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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Cálculo de Volumen de solidos de revolución
Aplicaciones de Integrales definidas
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólidoenfrentamos el mismo problema que al tratar decalcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a unadefinición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidossencillos como cilindros y prismas.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ah
Cilindro RectoV = Ah
r
h
Cilindro circularV = r2h
ab
c
ParalelepípedoRectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar unaregión del plano alrededor de una recta del planollamada eje de revolución.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Diferencial de volumen
∆xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
iii xxfV 2
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] yf(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido algirar alrededor del eje X la región limitada por lacurva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i in
i
b
a
V f x x
f x dx
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotaralrededor del eje X la región acotada por la curvay = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolucióngenerado al rotar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,y = 1.
y
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.
y
xyyxR2
0;41/, 2
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada porla curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
d
c
dyygV2
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Método de la arandela
Cuando la región a girar está limitada por dosfunciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectasx=a y x=b.
Diferencial de volumen
f(xi)g(xi)
xi
ii xxgxfV 22
a bx
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] talesque f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumendel sólido generado al rotar alrededor del eje X laregión limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a yx=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i in
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje X la región acotada por laparábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 5:
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje Y la región limitada por las curvasx = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 7:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.
Método de los cascarones cilíndricos
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen deuna región limitada por una función y = f(x) algirar alrededor del eje y, para lo cual se debenhallar los extremos locales de f(x) y despejar x entérminos de y (x=g(y)). Esto muchas veces esmuy complicado por lo que se usará otro método:los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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xixi
f(xi)
Diferencial de volumen
xi xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:
iiii xxfxV 2
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
dxxfx
xxfxV
b
a
i
n
iii
x
2
2lim1
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
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Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolucióngenerado al girar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y larecta y = 2.
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Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectasy = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.Calcule el volumen generado.
y = -3
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