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1
NEEJA NUacuteCLEO DE EDUCACcedilAtildeO DE JOVENS E ADULTOS
CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo
APOSTILA DE MATEMAacuteTICA
ENSINO MEacuteDIO
PROFESSORA Suzerly Fatima Bonotto
2
NEEJA-NUacuteCLEO ESTADUAL DE EDUCACcedilAtildeODE JOVENS E ADULTOS ldquoCULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo
APOSTILA DE MATEMAacuteTICA - ENSINO MEacuteDIO
AacuteLGEBRA-
A aacutelgebra trata de fatos geneacutericos da aritmeacutetica dos nuacutemeros das matrizes
dos vetores dos polinocircmios para citar apenas alguns Assim como aritmeacutetica dos
nuacutemeros a aacutelgebra tambeacutem trata de operaccedilotildees lsquoe de suas propriedades A palavra
ldquoaritmeacuteticardquo origina-se do grego arithmos que quer dizer nuacutemeros
A aacutelgebra vai trabalhar com a linguagem matemaacutetica como instrumento de
comunicaccedilatildeo a serviccedilo do desenvolvimento cientiacutefico e tecnoloacutegico Por ser
universalmente utilizada e compreendida e por causa do uso crescente da tecnologia
(computadores telefones celulares entre outras) a linguagem matemaacutetica eacute cada vez
mais necessaacuteria Atualmente o conhecimento matemaacutetico vem se tornando fundamental
para quase todas as atividades profissionais para a compreensatildeo da informaccedilatildeo e para
que haja maior intercacircmbio entre os povos de vaacuterias liacutenguas Aleacutem disso vaacuterias
ciecircncias como a Fiacutesica e a Quiacutemica exprimem suas leis e resultados de pesquisa
utilizando a linguagem algeacutebrica Vocecirc sabe o que significa a expressatildeo x+1 Saberia
dizer o valor de x se x+1=5 Qual eacute o nome que se daacute a essa uacuteltima expressatildeo E o
resultado x+2x+4+5x
A seguir estudaremos equaccedilotildees do 1deggrau (nome dado a essas expressotildees)
comeccedilando com expressotildees mais simples para facilitar a compreensatildeo Leia o quadro
ao lado e conheccedila um pouco do termo aacutelgebra e sua utilizaccedilatildeo Tente descobrir o que
estaacute sendo feito na tabela a seguir
Caacutelculo do valor numeacuterico de expressotildees
Expressatildeo Variaacutevel Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 1
Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 2
Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 0
x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1
p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4
2y+5 y 21+1+5=7 22+5=9 20+5=5
zsup2-z z 1sup2-1=1-1=0 2sup2-2=4-2 0sup2-0=0
3t+t t 31+1=4 32+2=8 30+0=0
Vocecirc deve ter repara do que a letra em cada expressatildeo eacute atribuiacuteda pelo valor
indicado Nesse caso os valores satildeo 01 e 2Vale lembrar que uma expressatildeo algeacutebrica
pode representar constantes variaacuteveis ou uma combinaccedilatildeo delas por meio de uma
3
sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo
radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees
matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim
constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel
1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica
a) O dobro da idade de Joatildeo
b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade
c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765
d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos
e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos
2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas
a )x+4 para x=4
b)p-4 para p=4
c )2k-3 para k=1
d)4-y para y=0
e)5t+6 para t=2
3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees
a) 3x=90 g) 2=7y-5
b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9
c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12
FUNCcedilOtildeES
O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em
diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em
extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o
mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo
exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores
numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a
4
variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos
obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax
+ b
Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica
do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor
de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2
x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1
x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2
Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo
assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))
Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na
construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees
Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso
compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e
dos coeficientes
Exemplo- 1
1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B
Condiccedilotildees dos planos
Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo
periacuteodo
Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo
periacuteodo
Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x
dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido
Vamos determinar
a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano
b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois
se equivalem
a) Plano A f(x) = 20x + 140
5
Plano B g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econocircmico
g(x) gt f(x)
25x + 110 gt 20x + 140
25x ndash 20x gt 140 ndash 110
5x gt 30
x gt 305
x gt 6
Para que o Plano B seja mais
Econocircmico
g(x) lt f(x)
25x+110lt20x+140
25x-20xlt140-110
5xlt30 xlt305 xlt 6
Para que eles sejam equivalentes
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x ndash 20x = 140-110
5x = 30
x = 305 x = 6
O plano mais econocircmico seraacute
Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6
Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6
Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6
Exemplo 2-
Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo
variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias
produzidas determine
a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas
b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
2
NEEJA-NUacuteCLEO ESTADUAL DE EDUCACcedilAtildeODE JOVENS E ADULTOS ldquoCULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo
APOSTILA DE MATEMAacuteTICA - ENSINO MEacuteDIO
AacuteLGEBRA-
A aacutelgebra trata de fatos geneacutericos da aritmeacutetica dos nuacutemeros das matrizes
dos vetores dos polinocircmios para citar apenas alguns Assim como aritmeacutetica dos
nuacutemeros a aacutelgebra tambeacutem trata de operaccedilotildees lsquoe de suas propriedades A palavra
ldquoaritmeacuteticardquo origina-se do grego arithmos que quer dizer nuacutemeros
A aacutelgebra vai trabalhar com a linguagem matemaacutetica como instrumento de
comunicaccedilatildeo a serviccedilo do desenvolvimento cientiacutefico e tecnoloacutegico Por ser
universalmente utilizada e compreendida e por causa do uso crescente da tecnologia
(computadores telefones celulares entre outras) a linguagem matemaacutetica eacute cada vez
mais necessaacuteria Atualmente o conhecimento matemaacutetico vem se tornando fundamental
para quase todas as atividades profissionais para a compreensatildeo da informaccedilatildeo e para
que haja maior intercacircmbio entre os povos de vaacuterias liacutenguas Aleacutem disso vaacuterias
ciecircncias como a Fiacutesica e a Quiacutemica exprimem suas leis e resultados de pesquisa
utilizando a linguagem algeacutebrica Vocecirc sabe o que significa a expressatildeo x+1 Saberia
dizer o valor de x se x+1=5 Qual eacute o nome que se daacute a essa uacuteltima expressatildeo E o
resultado x+2x+4+5x
A seguir estudaremos equaccedilotildees do 1deggrau (nome dado a essas expressotildees)
comeccedilando com expressotildees mais simples para facilitar a compreensatildeo Leia o quadro
ao lado e conheccedila um pouco do termo aacutelgebra e sua utilizaccedilatildeo Tente descobrir o que
estaacute sendo feito na tabela a seguir
Caacutelculo do valor numeacuterico de expressotildees
Expressatildeo Variaacutevel Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 1
Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 2
Valor
numeacuterico se a
variaacutevel vale 0
x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1
p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4
2y+5 y 21+1+5=7 22+5=9 20+5=5
zsup2-z z 1sup2-1=1-1=0 2sup2-2=4-2 0sup2-0=0
3t+t t 31+1=4 32+2=8 30+0=0
Vocecirc deve ter repara do que a letra em cada expressatildeo eacute atribuiacuteda pelo valor
indicado Nesse caso os valores satildeo 01 e 2Vale lembrar que uma expressatildeo algeacutebrica
pode representar constantes variaacuteveis ou uma combinaccedilatildeo delas por meio de uma
3
sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo
radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees
matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim
constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel
1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica
a) O dobro da idade de Joatildeo
b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade
c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765
d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos
e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos
2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas
a )x+4 para x=4
b)p-4 para p=4
c )2k-3 para k=1
d)4-y para y=0
e)5t+6 para t=2
3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees
a) 3x=90 g) 2=7y-5
b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9
c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12
FUNCcedilOtildeES
O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em
diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em
extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o
mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo
exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores
numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a
4
variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos
obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax
+ b
Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica
do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor
de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2
x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1
x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2
Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo
assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))
Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na
construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees
Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso
compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e
dos coeficientes
Exemplo- 1
1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B
Condiccedilotildees dos planos
Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo
periacuteodo
Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo
periacuteodo
Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x
dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido
Vamos determinar
a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano
b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois
se equivalem
a) Plano A f(x) = 20x + 140
5
Plano B g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econocircmico
g(x) gt f(x)
25x + 110 gt 20x + 140
25x ndash 20x gt 140 ndash 110
5x gt 30
x gt 305
x gt 6
Para que o Plano B seja mais
Econocircmico
g(x) lt f(x)
25x+110lt20x+140
25x-20xlt140-110
5xlt30 xlt305 xlt 6
Para que eles sejam equivalentes
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x ndash 20x = 140-110
5x = 30
x = 305 x = 6
O plano mais econocircmico seraacute
Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6
Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6
Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6
Exemplo 2-
Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo
variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias
produzidas determine
a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas
b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
3
sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo
radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees
matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim
constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel
1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica
a) O dobro da idade de Joatildeo
b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade
c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765
d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos
e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos
2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas
a )x+4 para x=4
b)p-4 para p=4
c )2k-3 para k=1
d)4-y para y=0
e)5t+6 para t=2
3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees
a) 3x=90 g) 2=7y-5
b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9
c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12
FUNCcedilOtildeES
O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em
diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em
extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o
mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo
exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores
numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a
4
variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos
obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax
+ b
Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica
do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor
de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2
x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1
x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2
Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo
assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))
Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na
construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees
Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso
compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e
dos coeficientes
Exemplo- 1
1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B
Condiccedilotildees dos planos
Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo
periacuteodo
Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo
periacuteodo
Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x
dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido
Vamos determinar
a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano
b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois
se equivalem
a) Plano A f(x) = 20x + 140
5
Plano B g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econocircmico
g(x) gt f(x)
25x + 110 gt 20x + 140
25x ndash 20x gt 140 ndash 110
5x gt 30
x gt 305
x gt 6
Para que o Plano B seja mais
Econocircmico
g(x) lt f(x)
25x+110lt20x+140
25x-20xlt140-110
5xlt30 xlt305 xlt 6
Para que eles sejam equivalentes
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x ndash 20x = 140-110
5x = 30
x = 305 x = 6
O plano mais econocircmico seraacute
Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6
Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6
Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6
Exemplo 2-
Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo
variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias
produzidas determine
a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas
b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
4
variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos
obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax
+ b
Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica
do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor
de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2
x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1
x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2
Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo
assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))
Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na
construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees
Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso
compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e
dos coeficientes
Exemplo- 1
1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B
Condiccedilotildees dos planos
Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo
periacuteodo
Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo
periacuteodo
Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x
dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido
Vamos determinar
a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano
b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois
se equivalem
a) Plano A f(x) = 20x + 140
5
Plano B g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econocircmico
g(x) gt f(x)
25x + 110 gt 20x + 140
25x ndash 20x gt 140 ndash 110
5x gt 30
x gt 305
x gt 6
Para que o Plano B seja mais
Econocircmico
g(x) lt f(x)
25x+110lt20x+140
25x-20xlt140-110
5xlt30 xlt305 xlt 6
Para que eles sejam equivalentes
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x ndash 20x = 140-110
5x = 30
x = 305 x = 6
O plano mais econocircmico seraacute
Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6
Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6
Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6
Exemplo 2-
Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo
variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias
produzidas determine
a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas
b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
5
Plano B g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econocircmico
g(x) gt f(x)
25x + 110 gt 20x + 140
25x ndash 20x gt 140 ndash 110
5x gt 30
x gt 305
x gt 6
Para que o Plano B seja mais
Econocircmico
g(x) lt f(x)
25x+110lt20x+140
25x-20xlt140-110
5xlt30 xlt305 xlt 6
Para que eles sejam equivalentes
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x ndash 20x = 140-110
5x = 30
x = 305 x = 6
O plano mais econocircmico seraacute
Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6
Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6
Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6
Exemplo 2-
Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo
variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias
produzidas determine
a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas
b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
6
Respostas
a) f(x) = 15x + 16
b) f(x) = 15x + 16
f(400) = 15 x 400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600
Exemplo 3
3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e
R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros
percorridos
1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km
2 E se ele percorrer 3 km
3 E se percorrer 5 km
4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um
diagrama de flechas
5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x
(quilocircmetros percorridos)
Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios
1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar
Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)
2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680
3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204
4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir
o seguinte diagrama de flechas
1
5
15
440
920
2120
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
7
5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros
percorridos) eacute y= 320+ 120 x
Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo
Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo
x
Passagens 1 2 4 7
Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890
Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050
Conseguiu responder Vamos verificar
Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero
desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo
270 n=4050 n=4050270 =15
A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute
variaacutevel nessa situaccedilatildeo
De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda
independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra
das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas
Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser
expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute
a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a
independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x
(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)
tambeacutem aumenta
NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO
A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem
variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um
quadrado com a sua aacuterea
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L2
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
8
Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado
depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu
lado
Exerciacutecios
1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que
seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais
Tempo (minutos) Preccedilo (reais)
1 095
2 190
3 285
4 080
5 475
Responda
a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que
b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo
c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o
celular em horas
Exerciacutecio 2
Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos
em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro
do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e
estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x
(quantidade de aacutelcool)
DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS
Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 098
15
22
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
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1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
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J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
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Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
9
DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO
Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar
cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que
relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem
os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do
quadrado Teremos que
Lado 1 2 3 4 L
Aacuterea 1 4 9 16 L
2
O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu
quadrado em B
Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute
sai uma flecha de cada elemento de A
Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )
que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x
2
Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas
Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir
uma uacutenica flecha Observe
1
2
3
4
1
4
9
16
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
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1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
10
Temos que
Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo
Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo
Exerciacutecios
2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona
desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A
em B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo
Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B
Temos que
A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )
Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o
representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute
chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )
Observe
Seja e vamos considerar a funccedilatildeo
que transforma em
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
11
Temos que
eacute definida por ou
ou
ou
Exerciacutecios
3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine
a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4
4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio
Determine a imagem de f
5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do
nuacutemero 5
6 Dada a funccedilatildeo Determine e
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
12
7 Se e calcule m sabendo que
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A
perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal
As duas retas satildeo chamadas de eixos
Eixo das abscissas reta x
Eixo das coordenadas reta y
Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem
O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das
abscissas e outro do eixo das ordenadas
O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
13
O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P
O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P
(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P
Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as
abscissas e as ordenadas sejam dadas
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados
O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante
O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x
O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante
O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante
O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante
O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante
Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma
reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a
Quando a gt 0
Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =
2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais
para x para que possamos achar os valores correspondentes em y
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
14
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
12 0
1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem
aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y
formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta
Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x
Quando a lt 0
Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1
onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x
para que possamos achar os valores correspondentes em y
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
15
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos
que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos
no plano cartesiano para formar a reta Veja
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de
xmiddotmiddotmiddot
Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente
bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente
bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0
bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0
bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores
pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos
bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo
bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
DEFINICcedilAtildeO
Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a
0
Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas
f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0
Graacutefico
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
16
O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma
curva chamada paraacutebola
Exemplo
Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x
Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y
em seguida ligamos os pontos assim obtidos
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observaccedilatildeo
Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que
se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima
se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo
ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau
Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os
nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax
2 +
bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara
Temos
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
17
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o
radicando chamado discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees
a) x2ndashx - 20 = 0 b) x
2 - 3x -4 = 0 c) x
2 - 8x + 7 = 0
2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes
a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1
d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2
O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada
elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um
f(x)
Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)
f(1) = -2
f(2) = 3
PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)
2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A
diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero
(Resposta 10 e -8)
5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule
esse nuacutemero (R 5)
6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero
Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
18
Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes
a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782
b)119961120784+x-30=0
c)119961120784+3x+8=0
d)119961120784-7x+12=0
Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de
a)f(-2)=
b)f(0)=
c)f(3)=
d)f(-4)=
FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL
Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo
menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as
funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo
apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem
rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias
envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia
Psicologia entre outras
1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2
5 entatildeo 2
x=32=2
5 portanto
x=5
2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2
0 entatildeo 2
x=1=2
0 portanto x=0
3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3
3 e 243=3
5 entatildeo 3
3x=(3
3)
x=27
x=243=3
5
portanto 3x=5 de onde segue que x=53
4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5
4 e 25=5
2 entatildeo 5
4x =(5
4)
x=625
x=25=5
2
portanto 4x=2 de onde segue que x=12
Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
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Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
19
2) 120784119857120784+119857 = 64
120784119857120784+119857=120784120788
119857120784 +x=6
xsup2+ x -6 = 0
119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 x= -3 2
3) 3 120784119961minus120784 = 48
120784119961minus120784 = 120786120790
120785
120784119961minus120784 = 16
120784119961minus120784 =120784120786
x-2 = 4
x = 4 +2
x =6
Resolva as equaccedilotildees exponenciais
1)120784119961 = 128
2)120785sup2119961 = 243
3)120784119961minus120784 = 256
4)120785119961sup2minus120787=81
5)120786119961 =512
6)120789120784120791120784119961 =27
7)120784119961minus120785 = 120783
120790
8)120783120782120785119961 =120783
120783120782120782120782120782
9)120783120782120785119961 = 1000
10)2120784119961+120787= 16
11)3120784119961+120785 = 192
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
20
TRIGONOMETRIA
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo
retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma
paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio
A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se
usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns
CATETOS E HIPOTENUSA
Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados
adjacentes de catetos
Observe a figura
Hipotenusa
Catetos e
SENO COSSENO E TANGENTE
Considere um triacircngulo retacircngulo BAC
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees
trigonomeacutetricas
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
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SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
21
Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da
hipotenusa
Assim
Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida
da hipotenusa
Assim
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
22
RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS
Tangente
Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse acircngulo
Assim
Exemplo
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
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Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
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Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
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faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
23
As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo
x senx cosx tgx
30ordm
45ordm
60ordm
1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos
2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
24
265 cm = 265 m
3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e
o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros
Soluccedilatildeo
AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m
BC = altura da torre = h (a ser calculada)
A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o
4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de
depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma
5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz
altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal
Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem
TEOREMA DE PITAacuteGORAS
O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo
retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo
retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de
catetos
Hipotenusa m( ) = a
Catetos m( ) = b
m( ) = c
Acircngulos e
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
25
Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila
matemaacutetica
asup2= bsup2 + csup2
Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos
Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo
constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras
xsup2= 24sup2 +7sup2
xsup2=576 +49
xsup2=625
xsup2=radic625
x=25
Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos
13 x 12
12 13
2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo
retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras
a=6cm b=2cm c= 4cm
a=8cm b=3cm c=7cm
a=54cm b=42cm c=15cm
a=25cm b=24cm c=07cm
x 7
5
x
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
26
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
119938120785 = 120786
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21120783
120784120783
120786120783
120790----------------)
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
27
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
28
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
29
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
30
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1119954119951minus120783
48=3 119954120787minus120783
48|3=119954120786
16=119954120786
120784120786=119954120786
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
31
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
32
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
33
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
34
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
35
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
36
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
37
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
38
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
39
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
40
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(120783 120786120784 minus120785
) B=(120782 120787120783 120788
) C=(120784 120788120783 120785
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
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Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
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Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
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faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
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Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
41
Dada a matriz
A= (120785 120787120790 minus120783
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(120787 minus120785120786 120783
)+(120783 120788
minus120784 120785) = b)(
120782 120787120783120782 120783120784
) -(120791 minus120787120788 120783120782
) = c) 120788 (120783 120786120784 120785
) + (120791 120787120786 120782
) =
d) (120786 120783120784 minus120783
) -(120788 120790120785 120787
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|120786 minus120785120788 minus120783
|
b)|minus120785 120784minus120787 120783
|
c)|120788 minus120786120784 120785
|
d)|minus120787 120784minus120785 120790
|
darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786
f)120782 120785 120782
minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
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MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
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1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
42
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
43
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
44
MATEMAacuteTICA FINANCEIRA
Conceitos baacutesicos
A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de
investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos
matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa
Capital
O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como
Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras)
Juros
Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos
JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado
JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do
saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de
tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem
O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for
capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta
abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade
de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais
conhecida juros
Quando usamos juros simples e juros compostos
A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a
meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees
financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo
prazo e do processo de desconto simples de duplicatas
Taxa de juros
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
45
A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado
periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo
de tempo a que se refere
8 aa - (aa significa ao ano)
10 at - (at significa ao trimestre)
Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida
por 100 sem o siacutembolo
015 am - (am significa ao mecircs)
010 aq - (aq significa ao quadrimestre)
PORCENTAGEM
A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente
o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades
sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15
Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques
Razatildeo Centesimal
Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal
Alguns exemplos
120789
120783120782120782
120783120788
120783120782120782
120783120784120787
120783120782120782 120784120783120782
120783120782120782
Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas
120789
120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)
120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)
120783120784120787
120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)
As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
46
Considere os seguintes exemplos
Calcular 25 de R$12000
120784120787120783120782120782 X 120=
120785120782120782120782
120783120782120782=30 reais
Calcular 32 de R$34000
120785120784120783120782120782X340=
120783120782120790120790120782
120783120782120782=10880
Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8
dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez
8 de 75=120790
120783120782120782 x75== 120788
Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que
obtive
Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico
quanto isso representa de lucro
120787120782120782120782
120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que
120783
120786 =025=
120784120787
120783120782120782= 120784120787
Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25
O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo
desse imoacutevel antes do aumento
120786120784120782120782120782
119961=
120783120784120782
120783120782120782=3500000
Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000
Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos
120786120782
120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27
Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com
defeito
120783120787
120783120782120782X5400=81 facas
Exerciacutecios
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
47
1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma
venda de R$3600000
2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel
que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista
3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual
eacute de R$75000
4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de
acerto
5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma
venda de R$300000
6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto
passou a custar agrave camisa
7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de
1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano
8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto
ela recebe
9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava
R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista
10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele
venderaacute a bicicleta
11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio
de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de
tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu
veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo
a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160
JUROS SIMPLES
O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor
principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou
simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros
Transformando em foacutermula temos
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
48
J = c i t
Onde
J = juros
c =(capital)
i = taxa de juros
t = tempo
Foacutermula para calcular juros simples
1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de
juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo
J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs
J=1000120783120787
120783120782120782 X 1=1000x0 15=150
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de
juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses
5 de R$40000 eacute120786120782120782
120783120782120782 x5=20
Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros
Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses
Capital 1200 i=2=120784
120783120782120782 ao mecircs (am) t=10
meses
J=Cit
J=1200002 10
J=240
M=Ct j
M=1200+240=1440
4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias
Tri mecircs
1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400
X 45 x=453 J=120001315
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
49
Exemplo 5
Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de
juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo
J = 1000 x 008 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )
Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de
105 aa durante 145 dias
SOLUCcedilAtildeO
M = P ( 1 + (in) )
M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042
Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja
anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um
ano comercial possui 360 dias
Exerciacutecios sobre juros simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa
durante 125 dias
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros
em 75 dias
3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor
do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)
4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou
um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo
R - 4
5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000
em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot
6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo
simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
50
8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao
mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)
9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de
R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de
juros(R1ao mecircs)
10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute
cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco
eacute
(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25
11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de
3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo
(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc
12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs
gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado
13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses
14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24
ao ano
15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros
R$1923000determine a taxa anual
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais
uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo
incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte
Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal
Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos
1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1
+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
51
Simplificando obtemos a foacutermula
M = P (1 + i)n
Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja
taxa de juros ao mecircs para n meses
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do
periacuteodo
J = M ndash P
Exemplo
Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante
1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs
Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos
M = 6000(1+0035)12
= 6000 (1035)12
Fazendo x = 103512
temos 151
Entatildeo M = 6000151 = 9060
Portanto o montante eacute R$ 906000
1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o
montante apoacutes 4 anos
Resposta R$ 29282000
2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de
10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses
Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2
M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300
Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300
3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago
no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da
empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido
Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
52
M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771
4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa
de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada
por 12 meses qual seraacute o montante final
C = capital inicial = R$ 100000
i = taxa de juros = 05 ao mecircs
t = tempo = 12 meses
Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000
para o banco por 1 ano
5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e
prazos
a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses
6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa
composta de 4 ao mecircs
Resoluccedilatildeo
A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12
capitalizaccedilotildees
C = R$ 600
i = 4 = 004
n = 12
M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)
12 M = 600 (104)
12
M = 600 middot 160103
M = R$ 96062
7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos
juros compostos produzidos
Resoluccedilatildeo
C = R$ 500
i = 5 = 005
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
53
n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (105)
8 M = R$ 73873
O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873
8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros
compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762
Resoluccedilatildeo
M = R$ 47762
i = 3 = 003
n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)
M = C (1 + i)n
47762 = C (103)6
C = R$ 40000
Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas
Aacuterea da regiatildeo Retangular
b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro
a
Aacuterea da regiatildeo Quadrangular
A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l
l
Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero
A A=119949120784 radic120785
120786 use radic3 =17
Ciacuterculo
A= 120645 119961119955sup2
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
54
C=2120645 119955
Losango
A=119915 119961 119941
120784
EXERCIacuteCIO
1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno
2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho
3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de
15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas
4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo
necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea
5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de
4m por 275m
6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo
equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas
bandeirinhas(use radic120785 =17)
7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno
8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de
larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra
9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro
quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra
10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio
11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande
ciacuterculo
12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa
de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse
revestimento
a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645
d
D
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13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
55
13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita
adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que
tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos
rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo
14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com
25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos
metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas
15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o
valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a
medida exigida que eacute de 915m
GEOMETRIA ESPACIAL
ESTUDO DO CILINDRO
O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de
suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de
embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande
utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de
seu volume
Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute
obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja
V = (aacuterea da base) times (altura)
Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que
(aacuterea da base) = π∙r2
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
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7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
56
Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do
cilindro eacute dada por
V = π∙r2∙h
Sendo
r rarr o raio da base
h rarr a altura do cilindro
Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro
Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314
Volume
V = Ab h rarr V = π rsup2 h
Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de
liquidas e gasosas
Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees
entre as medidas de volume e de capacidade veja
1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro
1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1
1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml
Exemplo 1
Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma
transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da
base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo
diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato
ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique
se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para
abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o
combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar
Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314
V = π rsup2 h
V = 314 4sup2 12
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
57
V = 314 16 12
V = 60288 msup3
Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros
V = π rsup2 h
V = 314 09sup2 15
V = 314 081 15
V = 38151 msup3
Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3
A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria
para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute
suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo
Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5
cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o
enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que
determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =
314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm
3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628
cm3ou 628ml
Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular
reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros
desse reservatoacuterio (Utilize π=314)
Soluccedilatildeo Temos que
r = d2 = 152 = 75 m
h = 6 m
Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)
2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙
6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm
3 = 1
litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde
V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros
Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e
uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver
cheia
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
58
Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado
V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de
aacutegua
u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua
ESTUDO DO CUBO
O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices
Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo
portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um
cubo como o da figura abaixo observe
Aacuterea total
A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis
quadrados de lado a
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute
dado por
V= a a a = a3
Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de
1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3
Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta
Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as
arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute
V = 73 = 343 cm
3
PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO
O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices
conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja
apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
59
faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de
veacutertice
O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que
visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil
Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de
suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja
Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade
deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees
Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros
cuacutebicos)
A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave
capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de
aacutegua
Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo
Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9
cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3
Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento
3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
60
Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja
calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco
retangular vamos aplicar a foacutermula do volume
V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3
Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume
em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m
3 =
1000 dm3 Entatildeo 1 m
3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306
∙ 1000 = 30600 litros
EXERCIacuteCIOS
1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente
a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml
2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees
satildeo120m por 090m e 1ml
a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090
3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em
metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs
registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou
a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc
4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de
dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede
8cm
O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de
a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3
5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com
capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua
altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos
passou a ser de
a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3
6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea
total do paralelepiacutepedo
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
61
7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para
fabricar esse tijolo
8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo
120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)
9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas
pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute
importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de
accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de
duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode
deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave
fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher
completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato
ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua
que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)
a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml
10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base
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