View
212
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Calculo
Citation preview
Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Ingeniera MatematicaMA1001-5 Introduccion al calculo5 de Mayo de 2014
Auxiliar 8: Sucesiones
Profesor: Jorge San MartinAuxiliar: Cristobal Valenzuela
P1 Usando la definicion de limite de una sucesion, demuestre las siguientes igualdades:
a) limn
n cos(pin!)
n2+1 = 0
b) limn
2n52n7 = 1
c) limnn(|x+
1n | |x|) = 1, para x < 0
d) limn
1n = 0
e) limn cos(n!pix) = 1 para x Q
P2 Verdadero y falso: Si la proposicion es verdadera demuestrela, si es falsa de un contraejemplo.
a) Sea f de dominio todo R y an una sucesion tal que an a La sucesion sn = f(an) f(a)b) an l R y bn es no acotada (an bn) es no acotada.c)Si an es una sucesion nula con an 6= 0 n N 1|an| es no acotadad)Si lim
nnan = 0 entonces limn an = 0
e) Sean (an), (bn) y (cn) son sucesiones tales que cn = an + bn. Si an y cn convergen, entonces bntambien converge necesariamente.
P3 Sea (an) una sucesion de numeros reales. Se dice que an + (diverge a infinito) si y solo si secumple que (M > 0)(no N)(n no) an M :i) Pruebe que an + implica que 1an 0. Es valido el reciproco?ii) Probar que an + y bn l > 0 implica que (an bn) +iii) Mostrar con ejemplos que si an + y bn 0, pueden tenerse los casos (an bn) 0,(an bn) + y (an bn) l > 0. Hay algun otro caso?
P4 [Sucesion de Cauchy] Una sucesion (xn) se dice de Cauchy si cumple lo siguiente:
( > 0)(no N)(n,m no)|xn xm| Demuestre que una sucesion (xn) converge en R si y solo si es de Cauchy.
P5 Calcule los siguientes limites:
a) limn(
(n+ a)(n+ b) n), a, b > 0
b) limn
n+sin(npi2 )
2n+1
c) limn
n1nn1+n
d) limn
3n2 sin(n!)
n+cos(nn!)
e) limn
(1+2+...+n)n+2 n2
f) limn
n!1+(n+1)!
g) limn
n2 + n n
Definiciones:
Def. Limite de una sucesion: limnxn = l ( > 0)(no N)(n no)|xn l|
Def. Sucesion acotada: xn es una sucesion acotada (M > 0)(n N) |xn| MDef. Sucesion divergente: xn diverge (M > 0)(no N)(n no) |xn| > M
Recommended