View
243
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
1/14
SEMINARU L 1 -APLICATII
TEMA :SPATII VECTO RIALE
1 .
Fie (1K, + , , 1K) un cam p
i
1 K
2
=Ix = (x
, x2)I
x
E 1 K
i
= 1 , 2 1 ,
Da c ,pe n t ru x =( x 1 ,x 2 ) , Y=( YI ,Y2 )
E
1K2
ia
K,sedefinete:
I. x+y= x+y ,x +y
)
i
II Ox = x a
),
atunci s se dem onstreze c (1K 2
, +,,
1K) este un 1K -spaiu vectorial.
2. S se arate c multime a m atricelor cu e lem ente reale de form a:
bcd
s4= M, M= -b a -d
a,b,c,deli
-c da -b
-d-c ba
fo rme az o s truc tu i l d e
spatiu
vec tor ia l peste corpul nu m ere lor rea le JR In raport de
operatiile induse din
M,., R).
3.
S se stabileasc care dintre urmtoarele multimi de vectori sunt liniar independente: 1)
S
={x =(8,-1,O),x2
=(6,-5, 1)}.
ii)
S2={x1
=(- 1,5,3),x2 =(-2,- 5,7),x
3 =(1 ,
2, 1O)}.
4.
In spaiul ve ctorial JR 3
se co nsider urm torul sistem de ve ctori: 9 = {e
= ( 3, 3, 0), e
2
= (1, 0, 0), e
3
= (1, 2, 3)} .S se arate
C a
m ultim ea 9 este baz .
5.
In spatiul vectorial
J R 3
se con sider urmtoarele ba ze: 9 = {e
= ( 2, 2, 0), e 2
= (
1, 0, 0),
e 3
= ( 1, 2, 3)},
= {e ' = (
1, 3, 3), e
2
' = (
2, 2, 3), e 3 ' =
, 7,
9)1.i.) S se gseascA
m atricea de t recere de la 6 la VA .) SA se gaseasca expres ia vectorulu i x = e
+ 3 e 2
+
7e
3
Inbaza 6 '.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
2/14
SEMINARUL 2 -APLICATU
TEMA :SUBSPAT1I VECTORIALESOPERATII CU
SUBSPATII. SPATII EUCLIDIENE.
I. Subsp4ii vectoriale.Operalii cu subspaii.
1 Sa se studieze care dintre urmAtoarele submulpmi din
spatiul
aritmetic
3
formeaz
subspaii vectoriale: i S
= {
x = x1, x2, x3)
E
1RI
x1 + x 2 + x3 =
51, i i) S
2
= {
x = x1, x2 , ,
x 3
)e IR
3
Ix =O}.
OOx
2. Fie s4 = A
A = y 0 0 , x = y + z; x, y, z, u
E J R .S se arate c multimea s4
uzO
este un subspaiu vectorial al lui
N3
IR).
3 sa
se arate cA In
spatiul
vectorial al matricelor
1K ), +,., 1K ) submultimile definite
prin 8={ A E
Nn
fl ) TA = A} matrice simetrice), s4 = {A
e 7&
IIC)/TA = -A}
matrice antisimetrice) formeaz subspaii vectoriale i
1h
n
1K) = 8 EE) M.
4. S
se determine subspaii1e S
n
52
i
S
1 D
S
2
din spaiul aritmetic
J R
2
tiind c:
S
={x=(x ,x2
)e 1R
2
Ix =x2 1 S 2 ={x=(x 1 ,x2 )E I R 2 Ix =-x2 1 .
5.SA se determine dimensiunile subspapilor sum i intersece a subspaii1or generate de
sistemele de vectori:U = Ju l
= 2, 3, -1), u 2
= ( 1, 2, 2), u 3
= (
1, 1, -3)},V = {v
= (1, 2, 1),
= 1, 1, -1), v3
= (
1, 3, 3)} In spaiul vectorial 1k 3 i a se verifice teorema lui
Grassmann.
II Spaii euclidiene
1.
F ie V =
JR3,
spaiul vectorial real aritmetic. SA se arate c aplicaia < ,>: V x V -IR
este produs scalar, unde V x=
x1, x2 ,x3),
y=( Yi
Y 2 , y
3
), = x
y x 2 y
2
+ x3 y 3
2.
S se ortonormeze folosind procedeul Gram-Schmidt urmAtorul sistem de vectori din
spaiul euclidian JR
3
. < , >) ,
cu produsul scalar uzual:
{v
= (
2, 1, 2), v 2
= (
1, 2, -2), v 3
= (
2, -2, 1)}.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
3/14
SEMINARUL 3 APLICATII.
TEMA : SPATIUL EUCLIDIAN AL
VECTORILOR LIBERI
I. Algebra vectorial f r reper ortonorm at
I.
Se dau vector
a
cu
I l l =
1
b =
2,
j I l I =
3 , (Lb)=
C alcu leaz no rm a v ec t o ru lu i d + b -
2 .Calculea zA un ghiul dint re vector i i 1 i i i ti ind c d I
d unde:
a=iii iI,
b=2111-31i, =3iii+ii j d=ifi+3i1.
3.Deternun volumul paralelipipedului construit pe suporturile reprezentantilor
vectorilor:
=2i1V+W, b=IiW, =ii+W, care auorigineacomuni
ti=1,
V=2, IIWH=3,4
tI,V)=.,
=
4.Calcu leaz:
, a+,
a++).
b
5.Venfica egah
xb)x(bx)
tatea:
-
(xb,bx,x) (,b,)
H. Algebra vectoriala cu reper ortonormat
1 . A rata i c vec ton i :
=2i+j, b =i+3k,
i+j--k,
pot construi o baz pentru '. Scriei expresia analitic a vectorului V = 2 i + j + k
In aceastA baz .
2.
Se dau vectorii OA=-4i+12j+3k, OB=3i+12j-4k,
OC=3i+2j-4k.
Aratati c:
t riunghiul O A B este isoscel i tr iung hiul A O C este dreptung hic. Determinat i lungim ea Inalt imii
duse din A pe baza BC a triunghiului ABC.
3 .
Pun ctele A (4, -2, 2), B(3, 1, 1 ), C(4, 2, 0), D(1,0,0) sunt vrfurile unu i tetraedru. Determinati
lungim ea Inaltimii tetraedrului DAB C, duse din D pe baza AB C.
4.
Se dau vectorii: =Ai+4j+6k, b=i+Xj+3k, =?i+4j.Determin ? astfel
Inc t cei trei vector i s f ie cop lana r i .
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
4/14
SEMINA RUL 4. APLICATII.
Tema:
PLANUL $I DREAPTA IN SPATIU
:Ecuatii de plane i de
drepte. Pozitii relative de drepte i plane.
1. S se scrie ecuapa generala a planului ()ij care: i) trece pnn punctul
P 6,-5,2) i ta ie p e
axele de coordonate segmente pozitive egale Intre ele; ii)are
ecuatille
parametrice:
x=-2+3u-4v, y=1-2u-v, z=1+u+v.
2. Se dau punctele A(1, -1, 21), B(2, -3, -4), C(-1, 0, -3), D(2, 0, 0), E(0,
5 ,
0 ) , F ( O ,
0, 3).
S se determine:
i ) AB, AC, AD,ecua ile dreptelor AB, BC i
ecuatiile
planelor (ACD),
(BCD),(DEF).
i i )
Ecuatia planului (it)care trece prin A i are normala de directie
AD.
i i i )
Pozitiile relative ale dreptelor AB i CD, precum i poziia dreptei AC
fat
de
planul (DEF).
3. S se scrie
ecuatia
g e n e ra l a p l a n u l u i ( ' iz ) c a re t re c e p r in a x a
Oz)
i prin punctul
A -3, 1, -2).
4. SA se scrie ecuatiile dreptei
d) tiind c:i) trece prin punctele A 1,0,2), B 1,1,0),ii)
contine punctul
C 1,0, 1)
i are vectorul director =-2 I + ;
iii) se afl la
intersectia planelor ():
x-y=0, )z): x-3z-1 =0.
5. Se consider planul ()r) :
3x +
5y 2z 6 =
0
i dreptele d ):--=
x1 y-21 z-3 .
+2 y+1 z+4
d 2
):=
d):-----=----=----.
Sasearateca:
2
i ) d)
intersecteaz planul (ar), determinndu-se coordonatele punctului de
intersectie;
i i )
d2 )
este paralela cu planul (,r),
i i i ) d
3
)
este perpendicular pe planul
. i z ) ,
aflndu-se coordonatele punctului de
intersectie.
6. S se determine ecuatiile perpendicularei coborte din punctul
M 1, 1, 2)
pe
dreapta:(d):
precum i simetricul punctului
M
fat.a
de dreapta
d).
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
5/14
Seminarul
5.
Ap1icaii.
Tema:
PLANUL $I DREAPTA IN
SPAIU:unghiuri i distane.
S C H IM B A R I D R R EP E R E IN P L A N I I N S P A T IU
1 .
Se dau dreptele:
f
x-y+z-3=0
-1 y+l
z+1
(d
):
(
d==
punctulMo
(-3,4,0).Secer:
2x+y-2z4-5=O
-5
i)
Ecuatia
planului (it) determinat de M
0
i (
d 2 ) .
ii)Distanta de la M
0
la (d
2 ).
iii)Unghiul dintre (d
) i (
d
2
).
iv)Ecuatiile dreptei (d) care trece prin M
0
i se sprijin pe (d
1
) i (d2
) .
2.
S se alle simetricul punctului M(-1, 1, 0) fata de planul (it) : x + y -3 z
+ 5
= 0.
3 .
S e d a u p l a ne l e
(iti):
x+2y+4z-1=0,
(it2):
2x-i -4y+8z-9=0,
(it3):
2x+ y-z- i -10=0 i ( i ra ) : x+ y+ z-2=0. S
se demo nstreze c a :
i ) (70II (7t2).
ii ) (7t1) i (it3) su n t p e r p en d i cu l a r e i sA se de t e rm i n e ec u a t i il e dr ep te i (d ) de i n t e r sec t i e a b r , p recu m i
m sur a a a u ng h i u l u i fo r m a t d e p l a ne l e
(7t1) i (it4).
4.Fat de un reper cartezian din
E
3
se dau punctele In coordonate cilindrice:
A4_2). B(104). C(8.6). D[63).
S se calculeze coordonatele carteziene ale punctelor date, precum lungimea segmentului
{BC].
5.Fiind date in coordonate carteziene punctele:
A(2J,
6,4), B(-,F2,
-
r2,2,
F
3
-
), C(0, - 6),
D(-16,0,0),
sa
se afle coordonatele sferice ale acestor puncte.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
6/14
Seminarul 6. ApIicaii.
Tema: TRANSFORMARI LINIARE .VALORI PROPRII.
VECTOR PROPRI
1 .
Sa se verifice care din urmtoarele ap1icaii sunt transformri
liniare:
i)T: 1R 3
- 1R 3
, T(x) = (x +x 2 , x 2 + x 3 , x 3
+
x
), unde x =(x
, x 2 ,
x
3 ) .E
I R S .
ii)T:
3 -
T (x ) = (x
+
x2, 0 , x
1
+x 2
+ x
3 , x 4 ).
i i i)T :
tR, T(x) = (x , x 1 +x 2 , x 2 x).
2.
Fie T E
4 (fl 4
) o t ransform are l in ia r def in i t as t fe l :
T(x) = (x
2 + x3,
-
1 - x 2
+
x4, x1
+ x2 x4,
-
1 + x 3
+
x
4
).
S se a ra t e cA K er T = Tm T .
3 .
S se determine transformarea
liniar T: iR
- IR astfel
Inct T(v
) = u
, i =
1,3,
unde v
= (2, 4, 6) , v 2
= (0 , 0 , 1) , v 3
= ( 1, 0, 1) i respectiv u
= (
1, 0 , 0) , u
2
= (2, 0, 1) ,
U3 = (0,0, 6) .
5
4 .S se ce rce t ez e dac rna tncea A
= 2 -1
30
sa se determine matricea
diagonal.
3
0
s te d iagon a l izabi la . In caz af i rm at iv
5.S
se determine valoarea polinomului matriceal P(A) pentru matricea:
-2 3 -1 4
A=
undeP(A)=A4-4A3+6A2-4A+.
-3 3 -2 5
2 2 2 3
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
7/14
Seminarul 7. ApIicaii.
Tem a: FORM E BILINIARE. FORM E PATRATICE
1 .
n spaiu1 v ectorial
J R
4
se consider urmtoarea form biliniar:
g:JR4 x IR
4
IR,g(x,y)=2x
y
1 +x2
y 1
+x2
y
2 +3x3 y 3 +x4
y
+x4
y
4 ,
oricare ar fi x =(X , x
2 , x
3
, x
4
), y = (
Y i p Y 2
Y3, Y4) E
JR4
i ) S se scrie m atricea lui g In baz a can onicA din IR'.
ii ) S se gAseasca matricea lui g In baza:
={e' =(1, 1, 1, 1),e' 2 = (0 , 1 , 2 , 1 ) , e '
3
=(0, 1, 1,0),e'
4
=(1,0,0,2)}.
2.
se scrie forma
ptratic definit de u rmtoarea formA biiniar sime tric. S se
determ ine rangu l ei.
g:
] R 3
x
3
- IR, g(x, y) = x
y
2
+ x
2
y
1
+ x
y3
+ x
3
y
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
,
onca re ar
fix
= (x
,
x
2 ,
x
3
), y = (yi, Y2 y) E
3 .
3.
n spaiu11 eu clidian (1R
3
, < , >) cu p rodusul scalar uzual, se da forma p tratic:
h(x) = 2x
+4x
x
8x
x 3 4x 2 x 3 .
S se reduc h la
forma
cano nic, folosindu-se m etoda valori lor i vectori lor propri i .
4.
t il iznd m etoda Iu i Gauss s se reduc l a forma can on ic urm toarea form
ptratic:
h: J R
3
>
IR, h(x)= x +4x
x
2
+2x
x
3
+ x +2x
2
x
3
+3x,
pe n t ru onc e x = ( x
, x
2 , x 3 ) E
J R
3
i
se determ ine baza corespun ztoare ace stei form e
canonice.
5 .
e d forma ptratica:
h (x)=
5x+6x+4x-4xx -4x x 3 .
Util izn d m etoda lui Jacobi s se reduc h la forma cano nic.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
8/14
SEM INARUL 8. APLICATII.
Tema:TRANSLAT I $I ROTAII. CONICE.
TRANSLATII I ROTATII.
1 . F a i A d e si ste m u l d e a x e ( x O y ) p u n c t u l M a re c o o r d o n a t e l e ( 1 ,
2 . S
se gseascA
coordonatele lui M
fata
d e s is te m u l ( x ' O 'y ' ) c u O '( 1 , 1 ) i a x a ( O 'x ' ) ro t it c u a = f a t
de axa (Ox ) .
2.Ce devine relatia dintre co ordonatele carteziene (x, y ) a le p unc telor M:
3x2 4xy 3y2 -2x-2y+1=0
fat de sistem ul de ax e oblinu t printr-o transl4ie a sistemu lui (xO y) c u o riginea In
'(l, 1) i
apo i rotire In sens trigon om etric cu u n un ghi a =
C O N I C E .
1.Fie fam il ia de co nice:
(F
x ): x2 +2xy+y2 -2x-4y 1 =O,AEIR.
Se ce re:
i )
S se d iscute na tura i genu l con ice lor
(r').
i i )
S se determine locul g eom etric a l cen trelor conicelor din fam il ie .
2.S se aduc l a forma cano n ic i
sa
se reprezin te grafic conica:
(F): 5 x
2
+8xy+5y
1 8x 1 8
y
+9=0.
3.S se reduc la forma c anon ic i sA se reprezinte con ica:
(F):x
2
-8xy+7y
2 +6x-6y+9=O.
4. S
se stabileasc natura i ge nu l conice i:
(F) : 9x 2
- 6x y
+ y
2
+
20x = 0
sa
se reduc la form a can onic i sA se reprezinte grafic .
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
9/14
SEMINARUL 9. APLICATH.
Tema: PROPRIETATI GENERALE ALE CONICELOR
1.Fie fam il ia de c onice:
(r
) : x 2
+
2Xxy +
y 2
. - 2x - 4y + 1 = 0, X
E
IR. Se cere:
i )S se discute natura i gen ul con icelor (Fx).
i i )S se determ ine locu l geo m etric a l cen trelor conicelor din fam il ie .
ii i)Pentru 7 = 1 sA se scrie
ecuatiile
axelor .
iv)Penlru X = sa
se determine ecu 4iile diametrilor conjug ai ai conicei
(1
J
care formea z un
ung hi de 600.
2.S se determine polul dreptei de
ecuatie
(d) : x - y - 1 = 0, In raport cu con ica:
1
,
):x
2
6x y + 2y 2
4x=0.
3 .S e d con i ca : ( [) :x
2 +5xy+3y2
-3y =O i se c e re :
i )S se scrie ecuapi le con icelor (F) tang ente con icei (F
) In punc tul M(2, 1) i care trec prin
pu nctele de intersectie ale coriicei (F'
) cu dreapta (d) : x + y 3 = 0.
i i )S se afle locul g eom etric a l cen trelor conicelor
M.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
10/14
SEMINARUL 10. APLICATII.
Tema: Cuadrice. Sfera.
1. Sedausfera:(S):x 2 +y2 +z2
-6x+2y-2z-5=0 iplanu1:(7t):2x+y-2z-2=0.
i)SA se arate c
intersectia
planu lui cu sfera este u n c erc real .
ii)S se scrie ecu atlile acestui cerc.
i i i )S se afle coo rdonatele c entrului i raza c ercului .
2.S se scrie ecu atia sferei cu cen trul In C(-2, 1, 3) tang ent la plan ul:
(it): x-2y+2z-3 =0.
3. Se d sfera: (S) : 4x 2 + 4y 2 + 4z 2
- 8x + 1 6 y - 12 z + 13 = 0 .
i)S se af le coo rdonatele cen trului i raza sferei .
i i)SA se gA seasc pun ctele de intersectie ale sferei date cu un diam etru paralel cu dreapta de
param etri directori 3 ,4, 12.
4.S se determine gen eratoarele recti l in i i a le cuadricei: (H
):
x
2
-
1 = 0
continute In p lanul:
(it)
: 6x + 3y - 2z + 6 = 0 .
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
11/14
SEMINA RUL 11. APLICATII.
Tema: I. Generri de suprafete. Curbe plane - I.
I. Generri de suprafete.
1.
Sa se determine e cua tia suprafeei cilindrice ale crei gen eratoare sunt paralele cu dreap ta:
f
x y z = 0 ,
(d): i are curba directoare: (C): +y
2
+
z 2 - z
= 0,
x+2
y+
3
z=
0
x=0
2.
S se determine ecua lia suprafetei conice cu v rful In V(1, 1 , 1) i av nd curba directoare:
(C):{X +y
2
4 =0 ,
z=0.
3. Sa se determ ine
ecuatia
su p r afee i g e n er a te d e d r ep te c ar e se sp ri jin a p e axa (O z ) , p e
Ix-1=0,
dreapta: (d) :
r A m
n p a ra le l e c u p l a nu l ( it ) : x + y + z = 0 .
4.
S se determ ine e cuatia suprafeei care se o btine prin rotirea c urbei:
(C): I
2y 2 +z 2
5 = 0,
{x+z+3=0,
injurulaxel (d): x y z
II. Curb e plan e -I.
1. S se scr i e
ecuatiile
t ange nte lo r i no rm ale lo r la cu rba p l ana d a ta In reprez entare
1
x =-,
pa ram etric: (F):
+ 1 In punctele A (t = 1) , B(t = 0) .
y-
t+1
2. S se scrie ecu atiile tang entelor i
normalelor la curba data In reprezentare implicit:
3
a 3a
(I) : x + y 3 axy =0, in punctul At,-2)-
3.
S5 se gseasca lungimile segmentelor: tangent, subtangenta, normal,
subnormal ale curbei: (F) : y = tg x, In pu nctul A de abscisA
IC
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
12/14
SEMINARUL 12 APLICATII
Tema:Curbe plane - II.
1.
Sa se gA seasc ordinul con tactului In origine al cu rbelor plane: (F
):
y x
,
([ '2) : y = x
2 sin2
X.
2.
S se scrie
ecuatia
cerculu i oscula tor a l curbei : (F) : y = s in x , In pun ctu l A(x = 2)
.
3.
S se afle Infurtoarea familiei de cercuri:
(['):x
2 +y
-2x+X
-4X=O.
4. S se gseasc Infurtoarea famil ie i de drepte , pen tru c are sum a t ieturi lor pe ax ele
de coordonate este constant.
5. S se determ ine evo luta unei parabole .
6. S se studieze punctul singular al folium-ului Iui Descartes:
(F): x3
+y
3
-3axy=O
i s se scrie
ecuatiile
tangentelor In acest punct.
7.
S se defineascA , sA se gseasc ecuatia i
sa
se reprezinte g rafic urm toarele curbe plan e:
cicloida, epicicloida-cardioida, hipocicloida-astroida, cisoida lui Diodes, spirala lui
Arhimede.
I I
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
13/14
SEMINARUL 13. APLICATII.
Tem a:Curbe In spatiu.
Fie data prin ecu ati ile param etrice cu rba In spatiu:
x =3+2t+4t
3 ,
(F): y=4+3t+2t
3 ,
z=2+4t+3t
3
, tEJR.
S se arate c este o cu rb
plan
i sa se gseasc ecu atia planulu i care o contine.
x =e t ,
2 . Se co ns ider curba In spa iu da ta In reprezen ta re p a ram etri ca : (F) : y =
e
-
t ,
z=It
i pun ctul M (t = 0) pe curb. Se ce re:
a )
versorul tangentei In M la curbA;
b )
ecu ati ile tange ntei In M la curb;
c ) curbura curbei i versorul norm alei pr incipale in M la (F) ;
d)
ecuati i le
norm alei principale In M la (F);
e ) versorul binormalei In M la
F ) ;
1) ecu ati ile binorm alei In M la curba data;
g) ec uatia planu lui osculator In M la
F ) .
3. Sa se scrie ecu a ; i il e tang ente i i a p l anu lu i norm al l a curba In spa iu:
x2+y2=r2,
r( r/ rJ
(F):
n pu nctu l A '
2
+z=r
4.
searatecurmtoareacurbaInspaiu:(F): f=t cos tit sin tj+atk.
este o el ice conic.
I
5.
ie curba in
spaiiu:
(F ) : x2 = 2 ay , SA se ara te Ca ea e s te o e l ice .
X' =6a
2Z.
6 . Se co ns idera cu rba In spa iu :
(F):
f
=et
cost/i+et
sin
tJj+e_ 2 ti
i se cere s se arate cA ea reprezintA o c urbA Titeica.
7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.
14/14
SEMINARUL 14. APLICATII
Tem a: Elem ente de geom etrie diferential a suprafetelor.
1. S se determ ine ecuatia cartezian a suprafeei a cArei
ecuatie
vectorial este:
(1): =u
2 .i+uvj+(au+v 2
)k.
x =u
2
+v+1,
2 . Se d suprafaa de repreze n tare
param etric: E): y = u 2 - v +1,
z = uv +2
i f ie pun ctul M(u = 1, v = 1) pe supraf4A . SA se scrie ecuatiile
carteziene ale cu rbelor
U =
con stant i v = constant care tree prin pu nctul
M.
x =u
2
+v 2 ,
3.
ie data suprafaa In reprezentare pa ram etrica:
(s): y = u 2 -
v 2 ,
z = uv.
Se cere:
i) s
se scrie prima form fundam ental a sup rafeei;
i i )
sa
se calculeze e lem entul de arc pentru curbele u = 2, v = 1, v = au;
i i i)
s a se calculeze lun gim ea a rcului curbei u = au, cu prins Intre intersecti ile curbei u = a u
c u u = 1 i u = 2 .
x = 2(u + v ) ,
4.
e d suprafata de
ecuatii
pararnetrice:(): y = u
2 + v 2
,
z=
(u
3
+v
3 )
Se ce re s se calculez e:
i )
lung ime a arcului curbei u = 1, cu prins Intre curbele v = 1, v = 2;
i i )
unghiu l curbe lor u = 2 i v = 1;
i i i )
elem entu l de the a l suprafeei .
5 .
SA se calculeze un ghiul curbelor v = u + 1 i v = 3 - u de pe suprafata de rotatie:
(s):
f=u cos vi+u sin vj+u
2
k.
6 . S se ca l cu lez e In t re p un c te l e M
(1; 2) i M
2 (2;
3) lung imea arcului de curbA v = u + 1,
situatpe suprafaad erotaie:
s): F=ucos vi+u sin vj+.u.dk.
Recommended