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Problemas resueltos de reas e integrales definidas

Integracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos

Propiedades Bsicas de las Integrales Propiedades Bsicas de las IntegralesDurante est seccin vamos a suponer que todas las funciones son continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. En lo que sigue, r es un nmero real y tanto f como g son funciones.31254Estas propiedades se obtienen de la definicin de integral como lmite de sumas de Riemann.Integracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Tabla de Primitivas1234569781010Integracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Teorema Fundamental del ClculoIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltosTeoremaSi f una funcin continua entonces la funcin

es una primitiva de la funcin f, es decir, F(x) = f(x).Recprocamente, si F es cualquier primitiva de f,


Hallar las sumas de Riemann para la integral

con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente. ProblemasIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos1Hallar, utilizando la definicin, el rea encerrada por la grfica de la funcin y = x3 y el eje X entre 0 x 2.2Calcular el lmite , interpretndolo como el rea

de una figura geomtrica conocida y hallando entonces el rea de dicha figura.34


ProblemasIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos567 Qu es incorrecto en el clculo de ?8Sea f una funcin continua tal que Determinar f(1).


ProblemasIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos1Hallar, utilizando la definicin, el rea encerrada por la grfica de la funcin y = x3 y el eje X entre 0 x 2.Suma superior = RespuestaEl rea es 4.


ProblemasIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos2Calcular el lmite , interpretndolo como el rea

de una figura geomtrica conocida y hallando entonces el rea de dicha figura.

SolucinDebemos relacionar la suma dada con una suma aproximada del rea encerrada por la grfica de una funcin.Se observa que:De esta manera resulta obvio que la suma aproxima el rea encerrada por la grfica de x2 para 0 x 1. Ya hemos hallado anteriormente que este rea es 1/3. Respuesta


Clculo de Sumas de Riemann Los puntos de divisin son: {0,/10,(2)/10,(3)/10,(4)/10, /2}.SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Clculo de Sumas de Riemann La funcin sen(x) es creciente en el intervalo de integracin. Por lo tanto la suma que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior , aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central devuelve la mejor aproximacin, ya que el valor exacto de la integral es 1, que es fcil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Clculo.3Comentarios sobre la solucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Uso de las Sumas de RiemannLa suma en cuestin a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que los sumandos no son de la forma (valor de la funcin)(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla.4SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Uso de las Sumas de RiemannLa conclusin anterior fue queHallar el valor de esta integral utilizando el Teorema Fundamental del Clculo es bastante complicado.Por lo tanto el valor de la integral es el rea pintada de azul.4SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Estimacin de integralesLa integral en cuestin encierra el rea de la regin situada entre la curva roja y el eje X.Por lo tanto el rea encerrada por debajo de la recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor de la integral.5SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Uso del Teorema Fundamental del ClculoLa funcin F est definida mediante una integral cuyos lmites de integracin dependen de x. Esto significa que debemos modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del Clculo.

s de aplicar el Teorema Fundamental del Clculo.(TFC)6SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltos


Uso del Teorema Fundamental del ClculoRespuestaLa grfica de la funcin f(x)= 1/x2 puede verse en la figura de arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC.Este resultado no puede ser correcto ya que la funcin a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la integral debera ser tambin positivo.7SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltosQu es incorrecto en el clculo de ?


Uso del Teorema Fundamental del ClculoHay que derivar la ecuacin dada para obtener la expresin de la funcin f.Por otro lado:Conclusin8SolucinIntegracin/Introduccin a la integracin/Integral definida y clculo de reas/Problemas resueltosSea f una funcin continua tal que Determinar f(1).


Clculo en una variableAutor: Mika SepplTraduccin al espaol:Flix AlonsoGerardo RodrguezAgustn de la Villa


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