View
124
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Apuntes Universidad del Bío-Bío, Asignatura Algebra Modulo 2.
Citation preview
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funciones trigonométricas de ángulosgenerales
Fernando Flores Bazánfflores@ubiobio.cl
Universidad del Bío BíoFacultad de Ciencias
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Contenido
1 Funciones trigonométricas de ángulos generales
2 Funciones CircularesFunicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
3 Propiedades de las funciones trigonométricas inversas
4 Ecuaciones Trigonométricas
5 Aplicaciones
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Consideremos θ ángulo en posición normal ubicados en cadacuadrante(IC, IIC, IIIC, IVC) y elegimos al punto P (x, y) en ellado terminal del ángulo θ
θ θ′
0
r
P (x, y)
•
y
xFernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
θ
θ′
0
r
P (x, y)
•
y
x
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
θ
θ′ 0
r
P (x, y)
•
y
x
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
θ
θ′0
r
P (x, y)
•
y
x
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Definición1 Sea θ un ángulo en posición normal, θ ∈ 0, 2π], y sea
P (x, y) 6= (0, 0) ubicado en el lado terminal de θ, yr =
√
x2 + y2, entonces se define:
sen(θ) =y
rcos(θ) =
x
rtan(θ) =
y
x
cot(θ) =x
ysec(θ) =
r
xtan(θ) =
r
y
2 Se define θ′
ángulo de referencia para θ como el ánguloagudo formado por el lado terminal de θ y el eje x.
Observación
Para encontrar el valor de una función trigonométrica de unángulo θ se procede :
Encuentre el ángulo de referencia θ′
Determine el valor de la función trigonométrica θ′
.Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
En esta sección estudiaremos a las funciones trigonométricassobre un dominio que es el conjunto de los números reales quea los ángulos, y se realizará en la circunferencia de radio 1.
Definición
Un circunferencia con centro en el origen y radio 1 se llamacircunferencia unitaria .
1
−1
1−1
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Seno)
La función seno se define por
sen : IR → [−1, 1]x 7→ sen(x)
1
−1
π 3π2
π2
2π
dom(sen) = IR y rec(sen) = [−1, 1]
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Coseno)
La función Coseno se define por
cos : IR → [−1, 1]x 7→ cos(x)
1
−1
π 3π2
π2
2π
dom(cos) = IR y rec(cos) = [−1, 1]
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Tangente)
La función Tangente se define por
tan : IR− {nπ2, n ∈ Z} → IR
x 7→ tan(x)
1
−1
ππ2
dom(tan) = IR− {nπ
2, n ∈ Z} y rec(tan) = IR
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Cotangente)
La función Cotangente se define por
cot : IR− {nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ cot(x)
,23truetrue,
dom(cot) = IR− {nπ, n ∈ Z} y rec(cot) = IR
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Secante)
La función Secante se define por
sec : IR− {π2+ nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ sec(x)
,23truetrue,
dom(sec) = IR−{π
2+nπ, n ∈ Z} y rec(sec) =]−∞,−1]∪[1,+∞[
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Cosecante)
La función Cosecante se define por
cosec : IR− {x : x = nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ cosec(x)
,23truetrue,
dom(cosec) = IR−{nπ, n ∈ Z} y rec(cosec) =]−∞,−1]∪[1,+∞[
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Observación1 Las funciones sen(θ), cos(θ), sec(θ), cosec(θ) tienen
período 2π. Mientras que las funciones tan(θ), cot(θ)tienen π.
2 La función sen(θ) es impar por lo tanto sen(−θ) = −sen(θ).3 La función cos(θ) es par por lo tanto cos(−θ) = cos(θ).
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Propiedades
cos(π2− x) = sen(x) sen(π
2− x) = cos(x)
cos(x+ π) = − cos(x) sen(x+ π) = −sen(x)
cos(π − x) = − cos(x) sen(π − x) = sen(x)
sen(x± y) = sen(x) cos(y)± sen(y) cos(x)
cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sen(x)sen(y)
cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sen(x)sen(y)
tan(x+ y) =tanx+ tan y
1− tanx tan y
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Propiedades
tan(x− y) =tanx− tan y
1 + tan x tan y
cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)
sen(2x) = 2sen(x) cos(x)
cos(2x) = 1− 2sen2(x) = 2 cos2(x)− 1
sen(x) + sen(y) = 2sen(
x+y2
)
cos(
x−y2
)
sen(x)− sen(y) = 2 cos(
x+y2
)
sen(
x−y2
)
cos(x) + cos(y) = 2 cos(
x+y2
)
cos(
x−y2
)
cos(x)− cos(y) = −2sen(
x+y2
)
sen(
x−y2
)
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcoseno)
y = arcsenx ⇐⇒ x = seny, y ∈ [−π/2, π/2]
⇐⇒
{
sen(arcsenx) = x, x ∈ [−1, 1]
arcsen(seny) = y, y ∈ [−π/2, π/2]
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcocoseno)
y = arccosx ⇐⇒ x = cos y, y ∈ [0, π]
⇐⇒
{
cos(arccosx) = x, x ∈ [−1, 1]
arccos(cos y) = y, y ∈ [0, π]
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcotangente)
y = arctanx ⇐⇒ x = tan y, y ∈ ]− π/2, π/2[
⇐⇒
{
tan(arctanx) = x, x ∈ ]−∞,+∞[
arctan(tan y) = y, y ∈ ]− π/2, π/2[
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcocotangente)
y = arc cot x ⇐⇒ x = cot y, y ∈ ]0, π[
⇐⇒
{
cot(arc cot x) = x, x ∈ ]−∞,+∞[
arc cot(cot y) = y, y ∈ ]0, π[
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcosecante)
y = arcsecx ⇐⇒ x = secy, y ∈ [−π,−π/2[∪[0, π/2[
⇐⇒
{
sec(arcsecx) = x, x ∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
arcsec(secy) = y, y ∈ [−π,−π/2[∪[0, π/2[
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas
Definición (Función Arcocosecante)
y = arc csc x ⇐⇒ x = csc y, y ∈ [−π,−π/2[∪]0, π/2]
⇐⇒
{
csc(arc csc x) = x, x ∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
arc csc(csc y) = y, y ∈ [−π,−π/2[∪]0, π/2]
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
i) arccosx = π/2− arcsenx, |x| ≤ 1 ii) arcsecx = arccos(1
x), x ≥
iii) arc csc x = arcsen(1
x), x ≥ 1 iv) arc cot x =
π
2− arctanx, x
v) cos(arcsenx) =√
1− x2, |x| ≤ 1 vi) sin(arccosx) =√
1− x2,
vii) cot(arc csc x) =√
x2 − 1, |x| ≥ 1 viii) csc(arc cot x) =√
1 + x2
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Sean las funciones siguientes
(a) y = k ± asenb(x− h) (b) y = k ± a cos b(x− h)
donde a, b, h y k son reales a 6= 0 y b 6= 0 se define1 A = |a| amplitud de una onda senoidal.2 D = |h| defasamiento de la gráfica.
3 T =2π
|b|período fundamental de la función
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Considere el triángulo ABC con ángulos α, β, γ cuyos ladosopuestos a esos ángulos tienen longitudes a, b, crespectivamente.
c a
bA
B
Cα
β
γ
Teorema del senoa
sen(α)=
b
sen(β)=
c
sen(γ)
Teorema del Coseno
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares
Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas
Aplicaciones
Definición1 Si la línea de visibilidad y el objeto están por encima de la
línea horizontal, el ángulo se llama ángulo de elevación .2 Si la línea de visibilidad y el objeto están por debajo de la
línea horizontal, el ángulo se llama ángulo de depresión .3 Un orientador marca el ángulo agudo que forma una recta
con la recta norte-sur.
Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales
Recommended