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Formas Indeterminadas e Integrais Impróprias
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FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA
CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994Curso: Engenharia de Produção Lista de Exercícios
Formas Indeterminadas e integrais impróprias
Disciplina: Cálculo II
Professor: Maria Auxiliadora Lage
Período/turma: 3º Data: --/02/2015
Aluno(a):
1. Formas Indeterminadas e integrais impróprias
1.1. As formas indeterminadas de e
1.2. Integrais com limites de integração infinitos1.3. Integrais com integrandos descontínuos
Assista os vídeos:Os infinitos de Cantor, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=f1Ak-6vMVpg
Até Infinito e mais Além disponível em:http://www.youtube.com/watch?v=WbwucSLcYIE
Formas indeterminadas e regra de L’Hospital
Forma indeterminada do tipo
Em geral, se tivermos um limite da forma em que quando
, então esse limite pode ou não existir. Encontramos alguns limites desse tipo, como
por exemplo:
Para funções racionais, dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de
x que ocorre no denominador, podemos calcular:
Esse método não funciona para limites tais como , de modo que precisaremos
da Regra de L’Hospital, para cálculo dessa forma indeterminada.
Regra de L’Hospital
Suponha que f e g sejam deriváveis e em um determinado intervalo aberto I que contêm a ( exceto possivelmente em a). Suponha que:
ou que
Em outras palavras, temos a forma indeterminada do tipo . Então
se o limite do lado direito existir ou for
(STEWART,p. 280) Participe da resolução
1. Encontre Resp: 1
2. Calcule Resp:
3. Calcule Resp: 0
Produtos indeterminados – forma indeterminada do tipo
Podemos trabalhar com ela escrevendo o produto . Isso converte o limite
dado na forma do tipo de modo que podemos usar a regra de L’Hopital.
Exemplos – Participe da resolução
1. Calcule Resp: 0
2. (FL- p.230) Calcule Resp: 1
Potências indeterminadas – forma indeterminada do tipo Cada um dos três casos pode ser tratado tanto tomando o logaritmo natural: seja
, quanto escrevendo a função
como uma exponencial:
Participe da resolução
1. (FL-p.229) Determinar Resp: 0
2. (ST- p.284) Calcule
Resp: e4
3. (ST- p.284) Calcule
Resp: 1
Integrais Impróprias
Até agora foi preciso que as integrais definidas tivessem duas propriedades: Domínio de integração de a a b fosse finito; Imagem do integrando fosse finita nesse domínio.
Mas encontramos problemas que não cumprem uma ou outra ou as duas condições: Domínio infinito Imagem infinita
Considere a área sob a curva de x=1 a - Domínio infinito
Considere a área sob a curva de x=0 a x=1 - Imagem infinita
Tratamos os dois exemplos da mesma maneira. Perguntamos: Qual é a integral quando o domínio é ligeiramente menor? E examinamos a resposta quando o domínio se aproxima do limite.Nesta seção entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em [a,b]. Em ambos os casos, a integral e chamada de integral imprópria.
Tipo I. Integrais com limites de integração infinitos
Definição:
onde t é qualquer número real.
As integrais impróprias são chamadas convergentes se os limites correspondentes existirem e divergentes se os limites não existirem.
Participe da resolução
1. Determine se a integral e convergente ou divergente.
2. Obter a área da região infinita que fica sob a curva no primeiro quadrante.
=2
3. A área sob a curva de x=1 a x=b é finita? Se for, qual é ela?
=1
4. Calcule
5. Calcule
= =
Tipo II- Integrais com integrandos descontínuos
Outro tipo de integral imprópria aparece quando o integrando tem uma assíntota vertical – descontinuidade infinita – em um limite da integração ou em algum ponto entre os limites de integração.
Definição:Integrais de funções que se tornam infinitas em um ponto, dentro do intervalo de integração são integrais impróprias.
Nas partes 1 e 2, a integral imprópria é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o limite não existir.
Participe da resolução
1. Determine a área sob a curva para x=0 a x=1.
2. Considere a região infinita no primeiro quadrante que está sob a curva de x = 0
a x = 1.
=2
3. Verifique a convergência de
4. Calcule
Exercícios de Aplicação – Lista 1 -1ª etapa
1. Determinar Resp:2
2. Determinar Resp:5
3. Determinar Resp:0
4. Determinar Resp:
5. Determinar Resp:1
6. Determinar Resp:
7. Determinar Resp:
8. (ST- p.487) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
5. Atribua um valor à área A da região sob o gráfico de , acima do eixo x e à
direita de x = 4. A = 1 u.a, 6. O sólido de revolução conhecido como Trobeta de Gabriel é gerado fazendo-se a
rotação em torno do eixo x da região sob o gráfico de , com x 1. Represente
graficamente este sólido e mostre que tem um volume finito de unidades cúbicas. R: V= u.v.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FINNEY, Ross L. Weir, Maurice D. GIORDANO, Frank R. Cálculo de George Thomas Jr.Vol.1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
FLEMMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limites, Derivação e Integração. 6a Edição. São Paulo: Pearson Printece Hall, 2006.
STEWART, James. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
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