ANALISIS MAT. IV TEORIA

Universidad Central del Este Análisis Matemático IV

Asignatura: Análisis Matemático 4Profesor: Cesar E. Minaya. MS

Conceptos Teóricos Basados en:

Ing.minaya@hotmailcom1

1Derivadas para funciones de dos o . más variables ( Capitlo 12 Libro Purcell 9e pag.617) )

1-1 Derivadas Parciales………………………………………………………………3

1-2 Derivadas Parciales de orden superior…………………...………………………5

1-3 Práctica No1…………………………………………………………………….11

1-4 Regla de la cadena……………………………………...………………………12

1- 5 Práctica No2 y No3……………………………………..………………………15

2Cónicas ( Capitlo 10 Libro Purcell 9e pag.509) )

2-1 La Parábola……………………………………………………...………………..21

2-2 Variantes…………………………………………………………...…………….22

2-2 Elipses e hipérbola………………………………………………...……………...

a.- Ecuación Normal de la elipse………………………………………………….

b.- Ecuación Normal de la hipérbola……………………………….,……..……...

2-3. Práctica No4……………………………………………...............…………….23

1ER P A R C I A L L

3coordenadas polares( Capitlo 10 Libro Purcell 9e pag.537 )

3-1 Coordenadas Polares………………………………………………………..24

3-2 Ecuaciones Polares………………………………………………………….24

3-3 Relación con las coordenadas cartesiana…………………………………...24

3-4 Practica No 5………………………………………………………………. 25

4Geometria en el plano( Capiutlo 10 Libro Pur. pag.555 )

4-1 Eliminación del parámetro………………………………...………………….26

4-2 Calculo para funciones definidas en forma parametrica……...………………30

4-3 Practica No 6…………………………………………………...……………..30

4-4 Vectores en el plano enfoque Geométrico……………………..……………..31

4-5 Operaciones con vectores………………………………………...…………...31

4-6 Vectores en el plano enfoque Algebraico……………..……………………...33

4-7 Operaciones con vectores……..…………………………………………………

4-8 Longitud y producto punto…….………………………………………………..

4-9 Bases de vectores…….…………………………………………………………

4-10 Practica No 7…………..………………………………………………………..

2DO P A R C I AL L

1-1 Derivadas Parciales. .

1-2 Derivadas Parciales de orden Superior. .

Ejemplo: : Encuentre las cuatros segundas derivadas parciales de

f(x , y ) = x ey - sen ( x/y) + x3 y2

Solución:1.- Observar que la primera derivación es un producto x ey y la segunda es d (sen v) = cos v dv / dx en la que v = x / y dx2.- Observar que ey se deriva con la tabla, donde buscamos dev = ev dv/dx dx3.- Es necesario tener presente que cuando derivamos con respecto a una variable la otra permanece como una constante.

1ERA Derivada de Z con respecto a x.

Si Z = f(x , y )

∂Z = ∂{ x ( ∂ e y ) + ∂( x ) . (ey) } - ∂( sen x /y ) + ∂ ( x 3 y 2 ) ∂x (∂x) ∂x ∂x ∂x

∂Z = { x . 0 + 1 . ey } - cos ( x/y ) ∂( x/y) + 3 x2 y2

∂x ∂x

∂Z = ey - cos ( x/y ) (1 .y – x . 0 ) + 3x2 y2

∂x y2

∂Z = ey - 1 / y . cos ( x/y ) + 3x2 y2

1ERA Derivada de Z con respecto a y.

Si Z = f( x , y )

∂Z = { x ( ∂ e y ) + ∂( x ) . (ey) } - ∂( sen x /y ) + ∂ ( x 3 y 2 ) ∂y (∂y) ∂y ∂y ∂y

d Z = { x . ey + 0 . ey } - cos ( x/y ) ∂( x/y) + 2x3 y

d y ∂y

∂Z = x . ey - cos ( x/y ) (0 .y – 1 . x ) + 2 x3 y

∂y y2 ∂Z = x . ey - cos ( x/y ) ( - x ) + 2x3 y

∂y y2 ∂Z = x ey + ( x ) cos ( x/y ) + 2x3 y

∂y y2

2DA Derivada Parcial de Z con respecto a x.

Conocemos el resultado de la primera derivada de Z con respecto a x , para hallar la segunda derivada de Z con respecto a x, solo debemos derivar nuevamente.

∂Z = ey - 1 / y . cos ( x/y ) + 3x2 y2

∂ 2 Z = ∂ e y + ∂{-1 / y . cos ( x/y ) } + ∂(3x 2 y 2 ) ∂x2 ∂x ∂x ∂x

∂ 2 Z = 0 + { ∂ ( -1 / y) }. cos ( x/y ) + {∂cos ( x/y ) } (-1 / y) + ∂( 3x 2 y 2 ) ∂x2 ∂x ∂x ∂x

∂ 2 Z = { 0 . y – 1 . 0 } cos ( x/y ) - sen( x/y ) d ( x/y ) (-1 / y) } + 6 x y 2

d x2 y2 d x

∂ 2 Z = - sen( x/y ) (1 . y – 0 . 1) (-1 / y) } + 6 x y 2

∂x2 y2

∂ 2 Z = - sen( x / y ) (1 ) (-1 / y) + 6 x y 2

∂x2 y

∂ 2 Z = - 1 / y2. - sen( x/y ) + 6 x y 2

∂ 2 Z = 1 / y2. sen ( x/y ) + 6 x y 2

2DA Derivada Parcial de Z con respecto a y.

Conocemos el resultado de la primera derivada de Z con respecto a y, para hallar la segunda derivada de Z con respecto a y, solo debemos derivar nuevamente.

∂Z = x ey + x cos ( x / y ) + 2x3 y

∂y y2

∂ 2 Z = ∂ (xe y ) + ∂ { ( x ) . cos ( x/y ) } + ∂ (2x 3 y) ∂y2 ∂y ∂y (y2) ∂y

∂ 2 Z ={∂ (x )} . ( e y ) + ∂ { ( e y )} . (x ) } + {∂ ( x )}.cos ( x/y ) +∂{cos ( x/y )} .( x ) ]+ 2x3

∂y2 ∂y ∂y ∂y ( y2) ∂y ( y2)

∂ 2 Z = { (0 ) . ( ey) + ey . (x ) } + { 0 . (y 2 ) – 2y (x) } cos ( x/y ) - ∂y2 ( y 4)

- {sen ( x/y ) . d( x/y ) } . ( x 2 ) + 2 x3

d y ( y )

∂ 2 Z = ey . x + [– 2y (x) ]. cos ( x/y ) - [ sen ( x/y ) ( 0. y - 1. x ) ] . x / y 2 + 2 x3

∂y2 (y4) y 2

Simplificando y reordenando.∂ 2 Z = x ey - x2 / y 4 sen ( x/y ) – 2 x / y 3 cos ( x/y ) + 2 x3

∂ y2

Derivada Parcial de f con respecto a y de Parcial de f con respecto a x.

fxy = (fx)y = ∂ (∂ f ) = ∂ 2 f ∂y (∂x) ∂y∂x

Sabemos de la derivación anterior.

∂Z = ey - 1 / y . cos ( x/y ) + 3x2 y2

∂ (∂Z ) = ∂ 2 Z = ∂ey – ∂[1 / y . cos ( x/y ) ] + ∂ (3x 2 y 2 ) ∂y (∂x) ∂y∂x ∂y ∂y ∂y

Tarea. 1.- Concluir este ejercicio.2.- encontrar la siguiente derivada.

fyx = ( fy )x = ∂ (∂ f ) = ∂ 2 f ∂x (∂y) ∂x∂y

Practica 1 1

pag.628 Purcell 9e

1-4 REGLA DE LA CADENA ( Capitlo 12 Libro Purcell 9e pag.647). )

La regla de la cadena para funciones compuestas es ya familiar para nosotros. Si y = f (x (t) )

dy = dy dxd t dx dt

Primera versión

Practica 2 1

Primera versión

Pag. 651 purcell 9e

Practica 3 1

Segunda versión

Pag. 651 purcell 9e

2Cónicas s

2-1 La Parábola a

ECUACION NORMAL DE UNA PARABOLA: Y2 = 4 PX

Eje horizontal, que se abre a la derecha.

P mayor que cero

P es la distancia del foco al vértice.

F( p, o ) ; x = - P

HAY TRES V A R I A N T E S DE LA ECUACION NORMAL :1ERA V A R I A N T E X2 = 4 PY

Eje vertical, que se abre hacia arriba.

P menor que cero ; P es la distancia del foco al vértice. F( o, p ) ; y = - P

2DA V A R I A N T E Y2 = - 4 PX Eje horizontal, que se abre a la izquierda

P menor que cero ; P es la distancia del foco al vértice. ; F(- p, o ) ; x = P

3ERA V A R I A N T E X2 = - 4 PY Eje vertical, que se abre hacia abajo

P menor que cero ; P es la distancia del foco al vértice. ; F( 0,- p ) ; y = P

NOTA: X e Y son las rectas directriz.

Practica No4: Purcell 9e pag.512

2-2 Elipses e hipérbola

a.- Ecuación normal de la elipse: X2 / a2 + Y2 / b2 = 1

Los números a,b,c satisfacen la ecuación pitagórica: b2 + c2 = a2 Además: e = c/a

Ejemplo: Dibuje la grafica de X2 / 36 + Y2 / 4 = 1 y determine su foco y su excentricidad.

Solución. Observando la ecuación general: a2 = 36 luego a = 6; b2 = 4 luego b = 2

Observando el triangulo en la figura: c = √a2 + b2 = √36 - 4 = 4 √2 = 5.66

Observando en la figura: Los focos son: ( c, 0) = ( 4 √ 2, 0)

Su excentricidad es: e = c/a = 5.66 / 6 aprox. 0.94.

Ejemplo: Dibuje la grafica de X2 / 16 + Y2 / 25 = 1 y determine su foco y su excentricidad.

Solución. La cantidad mayor elevada al cuadrado esta bajo y2 lo cual nos dice que el eje mayor es Vertical; a = 5; b = 4 entonces c = 3 por lo que los focos son ( 0, 3); e = 3/5 = 0.6

b.- Ecuación normal de la Hipérbola:

Despejando a y c : a = 94.56 – c

Sustituyendo el valor de a, en la otra ecuación:Figura 12

1.- (94.56 – c) – c = 91.45

2.- 94.56 – c - c = 91.45

3.- 94.56 – 2c = 91.45

4.- -2c = 91.45 – 94.56

5. -2c = -3.11

6.- C = -3.11 / -2

7.- C = -3.11 / -2

8.- C = 1.555 aprox. 1.56

9.- a = 94.56 – c

10.- a = 94.56 - 1.56

11.- a = 93

e = c/a = 1.56/ 93 = 0.017 y los diámetros son :

Fijar el 1ER Parcial l.

Practica No5 Pag. 521 Purcell 9na edicion

3 coordenadas polares s3-1 Coordenadas PolaresComencemos con una recta fija llamada eje polar que parte de un punto fijo O, llamado polo u origen Si r es el radio del círculo y 0, es uno de los ángulos que el rayo forma con el eje polar, entonces (r, 0) es un par de coordenadas polares de P.

P(r, θ) r o Eje polar

3-3 Ecuaciones Polares.

Son ejemplos de ecuaciones polares:r = 8 sen θ

r = 2 / 1- cos θ3-3 Relación con las coordenadas cartesianas.

Supóngase que el eje polar coincide con el semieje positivo de abscisas del sistema cartesiano. Entonces las coordenadas polares (r, 0) de un punto P y las coordenadas cartesianas del mismo están relacionadas por las ecuaciones.

X = r cos θ r2 = x2 + y2

Y = r sen θ tan θ = y/x

EJEMPLO.Encuentre las coordenadas cartesianas correspondientes a (4. Π / 6) Y las coordenadas polares correspondientes a (-3, √¯3).

Solución:(a) Coordenadas Cartesianas (r, θ) = ( 4, Π / 6), entonces.X = 4 cos Π /6 = 4 ( √3 / 2 )= 2 √¯3

Y= 4 sen Π / 6 = 4 ( 1 / 2) = 2Nota: Debemos observar que existen dos formas de encontrar a X e y

1ERA. Π /6 = 180O / 6 = 30O O Sea:X = 4 cos 30O = 4 ( 0.866) = 3.464 Y = sen 30O = 4 (0.5) = 2 2DA Las funciones trigonometriítas de un ángulo de 30O están fundamentadas en el siguiente triangulo rectángulo. Cos 30O = √¯3 / 2 Sen 30O = 1/ 2

Solución:(b) Coordenadas Polares.

Si (x , y )= ( - 3, /3 ), Observando la figura:

r2 = (-3)2 + ( √¯3 )2

r2 = 9 + 3 = 12 r = 3.464 = 2 ( √¯3 )

tan θ = /3 / -3 = -0.57 θ = arctang -0.57

Un valor de ( r, θ) es (-2 / 3 , 5 п / 6), otro es ( 2 / 3 , п / 6),

5 п /6 = 150., п / 6 = 30

Practica No6

4 Geometria en el plano o

pag. 530 purcell 9na ediicion

EJEMPLO 1. Elimine el parámetro en:

Después identifique la curva y dibuje su grafica.

Solución: De la ecuac. #2 despejamos a t.

t = y+ 3 Sustituimos este resultado en la ecuac. #1

X = ( y + 3 ) 2 + 2( y +3 )

X = y 2 + 2(y)(3) + (3 ) 2 + 2y + 6

X = y 2 + 6y + 9 +2y + 6

X = y 2 + 8y + 15

Completando cuadrado:

( b /2 ) 2 = ( 8 / 2 ) 2 = 16

X+1 = y 2 + 8y + 15+1

X+ 1 = y 2 + 2(4) +(4) 2

(X + 1 ) = ( y + 4) 2 Luego x = -1 Y = 4 Anulan la ecuación.

Reconocemos esto como una parábola con vértice en ( -1 , 4 ) que se abre hacia la derecha.

EJEMPLO 2. Demuestre que : .

representa la elipse de la figura

Solución: Despejamos a en cos t. y sen t X = cos t

Y = sen t

Elevando al cuadrado: ( X ) 2= (cos t ) 2

( a ) 2

( Y ) 2= (sen t ) 2

( b ) 2

Sumando ambos miembros:

( X ) 2 + ( Y ) 2= (sen t ) 2 + (cos t ) 2

( a ) 2 ( b ) 2

Puesto que: (sen t ) 2 + (cos t ) 2 = 1

Luego; X 2 + Y 2 = 1 que es la ecuación de la elipse a 2 b 2

si a = b obtenemos: ; X 2 + Y 2 = 1 a 2 a 2 Luego; _ X 2 + Y 2 ___ = 1 a 2 Por tanto : X 2 + y 2 = a 2 que es la ecuación de un circulo.

EJEMPLO. Demuestre que cada uno de los siguientes pares de ecuaciones parametricas tienen la misma grafica, que es un semicírculo:

( a ) X = √1 - t2 ; Y = t – 1 -1≤ t ≤ 1

( b ) X = cos t ; Y = sen t - Π /2 ≤ t ≤ Π / 2

( c ) X = 1 - t 2 Y = 2t 2 -1≤ t ≤ 1 1 + t2 1 + t2

Solución: ( a ) X = √1 - t2 -1≤ t ≤1 Y = t Elevando al cuadrado ambas ecuaciones

X2 = ( √1 - t2 ) 2

Y2 = ( t ) 2

Sumando ambas ecuaciones

X2 + y2 = 1- t2 + t2

X2 + y2 = 1 ( b ) X = cos t Y = sen t Elevando al cuadrado ambas ecuaciones

X2 = cos2 t Y2 = sen2 t

X2 + y2 = cos2 t + sen2 t Puesto que cos2 t + sen2 t = 1 por identidad trigonometriíta

X2 + y2 = 1

( c ) X = 1 - t 2 1 + t2

Y = 2t 2 1 + t2

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones

X2 = (1 - t 2 ) 2 (1 + t2 )2

Y2 = ( 2t 2 )2 (1 + t2)2

Desarrollando.

X2 = 1 2 – (2)(1)(t 2 ) + (t) 2

12 + (2)(1)(t2) + (t)2

Y2 = (4t 2 ) 12 + (2)(1)(t2) + (t)2

X2 + Y2 = 1 2 – (2)(1)(t 2 ) + (t 2 ) 2 + (4t 2 ) 12 + (2)(1)(t2) + (t2)2 12 + (2)(1)(t2) + (t2)2

X2 + Y2 = 1 – 2t 2 + t 4 + 4t 2 1 + 2t2 + t4 1 + 2t2 + t4

X2 + Y2 = 1 – 2t 2 + t 4 + 4t 2 1 + 2t2 + t4

Simplificando:

X2 + Y2 = 1 + 2t 2 + t 4 + 1 + 2t2 + t4 X2 + y2 = 1

4-2 Calculo para funciones definidas en forma parametrica

¿Podemos encontrar la pendiente de la tangente a una curva dada en forma parametrica, sin eliminar antes el parámetro? La respuesta es afirmativa, de acuerdo con el siguiente teorema.Sean f y g dos funciones continuamente diferenciable, con f`(t) diferente de cero sobrea < t< b

x= f(t)

y= g(t)

Definen a y como una función diferenciable de x

dy = dy/dtdx dx/dt

Ejemplo: Encuentre las dos primeras derivadas dy/dx y d 2y/ d x2 para la función determinada por X= 5 cos t, y = 4 sen t 0 < t < 3 y evalué para t = π / 6

dy = 4 cos tdt

dx = -5 sen tdt

dy = dy/dt = 4 cos t = - 4 cot tdx dx/dt -5 sen t 5

d 2 y = d 2y/d x2/ dx/dt = 4/ 5 csc 2 t = - 4 csc3 t d x2 -5 sen t 25

Tarea: Estudiante evaluar para t = π/ 6Nota π = 1800

ANALISIS MATEMATICO IVPractica No6.

4-4 Vectores en el plano enfoque Geométrico. .

Muchas magnitudes que se presentan en las ciencias (por ejemplo, la longitud, la masa, el volumen y la carga eléctrica) se pueden especificar mediante un simple número. (Estas magnitudes y los números que la miden) se llaman escalares. Otras magnitudes tales como la velocidad, la fuerza, la torsión, el desplazamiento, requieren tanto de un número como de una dirección para su especificación completa. Llamamos vectores a tales magni tudes y lo representamos mediante flechas.

Cola Punta

Se considera que dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección.

4-5 Operaciones con vectores

u + v u + v

Se puede decir que la adición o suma de vectores es conmutativa y asociativa

Ejemplo: en la figura exprese w en termino de u y v

Solución Puesto que u + w = v

Luego: w = v - u4-5 Vectores en el plano enfoque Algebraico. .

Para un vector dado u escogemos como representante la flecha que tiene su cola en el origen. Esta flecha estará unívocamente determinada por las coordenadas u1 , u2 de su punta es decir, el vector u se describe por completo mediante el par ordenado (u1, u2 ).

4-6 Operaciones con vectores.

Los números u1 y u2 se llaman componentes de u = (u1, u2 ).Dos vectores: u = (u1, u2) ; v = (v1, v2). Son iguales si y solo si u1 = v1 ; u2 = v2

Para sumar u y v

u + v = (u1 + v1, u2 + v2)Para multiplicar u por un escalar c se multiplica cada componente por c

uc = cu = (cu1, cu2)

-u = ( -u1, -u2)

0 = 0u = (0, 0 ).y u

REGLA DE OPERACION CON VECTORES S.

1. u + v = v + u2. (u + v) + w = u + (v + w)3. u + 0 = 0 + u4. u + 0 = 0 + u5. a(bu) = (ab)u = u(ab)6. a(u + v) = au + av

7. (a + b)u8. 1u = u

4-7 Longitud y producto punto. La longitud (o magnitud) u = (u1 , u2)

u = √ (u1 + u2)

Ejemplo: si u = (4, -2) entonces u = √42 + (-2)2 = 2√5

Si se multiplica u por el escalar cu = c u

Ejemplo: Sea u = (4, -3) encuentre u y -2u .Después encuentre un vector v con la misma dirección de u, pero con una longitud de 1

Solución: u = √42 + (-3)2 = 5 y -2u = -2 u = 2 . 5 = 10

v = u / u

v = (4, -3) ∕ 5 = 1/5 (4, -3) = (4/5 , -3/5)

Producto punto: u. v = u1 v1+ u2 v2

Ejemplo: si u = (4, -3) entonces : u. v = (4x3) + (-3x2) = 12 - 6 = 6 observe que el producto punto v = (3, 2) de dos vectores es un escalar

Formula alternativa: si u y v son vectores no nulos, entonces:

u – v u. v = u v cos θ

u v θ.

Producto punto:

Ejemplo: encuentre b tal que u = (8, 6) y v = (3, b) son perpendiculares.

Solución: Dos vectores u y v son perpendiculares si su producto punto u. v = 0

u. v = 0 (8, 6) . (3, b) = 0 (8) (3) + (6) (b) = 0 24 + 6b = 0

6b = - 24

b = - 24 = - 4

Ejemplo: encuentre el ángulo entre u = (8, 6) y v = (5, 12)

cos θ = u. v u v cos θ = (8) (5)+ (6) (12) (10)(13)

cos θ = 112 ≈ 0.862 130 θ = cos-1 0.862 = 30.5o

4-8 Bases de vectores.

Sea i = (1,0) y j = (0,1); observar que estos dos vectores son perpendiculares y que tienen una longitud unitaria. Se llaman vectores base debido a que cualquier vector u = (u1, u2) Puede ser representado de manera única en termino de i y j u = ‹ u1 , u2 › = u1 ‹ 1,0 › + u2‹ 0,1› = u1i + u2j

Aplicación: sabemos que el trabajo es W = F D cos θ

Ejemplo: una fuerza F = 8i + 5j en libras mueve un objeto de (1,0) a (7,1) distancia medida en pies, ¿ que cantidad de trabajo se realiza?

Solución: sea D el vector del (1,0) a (7,1) es decir sea D = (7-1) + ( 1 – 0) = 6i + j

Trabajo : W = (8) (6) + (5)(1) = 53 pies-libras

4-9 Práctica No 7

Sea : a = -3i + 4j ; b = 2i – 3j ; c = -5j

Encuentre:A) 2a - 4b

B) a . b

C) a . (b + c )

D) ( -2° + 3b )

E) a c.a

Encuentre el angulo comprendido entre a y b

a = (2; 3) , b = (-1,4)

a = (-5,-2),b = (6,0)

a = (-3,-1),b = (-2, -4)

Integrales doble e iterada a

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