Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Az első három félév lineáris...

Algebra1, normál 1. előadás 1 / 20

Algebra1, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

ewwkiss@gmail.com

1. előadás

Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20

A félév anyaga

Komplex számok

A félév anyaga

Komplex számokMűveletek

A félév anyaga

Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriával

A félév anyaga

Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás

A félév anyaga

Polinomok

A félév anyaga

PolinomokA gyökök száma

A félév anyaga

PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggése

A félév anyaga

PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdések

A félév anyaga

PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet

A félév anyaga

Lineáris algebra

A félév anyaga

Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerek

A félév anyaga

Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkal

A félév anyaga

Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkalDeterminánsok

A félév anyaga

Absztrakt algebrai alapfogalmak

A félév anyaga

Absztrakt algebrai alapfogalmakGyűrűk és testek

Irodalom

ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag

Irodalom

Ez a prezentáció, és a nyomtatható változata

Irodalom

Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorok

Irodalom

Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikről

Irodalom

Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom

Irodalom

K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek

Irodalom

Komplex számok, polinomok

Irodalom

Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)

Irodalom

Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai

Irodalom

F=Freud Róbert: Lineáris algebra

Irodalom

F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyaga

Irodalom

F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal

Irodalom

További feladatgyűjtemények

Irodalom

További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok

Irodalom

További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatokCzédli-Szendrei-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok

Általános tanácsok

Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!

Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.

Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.

Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.

Az anyagot meg is kell érteni!

Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;

Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;

Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.

Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:

biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;

biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.

Használjuk a számítógépet!

Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.

Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: ewwkiss@gmail.com

Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: ewwkiss@gmail.comTEX, Maple, Mathematica, GAP, C++, Python, Unix.

A számonkérés módja

A gyakorlati jegy:

A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.

A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:

az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;

az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;

a házi feladatokból.

Két évfolyamzárthelyi;

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;

javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.

Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.

A vizsgajegy:

A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.

A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.

A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.Összesen három alkalom;egyre kell eljönni, kivéve ha az nem sikerül.

Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20

A polinom szemléletes fogalma

K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amely

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból,

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).

Példa

(4x − x2)

Példa

(4x − x2) x

Példa

(4x − x2) x 23

Példa

(4x − x2)(x − 23)

Példa

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

+ 43x3 − π

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

+ 43x3 − π egy polinom.

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.

Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.(MAPLE program!)

A polinom definíciója

DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan.

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx

j a polinom egy tagja,

j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj .

j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x

0 a konstans tag.

Definíció (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek

0 a konstans tag.

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).

0 a konstans tag.

x2 − 1 ésx3 − 1

0 a konstans tag.

x2 − 1 ésx3 − 1 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,

0 a konstans tag.

x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,mert például az x3 együtthatója más a két polinomban.

A nullapolinom

Definíció (K2.1. szakasz)

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla.

A nullapolinom

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.

A nullapolinom

Minden c számot polinomnak tekintünk

A nullapolinom

Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,

A nullapolinom

Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c).

A nullapolinom

Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet:

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ],

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ],

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ],

A nullapolinom

R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ], mert π irracionális szám.

Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20

Polinomok kibővítése nulla tagokkal

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1

x3 + 1

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .

Így kényelmesebb lesz értelmezni polinomok összegét.

Polinomok összege, különbsége, ellentettje

Definíció (K 35. oldal)

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

E polinomok összege és különbsége:

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) =

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0)

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) =

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Az f ∈ R[x ] ellentettje h,

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0.

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettje

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) =

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0)

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f =

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Példa polinomok szorzatára

Kérdés

Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?

Kérdés

Például mi legyen x2 együtthatója?

Kérdés

Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredménye

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon,

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk,

Kérdés

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.

Kérdés

x2-es tag kétféleképpen keletkezhet:

Kérdés

x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2)

Kérdés

x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).

Kérdés

Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1.

Kérdés

Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x

Kérdés

3 + (a0b2 + a1b1)x2

Kérdés

3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x

Kérdés

3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x + a0b0.

Polinomok szorzatának definíciója

Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Magyarázat

xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx

ℓ)-ből,

Magyarázat

ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .

Magyarázat

Példa

Az xn+m együtthatója

Magyarázat

Példa

a0bn+m

Magyarázat

Példa

a0bn+m + . . .+ an−1bm+1

Magyarázat

Példa

a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm

Magyarázat

Példa

a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1

Magyarázat

Példa

a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0.

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0.

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója

Magyarázat

Példa

Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója anbm.

Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

Polinom foka

n, ahol an 6= 0,

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ).

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla.

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk ,

Polinom foka

n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx

Polinom foka

n, főegyütthatója an.

Polinom foka

n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak:

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = .

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Bizonyítás

esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm.

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Bizonyítás

esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla.

Polinom foka

Tétel (K2.1.5)

Bizonyítás

esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla. Magasabb fokú tag nem keletkezik.

A szorzat foka: következmények

Következmények (K2.1.7)

(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,

(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.

(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött,

(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla,

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata),

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0,

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans,

Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans, akkor reciproka,azaz 1/c is (konstans) polinom.

Bizonyítás

HF: fg konstans tagja

Bizonyítás

HF: fg konstans tagja f és g konstans tagjainak szorzata.

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb:

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ .

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1)

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x)

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla,

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n,

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an,

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n.

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0,

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet,

Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

Bizonyítás

n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet, mely esetben gr(f +g) < gr(f ) = gr(g).

A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20

Összegek tömör alakja

Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:

Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük: aj .

Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑

Definíció

A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

bℓxℓ

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

bℓxℓ

esetén (fg)(x) =m+n∑

ckxk ,

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

bℓxℓ

ckxk , ahol ck =k∑

ajbk−j

Definíció

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

bℓxℓ

ckxk , ahol ck =k∑

ajbk−j =∑

j+ℓ=k

ajbℓ.

A produktum jelölés

DefinícióA∏

produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell.

DefinícióA∏

produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

j = 1 · 2 · . . . · n

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

j = 1 · 2 · . . . · n = n!

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.

Példa:3∑

bj = b3,

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0.

Példa:3∑

bj = b3,

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Példa:3∑

bj = b3,2∑

bj = 0,

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Példa:3∑

bj = b3,2∑

bj = 0,n∑

ajxj = 0, ha n = 0.

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.

Példa:3∑

bj = b3,2∑

bj = 0,n∑

ajxj = 0, ha n = 0.

DefinícióA∏

aj = a2a3 . . . an.n∏

Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.

Példa:3∑

bj = b3,2∑

bj = 0,n∑

ajxj = 0, ha n = 0.

Magyarázat: K2.2.42. Gyakorlat.

Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20

Behelyettesítés polinomba

Legyen b egy szám.

Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

polinom b helyen felvett helyettesítési értéke

polinom b helyen felvett helyettesítési értéke(az x helyére b-t írunk).

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).

Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.

Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor

Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)

Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).

Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).

A polinomok összeadását és szorzását pontosan azzal amotivációval definiáltuk, hogy ez az állítás igaz legyen.

A gyök és a gyöktényező

A b szám gyöke az f polinomnak, ha

A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.

Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)

A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy

A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).

Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.

Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) =

Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.

Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.A megfordítást legközelebb bizonyítjuk.

Bizonyítás

HF: Vezessük le ezt a megfordítást

Bizonyítás

HF: Vezessük le ezt a megfordítást azan − bn = (a − b)

∑n−1

i=0an−i−1bi azonosságból.

Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.

Fogalmak (K2.1)

Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).

Fogalmak (K2.1)

Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).

Fogalmak (K2.1)

Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).Gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6).

Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Az első három félév lineáris...

Documents

Algebra liniowa z geometrią - Uniwersytet Gdańskiaszczepa/algebra1.pdf · Algebra liniowa z geometrią prof. dr hab. Andrzej Szczepański Wydział MFI UG Instytut Matematyki (2018/2019)

SZERELÉSI UTASÍTÁS NORMÁL KAROS 83V TÍPUSÚ AJTÓFÉKHEZ

Algebra1 - Lehrkörper / Mitarbeiterhome.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/ALGEBRA.pdf · Algebra1 Wolfgang Soergel 14. Dezember 2011 1Für die bebilderte 10MB-Version siehe

Algebra I - mimuw.edu.plwkrych/algebra1...A. Bojanowska P. Traczyk. 2 Istnieje bardzo duzo_ podre,cznik¶ow algebry o r¶ozn_ ym stopniu zaawansowania. Ponizszy_ tekst powstaˆl dla

ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan

Dispense di Algebra 1 - Gruppi - matematica.xoom.itmatematica.xoom.it/mathext150/Matrici/algebra1.pdf · Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido Dipartimento

Příloha 1 Dlouhodobý normál teploty vzduchu 1961

Algebra1 4ed Completo

Modelos Pep1 Algebra1

MATEMATICA C3 ALGEBRA 1 3. SCOMPOSIZIONI E FRAZIONIcvespia.altervista.org/matematica/Algebra/A1C5-scomposi... · 2010-12-31 · - Matematica C3 – Algebra1 – 3. Scomposizioni e

Jorge Silva Cevallos Libro Algebra1

Pre-EOC Assessment Algebra1 #2 Wahkiakum School District · Wahkiakum School District, Pre-EOC Algebra 1 . 2012 . ALG1 Page 4 . 9. Tara’s cell phone plan costs $39.00 a month, which

Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszékewkiss.web.elte.hu/.../2017/02/Alg2n2_prez_3.pdf · Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25 A lineáris

Rudimentos 10: Algebra del Cuerpo de Nu´meros Complejos ...algebra1.dmcc.usach.cl/archivos/apuntes/rudimentos10_numeros_c… · Rudimentos 10: Algebra del Cuerpo de Nu´meros Complejos

Manual Algebra1

A szájüreg normál flórájának kialakulása és funkciója

ALGEBRA I - websites.math.leidenuniv.nlwebsites.math.leidenuniv.nl/algebra/algebra1.pdf · Voorwoord Algebra 1 is het eerste van de drie colleges waaruit het algebra-curriculum aan

Algebra I - mathematik.uni-wuerzburg.demueller/Teach/algebra1.pdf · Algebra I Vorlesung Wintersemester 2004/05 Peter Muller¨ 9. Februar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 2¨

ALGEBRA1 - poincare.matf.bg.ac.rspoincare.matf.bg.ac.rs/~zoranp/2014-15/Algebra1-predavanja-2014-15.pdffleksija, tu je dobro razlikovati sluqaj petougla i xestougla. U sluqaju petougla,

MatematicaC3 Algebra1 3ed Completo