Aula_03 Sistemas Não lineares

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 1/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Sistemas Nao Lineares

Aula 03 – Metodos determinısticos Aplicados a SNL

Prof. Wesley Pacheco Calixto, Dr.

Email: w.p.calixto@ieee.orgSıtio: http://www.nextgo.org

Instituto Federal de Goias

December 3, 2015, Goiania

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 2/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Sumario

1 Escritas das Equacoes

2 Entendendo o Plano de Fase

3 Analise Qualitativa dos Sistemas Nao Lineares

4 Otimizando os Pontos de Equilıbrio com MetodosDeterminısticos

5 Leitura

6 Bibliografia

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 3/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 4/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 5/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 6/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 7/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 8/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 9/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 10/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 11/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 12/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 13/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 14/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 15/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 16/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1

A expressao (4) pode ser escrita:

Lθ = −g sin θ (5)

2

Que e a expressao das aulas anteriores.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 17/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1

A expressao (4) pode ser escrita:

Lθ = −g sin θ (5)

2

Que e a expressao das aulas anteriores.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 18/112

Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1

A expressao (4) pode ser escrita:

Lθ = −g sin θ (5)

2

Que e a expressao das aulas anteriores.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 19/112

Sistemas Nao

LinearesCalixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1

A expressao (4) pode ser escrita:

Lθ = −g sin θ (5)

2

Que e a expressao das aulas anteriores.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 20/112

Sistemas Nao

LinearesCalixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

Apresentar Animacao 1 do Pendulo.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 21/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

Apresentar Animacao 1 do Pendulo.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 22/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 23/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 24/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)

Apresentar Animacao 2 do Pendulo.

E i

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 25/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)

Apresentar Animacao 2 do Pendulo.

E i

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 26/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)

Apresentar Animacao 2 do Pendulo.

E i t

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 27/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na

determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.

2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem

recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.

E i t

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 28/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na

determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.

2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem

recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.

E i t

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 29/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na

determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.

2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem

recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 30/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo estavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 31/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo estavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 32/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo instavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 33/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo instavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 34/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco estavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 35/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco estavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 36/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco instavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 37/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco instavel.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 38/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesCentro.

Equacionamento

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 39/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

quac o a e to

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesCentro.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 40/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a

primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 41/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a

primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.

A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 42/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a

primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.

A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.

Estes metodos apresentam teoremas que lhes garantem aconvergencia para uma solucao otima que nao enecessariamente a solucao otima global.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 43/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 44/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:

1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 45/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:

1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.

2 Programacao Nao-Linear: Quando a funcao objetivo

f (x ), ou pelo menos uma das restricoes, e uma funcaonao-linear das variaveis do problema (sistemas naolineares).

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 46/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 47/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1

Simplex (metodo mais tradicional);

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 48/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1

Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 49/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 50/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 51/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 52/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;

6 Yamnitsky-Levin;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 53/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:

1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;

6 Yamnitsky-Levin;7 Inteira etc.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 54/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 55/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 56/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 57/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 58/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 59/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 60/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 61/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:

1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);7 Elipsoidal etc.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 62/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 63/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;

O software MatLab tambem conta com um Tool Box deotimizacao.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 64/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear irrestrito:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 65/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear irrestrito:

2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:

Ou seja, sem restricao.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 66/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear irrestrito:

2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:

min F (x 1,x 2) = 100 ·

x 2 − x 21

+ (1 − x 1)2

sujeito a :x 1 e x 2 ∈ Ω ⊂ R2

(6)

Ou seja, sem restricao.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 67/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear irrestrito:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 68/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 69/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 70/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:

min F (ξ,δ ) = e ξ

4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1

sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2

ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0

ξδ ≥ −10(7)

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 71/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:

min F (ξ,δ ) = e ξ

4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1

sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2

ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0

ξδ ≥ −10(7)

Ou seja, com restricao.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 72/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 73/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 74/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.

Faca a mudanca da semente sempre observando o valor deF (ξ,δ ) (fval, funcao de avaliacao etc.).

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 75/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear restrito:

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 76/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 77/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 78/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 79/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 80/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

S N

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 81/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog

Si N˜

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 82/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog

7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero

Sist s N˜

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 83/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog

7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero

8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 84/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch

2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon

3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog

5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog

7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero

8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve

9 Outras

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 85/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario

responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 86/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario

responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 87/112

Sistemas NaoLineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario

responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.

Para isto ha a necessidade de formular uma expressao quequantifique o statu de cada candidato, ou seja, querepresente o quao boa uma determinada solucao esta.

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 88/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,

podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 89/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,

podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.

Assim sendo:

f (x 1,x 2) = [max(x 1) − min(x 1)] + [max(x 2) − min(x 2)](8)

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 90/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:

Sistemas Nao

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 91/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:

O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:

Sistemas NaoLi

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 92/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:

O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:

Lθ = −g sin θ (9)

Sistemas NaoLi

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 93/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 94/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:

u 1

= u 2u 2 = −g L

sin(u 1) (10)

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 95/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:

u 1

= u 2u 2 = −g L

sin(u 1) (10)

a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 96/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:

u 1 = u 2u 2 = −g

L sin(u 1) (10)

a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.

b) No pplane, coloque os valores das variaveis−10 ≤ x 2, x 1 ≤ 10 e g = 9.8, L = 0.5.

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

O i i ˜ d Si N˜ Li d A l P d

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 97/112

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 98/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 99/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 100/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

Analise

Qualitativados Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Sistema Caotico

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 101/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Sistema Caotico

Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar

grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 102/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Sistema Caotico

Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar

grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.Seja o seguinte sistema:

x + 0.1x + x 5 = 6sin(t ) (11)

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 103/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Tela do pplane

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 104/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 105/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

¸

Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio

Sistemas NaoLineares

Metodos Determinısticos

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 106/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio

Sistemas NaoLineares

Material Didatico

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 107/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Leitura

1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de

Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura

complementar 1.

Sistemas NaoLineares

Material Didatico

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 108/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Leitura

1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de

Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura

complementar 1.

Sistemas NaoLineares

C li W P

Referencias

Bibliografia

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 109/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 KHALIL, H. K. Nonlinear systems. New Jersey (EUA):3a Ed. Prentice Hall, 2002.

2 MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinamicos. 2a Ed.Livraria da Fısica, 2006.

3 HEMERLY, E. M. Controle por computador de sistemasdinamicos. Sao Paulo: 2a Ed. Edgar Blucher, 2000.

4 VIDYASAGAR, M. Nonlinear systems analysis.Philadelphia (EUA): 2a Ed. SIAM Society for Industrial

and Applied Mathematics, 2002.5 SLOTINE, J. J. E.; LI, W. Applied nonlinear control.

New Jersey (EUA): Prentice Hall, 1991.

Sistemas NaoLineares

C li t W P

Referencias

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 110/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos SistemasNao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 Bazaraa, M. S.; Sherali, H. D.; Shetty, C. M.Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. JohnWiley & Sons, 2006.

2 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: MetodosComputacionais. Impa. 2007.

3 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: Condicoes deOtimalidade, Elementos de Analise Convexa e de

Dualidade. Impa. 2007.

Sistemas NaoLineares

Calixto W P

Referencias

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 111/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos SistemasNao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 Cottle, R. W. Nonlinear Programming. Siam AMSProceedings, 1976.

2

Souza, A. C. Z; Pinheiro, C. A. M.. Introducao aModelagem, Analise e Simulacao de Sistemas Dinamicos.Editora Interciencia. 2008.

3 Aguirre, L. A.. Introducao a Identificacao de Sistemas:Tecnicas Lineares e Nao Lineares Aplicadas a Sistemas

Reais. 3a Ed., Editora UFMG. 2007.

Sistemas NaoLineares

Calixto W P

Referencias

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 112/112

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos SistemasNao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Bibliografia1 L. Chwif; A. C. Medina. Modelagem e Simulacao de

Eventos Discretos: Teoria & Aplicacao. 3a Ed., Edicao doAutor. 2010.

2

Harrel et. al. Simulacao: Otimizando os Sistemas. 5a

Ed., Edicao do Autor. 2002.

3 Silva, G. V. M.. Controlo Nao Linear. Escola Superior deTecnologia, Instituto Politecnico de Setubal. 2003.

4 Rios Neto, A.. Controle Otimo de Sistemas Dinamicos:Notas de aulas e exemplos de aplicacao. Sao Jose dosCampos. 2012.