Fie polinomul f(x) = 12x4 - 16x3 + x2 + 4x -1Radacinile intregi se gasesc printre D-1 = {±1}
x4 x3 x2 x1 x0 Observatii
…...................................................................................................... 12 -16 1 4 -1…...................................................................................................... -1 12 -28 29 -25 24 x1=-1 nu este radacina …...................................................................................................... 1 12 -4 -3 1 0 x = 1 este radacina a polinomului f
Catul impartirii lui f la x – x1= x + 1 este 12x3 - 4x2 - 3x + 1
Pag. 6 din 12
Relatiile lui Viete
a. Polinom de grad IIf(x) = ax2 + bx + c
S = x1 + x2 = -
P = x1 · x2 =
Polinomul care are S si P are forma:
x2 -Sx + P = 0
b. Polinom de grad III
f(x) = ax3 + bx2 - cx + d
S1 = x1 + x2 + x3 = -
S2 = x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =
S3 = x1 - x2 - x3 = -
Polinomul care are S1, S2, si S3 are forma:
x3 -S1x2 + S2x - S3 = 0
c. Polinom de grad IV
f(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx + e
S1 = x1 + x2 + x3 + x4 = -
S2 = x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3+ x2 · x4 + x3 · x4=
S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 +x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = -
Pag. 7 din 12
S4 = x1 x2 x3 x4 =
Polinomul care are S1, S2, S3 si S4 are forma:
x4 -S1x3 + S2x2 - S3 x + S4= 0
Ecuatii algebrice de grad superior
1. Ecuatii binominala
xn – a = 0
xn = a se scrie a sub forma trigonometrica
a = r (cos α + i· sin α)
xk = unde k = 0,1,2,...,n-1
2. Ecuatii bipatrate
a) ax4 +bx2 +c = 0
Notez x2 = t, t > 0
at2 + bt + c = 0 → t1 si t2
Daca
t1 > 0 →x2 = t1→ x1,2 =
t2 > 0 →x2 = t2→ x3,4 =
b) ax6 +bx3 +c = 0
Notez: x3 = t, t Є R
3. Ecuatii reciproce
O ecuatie este reciproca daca coeficientii termenilor externi si ai celor egal departati de extremi sunt egali.
a. Ecuatie reciproca de grad 3
ax3 + bx2 +bx + a = 0
Rezolvare: orice ecuatie reciproca de grad impar are ca radacina x = - 1 se imparte polinomul cu x + 1 si se obtine o ecuatie de gradul II care se rezolva.
Pag. 8 din 12
b. Ecuatia reciproca de grad 4
ax4 +bx3 +cx2 +bx + a = 0/: x2
Notez:
Obtinem:a(t2 – 2) + bt + c = 0 – o ecuatie de grad II care se rezolva.
c. Ecuatie reciproca de grad 5
ax5 +bx4 +cx3 +cx2 + bx + a = 0
Orice ecuatie reciproca de grad impar are ca radacina x = -1Se imparte polinomul cu x + 1 si se obtine o ecuatie reciproca de grad 4 care se rezolva.
GRUPURI
Parte stabila
Fie (M1*) structura algebrica formata din multime nevida si *alege de compozitie.
HCM
Daca x,y Є H => x*y Є N atunci N este parte stabila a lui M in raport cu operatia *
Proprietatile legilor de compozitie
1.Asociativitatea
x,y,z Є M
(x*y) + z = x * (y + z)
2. Comutativitatea
x,y Є M
x * y = y * x
3. Element neutru
x Є M, e Є M astfel incat
Pag. 9 din 12
x * e = e * x = x
4. Element simetric
x Є M, X' Є Mastfel incat
x * x' = x' * x = e
Monoidul
Cuplul (M, *) este monoid daca legea * satisface urmatoarele conditii:
M1) Legea * este asociativaM2) Legea * are element neutru
Daca legea * admite si conditia :
M3) Legea * este comutativa cuplul (M, *) se numeste monoid comutativ
Grupul
Cuplul (G1 * ) se numeste grup daca indeplineste urmatoarele conditii:
G1) Legea * este asociativa
G2) Legea * are element neutru
G3) Legea * are element simetricDaca legea * indeplineste si conditia
G4) Legea * este comutativa atunci grupul se numeste grup comutativ (abelian)
Morfism si izomorfist de grupuri
Fie (G, * ) si (G',0) doua grupuri
O functie f: G → G' se numeste monfism (sau omomorfism) de grupuri daca are loc relatia:f(x*y) = f(x) o f(y) x, y Є G
Daca f:(G, ·) → (G', ·) este un morfism de grupuri si daca e si e' sunt elemente neutre a lui G si G' atunci:
1. f(e) = e'2. f(x-1) = (f(x))-1
3. f(xn) = (f(x))n
Fie (G, * ) si (G',o) doua grupuriO aplicatie f: G → G' se numeste izomorfism de grupuri daca:
1. f este un morfism de grupuri2. f este bijectiva
Inele si corpuri
Distributivitatea
Fie ,,*'' si ,,o'' doua operatii pe aceasi multime M.
Pag. 10 din 12
Operatia ,,*'' este distributiva la stanga fata de operatia ,,o'' daca:
x*(y o z) = (x * y) o (x*z), x, y, z Є M
Operatia ,,*'' este distributiva la dreapta fata de operatia ,,o'' daca:
(y o z) * x = (y + x) o (z * x), x, y, z Є M
Operatia ,,*'' este distributiva fata de operatia ,,o'' daca este distributiva la stanga si la dreapta.
Inelul
Tripletul (A, +, ·), cu A ≠ Ø se numeste inel unitar daca:
A1) (A1 +) este grup abelian
A2) (A, ·) este monoid
A3) Inmultirea este distributiva fata de adunare
DefinitieInelul (A, +, ·) are divizori a lui zero daca A contine cel putin un devizor a lui zero.
Un inel nenul care nu are devizori ai lui zero, comutativ, se numeste inel integru (sau domeniu de integritate).
Corpuri
Tripletul (K, +, ·) unde K este o multime cu cel putin 2 elemente se numeste corp daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
K1) (K, +) este grup obelian, cu element neutru 0
K2) (K -{ 0 },·) este grup cu element neutru 1
K3) Inmultirea este distributiva fata de adunare
Daca este indeplinita si conditia:K4) Inmultirea este comutativa atunci (K1, +, ·) se numeste corp comutativ sau camp.
Teorema
Un corp nu admite devizori ai lui zero adica din x, y Є K, x ≠ 0, y ≠ 0, x·y ≠ 0, deci orice corp este domeniu de integritate.
Morfism si izomorfism de inele si corpuri
Fie (A, +, ·) si (A', +, ·) doua inele.
O aplicatie f:A → A' se numeste morfism (sau omomorfism) de inele daca sunt satisfacute urmatoarele doua conditii:
1. f(x + y) = f(x) + f(y)2. f(x · y ) = f(x) · f(y)
Pag. 11 din 12
Definitie
Fie (A, +, ·) si (A', +, ·) doua inele. Un morfism de inele f: A → A' cu proprietatea f(1) = 1' se numeste morfism unitar de inele (unde 1 si 1' sunt elementele unitate din A si A')Un morfism de inele f: A → A' se numeste izomorfism daca f este bijectiva.
Fie (K, +, ·) si (K', +, ·) doua corpuri.O aplicatie f: K → K' se numeste:a. morfism de corpuri daca:
1. f(x + y) = f(x) + f(y)2. f(x · y) = f(x) · f(y)
b. izomorfism de corpuri daca:3. f este morfism de corpuri4. f este bijectiva
Pag. 12 din 12
Recommended