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ING1111 Álgebra 2014-10Profesor Leonardo Sánchez - Erwin Topp - Luis Zegarra
Pauta Examen16 de junio del 2014
1. (a) (3 ptos.) Sean n, r ∈ N tales que 0 ≤ n < r. Pruebe, usando inducción sobre n, quen∑
k=0
(r
k
)(−1)k = (−1)n
(r − 1
n
)Indicación: Puede usar, donde corresponda, la igualdad de Pascal:(
a
b + 1
)=(
a− 1b + 1
)+(
a− 1b
)a, b ∈ N, a > b
Solución:• Caso base: n = 0
0∑k=0
(r
k
)(−1)k = (−1)0
(r − 1
0
)
⇔(
r
0
)(−1)0 = (−1)0
(r − 1
0
)⇔ 1 · 1 = 1 · 1⇔ V
• Hipótesis:n∑
k=0
(r
k
)(−1)k = (−1)n
(r − 1
n
), algún n ∈ N
• P.d.q.:n+1∑k=0
(r
k
)(−1)k = (−1)n+1
(r − 1n + 1
)1.0 pto.
n+1∑k=0
(r
k
)(−1)k =
n∑k=0
(r
k
)(−1)k
︸ ︷︷ ︸H.I.
+(
r
n + 1
)(−1)n+1
= (−1)n
(r − 1
n
)︸ ︷︷ ︸indicación
+(
r
n + 1
)(−1)n+1
= (−1)n
[(r
n + 1
)−(
r − 1n + 1
)]− (−1)n
(r
n + 1
)
= (−1)n
(r
n + 1
)− (−1)n
(r − 1n + 1
)− (−1)n
(r
n + 1
)
= (−1)n+1(
r − 1n + 1
)
2.0 ptos.
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(b) (3 ptos.) Calcule el valor de la suman∑
k=0(3k + 1)
(n
k
)
Solución:
n∑k=0
(3k + 1)(
n
k
)=
n∑k=0
3k
(n
k
)+
n∑k=0
(n
k
)
= 3n∑
k=0k
(n
k
)+ 2n
0.5 ptos.
Para la otra sumatorian∑
k=0k
(n
k
)=
n∑k=1
kn!
k!(n− k)!
=n∑
k=1
n · (n− 1)!(k − 1)!(n− k)!
= nn∑
k=1
(n− 1k − 1
)
= nn−1∑k=0
(n− 1
k
)= n · 2n−1
Sigue quen∑
k=0(3k + 1)
(n
k
)= 3
n∑k=0
k
(n
k
)+
n∑k=0
(n
k
)= 3n2n−1 + 2n = 2n−1(3n + 2)
2.5 ptos.
2. Sea f : Q → Q una función. Se dice que f es lineal afín si existen a, b ∈ Q, a 6= 0 tal quef(x) = ax + b para todo x ∈ Q. Se define el conjunto:
I = {f : Q→ Q / f es una función lineal afín }
(a) (4 ptos.) Pruebe que (I, ◦) es un grupo, donde ◦ es la composición de funciones.Solución:
• Primero: ◦ debe ser ley interna en I, es decir, ∀f, g ∈ I debe cumplirse que f ◦g ∈ I.Sea f(x) = ax + b; g(x) = cx + d; a, b, c, d ∈ Q, a, c 6= 0(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = ag(x) + b = a(cx + d) + b = acx + ad + bDonde ac ∈ Q, ac 6= 0 ∧ (ad + b) ∈ Q⇒ f ◦ g ∈ I.
1.0 pto.
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• Neutro: idQ(x) es neutro en I pues ∀f ∈ I,f ◦ idQ = idQ ◦ f = f (propiedad de clases)
0.5 ptos.• Asociatividad: La composición de funciones es asociativa, por lo tanto es herencia
y no es necesario demostrarlo.0.5 ptos.
• Inversos: Todas las funciones afines del tipo f(x) = ax + b (rectas) son biyectivasy por lo tanto tienen inverso.Sea f(x) = ax + b⇒ f−1(x) = 1
ax− ba , con
1a 6= 0 y 1
a ∈ QAsí f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = idQ
Sigue que (I, ◦) es grupo.
2.0 ptos.
(b) (2 ptos.) Pruebe que el conjunto de las funciones de la forma f(x) = x + b, b ∈ Q con laley de composición de funciones, es subgrupo del grupo original.
Solución:
Por la propiedad compacta, sean f, g elementos de H, dondeH = {f : Q→ Q \ f(x) = x + b, b ∈ Q}. Por demostrar que f ◦ g−1 ∈ H.
0.5 ptos.
En efecto, f = x + b ∧ g = x + c⇒ g−1 = x− c, entoncesf ◦ g−1 = f(g−1(x)) = g−1(x) + b = x− c + b con b− c ∈ QAsí f ◦ g−1 ∈ H y por lo tanto (H, ◦) es subgrupo de (I, ◦)
1.5 ptos.
3. (a) (3 ptos.) Considere el polinomio p(x) = 2x5 − 7x4 + 6x3 + kx2 + 4x + 3. Determine k,k ∈ Q de modo que x = i sea una raíz de p(x) y luego encuentre todas sus raíces.
Solución:
p(x) = 2x5 − 7x4 + 6x3 + kx2 + 4x + 3 admite a x = i como raíz.⇒ p(i) = 2i− 7− 6i− 4k + 4i + 3⇒ k = −4.
Con k = −4 ∈ Q, p(x) ∈ R[x], es decir, p tiene coeficientes reales de modo que si x = ies raíz de p, también lo es x = −i.Así, p es divisible por (x− i)(x + i) = x2 + 1
1.0 pto.
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Entonces(2x5 − 7x4 + 6x3 − 4x2 + 4x + 3) : (x2 + 1) = 2x3 − 7x2 + 4x + 32x5 + 2x3
−7x4 + 4x3 − 4x2 + 4x + 3−7x4 − 7x2
4x3 + 3x2 + 4x + 34x3 + 4x
3x2 + 33x2 + 3
0Sigue que p(x) = (x2 + 1)(2x3 − 7x2 + 4x + 3)Además, si p tiene raices racionales, estas podrían ser de la forma r
s , con r = ±1,±3 ys = ±1,±2⇒ r
s = ±1,±3,±12 ,±3
2 . Es inmediato descartar las negativas.Así, p(3
2) = 2278 −
634 + 12
2 + 3 = 0
1.0 pto.
Dividiendo(2x3 − 7x2 + 4x + 3) : (x− 3
2) = 2x2 − 4x− 22x3 − 3x2
−4x2 + 4x + 3−4x2 + 6x
−2x + 3−2x + 3
0Las raices que faltan son raices de 2x2 − 4x− 2 = 0⇒ x = 4±
√16+164 = 1±
√2
Por lo tanto, las raices son {i,−i, 32 , 1 +
√2, 1−
√2}
1.0 pto.
(b) (3 ptos.) Expresar en la forma a + bi, la suma
S = 1 + 11 + i
+ 1(1 + i)2 + · · ·+ 1
(1 + i)28
Indicación: Recuerde que 1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn−1 = 1−qn
(1−q)
Solución:
S = 1 + 11 + i
+ 1(1 + i)2 + · · ·+ 1
(1 + i)28 =1− ( 1
1+i)29
1− 11+i
=(1 + i)
[1− 1
(1+i)29
]i
= (1 + i)30 − (1 + i)i(1 + i)29
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