View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL
YASMITH BOCANEGRA ARAGON
MARISEL ARDILA AMADOR
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
2
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 4
1 LA INTEGRAL……………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Anti derivada o primitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………. 5
1.2 Integral Indefinida……………... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Área de una región en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . 9
1.4.1 Propiedades de la Sumatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ..9
1.5 Partición de un intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Suma de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 10
1.7 Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Área e integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.8.1 Propiedades de la integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .10
1.8.2 Primer teorema Fundamental del Cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .15
1.8.3 Segundo teorema Fundamental del Cálculo... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.4 Teorema del valor Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16
1.9 Valor Promedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.1 Regla de la Sustitución Simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2 Integración por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .20
2.3 Integración de Funciones Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Sustitución Trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Integración por Fracciones Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
3.1 Área entre Curvas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Volúmenes de Sólidos de Revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32
3.2.1 Método de Discos y Arandelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Método de Cascarones Cilíndricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. ... 34
3.2.3 Volumen por Secciones Transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .35
4. COORDENADAS POLARES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 Sistema de Coordenadas s Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
4.2 Representación de Puntos en el Plano Polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 38
4.3 Coordenadas Polares y Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Ecuaciones Polares... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 39
4.5 Área entre Curvas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
INTRODUCCIÓN
Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación. Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral. Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto. Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la anti derivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental. Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería. Por último se incluye el estudio del sistema de coordenadas polares para que de esta manera extrapole los concepto trabajados en las coordenadas cartesianas a otro sistema de representación de magnitudes y funciones. Como es el sistema polar.
5
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
UNIDAD 1 LA INTEGRAL Definición 1.1 Anti derivada o primitiva
Se dice que la función F es una anti derivada o primitiva de f , en un intervalo I si y solo si
( ) ( )F x f x para todo x en I
Ejemplo 1.1
Si se quiere encontrar una función F cuya derivada sea 2( ) 3f x x . Por lo que se sabe de
derivadas es posible afirmar que
3( )F x x Porque 3 23
dx x
dx
Teorema 1.1.1
Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, entonces G es una anti derivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x)= F(x) +C, para toda x en I, donde es una constante.
A continuación se presentan las antiderivadas de algunas funciones:
Función : f x Antiderivada : F x
nx
1
1
nxC
n
senx cos x C
cos x
senx C
2sec x
tan x C
2csc x
cot x C
sec tanx x sec x C
csc xcotx
csc x C
2
1
1 x
1sen x C
2
1
1 x
1tan x C
2
1
1x x
1sec x C
x
x C
xa
ln
xaC
a
1
x
ln x C
6
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Definición 1.2 Integral Indefinida La integral indefinida de la función f con respecto a x es igual a la anti derivad de f.
Ejemplo1.2 Escribamos la integral definida de las funciones reales básicas.
7
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Ejemplo 1.3 Halle las siguientes integrales indefinidas:
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas.
Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.
Definición 1.3 Área de una región en el plano
Entonces si )(xfy
es una función positiva y se quiere encontrar el área bajo la curva desde
ax hasta bx ,tomando )( ixf
el mayor valor que toma la función )(xf
en el intervalo
ii xx ,1 y )( 1ixf
el menor valor de la función en el intervalo (si la función f
es creciente
en ba,
), haciendo una partición regular del intervalo ba,
donde nabx /)(
, si )( icf
es
el valor de f
en el ésimoi subintervalo. La medida de la región R está dada por:
n
i
in
xcfA1
)(lim .
Un método de aproximación al área que se está buscando es, haciendo una subdivisión del
intervalo ba, en subintervalos de longitudes iguales nabx /)( (a lo que se le llamará
partición regular del intervalo). La Partición de un intervalo ba, es un conjunto finito de
puntos de ba, de los cuales uno es a y otro es b . Donde: ,0 ax ,...,1 xax
8
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
,...,xiaxi ,)1(1 xnaxn bxn . Asimismo, se denota el i-ésimo intervalo por
ii xx ,1 , siendo Nn es una manera de numerar los puntos de la partición; n es el número de
partes.
Figura 2
Puesto que f es continua el teorema del valor extremo garantiza la existencia de unos valores
mínimo y máximo de )(xf en cada subintervalo:
imf valor mínimo de )(xf en el i-ésimo intervalo
iMf valor mínimo de )(xf en el i-ésimo intervalo
Por tanto, podemos definir un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito como se muestra en la figuras 3 y 4
Figura 3 Figura 4
La relación entre las áreas de estos dos rectángulos es la siguiente:
(Área del rectángulo inscrito) = imf x iMf x = (área del rectángulo circunscrito)
Sumando estas dos áreas, tenemos
Suma inferior =
n
i
in xmfs1
)( Suma superior =
n
i
in xMfS1
)( ; donde nn Ss
De hecho, si tomamos el límite cuando n , ambas sumas superior e inferior existen y son
iguales. De este modo, la elección de x en el intervalo i-ésimo no afecta el valor del límite, por lo
que podemos elegir libremente un valor y lo definiremos como ic . Esto es
9
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
n
i
i
n
in
in
xMxmf11
)(lim)(lim
n
i
in
xcf1
)(lim
Definición 1.4 Sumatoria
Dado un conjunto de números),...,,,( 21 niii aaaa , el símbolo
n
ik
na
representa su suma indicada
o sumatoria. Esto es niii
n
ik
n aaaaa
...21
. La letra griega sigma mayúscula, ,
denota la sumatoria, karepresenta el k-ésimo término, la letra k se llama índice de sumatoria y
adquiere valores enteros sucesivos, los números i y n son los valores extremos del índice de sumatoria. Teorema 1.4.1 Propiedades de la Sumatoria:
1.
n
k
cnc1
; c: constante 2. ;11
n
k
k
n
k
k acac c: constante
3.
n
k
n
k
kk
n
k
kk baba1 11
4.
b
ak
cb
cak
ckFkF )()(
5.
b
ak
cb
cak
ckFkF )()( 6. )0()()1()(1
FnFkFkFn
k
7.1 Si n entonces
n
k
nnk
1 2
)1(
7.2
n
k
nnnk
1
2
6
)12)(1(
7.3
n
k
nnk
1
223
4
)1(
7.4
n
k
nnnnnk
1
234
30
)196)(1(
Definición 1.5 Partición de un Intervalo cerrado:
Una partición de un intervalo cerrado ba, es el conjunto de todos los subintervalos de la forma
,, 10 xx ,, 21 xx ,, 32 xx ,,..., 1 nn xx y ,... 13210 bxxxxxxa nn .n
La longitud del ésimoi subintervalo ii xx ,1 , ,ix está dada por 1 iii xxx . La longitud
del subintervalo más largo de la partición se llama norma de la partición y se denota por .
En la figura 4 se ilustra una partición cualquiera de ba, .
10
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Definición 1.6 Suma de Riemann:
Sea f una función definida en ba, , y sea una partición cualquiera de ba, , una suma de
Riemann (llamada así en memoria del matemático alemán G.F. Bernard Riemann (1826- 1886)) es la que está dada por:
xfxfxfxfxfxf nni
i
ii
)(...)(...)()()()( 433221
1
1
Donde i es un punto cualquiera del ésimoi subintervalo y, xi es la longitud de este
ésimoi subintervalo.
Definición 1.7 la Integral definida:
Sea f una función definida en ba, , la integral definida de f entre a y b , denota como
b
adxxf ,)( está dada por:
n
i
iin
i
n
i
i
b
ax
xfxfdxxf110
.)()()( limlim
En b
adxxf ,)( las denominaciones son: : signo de integración ( es una “s” estirada); a :
extremo inferior; :b extremo superior; )(xf integrando.
Definición 1.8 Área e Integral definida:
Si f es continua en ba, , y 0)( xf bax , , entonces el Área A de la Región R bajo la
gráfica de f entre a y b , está dada por: b
adxxfA )(
Teorema 1.8.1 Propiedades de la Integral Definida: Para facilitar el cálculo de una integral definida, sin tener que recurrir a la definición dada en función de la sumatoria, se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales:
1. si ,ba entonces: b
a
a
bdxxfdxxf )()(
2. si )(af existe, entonces: a
adxxf 0)(
3. Si k es una constante cualquiera, entonces
b
aabkkdx )(
4. Si f es integrable en ba, y, k es una
constante arbitraria, entonces:
b
a
b
adxxfkdxxfk )()(
5. Si f y g son integrables en ba, , entonces
gf también es integrable en ba, y:
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()(
6. Si f es integrable en ,,ba ca, y bc, , y
bca , entonces:
b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()(
6. Si f es integrable en un Intervalo cerrado I y,
,,, Icba entonces:
7. Si f es integrable en ba, y 0)( xf
bax , , entonces: b
adxxf 0)(
11
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()(
8. Si f y g son integrables en ba, y
)()( xgxf bax , , entonces
b
a
b
adxxgdxxf )()(
9. Sea f continua en ba, . Si m es el valor
mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto de
f en ba, , y ,)( Mxfm bxa
entonces,
b
aabMdxxfabm )()()(
La interpretación geométrica es: Como
0)( xf ,,bax el área de la región
bajo la curva de )(xf , encerrada entre las
rectas ax y bx y el eje x , está dada
por la integral b
adxxf )( . El área de la región
rectangular de dimensiones M y (b-a) es mayor que el área dada por la integral, y el área de la región rectangular de dimensiones m y (b-a) es menor que el área dada de la integral.
Ejemplo 1.4 Determine la suma por medio de la definición y propiedades de la sumatoria:
2
2 3k k
k
33
3
32
2
31
1
30
0
31
1
32
2
2
1
5
2
4
10
2
12
6
3
5
2
4
1
3
0
2
1
1
2
20
2350
20
10851040
=
20
27
20
1
2 )2(3k
kk =
20
1
20
1
20
1
33 63)63(k k k
kkkk
2
)21(206
4
)21(203
22
212034
4414003
1260132300 = 133560
Ejemplo 1.5 Evalúe el área de la región dada, emplee rectángulos inscritos o circunscritos según se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muestre la región y el i-ésimo rectángulo.
a. La región acotada por la curva de 2xy , el eje x , y la recta 2x , rectángulos inscritos,
(figura a). Dividimos 2,0 en n subintervalos, cada uno de longitud x : ,00 x xx 1 ,
xx 22 , ..., xixi )1(1 , xixi , …, .2nx nn
x202
; 2)( xxf . Como f
12
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
es creciente en 2,0 , el valor mínimo absoluto de f en el i-ésimo subintervalo ),( 1 ii xx es
)( 1ixf , Por lo tanto: ,))1((lim)(lim1
2
1
1 xxixxfAn
i
n
in
in
figura a
figura b
b. La región acotada por xy 2 , el eje x , y las rectas 1x y ;4x rectángulos circunscritos,
(Figura b)
Dividimos 4,1 en n subintervalos, cada uno de longitud x : ,10 x xx 11 ,
xx 212 ,…,
4,...,1 ni xxix . nn
x314
, . Como f es creciente en 4,1 , el valor máximo
absoluto de f en el i-ésimo subintervalo ),( 1 ii xx es ).( ixf Por lo tanto:
,)1(lim)(lim11
n
in
n
i
in
xxixxfA
n
i
n
in
n
in
n
i
n
inn
inn
innnn
ixxiA1 1
21
211
36
lim)3(6
lim33
12lim)1(2lim
)05(33
5lim33
53lim2
356lim
2
)1(36lim
2
2
2
2
nn
nn
n
nnn
nA
nnnn
15A unidades cuadradas
Ejemplo 1.6
Halle la suma de Riemann para la función x
xf1
)( en el intervalo 31 x , (Figura c); emplee
la partición dada : ,10 x ,3
51 x ,
4
92 x ,
3
83 x ;34 x y los valores de :i
13
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
,4
51 ,22 ,
2
53
4
114 . Trace la gráfica de la función en el intervalo dado, y muestre los
rectángulos cuyas medidas de área sean los términos de la suma de Riemann
xfxfxfxfxf i
i
i 44332211
4
1
)()()()(
3
83
4
11
4
9
3
8
2
5
3
5
4
9)2(1
3
5
4
54
1
ffffxf i
i
i
3
1
11
4
12
5
5
2
12
7
2
1
3
2
5
4)(
4
1i
ii xf 33
4
6
1
24
7
15
8 =
1320
1469
Figura c
Ejemplo 1.7
Encuentre el área exacta de la región acotada por la recta 12 xy , el eje x y las rectas 1x y
5x , como se indica: a) Exprese la medida del área como límite de una suma de Riemann con
particiones regulares; b) Exprese este límite con la notación de integral definida; c) Evalúe la
integral definida con el método de esta sección y una elección indicada de 1 . Trace una grafica
que muestre la región.
a)
n
i
in
xfA1
1)(lim (1). Haciendo una partición regular de 5,1 en n subintervalos,
entonces:
nnxxi
415
(2). Sustituyendo (2) en (1)
n
in n
fA1
1
4)(lim
b) 5
1)12( dxxA
c) Si escogemos 1 como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tienen
411
,n
812 ,...,
,..,4
1 in
i .5n Puesto que 12)( xxf , entonces
;142
14
2)(
in
nn
inf i
14
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
n
inn
dxxAn
in
414
2lim)12(
1
5
1
n
i
n
i
n
in
n
in
innn
innn 11 11
1424
lim1424
lim
22
2
2 464
lim)1(224
lim nnnn
nnnnnn nn
nnnn
n nnnn
4lim5lim4
45lim445
4lim 2
2
2054054)12(5
1 dxxA unidades cuadradas
Ejemplo 1.8
Encuentre el valor exacto de la integral definida 2
0
2dxx por Sumas de Riemann.
Consideremos una partición regular del intervalo 2,0 en n subintervalos. Entonces nx 2 . Si
escogemos 1 como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tiene:
,2
1n
2,...,2
,...,2
22
ni
ni
n . Como
2)( xxf , entonces 2
2242
)(n
i
n
if i
nnnn
nnn
ni
nnn
idxx
n
n
inn
n
in
23
331
2
31
2
22
0
2 323
4lim
6
)12)(1(8lim
8lim
24lim
2
0
2
22
3
8
0023
41lim
3lim2lim
3
4132lim
3
4
dxx
nnnn nnnn
Nota: La interpretación geométrica del resultado es la siguiente: como ,02 x ,2,0x la
región ,R acotada por la curva ,2xy el eje x y las rectas 0x y ,2x tiene un área cuya
medida es de 38 unidades cuadradas.
Ejemplo 1.9 Aplique las propiedades de la integral definida para evaluar las siguientes integrales:
1. 5
24dx = )3(4)25(44
5
2 dx
5
2124dx 2.
3
3
24 dxx = 043
3
2 dxx
Ejemplo 1.10 Use las propiedades para resolver los siguientes ejercicios:
15
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
1. 7
32xdx
f es una función polinomial, por lo que es continua en
R , y en particular, continua en 7,3
:2)(' xf Siempre existe y nunca es 0; por lo que no
tiene números críticos.
:6)3(2)3( f Valor mínimo absoluto
:14)7(2)7( f Valor máximo absoluto.
Por lo tanto de acuerdo con el teorema 10, se tiene:
7
3
7
356224)37(142)37(6 xdxxdx R
espuesta: El valor de la integral está en el 56,24
2. 6
33 dxx
,3303:3)( Domxxxxf
f es continua en ,3 y particular en 6,3
,32
1)('
xxf
'f no existe en 3x y )(' xf nunca
es cero, entonces el único número critico de f es 3
:0)3( f Valor máximo absoluto de f en 6,3
:3)6( f Valor mínimo absoluto de f en 6,3
De acuerdo con el teorema 10, se tiene:
6
3
6
32730)36(33)36(0 dxxdxx
Respuesta: El valor de la integral está en el 27,0
b) 2
2
3 4)1( dxx . Solución:
2
2
2
2
33 )(4)1())2(2)(()1( zfdxxzfdxx ,
Pero 2
2
3 4)1( dxx , esto es ,4)(4 zf 1)( zf es
decir, ;011 33 zz 0z
De tal modo que :
2
2
3 ))2(2)(0()1( fdxx
Teorema 1.8.2 Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b], y sean x un punto en (a,b). Entonces,
Ejemplo 1.11
Calcule la derivada: a)
x
dttdx
d
2 4 4
1=
4
14 x
b) 3
1
3 2 1x
dttdx
d Aplicamos la regla de la cadena:
33
1
3 2
1
3 2 11xx
dx
dudtt
du
ddtt
dx
d. (1)
Si 23 3, x
dx
duxu , sustituyendo en (1) se obtiene:
ux
xdttdu
ddtt
dx
d
1
23 2
1
3 2 ,3113
16
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
3
3
1
3 623 2
23 623 2323 2
1
3 2
131
3131)(311
x
x
xxdttdx
d
xxxxxudttdx
d
Teorema 1.8.3 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f continua en [a,b], y sea F cualquier anti derivada de f en [a,b],. Entonces
Ejemplo 1.12
Evalúe la siguiente integral
Teorema. 1.8.4 Teorema del valor Medio:
Si f es una función continua en ba, , entonces existe un número z en ba, , tal que:
b
aabzfdxxf ))(()(
Sea 0)( xf , bax , ; en este caso, b
adxxf )( se toma como el área de la región encerrada
por la curva de )(xf , las rectas ax y bx y el eje x . Entonces, existe un número
baz , tal que el área del rectángulo ABCD cuyas dimensiones son la altura )(zf y el ancho
)( ab es igual área de la región ABDF.
El número z no es necesariamente único, no obstante, el teorema 11, garantiza al menos la existencia de un número que satisfaga la igualdad.
17
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Definición1.9 El Valor Promedio
Sea f continua en ba, , el valor medio ( o promedio ), ,medf de f en ba, es:
b
amed dxxf
abf )(
1
Ejemplo 1.13 Halle el valor promedio de f(x) = 3x
2 - 2x en el intervalo [1, 4]. Calculamos:
16)111664(3
1
2
2
3
3
3
1)23(
3
1)(
14
1
234
1
2
xxdxxxdxxf
abf
b
a
prom
Ejemplo 1.14 En los siguientes ejercicios encuentre el valor de z que satisfaga el Teorema del valor medio para
la integral definida. Emplee los siguientes resultados: 2
0
2 38dxx , 2
2
3 4)1( dxx
18
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
a) 2
0
2dxx . Solución:
2
0
2
0
22 )(2)02)(( zfdxxzfdxx , Pero
2
0
2 ;3/8)(2,3/8 zfdxx ,3/4)( zf
Esto es ,3/323/42 zz como 2,03/32
se toma 3/32z de tal modo que
)02)(3/32(2
0
2 fdxx
19
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
UNIDAD 2 TECNICAS DE INTEGRACIÓN
2.1 Regla de la sustitución simple o cambio de variable Sea g una función derivable y supóngase que F es una anti derivada de f., entonces
dxxgxgf )())((.
La sustitución o cambio de variable )(xgu
la transforma en duuf )( = F(u) = F(g(x)) +C
Ejemplo 2.1
Aplique el método de la sustitución simple par a evaluar las siguientes integrales
.a dxxxdxxx 21031032 3)1(3
1)1(
dxxduxu 23 31
Entonces
Cu
duudxxx 333
1)1(
11101032
Cxdxxx 1131032 )1(
33
1)1(
dtt
tb
3sec.
2
=
t
dtt
2
33sec
3
2 2
dtt
dutu2
33
Entonces
Cuududtt
t tan
3
2sec
3
23sec 22
ctdtt
t 3tan
3
23sec2
xdxd sec.
dxxx
xxxdx
xx
xxxxdx
tansec
tansecsec
tansec
)tan(secsecsec
2
dxxxxdu
xxu
)sectan(sec
tansec
2
Cuu
duxdx lnsec
cxxxdx tanseclnsec
20
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
2.2 Integración por partes Sean u y v funciones derivables e integrables entonces aplicando la regla del producto para derivar y posteriormente integrando a ambos lados obtenemos una fórmula para integral un producto de funciones
vduvuudv
vduudvvud
vduudvvud
.
).(
).(
Ejemplos 2.2 Usando l integración por partes evalúe las siguientes integrales
xsenxdxa.
xvsenxdxdv
dxduxu
cos
Aplicando la regla de por partes se obtiene
xdxxxxsenxdx coscos
csenxxxxsenxdx cos
xdxxb ln. 2
3
ln
32 x
vdxxdv
x
dxduxu
Aplicando la regla de por partes se obtiene
dxxxx
xdxx 23
2
3
1ln
3ln
cxxxxdxx 332
9
1ln
3
1ln
xdxxxc tansec.
xvxdxxdv
dxduxu
sectansec
xdxxxxdxxx secsectansec
cxxxxxdxxx tanseclnsectansec
dxxd cos.
21
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Primero se realiza una sustitución simple
dxwdwxwxw 22
El integrando quedaría
wdwwdxx cos2cos
Aplicando integración por partes
senwvwdwdv
dwduwu
cos
Aplicando la regla de integración por partes se obtiene:
)cos(cos 1 cwwsenwsenwdwwsenwwdww
Y el resultado sería
cwwsenwcwwsenwdxx cos22))cos((2cos 1
Reemplazando xw , entonces:
cxxsenxdxx cos22cos
2.3 Integración de funciones trigonométricas En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:
Caso: sen
mxcos
nx
-Si al menos uno de los exponentes es impar, se separa un término de la potencia impar se hace la sustitución con la función que no se separó el factor y se utiliza la identidad sen
2x + cos
2x = 1.
Ejemplo 2.3
xsenxdxxsenxdxxsenxdxxsenxdxxx
xsenxdxxxsenxdxxsenxdxxsena
642242
22222225
coscos2coscos)coscos21(
cos)cos1(cos)(cos.
Cuuuduuduuduu
senxdxdu
xu
753642
7
1
5
2
3
12
cos
cxxxxdxxsen 75325 cos
7
1cos
5
2cos
3
1cos
22
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
- Si ambos exponentes son pares se usan las identidades trigonométricas: Cos
2x = (1+cos2x)/2 y sen
2x =(1-cos2x)/2
Ejemplo 2.4
Cxsenxdxx
xdxsendxxdxxxdxxxsenb
1296
1
8
1)12cos1(
8
1
64
1)6cos1(
4
1)6cos1)(6cos1(
4
13cos3. 2222
cxsenxdxxxsen 1296
1
8
13cos3 22
Caso: tan
mx sec
nx
- Si el exponente de secx es par, se separa un factor sec
2x , se hace u=tanx , se utiliza la identidad
1+tan2x = sec
2x
Ejemplo 2.5
Cuu
duuduuduuu
xdxdu
xu
xdxxxxdxxxdxxxd
97)1(
sec
tan
sec)tan1(tansecsectansectan.
978626
2
22622646
cxxdxxx 7946 tan
7
1tan
9
1sectan
- Si el exponente de tanx es impar, se separa el factor sec x tanx y se hace u= secx. 2.4 Sustitución trigonométrica A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:
222222 ;; auuaua . Siendo a una constante y u una función de x
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. Completa la siguiente tabla:
Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica Radical se convierte
22 ua asenu cosa
22 ua tanau seca
22 au secau tana
23
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Ejemplo 2.6 Usando una sustitución trigonométrica evalúe la integral
Solución
En este ejercicio la expresión dentro del radical es de la forma 22 ua ; por lo que la sustitución
debe ser:
ddx
senx
cos2
2
cx
x
xx
dx
Cddsenxx
dx
4
4
4
cot4
1csc
4
1
cos24
cos2
4
2
22
2
222
dzzz
b
2
)52(
1.
2
Solución
ddz
z
z
dzdz
zz
2
222
sec2
tan21
)4)1(()52(
12
Cz
zz
zdz
zz
Csendzzz
Csenddddzzz
2
1tan
16
1
)52(
1
8
1
)52(
1
cos16
1
16
1
)52(
1
232
1
16
1)2cos1(
16
1cos
8
1
sec16
sec2
)52(
1
1
22
2
2
4
2
2
2
2
2
cz
zz
zdz
zz
2
1tan
16
1
)52(
1
8
1
)52(
1 1
22 2
22 4
.xx
dxa
24
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
dxxsen
xsenc
9
2.
4
Solución: Primero debe realizarse una sustitución simple de la siguiente forma
xsenu 2 xdxsenduxdxsenxdu 2cos2
Por lo que la integral se transforma a 92u
du
Sea dduu tansec3sec3
Con estos datos construye el triangulo______________________
xu tan392
cxsenxsen
cuu
cdd
u
du
3
94
3
2
ln3
92
3lntanseclnsec
tan3
tansec3
92
2.5 Integración por fracciones parciales Veremos cómo integrar cualquier función racional expresándola como una suma de fracciones
más simple. Una función racional tiene la forma general )(
)(
xQ
xP donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Las funciones racionales se clasifican en:
Impropias: Cuando el grado de P es mayor que el grado de Q, entonces se realiza la división entre P y Q hasta obtener un cociente C y un residuo R tal que el grado de R es menor que el grado de Q
)()(
)(
xQ
RC
xQ
xP donde R y Q son polinomios
Propias: Cuando el grado se P es menor que el grado de Q, entonces puede descomponerse en una suma de fracciones simples siempre que Q sea factorizable (factores lineales y cuadráticos) de las siguientes cuatro formas:
Factores lineales distintos
)()())((
)(
bx
B
ax
A
bxax
xP
Donde a, b, A y B son constantes
Factores lineales repetidos
nn ax
C
ax
B
ax
A
ax
xP
)(...
)()()(
)(2
Donde n es un entero positivo y a, A, B y C son
constantes
25
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Factores cuadráticos distintos
)()())((
)(2222 dcx
DCx
bax
BAx
dcxbax
xP
donde a, b, c y d, A, B, C y D son constantes
Factores cuadráticos repetidos
nn bax
FEx
bax
DCx
bax
BAx
bax
xP
)(....
)()()(
)(22222
Donde n es un entero
positivo y a, b, A, B, C, D, E y F son constantes
Ten en cuenta que existe la combinación de las formas anteriores
Ejemplo 2.7 Evalúe las siguientes integrales
dx
xxa
249
1.
Es una función racional propia entonces el primer paso es factorizar el denominador y separar en
fracciones parciales así:
19)19(
12222
x
DCx
x
B
x
A
xx
Los coeficientes A, B, C y D se pueden encontrar de la siguiente manera:
Se multiplica cada término de la identidad por el mínimo común divisor 222 )()19()19(1 xDCxxBxxA
Se destruyen los paréntesis 2332 991 DxCxBxBxAAx
Se agrupan términos semejantes
ABxxDAxCB 23 )9()9(1 Se encuentran las ecuaciones para determinar coeficiente
1
0
09
09
A
B
DA
CB
Se resuelve el sistema y se obtiene
19
91
19
9001
)19(
1222222
xxx
x
xxxx
De tal manera que:
26
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
dxxx
dxxx
19
91
9
12224
Se integra y se obtiene
cxx
dxxx
3tan31
9
1 1
24
dxxx
xb 6.
2
2
Es una función racional impropia por lo que se realiza la división de polinomios y se reescribe de la forma: parte entera y fracción propia.
6
61
6 22
2
xx
x
xx
x
Para integrar la fracción propia se procede como en el ejemplo anterior
Se Factoriza el denominador y se separar en fracciones parciales
)2()3()2)(3(
6
x
B
x
A
xx
x
Los coeficientes A y B se pueden encontrar de la siguiente manera:
Se multiplica cada término de la identidad por el mínimo común divisor
)3()2(6 xBxAx
Se destruyen los paréntesis
)326 BBxAAxx
Se agrupan términos semejantes
)23()(6 ABxBAx Se encuentran las ecuaciones para determinar coeficiente
623
1
AB
BA
Se resuelve el sistema y se obtiene
)2(5
4
)3(5
9
)2)(3(
6
xxxx
x
De tal manera que:
)2(5
4
)3(5
9
62
2
x
dx
x
dxdxdx
xx
x
Se integra y se obtiene
Cxxxdxxx
x
)2ln(5
4)3ln(
5
9
62
2
27
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
UNIDAD 3 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL
3.1 Área entre curvas
Si f y g son continuas en ba, y )(xg )(xf para todo x en ba, , entonces el
área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales ax y bx es
dxxgxfAb
a)()(
Es importante tener en cuenta que el desarrollo de la fórmula del área en el teorema anterior
depende solamente de la continuidad de f y g y del supuesto de que )(xg ).(xf No
depende de las posiciones de las gráficas de f y g con respecto al eje x .
Si las gráficas de las figuras se localizan por encima del eje x , podemos interpretar
geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de
la gráfica de f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g , como se muestra
en la figura.
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. 4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en
[a,b]. 5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-
f(x*).
Ejemplo 3. 1
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22)( xxf y .)( xxg
28
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
(Dos gráficas que se cortan)
Vemos que las gráficas f y g tienen dos puntos de intersección. Para hallar las coordenadas
x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y despejamos a x .
22 x x
22 xx 0
012 xx
Por tanto 2a y 1b . Por ser )(xg )(xf en el intervalo 1,1 . Por tanto el área de
la región es:
2
942
3
82
2
1
3
12
232
1
2
2321
2
x
xxdxxxA
Ejemplo 3. 2
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22 xy , xy , 0x y 1x .
(Región delimitada por dos gráficas que no se cortan)
Por el teorema mencionado anteriormente el área de la región es:
6
172
2
1
3
12
232)(2)()(
1
0
2321
0
21
0
x
xxdxxxdxxxdxxgxfA
b
a
Ejemplo 3.3
Calcular el área de la región situada entre las gráficas de 12)( 23 xxxxf y
.13)( 2 xxxg
29
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Para hallar las coordenadas x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y despejamos a x
.
12 23 xxx 132 xx
1132 223 xxxxx 0
022 xxx
012 xxx
Por tanto los puntos de corte son ,0x ,2x .1x
Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 0,1 , sin embargo las curvas se cruzan
en el punto 1,0 y )()( xgxf en 2,0 .
Entonces
dxxxxdxxxxdxxfxgdxxgxfA 22)()()()( 232
0
230
1
2
0
0
1
12
374
3
841
3
1
4
1
3434
2
0
234
0
1
234
xxx
xxx
Ejemplo 3. 4
Calcular el área de la región limitada por la gráficas de 23 yx y 1 xy Imaginemos que
rebanamos esta región en dirección vertical. Afrontamos el problema de que el límite inferior consta de dos curvas diferentes. Las rebanadas del extremo izquierdo se extienden de la rama inferior de la parábola a la recta. (ver figura)
30
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
x
y
( 1AR Rebanadas del extremo izquierdo)
Las rebanadas del extremo derecho se extienden de rama inferior de la parábola a su rama superior.(ver figura)
x
y
( 2AR Rebanadas del extremo derecho)
Resolver este problema con rebanadas verticales requiere que dividamos primero nuestra región en dos partes, formulemos una integral para cada parte y evaluemos después ambas integrales.
Primero necesitamos los puntos de intersección de estas dos curvas. Luego las coordenadas de estos puntos se pueden encontrar igualando las dos expresiones:
213 xx
123 2 xxx
03122 xxx
022 xx
31
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
012 xx
Por tanto los puntos de corte son ,2x .1x
Sea )(xf 1x y sea xxg 3)(
Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 3,1
Entonces
dxxgxfdxxgxfA ARAR )()()()(3
2
2
1 21
dxxxdxxx 33313
2
2
1
dxxxdxxx 33313
2
2
1
dxxdxxdxxdxx 3331
3
2
3
2
2
1
2
1
3
2
3
2
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
3
33
23
3
23
3
2
2xxxx
x
2
9
3
2
3
2
3
14
2
310
3
210
3
281
3
21
2
1
En general, para determinar el área entre dos curvas, hacemos:
dxAx
xabajo de curvaarriba de curva2
1 Rectángulos verticales
Si la gráfica de una función de y es el borde de una región, con frecuencia es conveniente usar
rectángulos representativos horizontales y calcular el área integrando respecto a y .
dyAy
yizquierda curvaderecha curva2
1 Rectángulos horizontales
Luego el ejercicio anterior se puede realizar de una manera más sencilla, es decir, tomando rectángulos representativos horizontales, así:
Estas curvas se cortan en ,2y .1y Como )(yf )(yg tenemos que:
1
2
2321
2
21
22
23213 y
yydyyydyyyA
2
94
2
2
3
82
2
1
3
1
Ejemplo 3. 5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de xxxxf 103)( 23 y
xxxg 2)( 2
f(x)= 3x3 - x
2 - 10x g(x)= - x
2 + 2x
32
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Se encuentran los puntos de corte igualando las ecuaciones )()( xgxf
xxx 103 23 xx 22
0123 3 xx
0)2)(2(3 xxx
Entonces los puntos de corte son 0x , 2x y 2x
Para encontrar el área se tiene en cuenta los puntos de corte y por la gráfica se observa la curva que está por arriba y la que está por debajo, además se encuentran dos áreas asi:
2
0
232
0
2
223
21 )103()2()2()103( dxxxxxxdxxxxxxAAA
2
0
3
0
2
3 312123 dxxxdxxxA
A =0
3. 2 Volúmenes de Sólidos de Revolución
Al tratar de hallar el volumen de un sólido enfrentamos el mismo tipo de problema que el de buscar áreas. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
33
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución.
3.2.1 Método de discos y arandelas
El más simple de los sólidos de revolución es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.
Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, se usa una de las siguientes fórmulas:
Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución
Volumen dxxRVb
a
2)( Volumen dyyRV
d
c
2)(
Si la región limitada por un semicírculo y su diámetro gira en torno a éste, genera un sólido esférico. Si la región interior de un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico. Cuando una región circular gira alrededor de una recta en un plano que no intercepta al círculo genera un toro (o una dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.
Ejemplo 3.6
Hallar el volumen de un sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de xxf sin)(
y el eje x x0 alrededor del eje x.
(Región plana)
Del rectángulo representativo de la figura anterior se observa que el radio de este sólido viene dado por:
xxfxR sin)()(
y se sigue que su volumen es:
dxxRVb
a
2)( dxx
2
0sin
211cossin 00
xxdx
Sólido de revolución
34
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Ejemplo 3.7
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por la curva 3xy el
eje de las y y la recta 3y en torno al eje de las y .
(Región plana)
Aquí rebanamos horizontalmente, lo que hace que y sea la elección apropiada para la variable de
integración. Observe que 3xy equivale a 3 yx . Luego la integral quedaría:
dyyV2
3
03
1
5
99
5
3 33
0
3
5
dyy
3.2.2 Método de cascarones cilíndricos
Hay otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución: el método de cascarones cilíndricos o envolventes. En muchos casos, es mejor utilizar los métodos vistos anteriormente (discos y arandelas)
Un cascarón cilíndrico es un sólido limitado por dos cilindros circulares rectos concéntricos. Si el
radio interior es r1 , el exterior es r2 y la altura es h , entonces el volumen está dado por:
1221212
2
1
2
2122alturabase la de área rrhhrrrrhrrVrr
Por
tanto:
grosoralturamedio radio2V
rrhV 2
Ejemplo 3.8
La región limitada por xy /1 , el eje de las x , 1x , 4x gira alrededor del eje de las x
Encuentre el volumen del sólido resultante.
35
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
32.292223
284
1324
114
12
3
2
1
xdxxdxxVx
3.2.3 Volumen por Secciones Transversales
Hasta aquí los sólidos vistos han tenido secciones transversales circulares. Sin embargo, nuestro método funciona también para sólidos cuya sección transversal son cuadrados o triángulos. En realidad lo único que se necesita es calcular el área de la sección trasversal.
Ejemplo 3.9
La base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por 4
2
1 xy , el eje de las
x y el eje de las y. Suponga que las secciones transversales perpendiculares al eje de las x
son cuadradas. Encuentre el volumen del sólido.
Cuando rebanamos este sólido mediante planos perpendiculares al eje de las x , se obtienen
delgadas cajas cuadradas.
36
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
07.115
16
80
32
6
82
8061621
2
0
53422
0
xxxdx
xxV
Ejemplo 3.10
La base de un sólido es la región comprendida entre el arco de xy sin y el eje de las x .
Cada sección transversal perpendicular al eje de las x es un triángulo equilátero apoyado sobre
su base. Encuentre el volumen del sólido.
Necesitamos conocer el área del triángulo equilátero. Entonces supongamos que u es el lado del
triángulo equilátero, luego el área va a ser igual a 3u2 /4 (veamos en la figura)
4/33 2
412
2
3
21 uuuuA
37
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
Para realizar la integración indicada, usamos la fórmula de ángulo medio 2/2cos1sin 2 xx
dxxdxdxuV x2
2cos104
32
04
32
04
3 sin
dxxxdx 2cos1sin08
32
04
3
xdxdx 2cos102
108
3
021
8
3 2sin xx
68.08
3
38
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
UNIDAD 4 COORDENADAS POLARES
Definición 4.1 Sistema de coordenadas polares
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo ϴ y una distancia r
4.2 Representación de Puntos en el Plano Polar
Se traza una circunferencia de radio r y centro O, se dibuja el ángulo ϴ, con lado inicial el eje polar. El punto de intersección de la circunferencia y el lado terminal del ángulo ϴ, corresponde al punto de coordenadas P(r, ϴ)
Ejemplos 4.1
a) El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
b) El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
39
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
4. 3 Coordenadas Polares y Cartesianas
A partir de la siguiente gráfica podemos establecer las relaciones que se establecen entre la representación en coordenadas cartesianas y polares.
a)
b)
c)
d)
Ejemplos 4.2
a) El punto en coordenadas polares P (2, 30º) convertirlo a coordenadas cartesianas
x= 2 cos 30º, x= 1,7 y= 2 sen30º, y = 1 b) El punto en coordenadas cartesianas P (1, -2) r= ((1)
2 + 2
2)
½ r= 2.2
ϴ = tan
-1 (-2/1) = -63.4°
4.4 Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación r = f (ϴ) que define una curva expresada en coordenadas polares. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar
40
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
como la gráfica de una función . Ejemplos 4.3 a) Circunferencias: r= asen ϴ; r = acos ϴ¸ b) Cardioides: r= a+b sen ϴ ; r= a+b cos ϴ c) rosas: r= asenk ϴ ; r= acos k ϴ Para hacer la representación gráfica de una curva se hace una tabla de algunas coordenadas y se representan los puntos en el plano polar.
ϴ
r= sen2 ϴ
0 0
45° 1
90° 0
135° -1
180° 0
225° 1
270° 0
315° -1
360° 0
La gráfica obtenida es:
41
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
4.5 Área de curvas polares
Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
l intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud de arco
. El área de cada sector es entonces igual a
.
Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
En el límite, cuando n → ∞, converge en la integral
Ejemplos 4.4
a) hallar el área de la región encerrada por la curva r= sen 2 θ , como la gráfica está formada por 4 pétalos, hallamos el área de un pétalo y lo multiplicamos por 4.
42
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
El área es igual a 1.57 unidades cuadradas.
b. Hallar el área dentro de la curva r= 2 y fuera de la curva r= 1+senϴ
- Hallamos el punto de corte de las curvas igualando las ecuaciones:
2= 1+senϴ, se tiene que senϴ = 1 por tanto ϴ= π/2
43
APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014
BIBLIOGRAFÍA
LARSON, Edwards, Cálculo Sexta Edición. España: McGraw Hill, 1998.
PURCELL, Vargerg Rigdon. Cálculo Novena Edición. México: Pearson Hill Educación, 2007.
STEWART, James. Cálculo Trascendente Temprano, Sexta Edición. México: Cengage Learning, 2008.
Recommended