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Aula 4Equação do RadarEquação do Radar
Capítulo 4 - Battan
Hipóteses Assumidas• O transmissor (antena) irradia a energia EM de forma isotrópica (todas as direções);
• A energia EM que retorna ao radar é proveniente de partículas esféricas de água ou gelo
LembreteLembrete: : Potência é energia por unidade de tempoPotência é energia por unidade de tempo
Radiação Incidente sobre a gota
Radiação espalhada isotropicamente pela gota
• A energia EM será espalhada em todas as direções igualmente
Antena
P
Para saber quanto de energia chega sobre a gota, precisamos calcular primeiramente o fluxo de EM que é irradiado pelo radar através da densidade de potência transmitida (S).
No nosso caso, temos que a densidade é a razão entre a Potência Transmitida (PT) pela área da superfície esférica que circunda o radar.
24 r
PS T
π=
r � distância do radar
Entretanto sabemos que os radares meteorológicos não irradiam energia em todas as direções, mas em ângulos sólidos pois utilizam antenas que concentram energia em feixes.
Logo, temos a concentração de energia ao longo de um feixe de radiação.
Em geral os radares meteorológicos utilizam antenas parabólicas
Neste sentido temos que definir o Ganho da antena o Ganho da antena (G) como sendo a razão entre a potência por unidade de área ao longo do eixo do feixe do radar pela Potência irradiada isotropicamente. (Valores típicosvariamentre 20 a 45 dB)
2πD
=2
log10λ
πDkG
G ganho sobre um a fonte isotrópica (dB)K é um fator de eficiência que pode variar entre 0,5 a 0,6D é o diâmetro da antena em metrosλ é o comprimento de onda em metros
Logo se tivermos um alvo a uma distância r do radar com uma seção transversal AT, temos que a Potência Interceptada Potência Interceptada (Pσ)pode ser expressa como:
AT
AT
TT GAr
PP
24πσ =
AT
Agora assumimos que o alvo não absorve nenhuma energia e ele re-irradia isotropicamente toda a energia recebida. Esta energia espalhada chegará até a antena do radar.
Assim definimos a seção transversal efetiva (Ae) da antena receptora como:
Ae = ρAp
Onde Ap é a área física da antena e ρ é a eficiência da antena.
A partir de considerações teóricas para antenas circulares e parabólicas, temos que a área efetiva (Ae), o ganho (G) e a área da antena (Ap) podem se relacionar da seguinte forma.
Note que para um λλ fixo, um refletor grande produz um
πλ
4
2GAe = 23
8
λπ PA
G =
Note que para um λλ fixo, um refletor grande produz um ganho maior. Por outro lado, temos que para aumentar o Ganho de umaantena, basta diminuir o λ.
Combinando as duas equações acima temos:
Pe AA3
2=
22 44 r
AGA
r
PP e
TT
R ππ=
Portanto inserindo as características da antena, a Potência Potência Recebida Recebida (PPRR ) pelo radar é dada por:
I II III
PT
S
AT
I - distância II – área interceptada III – área recebida
Como a área efetiva da antena (AAee ) pode ser expressa em função do ganho da antena (G) e do comprimento de onda do radar (λ.), temos:
πλ
4
2GAe =
Re-escrevendo a equaçãp do radar novamente
222 AGPGPAP λλ === ( ) 432222 444444 r
AGP
r
GGA
r
P
r
AGA
r
PP TT
TTe
TT
R πλ
ππλ
πππ===
224364
λπ T
TR AG
r
PP =
Anteriormente, havíamos assumido que o alvo tinha uma seção transversal AT que espalhava isotropicamente.
No entanto não existem alvos meteorológicos que espalham isotropicamente, pois a potência re-irradiada pelo alvo depende de uma relação entre o tamanho da partícula interceptada pela onda EM e o λ da onda incidente (espalhamento frontal – Mie por exemplo).
Dessa maneira, temos que definir a seção transversal de retroseção transversal de retro--espalhamentoespalhamento(σσ) como a seção transversal de um espalhador isotrópico que retornaria a mesma potência para o radar como o alvo atual.
Emgeral temos queσ > AT
Uma definição alternativa para σ:
A área a qual, quando multiplicada pela Potência Incidente (PI) dá a potência total irradiada por uma fonte isotrópica que irradia a mesma potência na direção contrária (retro) que um espalhador atual.
222
444
r
PrSrP T
I πππσ ==
2444
rrSrPI π
ππσ ==
Área x Densidade
Então para um espalhamento simples temos:
esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua,
IT
TT
R Gr
PAG
r
PP σλ
πλ
π22
4322
43 )4(64==
esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua, Avião e uma gota de chuva.
Portanto podemos usar esta equação para “calibrar um radar uma vez que conhecemos as dimensões do Sol e da Lua e são fáceis de localizar no espaço”.
Além disso, temos que lembrar que o feixe do radar ilumina um volume no espaço (descrito pelos pulsos). Entretanto o volume iluminado tem diversos alvos (gotas de chuva) que estão espalhando a energia individualmente.
Portanto, dentro de um volume iluminado temos a contribuição individual de diversas seções transversais de retro-espalhamento (σσII ) que retornam energia ao mesmo tempo para o radar. Dessa maneira:
Volume iluminado
Como as partículas se movimentam (gravidade e correntes ascendentes e descendentes), temos que a potência refletida pode variar no tempo.
Entretanto após um período da ordem 0,01 segundos o espalhamento aleatório destas partículas se torna independente.
Dessa maneira, temos que fazer uma média da potência recebida sobre um número grande de alvos, assim a Potência de retorno fica:
Temposn.
onde a somatória é sobre o volume iluminado volume iluminado (Vm) que espalha de volta a energia para o radar.
( ) ∑=
=Temposn
tI
TR G
r
PP
.
0
22
434σλ
π
Se as partículas estão distribuídas uniformemente dentro do volume iluminado Vm, podemos normalizar a potência recebida pelo volume amostrado. Logo Vm é dado por
222
hrrVm
= ϕθπ222
onde r = distância do alvoθ,ϕ = largura do feixe da antena (radianos)(1-2 graus)h = comprimento do pulso em metros (cτ/2)τ = duração do pulso (tipicamente 1 µs)
h
Portanto a seção transversal total de retroseção transversal total de retro--espalhamento espalhamento é o retroo retro--espalhamento por unidade de volume vezes espalhamento por unidade de volume vezes VmVm..
( )
( ) ∑
∑
=
=
=
=
n
tI
TR
n
tIm
TR
Gr
PhrrP
VGr
PP
σλπ
ϕθπ
σλπ
0
22
43
0
22
43
4222
4
Sendo assim, podemos definir a a refletividade do radar refletividade do radar (ηη) como
ηη==ΣσΣσII , que tem unidades de {cm2/m3} ou cm-1.
( )
∑=
=
volumeI
TR
t
hGr
PP
r
σθϕλπ
π22
22
0
512
4222
Por outro lado, quando esta equação do radar foi utilizada sobre alvos conhecidos observou-se grandes desvios.
Posteriormente, verificou-se que estas variações eram devidas aos lóbulos da antena (principal e secundários) .
Esta discrepância foi explicada por Probert-Jones em 1962 que constatou-se que a Potência por unidade de área podia ser representada por um função gaussiana.
Dessa maneira, a equação do radar pode ser re-escrita novamente. Dessa maneira, a equação do radar pode ser re-escrita novamente.
∑=volume
IT
R hGr
PP σθϕλ
π22
22512)2ln2(
Efeito do lóbulo da antena
A largura do feixe da antena θ, é definida como ½ da potência = 3 dB fora do centro ou 10log2 ou uma largura de 6 dB
A largura do feixe da antena também é função do comprimento de onda e do tamanho da antena D
θ
Φ
θ = 1.27 λ / D (radianos)
θ = 73 λ / D (graus)
onde onde λλ é o comprimento de onda em cm e é o comprimento de onda em cm e D o diâmetro da antena em cm.D o diâmetro da antena em cm.
-50 -10 0 10 50
Padrão do feixe
Inte
nsid
ade
da
Rad
iaçã
o(d
B) 0
-20
-25
Ângulo for a do eixo
-30
-10θ
Lóbulo principal
A seguir temos que analisar como a EM interage com os
hidrometeoros
RetroRetro--Espalhamento de pequenas esferas de água Espalhamento de pequenas esferas de água ee gelogelo
Quando uma onda plana polarizada passa sobre um gota esférica, esta onda induzirá uma oscilação de dipolo elétrico (polarizam) e magnético na gota, uma vez que a água é um dielétrico.
Sendo que a energia incidente será repartida da seguinte forma: a) uma fração será absorvida pela gota na forma de calore a outra
b) será re-irradiada na forma de espalhamento com o mesmo comprimento de onda da onda (energia) incidente.
Dipólos
•Dipolos são induzidos como cargas livres e os momentos de dipolo associados com cada molécula ficam alinhados com o campo elétrico incidente. incidente.
•As cargas do dipolo oscilam na frequência do campo incidente.
•A oscilação destas cargas produz um campo que é espalhado pelo alvo. (Lembrem-se da da definição de uma antena de dipolo –transmissor)
Re-escrevendo o espalhamento de uma onda plana a partir da teoriaMie, temos que a seção transversal de retro-espalhamento de uma gota esférica pode ser expressa por:
onde
2
12
2
))(12()1(∑∞
=
++−=n
nnn ban
a
απσ
onde aa� raio da gota e αα = 2πa/λ � parâmetro de tamanho (perímetro/comprimento de onda)
an � coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., magnético
bn � coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., elétrico.
os valores de an e bn podem ser expressos em termos de funções esféricas de Bessel e Hankel com argumentos α e m.
m é o índice de refração complexo
m = n –ik
n � índice de refração
k � coeficiente de absorçãok � coeficiente de absorção
Interpretação Fisica de an e bn
O termo bn representa o espalhamento de cargas de dipolo que foraminduzidos pelo campo elétrico incidente.
O termo an representa o espalhamento pelo dipólo, quadrupólo (e etc) induzido pelo campo magnético.
Na região das microondas estes dipolos de carga estão associadoscom o momentode dipolopermanentedamoléculade água. com o momentode dipolopermanentedamoléculade água.
Estes dipólos e quadrupolos podemser visto como:
--
---
++
++
++
Obs. Dipolos, quadrupolos e etc, são resultados da polarização da radiação incidente em materiais dielétricos.
Qual é a relação entre a secção transversal de Retro-Espalhamento e o tamanho da Partícula
2
12
2
))(12()1(∑∞
=
++−=n
nnn ban
a
απσ
Figura 4.2 ilustra a seção transversal de seção transversal de espalhamento espalhamento normalizada normalizada (σ/πa2) normalizada normalizada (σ/πa2) para esferas de água e gelo e para um λ=3.21 cm (banda X)
Note que para α muito pequeno, σ aumenta com α(entre 1 e 2)
A diferença entre a água e o gelo deve-se à constante dielétrica, onde:
Água é um espalhador mais eficiente do que o Água
Gelo
mais eficiente do que o gelo, pois a água cria um dipolo mais alinhado.
Para α > 2, σ do gelo é maior que a da água, uma vez que a absorção da água excede a do gelo
Água
O Comportamento de σ para α grande é altamente oscilatório, pois existe um espalhamento grande espalhamento grande na direção de propagação da onda que está associado a múltiplas reflexões da onda(espalhamento mie)
Transição entre o retro-espalhamento Rayleigh e Mie
A questão é saber qual o valor do parâmetro de tamanho α (2πa/λ) em que a aproximação Rayleigh é valida.
Gunn e East (1954) examinaram esta região a partir do cálculo da razão entre a seção transversal de retro-espalhamento Mie e Rayleigh δ=σMie/σRayleigh.Mie Rayleigh
Para esferas de água a 18oC e λ entre 0.9 à 10 cm temos que a aproximação Rayleigh é válida para α < 0.22 (D < 0,07 λ).
Neste intervalo, σ irá variar mais que 0.75 do valor preciso, o que representa 1.5 dB. De todas as maneiras σRayleighsubestima o valor verdadeiro de σ.
Para o gelo, entretanto, Ryde (1946), indica que a aproximacao Rayleigh para σ pode ser utilizada para α < 0.5 (D < 0,16 λ).ser utilizada para α < 0.5 (D < 0,16 λ).
Usando a aproximação Rayleigh, ou seja, αα < 0.22 (2< 0.22 (2ππa/a/λλ)) temos que o diâmetro máximo observado para diferentes radares é:
BandaBanda λλ(cm)(cm) Freq(GHz)Freq(GHz) < D(mm) observado< D(mm) observadoáguaágua ( gelo) ( gelo)
SS 10,010,0 33 7 7 (16,0)(16,0)
CC 5,05,0 66 3,5 3,5 (8,0)(8,0)
XX 3,03,0 1010 2,1 2,1 (4,8)(4,8)
KK 1,01,0 3030 0,7 0,7 (1,6)(1,6)
Portando os radares Banda S detectam todos os hidrometeoros exceto as grandes pedras de gelo, porém radares com λ pequeno entram na região de espalhamento Mie, o que implica que estes radares são mais indicados para a medidas de física de nuvens.
WW 0,40,4 7575 0,25 0,25 (0,64)(0,64)
A não associação da aproximação Rayleigh se deve ao fato de que existem outras contribuições de espalhamento e absorção da energia EM, ou seja, a seção transversal de retro-espalhamento (σ ) é reduzida devido ao aumento do (σ ) é reduzida devido ao aumento do espalhamento na direção de propagação da onda, ou ainda, devido ao aumento do efeito de absorção da partícula.
Dessa maneira, temos que para α << 1, ou seja, raio da gota muito menor que λ temos a aproximação Rayleigha aproximação Rayleigh.
Logo a seção transversal de espalhamento pode ser descrita por:
62
4
52
2
26
2
2
1iI DK
m
m
λπα
πλσ =
+−=
onde Di é o diâmetro da partícula e K o índice de refração dapartícula
2
12
2
+−=
m
mK
Termo T(oC) Comprimento de onda λ (cm)
10 3.21 1.24 0.62
20 0.928 0.9275 0.9193 0.8926
|K|2 10 0.9313 0.9282 0.9152 0.8726
0 0.9340 0.9300 0.9055 0.8312
-8 .............. .............. 0.8902 0.7921
20 0.00474 0.01883 0.0471 0.0915
ÁguaÁgua
Im(-K) 10 0.00688 0.0247 0.0615 0.1142
0 0.01102 0.0335 0.0807 0.1441
-8 ............. ............... 0.1036 0.1713
Termo T(oC)0 0.197
|K|2 -10 0.197-20 0.197
0 9.6x10-4
Im(-K) -10 3.2x10-4
-20 2.2x10-4
GeloGelo????????
2KI ≈σ
Por outro lado, em vez de expressar σ como função do diâmetro gota, podemos fazer em função do quantidade de água, uma vez que estamos interessados em chuva por intervalo de tempo (mm/h).
Sendo assim podemos expressar σ em função da massa e a respectiva densidade no caso de estarmos medindo partículas com densidades variadas (água ~ 1 g/cm3 , gelo ~ 0.9 g/cm3 , neve ~ 0.05 g/cm3 )
Lembrando que assumimos gotículas esféricas, temos que a massa pode ser expressa por:
4
Logo a seção transversal de retro-espalhamento pode ser expressa como:
ρπ 3
3
4adensidadeVolumeMassa =•=
22
2
4
336Massa
K•=
ρλπσ
Finalmente, a Potência recebida pelo retro-espalhamento de partículas esféricas pode ser expressa como:
Espalhamento Rayleigh:
Espalhamento Mie
∑•=
volumei
TR D
r
KhGPP 6
2
2
2
32
)2(ln6416 λπθϕ
∑= T hGPP σλθϕ 22 1
onde o Fator Refletividade do Radar Z é
enquanto que a Refletividade do Radar η é
∑••=
volumei
TR r
P σπ 22 )2(ln6416
∑volume
iD6
∑volume
iσ
Logo se soubermos a distribuição de tamanho das partículas dentro do volume iluminado, podemos expressar Z como:
ou
∑=
=sNparticulaiVolume
ii DnZ,0,
6
∫∞
=0
6)( dDDDNZ
Sendo assim podemos expressar a Potência recebida pelo radar em termos do Fator Refletividade do Radar e a constante do Radar
Zr
KCtePR 2
2
•=
Caso a aproximação Rayleigh não possa ser aplicada, temos que :
onde Ze é o fator refletividade equivalente, e pode ser expresso por:
eR Zr
KCteP
2
2
•=
25
4
KZe
πηλ=
Usualmente, os radares meteorológicos assumem que as partículas iluminadas são água liquida, logo |K|2 = 0.93
Logo:
Onde M Onde M �� Conteúdo de água Liquida, Conteúdo de água Liquida, ρρ �� densidade da partícula, D densidade da partícula, D �� diâmetro.diâmetro.
ZeZe (mm(mm66/m/m33), ), λλ(cm), D(cm), (cm), D(cm), σσ(cm(cm22) e M(g/m) e M(g/m33).).
326
46
DK
MZe
ρπσλ=
Finalmente podemos expressar a potência do radar recebida em termos mais comuns, ou seja:
Convertendo para dB (10Log10 ) , temos
eR Zr
KCteP
2
2
•=
ZLogrLogKLogCteLogPLog2
1020101010 +−+= eR ZLogrLogKLogCteLogPLog 1010101010 1020101010 +−+=
Percebam que a equação é representada pela adição ousubtração. Portanto qualquer erro de calibração eletrônicado radar, diminuição da potência transmitida, alteração da antena,Ou mesmo tipo de hidrometeoro pode ser corrigidaFacilmente uma vez identificada.
Logo medindo PR a uma distância r, podemos calcular Ze.
Usualmente usamos Ze em termos de dBZ, que é definido como:
dBZe = 10Log10Ze.
[ ] rLogKCteLogdBMPdBZZ Re 10
2
10 2010)()( +×−=
Alvo Característica do radar distância
Como podemos inferir a Precipitação?
Sabemos que o fator refletividade do radar (Z) é proporcional à distribuição de tamanho de gotas vezes o D6. distribuição de tamanho de gotas vezes o D6.
Portanto se houvesse uma maneira de expressar o Conteúdo de Água Líquida (LWC) ou a Taxa de Precipitação (R) em função da distribuição de tamanho de gotas, poderíamos relacionar estas grandezas com as medidas feitas pelo radar.
Temos que a Taxa de Preciptação pode ser expressa como:
Ondew é a velocidadevertical. Na superfíciew = 0.
[ ]∫∞
−=0
3 )()(6
)/( dDwDVDDNhmR T
π
Ondew é a velocidadevertical. Na superfíciew = 0.
Já o conteúdo de água líquida pode ser expresso como:
∫∞
=0
33 )(6
)/( dDDDNmgLWC Lρπ
Logo a partir das relação Z-R ou Z-LWC podemos obter estes parâmetros. Mas para isso temos que ter uma idéia da distribuição de tamanho de gotas, N(D).
Estas medidas de distribuição são feitas em geral a partir de medidas com disdrômetros ou coletores de partículas em aeronaves.
O disdrômetro mede a distribuição de tamanho de gotas (DSD) em um intervalo de tempo a partir do impacto das gotas sobre uma superfície de 50 cm2. O impacto das gotas provoca uma vibração na membrana, sendo que esta energia mecânica é então proporcional a um tamanho.
Medidas realizadas em 1948 (Marshall e Palmer) indicaram que as precipitações estratiformes seguiam uma distribuição exponencial, enquanto que mais tarde observou-se que as convectivas seguiam uma distribuição gamma e ou lognormal.
De uma maneira simplificada, podemos utilizar a expressão exponencial proposta inicialmente por Marshall e Palmer (1948) e derivar as relações Z-R e Z-LWC.derivar as relações Z-R e Z-LWC.
Para isso assumimos:
{ } 30 /,exp)( cmgotasDNDN Λ−=
Λ(R) = 4,1R-0,21 mm-1 [R(mmh-1)] e N0 = 0,08 cm-4
λ
No
λ
Logo a Z pode ser expressa por:
Mashall e Palmer encontraram que Λ=f(R), na forma de Λ(R) = 4,1R-0,21
Portanto,
{ }7070
0
60
0
636 !6)7(exp)(][
Λ=
ΛΓ=Λ−== ∫∫
∞∞− NNdDDDNdDDDNmmmZ
≈==
647,121,07 213
!6!6 mmRRNNZ x
Porém na literatura temos que a relação ZR é:
≈=
Λ=
347,121,07
7070 2131,4
!6!6
m
mmRRNNZ x
6,1200RZ =
Relação Z-R e Z-M para gotas de água e cristais de gelo e neve.
TipoZ(mm6/m3) x M(g/m3) Z(mm6/m3) x R(mm/h)
Chuva (MP) M = 3,93x10-3Z0,55 Z = 200R1,6
São Paulo (Morales, 1991)
M = 1,4 x10-3Z0,64 Z = 378R1,34
Neve e agregados M = 1,7x10-2Z0,45 Z = 150R1,54
Granizo (molhado) M = 9,5x10-7Z1,02 Z = 486R1,37Granizo (molhado) M = 9,5x10-7Z1,02 Z = 486R1,37
Granizo (seco) M = 5,5x10-6Z0,97
Nuvem M = 4,56Z0,5 Z = 69R1,8
Obs: para mais relações utilizar:1) Sauvageot, H., and J. Omar, 1987: Radar Reflectivity of Cumulus Clouds.
J. Atmos. Oceanic Technol., 4, 264–272, e2) Battan L.J., 1973: Radar Observation of the Atmosphere.3) Morales, C.A.R., 1991: Distribuição de tamanho de gotas nos trópicos: Ajuste de
uma função gama e suas aplicações. Dissertação de Mestrado, IAG, USP.
Lista de Exercício 4Entrega: 4 de Maio de 2017
1) Utilizando a relação M = 1,4 x10-3Z0,64
Onde M esta em g/m3 e Z em mm6/m3
Derive uma distribuição de tamanho de gotas – N(D) do tipo exponencial, tal qual função de Marshall e Palmer e calcule Λ e N0 em função de M ou Z.
2) Derive as relação Z-R e Z-LWC para uma distribuição exponencial de cristais de gelo que tem os seguintes parâmetros: Λ(R) = 25,5R-0,48 (cm-1) e N0 = 3,8 x 10-2R-0,87 cm-4
3) Utilizando a relação Z-R de Marshall e Palmer (1948) e a de Morales (1991) calcule a diferença entre as taxas de precipitação estimada para o Z variando de 0,5,15,20,25,30,40,50,55 e 60 dBZ. Comente os resultados e explique porque das diferenças encontradas na taxa de precipitação para o mesmo valor de Z.
4) Utilizando a equação do radar, mostre como a potência média do radar mudaria se você estivesse observando cristais de gelo em vez de água, sendo que ambos tem o mesmo o conteúdo de água liquida/gelo, potência de água liquida/gelo, potência transmitida, ganho da antena.
5) Como os resultados do exercício anterior variam em função da distância.
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