Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Ingeniera MatematicaMA1001-5 Introduccion al calculo5 de Mayo de 2014

Auxiliar 8: Sucesiones

Profesor: Jorge San MartinAuxiliar: Cristobal Valenzuela

P1 Usando la definicion de limite de una sucesion, demuestre las siguientes igualdades:

a) limn

n cos(pin!)

n2+1 = 0

b) limn

2n52n7 = 1

c) limnn(|x+

1n | |x|) = 1, para x < 0

d) limn

1n = 0

e) limn cos(n!pix) = 1 para x Q

P2 Verdadero y falso: Si la proposicion es verdadera demuestrela, si es falsa de un contraejemplo.

a) Sea f de dominio todo R y an una sucesion tal que an a La sucesion sn = f(an) f(a)b) an l R y bn es no acotada (an bn) es no acotada.c)Si an es una sucesion nula con an 6= 0 n N 1|an| es no acotadad)Si lim

nnan = 0 entonces limn an = 0

e) Sean (an), (bn) y (cn) son sucesiones tales que cn = an + bn. Si an y cn convergen, entonces bntambien converge necesariamente.

P3 Sea (an) una sucesion de numeros reales. Se dice que an + (diverge a infinito) si y solo si secumple que (M > 0)(no N)(n no) an M :i) Pruebe que an + implica que 1an 0. Es valido el reciproco?ii) Probar que an + y bn l > 0 implica que (an bn) +iii) Mostrar con ejemplos que si an + y bn 0, pueden tenerse los casos (an bn) 0,(an bn) + y (an bn) l > 0. Hay algun otro caso?

P4 [Sucesion de Cauchy] Una sucesion (xn) se dice de Cauchy si cumple lo siguiente:

( > 0)(no N)(n,m no)|xn xm| Demuestre que una sucesion (xn) converge en R si y solo si es de Cauchy.

P5 Calcule los siguientes limites:

a) limn(

(n+ a)(n+ b) n), a, b > 0

b) limn

n+sin(npi2 )

2n+1

c) limn

n1nn1+n

d) limn

3n2 sin(n!)

n+cos(nn!)

e) limn

(1+2+...+n)n+2 n2

f) limn

n!1+(n+1)!

g) limn

n2 + n n

Definiciones:

Def. Limite de una sucesion: limnxn = l ( > 0)(no N)(n no)|xn l|

Def. Sucesion acotada: xn es una sucesion acotada (M > 0)(n N) |xn| MDef. Sucesion divergente: xn diverge (M > 0)(no N)(n no) |xn| > M