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Tensão (Stress) e Deformação (Strain)Parte I
Fortaleza, 08 de julho de 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS - DEPARTAMENTO DE GEOLOGIA
CGP-7899: Análise Estrutural e Tectônica Global
Regiões estáveis: São regiões onde um elemento rochoso localizado a uma certa profundidade é submetido apenas à pressão exercida pelo material
sobrejacente.
Regiões instáveis: Esforço imposto sobre um elemento rochoso varia em função da direção em torno do ponto considerado; além da pressão litostática, a rocha é submetida a esforços de origem tectônica.
Neste caso, o esforço, anisotrópico, é dito triaxiale pode ser representado por um elipsóide, o elipsóide dos esforços (stress ellipsoid).
Os Esforços na Crosta Terrestre
Os Esforços na Crosta Terrestre
Os três eixos do elipsóide (esforços principais) são, de maneira normalizada, definidos como:
-s1: eixo maior, ou esforço principal máximo, que corresponde sempre a uma compressão;
-s3: eixo menor, ou esforço principal mínimo, que corresponde sempre a uma tração;
- s2: eixo intermediário, pode corresponder a uma compressão ou a uma tração.
Os Esforços na Crosta Terrestre
Pressão litostática
ou confinante
Pressão dirigida
FORÇA
Grandeza vetorial - tem magnitude e direçãoTipos de forças:• Corporais- dependem da massa
- relacionadas à Plitostática
- Ex: gravidade- terrenos estáveis
• De superfície - independem da massa- relacionados à Pdirigida
- Ex: tectonismo- terrenos instáveis
ESFORÇO - STRESS ()
Definição: Par de forças opostas e iguais que atuam sobre uma determinada áreaFórmula geral: = F/AUnidades: MPa, Kbar, N/m2
Y
Z
X
NZ
NY
NX
SXZ
SXY
SYZ
SYX
SZY
SZX
Componentes do Esforço
Cada um dos três
planos possui um
componente normal e
dois componentes
cisalhantes
Portanto, 9
componentes são
necessários para definir
o esforço em um ponto
3 normais
6 cisalhantes
Os nove componentes do esforço
11,12,13
21,22,23
31,32,33
No plano normal a X
No plano normal a Y
No plano normal a Z
Segunda variável igual – atuam na mesma direção
Primeira variável igual – atuam
no mesmo plano
11,21,31 Paralela a X
12,22,32 Paralela a Y
13,23,33 Paralela a Z
X
Y
ZNZ
NY
NX
SXZ
SXY
SYZ
SYX
SZY
SZX
Duas variáveis iguais:
esforços normais
11,22,33
As duas variáveis
diferentes: esforços
cisalhantes, 12,13,23
21,31,32
Para o cubo estar em equilíbrio (em repouso: sem movimento, sem rotação)
21=12
23=32
31=13
Portanto, apenas seis
componentes são
independentes!
31
13
Se a magnitude dos dois
não for igual, o bloco
gira
Os nove componentes do esforço
X
Y
ZNZ
NY
NX
SXZ
SXY
SYZ
SYX
SZY
SZX
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ij=
Podem ser escritos na forma
matricial e constituem o
tensor de esforços!
Vetor - representado por 3 coordenadas em um sistema Cartesiano (x, y, z)
matriz com 3 componentes
Esforço em um ponto - 9 componentes
matriz com 9 componentes (tensor de segunda ordem)
Componentes na diagonal principal - esforços normais
Componentes fora da diagonal – esforços cisalhantes
Os nove componentes do esforço
Para qualquer análise do esforço em um ponto, existem
três planos mutuamente perpendiculares nos quais os
esforços cisalhantes são nulos!
Por exemplo:
Considere o seguinte esforço aplicado em um plano
ns
Caso 1 – Componentes normal e
cisalhante
Caso 2 – Apenas o componente normal,
esforço cisalhante = 0
Esforços Principais
X
Y
ZNZ
NY
NX
Esforços Principais
Os esforços principais
definem um estado de
esforços no qual os
esforços cisalhantes nos
três planos são nulos!
Esforços principais – esforços normais mutuamente ortogonais
Planos principais – planos sobre os quais os esforços principais
atuam
O Elipsóide de Esforços
Eixos principais de esforços
definem os eixos do elipsóide de
esforços:
1 - Eixo de esforço maior
2 - Eixo de esforço intermediário
3 - Eixo de esforço menor
1 ≥ 2 ≥ 3
11
22
33
ij =
Portanto, para os esforços principais ( = 0), a matriz de esforços é
simplificada:
1
2
3
ij =
Outros termos associados aos esforços
principaisEsforço principal (mean stress) = média dos 3
esforços principaism 1 + 2 + 3
3Fazendo os esforços principais iguais, pode-se separar o tensor de esforços em
dois componentes
= +
11 -m 12 13
21 22 -m 23
31 32 33 -m
esforço deviatório
m
m
m
esforço principal
11 12 13
21 22 23
31 32 33
esforço
Esforço principal: pressão hidrostática/litostática (isotrópica, mesma nas três
direções); Ex: peso de soterramento
Esforço deviatório: produz distorção; 1 sempre compressão; 3 sempre tensão;
anisotrópica
O ELIPSÓIDE DE ESFORÇOS
Eixos principais de esforços:
1 - Eixo de esforço maior2 - Eixo de esforço intermediário3 - Eixo de esforço menor
TIPOS DE ESFORÇOS
• Esforço Uniforme –
forças iguais
aplicadas em cada
direção
TIPOS DE ESFORÇOS
• Esforço
Diferencial – força
aplicada é maior
em uma direção
σ1
σ1
TIPOS DE ESFORÇOS DIFERENCIAIS
ExercícioEsforço litostático.
Considere um cubo de granito situado na crosta
terrestre. Qual seria o esforço litostático na base do
bloco?
Medidas do bloco: 1500m x 1500m x 1500m
Densidade do bloco:
a = g = 9,8m/s2
F = ma
= F/A
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